课时作业42 空间图形的基本事实4与等角定理
[练基础]
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行
D．异面或相交
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30°
B．30°或150°
C．150°
D．以上结论都不对
3.
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在边CD，DA上，且满足CG＝GD，DH＝2HA，则四边形EFGH为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
4．如图，在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，直线AD1与DC1所成角的大小为( )
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
5．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．
6.
长方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.
[提能力]
7．[多选题]如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是( )
A．GH与EF平行
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．
9．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
[战疑难]
10．已知直三棱柱ABC
?
A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
课时作业42 空间图形的基本事实4与等角定理
1．解析：a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．
答案：D
2．解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.
答案：B
3．解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF綊AC，
又＝，＝，所以＝，所以HG綊AC，
所以EF∥HG且EF≠HG，
所以四边形EFGH为梯形．
答案：D
4．解析：连接AB1和B1D1，在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，AB1＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角即为直线AB1与AD1所成的角，设∠B1AD1＝θ，在等边三角形AB1D1中，∠B1AD1＝60°，即异面直线AD1与DC1所成的角为60°，故选C.
答案：C
5．解析：如图，连接BD，在△ABD中，＝，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.
∴EH∥FG.
答案：平行
6．证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，
∵A1B1∥C1D1，
∴EM∥C1D1，
∴四边形EMC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，
∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.
(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠A1ED1.
7．解析：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故B、C、D正确．
答案：BCD
8．解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．
答案：①②
9．解析：取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中
，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
10．解析：
如图，M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，则直线AB1，BC1的夹角即为直线MN和NP的夹角．
MN＝AB1＝，NP＝BC1＝.
取BC的中点Q，则可知△PQM为直角三角形．
易知PQ＝1，MQ＝AC.
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×＝7，所以AC＝.所以MQ＝.
在Rt△MQP中，MP＝＝.
在△PMN中，cos∠PNM＝＝＝－.
∵异面直线所成角的范围为，
∴余弦值为.故选C.
答案：C(共34张PPT)
第2课时 空间图形的基本事实4与等角定理
个心
A
A
F
E
D1
F1
C
A
B
D
C
A
F
B
D
M
A
B
G
D
E
C第2课时 空间图形的基本事实4与等角定理
[教材要点]
要点一 基本事实4
(1)条件：
两条直线平行于________．
(2)结论：
这两条直线________．
(3)符号表述：
?________.
基本事实4所表述的性质也叫作空间平行线的传递性，这是对初中所学的平行线的传递性内容的推广．注意并非所有对于平面图形成立的结论对于立体图形都成立．
在应用基本事实4证明两条直线平行时，常与平行四边形的性质及三角形的中位线定理等结合．
要点二 空间两条直线的位置关系
1．空间中两条直线的位置关系
2．异面直线
(1)定义：把不同在________平面内的两条直线叫作异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
1.异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
要点三 等角定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应________，那么这两个角________或________
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用
判定两个角相等或互补
要点四 异面直线所成的角
定义
已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的________的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角)
取值范围
异面直线所成的角O的取值范围：________
特例
当θ＝________时，a与b互相垂直，记作a⊥b
1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．
2．异面直线所成的角的大小不能是0°，若两条直线所成的角是0°，则这两条直线平行，不可能异面．
3．两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线．( )
(2)若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.( )
(3)如果空间中两个角的两条边分别对应平行且同向，那么这两个角相等．( )
(4)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.( )
2．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条( )
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．平行
3．三棱锥A
?
BCD中，E、F、M、N分别是AB、AD、BC、CD的中点，则EF与MN的位置关系( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．都有可能
4．已知正方体ABCD
?
A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
题型一 基本事实4的应用——师生共研
例1 在棱长为a的正方体ABCD
?
A′B′C′D′中，M，N分别为棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．
方法归纳
在应用基本事实4证明两条直线平行时，常与平行四边形的性质及三角形的中位线定理等结合．
跟踪训练1 如图，E，F分别是长方体ABCD
?
A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
题型二 等角定理及其应用——师生共研
例2 如图所示，在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
要证明∠EA
1F＝∠E1CF1，可证明A
1F∥CF1，A
1E∥CE1且射线A1E与CE1，射线A
1F与CF1的方向分别相反.
方法归纳
(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．
(2)证明角相等，一般采用三种途径
①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．
跟踪训练2 在三棱柱ABC
?
A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
题型三 求异面直线所成的角——师生共研
例3 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小．
把异面直线AD，BC平移到同一平面内
变式探究1 将本例中的条件“AD＝BC＝2”改为“AD＝BC且AD⊥BC，”求EF与AD所成的角．
变式探究2 将本例中的条件“AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝”改为“AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点”求EF与AB所成角的大小．
方法归纳
求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角．
(2)证明：证明作出的角就是要求的角．
(3)计算：求角度，常放在三角形内求解．
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
易错辨析 忽略异面直线所成的角的范围致错．
例4 如图，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．
解析：如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，
∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为60°.
易错警示
易错原因
纠错心得
解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解．事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是直线所成的角.
求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角.
第2课时 空间图形的基本事实4与等角定理
新知初探·课前预习
要点一
同一条直线 平行 a∥c
要点二
一个 没有 没有 任一
要点三
平行 相等 互补
要点四
不大于90° (0，] [基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：如图所示的长方体ABCD
?
A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1，AD相交，与BC异面．故选C.
答案：C
3．解析：∵E，F是AB、AD中点，
∴EF∥BD.
∵M，N是BC，CD中点，
∴MN∥BD，
∴EF∥MN.
答案：A
4．解析：
连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．
∴∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC＝45°.
答案：(1)60° (2)45°
题型探究·课堂解透
题型一
例1 证明：
如图，连接AC.
∵M，N分别为棱CD，AD的中点，
∴MN綊AC.
由正方体的性质可知AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′，∴A′N与MC′相交，
即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′，
∴四边形MNA′C′是梯形．
跟踪训练1 证明：
如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E綊C1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綊C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q綊FD，又B1E綊C1Q，∴B1E綊FD，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
题型二
例2
证明：如图所示，在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.
又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.
而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四边形F1MBC为平行四边形．
∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
跟踪训练2 证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，
所以PN∥BC.①
又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，
所以A1M綊NC.
所以四边形A1NCM为平行四边形，
于是A1N∥MC.②
由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
题型三
例3
解析：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，
则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角．
因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°.
则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，
即异面直线AD，BC所成的角为60°.
变式探究1 解析：如例3图中，EM綊AD，MF綊BC
又AD＝BC，
∴EM＝MF，
∴∠MEF就是EF与AD所成的角或其补角．
∵AD⊥BC，
∴EM⊥MF，
∴∠EMF＝90°，
∴△EMF为等腰直角三角形，
∴∠MEF＝45°，
即EF与AD所成的角为45°.
变式探究2 解析：取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG綊AB，GF綊CD.
故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，
直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°.
由AB＝CD，知EG＝FG，
∴△EFG为等腰三角形．
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.
