§2 直观图
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能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
[教材要点]
要点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的
直观图的步骤
用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中对应画出．
要点二 用斜二测画法画多面体的直观图的步骤
(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox、Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝________，∠x′O′z′＝90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段长度为原来的________．
(5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．
(1)画立体图形的直观图的思路是将其转化为画平面图形的直观图．
(2)在要求不太严格的情况下，画立体图形的直观图时，长度和角度可灵活选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．
(3)画图时要紧紧把握：一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x′轴成45
°或135
°角；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴、z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半．
[教材答疑]
[教材P203思考交流]
(1)错．因为直观图的画法中保持平行性不变．
(2)错．因为直观图的画法中保持平行性不变，所以相交的直线的直观图仍相交．
(3)错．因为直观图画图中不保证角度不变，所以互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．( )
(2)两条相交直线的直观图可能是平行直线．( )
(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂直的线段在直观图中仍垂直．( )
(4)正方形的直观图为平行四边形．( )
(5)梯形的直观图不是梯形．( )
2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6
cm，O′C′＝2
cm，则原图形是( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
3．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
题型一 画水平放置的平面图形的直观图
——自主完成
用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图(尺寸自定)．
方法归纳
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
题型二 画空间几何体的直观图——师生共研
例1 用斜二测画法画出六棱锥P
?
ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．
方法归纳
1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
跟踪训练1 画底面半径为2，高为5的圆柱的直观图．
题型三 直观图与原平面图形的面积——师生共研
例2 如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求水平放置的梯形ABCD的直观图的面积．
变式探究 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，∠B′A′C′＝90°，则△ABC的面积为________．
方法归纳
(1)解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．
(2)求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出直观图中的高线即可．
易错辨析 忽略斜二测画法的规则致误
例3 如图是水平放置的四边形ABCD的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．
解析：(方法一)延长A′D′交O′x′于点E′.如图，画平面直角坐标系xOy，取OE＝O′E′，过点E作EF∥y轴，在EF上截取AE＝2A′E′，AD＝2A′D′＝8，再过点D作DC∥x轴，过点A作AB∥x轴，并截取DC＝D′C′＝2，AB＝A′B′＝5.连接BC，得直观图A′B′C′D′的原四边形ABCD.由作法得S四边形ABCD＝×(2＋5)×8＝28.
(方法二)因为A′D′＝4，所以梯形A′B′C′D′的高为2，故S梯形A′B′C′D′＝×2×(2＋5)＝7，则S四边形ABCD＝2×S梯形A′B′C′D′＝28.
答案：28
易错警示
易错原因
纠错心得
忽略与y轴平行的线段(即A′D′)长度的变化而致误．错误答案：14.
在斜二测画法中，与y轴平行的线段长度为原来的一半，且∠x′O′y′变为45°，做题时千万不要忽略这点.
§2 直观图
新知初探·课前预习
要点一
45° 135° 水平面 x′轴 y′轴 保持原长度不变 一半
要点二
45°(或135°) 平行 不变 一半
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
2．解析：如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2
cm，
所以OC＝＝＝6
(cm)，所以OA＝OC，
故四边形OABC是菱形，故选C.
答案：C
3．解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5.
答案：2.5
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：(1)如图a，在等腰梯形ABCD中，以AB所在直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，OE(E为DC中点)所在的直线为y轴，建立直角坐标系xOy.在图b中画出相应的坐标系x′O′y′，并使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图b中以O′为线段A′B′中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为线段D′C′中点，过点E′作D′C′平行于x′轴，并使D′C′＝DC.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去辅助线x′轴和y′轴得到梯形A′B′C′D′.梯形A′B′C′D′就是等腰梯形ABCD水平放置的直观图，如图c所示．
题型二
例1 解析：步骤一：画出六棱锥P
?
ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图(2))；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画B′C′∥x′轴，且B′C′＝BC，再以M′为中点，画E′F′∥x′轴，且E′F′＝EF；③连接A′B′、C′D′、D′E′、F′A′，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
步骤二：画正六棱锥P
?
ABCDEF的顶点．在z′轴的正半轴上取点P′，点P′异于点O′.
步骤三：成图．连接P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，将被遮挡的线改为虚线，便可得到六棱锥P
?
ABCDEF的直观图P′
?
A′B′C′D′E′F′(如图(3))．
跟踪训练1 解析：画法：(1)画轴．画出x轴、y轴、z轴．
(2)在z轴上取点O′，使OO′等于5个单位长度，过O′作x轴的平行线O′x′，过O′作y轴的平行线O′y′.在x轴，x′轴上分别取点A、B、A′、B′，使OA＝OB＝O′A′＝O′B′＝2个单位长度，在y轴，y′轴上分别取C、D、C′、D′，使OC＝OD＝O′C′＝O′D′＝1个单位长度，画两个圆(椭圆形)，即底面圆O和底面圆O′.
(3)连线．连接AA′、BB′，并擦去辅助线，则得到圆柱OO′.
题型三
例2 解析：
方法一 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，水平放置的梯形ABCD的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，作D′E′⊥A′B′于E′，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形A′B′C′D′的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
方法二 因为梯形ABCD的面积为＝，所以直观图的面积为×＝.
变式探究 解析：∵∠B′A′C′＝90°，B′O′＝C′O′＝1，
∴A′O′＝1，∴△ABC的高为2，∴△ABC的面积为×2×2＝2.
答案：2课时作业40 直观图
[练基础]
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，关于其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
2．利用斜二测画法得到的直观图有以下结论：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
其中正确的是( )
A．①②
B．①
C．③④
D．①②③④
3．等腰三角形ABC的直观图可以是( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
4．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )
5．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．
6．一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．
[提能力]
7．[多选题]给出下列关于按斜二测画法得到的直观图的结论，正确的是( )
A．角的水平放置的直观图一定是角
B．相等的角在直观图中仍相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
8．如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB，AD，AC三条线段中，最长的是________，最短的是________．
9．画棱长为2
cm的正方体的直观图．
[战疑难]
10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的底面重合，圆柱的底面直径为3
cm，高(两底面圆心连线的长度)为4
cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3
cm，画出此几何体的直观图．
课时作业40 直观图
1．解析：根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．故选B.
答案：B
2．解析：由斜二测画法规则知：①正确；平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．故选A.
答案：A
3．解析：由直观图画法可知，
当∠x′O′y′＝45°时，等腰三角形的直观图是④；
当∠x′O′y′＝135°时，等腰三角形的直观图是③.
综上，等腰三角形ABC的直观图可能是③④.故选D.
答案：D
4．解析：设直观图中与x′
轴和y′轴的交点分别为A′和B′，如图①，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先作出对应的A点和B点，再由平行于x′轴的线段在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图如图②所示，故选C.
答案：C
5．解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图．
从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin45°＝×＝.
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.
答案：
6．解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为，故面积为.
答案：
7．解析：由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以A、D正确；而线段的长度、角的大小在直观图中都会发生改变，所以B、C错误．故选A、D.
答案：AD
8．解析：
由题意得到原△ABC的平面图，如图所示．其中，AD⊥BC，BD＞DC，
∴AB＞AC＞AD，
∴△ABC的AB，AD，AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD.
答案：AB AD
9．解：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2
cm，AD＝1
cm.
(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A、B、C、D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2
cm.
(3)连接A1B1、B1C1、C1D1、D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．
10．解析：(1)画轴．如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的下底面．在x轴上取A、B两点，使AB＝3
cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．
(3)在Oz上截取点O′，使OO′＝4
cm，过点O′作平行于Ox的O′x′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．
(4)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′＝3
cm.
(5)成图．连线A′A、B′B、PA′、PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示．(共30张PPT)
§2 直观图
