§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
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(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实和定理．
(2)基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面．
(3)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(4)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3．2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 空间图形基本位置关系的认识 空间图形的基本事实1、2、3
[教材要点]
要点一 空间图形的基本关系
位置关系
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
点A不在直线a上
A?a
点B在直线a上
B∈a
点与面的位置关系
点A在平面α内
A∈α
点B在平面α外
B?α
直线与直线的位置关系
平行
a与b异面
相交
________
异面
直线与平面的位置关系
线在面内
________
线面相交
________
线面平行
________
平面与平面的位置关系
面面平行
________
面面相交
________
1.用集合语言描述位置关系时，“∈，?，∩”等符号虽然来源于集合符号，但在读法上却用几何语言，例如，A∈α读作“点A在平面α内”；a
?α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”．
2．几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别地方与集合符号略有差异．例如，不用a∩b＝{A}来表示直线a
，b相交于点A，而是简记为a∩b＝A
，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合．
要点二 三个基本事实及三个推论
内容
图形
符号
基本事实1
过________的三点，________一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在________
A∈l，B∈l且A∈α，B∈α?________
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________
P∈α且P∈β?________
要点三 重要推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
对三个基本事实的理解
1．“不在一条直线上”和“三个点”是基本事实1的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但可能不唯一；如果将“三个点”改成“四个点”，那么过四个点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三个点”是确定一个平面的恰到好处的条件．这里的“有且只有”包括存在性和唯一性两个方面，“有”表示“平面存在”，“只有”表示平面唯一．
2．从集合的角度看基本事实2，即如果一条直线(集合)上有两个点(元素)属于一个平面(集合)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内．
3．基本事实3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，那么公共点一定有无数个，且这无数个点的集合构成一条直线，就是两平面的交线．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不平行的两条直线的位置关系为相交．( )
(2)两个平面的交线可以是一条线段．( )
(3)空间不同的三点可以确定一个平面．( )
(4)四边形是平面图形．( )
2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为( )
A．P∈a，a∥α B．a∩α＝P
C．P∈a，P?α
D．P∈a，a?α
3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
4．根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：
A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.
题型一 三种语言的相互转化——自主完成
1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
①A∈α，B?α；
②A∈α，m∩α＝A，A?l，l?α；
③P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
①三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
②平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
方法归纳
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示；直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
题型二 点、线共面问题——师生共研
例1 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用基本事实1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．
方法归纳
证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2，常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
跟踪训练1 已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．
题型三 点共线或线共点问题——师生共研
例2 如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
方法归纳
(1)证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．
(2)证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．
跟踪训练2 在四面体ABCD中，E，G分别是BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且DF：FC＝DH：HA＝2：3.求证：EF，GH，BD交于一点．
易错辨析 忽略基本事实的重要条件致误
例3 已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点的位置关系是( )
A．共面
B．不共面
C．共线
D．不确定
解析：分两类进行讨论．
(1)若B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内．
因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内．
所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．
(2)若B，C，D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面，但平面不唯一；
若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能共面，也可能不共面．
答案：D
易错警示
易错原因
纠错心得
解本题时易误认为因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．以上错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三个点”这个重要条件．实际上B，C，D三点有可能共线.
对于确定平面问题，在应用基本事实1及三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3．1 空间图形基本位置关系的认识
3．2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 空间图形基本位置关系的认识
空间图形的基本事实1、2、3新知初探·课前预习
要点一
a∩b＝O a?α a∩α＝A a∥α α∥β α∩β＝a
要点二
不在同一条直线上 有且只有 两点 此平面内 l?α 公共直线 α∩β＝l且P∈l
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．答案：C
3．解析：若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
答案：C
4．答案：∈ ? ? AC
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：①点A在平面α内，点B不在平面α内；
②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；
③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图①②③所示．
2．解析：①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图①所示．
②符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示如图②所示．
题型二
例1 解析：
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2?α，∴B∈α.
同理同证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
跟踪训练1 解析：因为D?l，所以D和l可确定一平面，设为α.
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD?α.
同理BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．
题型三
例2 证明：方法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．
方法二 ∵AP∩AQ＝A，∴直线AP与直线AQ确定平面APQ.
又AB∩α＝P，AC∩α＝Q，∴平面APQ∩α＝PQ.
∵B∈平面APQ，C∈平面APQ，∴BC?平面APQ.∵R∈BC，∴R∈平面APQ，又R∈α，∴R∈PQ，
∴P，Q，R三点共线．
跟踪训练2 解析：如图，连接GE、HF
因为E，G分别是BC，AB的中点，所以GE∥AC，GE＝AC.
又DF?FC＝DH?HA＝2?3，
所以FH∥AC，FH＝AC，所以FH∥GE，FH≠GE，
所以E，F，H，G四点共面，且四边形EFHG是一个梯形．
延长GH和EF交于一点O，
因为GH?平面ABD，EF?平面BCD，
所以O∈平面ABD，O∈平面BCD，
所以点O在这两个平面的交线上，
而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．
所以EF，GH，BD交于一点．(共32张PPT)
第1课时 空间图形基本位置关系的认识
空间图形的基本事实1、2、3课时作业41 空间图形基本位置关系的认识 空间图形的基本事实1、2、3
[练基础]
1．给出下面四个命题：
①三个不同的点确定一个平面；
②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面．
其中正确的命题是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
2．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个
B．3个
C．4个
D．1个或4个或无数个
3．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．设平面α与平面β相交于直线l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．
5．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：
(1)A?α，a?α：________.
(2)α∩β＝a，P?α，且P?β：________.
(3)a?α，a∩α＝A：________.
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.
6.
如图所示，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．
[提能力]
7．[多选题]设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，下列说法中正确的是( )
A．若P∈a，P∈α，则a?α
B．若a∩b＝P，b?β，则a?β
C．若a∥b，a?α，P∈b，P∈α，则b?α
D．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b
8．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，P?l，且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.
9．在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．
[战疑难]
10．如图，正方体ABCD
?
A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题中正确的是______(写出所有正确命题的编号)．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ＝时，S为等腰梯形；
③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；
④当＜CQ＜1时，S为六边形；
⑤当CQ＝1时，S的面积为.
课时作业41 空间图形基本位置关系的认识
空间图形的基本事实1、2、31.解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．
答案：D
2．解析：当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若四点共面，可确定1个平面，若四点不共面，可确定4个平面，∴空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个．
答案：D
3.
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
答案：B
4．解析：因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.
答案：M∈l
5．答案：(1)③ (2)④ (3)① (4)②
6．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．
同理可证c在a，l确定的平面内．
∵过a与l只能确定一个平面，
∴a，b，c，l共面于a，l确定的平面．
7．解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，故A错；当a∩β＝P时，B错；∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故C正确；两个平面的公共点必在其交线上，故D正确，故选CD.
答案：CD
8．解析：
如图所示，MN?γ，R∈MN，
∴R∈γ.
又R∈l，∴R∈β.
∵P∈γ，P∈β，
∴β∩γ＝PR.
答案：PR
9．解析：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴M、N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD，
∴Q∈平面ABCD.
同理，EF?平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1，
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
10．解析：①当0＜CQ＜时，如图(1)．
在平面AA1D1D内，作AE∥PQ.
显然点E在棱DD1上，连接EQ，
则S是四边形APQE.
②当CQ＝时，如图(2)．
显然PQ∥BC1∥AD1，连接D1Q，
则S是等腰梯形．
③当CQ＝时，如图(3)．
作BF∥PQ，交线段CC1的延长线于点F，则C1F＝.
作AE∥BF，交线段DD1的延长线于点E，则D1E＝，AE∥PQ.
连接EQ交C1D1于点R，易知Rt△RC1Q∽Rt△RD1E，
则C1Q?D1E＝C1R?D1R＝1?2，可得C1R＝.
④当＜CQ＜1时，如图(4)．
同③可作BF∥PQ，交线段CC1的延长线于点F.
作AE∥BF，交线段DD1的延长线于点E.
连接EQ交C1D1于点R.
连接RM(点M为AE与A1D1的交点)，
显然S为五边形APQRM.
⑤当CQ＝1时，如图(5)．
同③可作AE∥PQ交线段DD1的延长线于点E，交A1D1于点M，显然点M为线段A1D1的中点，所以S为菱形APQM，其面积为MP·AQ＝××＝.
答案：①②③⑤
