(共35张PPT)
4．2 平面与平面平行
D
B.
D
C
P
B
C4．2 平面与平面平行
[教材要点]
要点一 平面与平面平行的性质
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线________
符号语言
?a∥b
图形语言
(1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
要点二 平面与平面平行的判定
文字语言
如果一个平面内的________直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
图形语言
符号语言
?β∥α
(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
[教材答疑]
1．[教材P220思考交流]
如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，c?β，
则c与a平行或异面，
因为c?β，a?α，α∥β；
c与b平行或相交，因为c?β，b?β.
2．[教材P222思考交流]
平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等D?/α∥β，如图，AA′＝BB′＝CC′则α∩β＝l.
α∥β?平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等．如图AA′＝BB′＝CC′
所以“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的必要不充分条件．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )
(2)若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )
(3)已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行．( )
(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．( )
2．在正方体EFGH
?
E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
3．[多选题]不能使平面α∥平面β的条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线
4．已知直线a与直线b，平面α与平面β满足下列关系，a∥α，b∥α，a?β，b?β，则α与β的位置关系是________．
题型一 面面平行性质定理的应用——师生共研
注意三棱柱中的面ABC∥面A
′B
′C
′的应用．例1 如图所示，已知三棱柱ABC
?
A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
方法归纳
应用线面平行的性质定理的关键点
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．
跟踪训练1 如图，在四棱柱ABCD
?
A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.
求证：EC∥A1D.
题型二 平面与平面平行的判定——师生共研
连BD交AC于点O再连接OG，便可发现平行关系．
例2 如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，G是DE的中点．求证：平面ACG∥平面BEF.
方法归纳
利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．
跟踪训练2
如图，在长方体ABCD
?
A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．
求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
题型三 平行关系的综合应用——师生共研
线面平行、面面平行的性质定理的应用，往往需要通过“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知条件联系起来．
例3 如图，在棱长为a的正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
方法归纳
(1)证明线面平行的方法有“线线平行?线面平行”或“线线平行?线面平行?面面平行?线面平行”．
(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．
跟踪训练3 在正方体ABCD
?
A′B′C′D′中，E，F，G，H分别为CC′，C′D′，DD′，CD的中点，N为BC的中点，试在E，F，G，H四点中找两点，使这两个点与点N确定一个平面α且平面α∥平面BB′D′D.
易错辨析 受思维定式的影响出错
例4 如图，已知E，F分别是正方体ABCD
?
A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．
证明：如图，在棱BB1上取一点G，使B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF綊B1C1綊A1D1，
所以四边形GFD1A1为平行四边形，
所以A1G綊D1F.
因为A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，AA1綊BB1，
所以A1E綊BG，
所以四边形EBGA1为平行四边形，
所以A1G綊EB.
所以D1F綊EB，
所以四边形EBFD1是平行四边形．
【易错警示】
错误原因
纠错心得
误认为E、B、F、D1四点共面，但由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE＝C1F也没有用到.
证明结论是否成立时要有严格的推理过程，不能凭直观感觉．同时，若发现有没用到的条件，则需要考虑自己的证明过程是否正确.
4．2 平面与平面平行
新知初探·课前预习
要点一
平行 α∩γ＝a β∩γ＝b
要点二
两条相交 a∩b＝P
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．
答案：A
3．解析：A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D中，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.
答案：ABC
4．解析：若a与b相交，则α与β平行；若a与b平行，则α与β可能平行或相交．
答案：平行或相交
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：直线a，b的位置关系是平行．
证明：连接DD′.
∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.
同理可证AD∥b.
又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′，又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，
∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.
跟踪训练1 证明：因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
题型二
例2
证明：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OG，易知O是BD的中点，故OG∥BE.
又BE?平面BEF，OG在平面BEF外，所以OG∥平面BEF.
因为EF∥AC，AC在平面BEF外，所以AC∥平面BEF.
又AC与OG相交于点O，平面ACG有两条相交直线与平面BEF平行，
故平面ACG∥平面BEF.
跟踪训练2 证明：∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，
∴A′E′綊BE，
∴四边形A′EBE′为平行四边形，
∴A′E∥BE′.
∵A′E?平面BCF′E′，BE′?平面BCF′E′，
∴A′E∥平面BCF′E′.
同理，A′D′∥平面BCF′E′.
又A′E∩A′D′＝A′，
∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
题型三
例3 解析：(1)证明：方法一 如图，连接AC，CD1.
因为P，Q分别是AD1，AC的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，
CD1?平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
方法二 取AD的中点G，连接PG，GQ，
则有PG∥DD1，PG?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，
所以PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1，
又PG∩GQ＝G，PG?平面PGQ，GQ?平面PGQ，
所以平面PGQ∥平面DCC1D1.
又PQ?平面PGQ，所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明：方法一 取B1D1的中点O1，
连接FO1，BO1，则有FO1綊B1C1.
又BE綊B1C1，所以BE綊FO1.
所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，FE1?平面BB1D1D，B1D1?平面BB1D1D，
所以FE1∥平面BB1D1D，同理EE1∥平面BB1D1D，
又FE1∩EE1＝E1，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
跟踪训练3 解析：如图，连接HN，由中位线定理得，HN∥BD.
∵BD?平面BB′D′D，HN?平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.
连接HF，则HF∥DD′，
∵DD′?平面BB′D′D，HF?平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.
又HN∩HF＝H，连接FN，则平面HFN∥平面BB′D′D，
∴H，F，N三点确定的平面α与平面BB′D′D平行．课时作业44 平面与平面平行
[练基础]
1．如果直线a平行于平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线
2．如图所示，长方体ABCD
?
A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行和异面
3．已知在如图所示的长方体ABCD
?
A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体中，与平面EFG平行的面有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
5．如图，四棱柱ABCD
?
A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是________．
6．在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AC的中点．
求证：平面EFG∥平面ABD.
[提能力]
7．[多选题]已知a，b表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，其中正确的是( )
A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β
B．若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若a?α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b
8．如图是一个正方体的展开图．
在这个正方体中：
①BM∥平面ADE；
②CN∥平面ABF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号有________．
9．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.
[战疑难]
10．如图所示，在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，点O为四边形ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的动点，则点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
课时作业44 平面与平面平行
1．解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．
答案：B
2．解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.
答案：A
3．解析：∵长方体ABCD
?
A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，
∴EF∥AB，FG∥BC，
又EF?平面ABCD，FG?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又EF∩FG＝F，
∴由平面与平面平行的判定定理得：
平面EFG∥平面ABCD.
同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面EFG平行的平面有2个．
答案：B
4．解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.
同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
5．解析：因为AF∥EC1，所以AF，EC1确定一个平面α.
平面α∩平面CDD1C1＝C1F，平面α∩平面ABB1A1＝AE，
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
所以AE∥C1F，
所以四边形AEC1F是平行四边形．
答案：平行四边形
6．证明：因为E，F分别是BC，CD的中点，
所以EF∥BD.
又BD?平面ABD，EF?平面ABD，
所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.
又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，
所以平面EFG∥平面ABD.
7．解析：A错误，α与β也可能相交；B正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；C错误，α与β也可能相交；由线面平行的性质定理可知，D正确．故选BD.
答案：BD
8．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
9.
证明：证法一(线线平行?线面平行) 如图1所示，
作PM∥AB，交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴＝＝，＝，
∴＝，又AB綊DC，∴PM∥QN且PM＝QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN，
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面CBE.
证法二(面面平行?线面平行) 如图2，在平面ABEF内过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，又PM?平面BCE，BE?平面BCE，∴PM∥平面BCE，＝.又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，MQ?平面BCE，BC?平面BCE，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
10．解析：如图所示，
设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，连接MD1.
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
因为平面D1BQ∥平面PAO，平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，
所以AP∥D1M，所以BQ∥AP.
因为P为DD1的中点，
所以Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
