§5 垂直关系
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借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直、平面与平面垂直的关系，归纳出判定定理和性质定理；能用已获得的言论证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的简单命题.
5.1 直线与平面垂直
[教材要点]
要点一 直线与平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作________．直线l称为平面α的________，平面α称为直线l的________，它们唯一的公共点P称为________．
1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
2．注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
要点二 直线与平面垂直的性质
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言
?________
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行；②作平行线
1.直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
要点三 直线到平面的距离
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．
要点四 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
定义
过斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足和斜足的直线称为斜线在这个平面上的________，平面的一条斜线与它在平面上的________所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．
范围
0°≤θ≤90°
画法
如图，________就是斜线AP与平面α所成的角
把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
要点五 直线与平面垂直的判定
文字语言
如果一条直线与一个平面内的________直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
图形语言
符号语言
?l⊥α
1.该定理有五个条件：a
?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b这五个条件缺一不可．但对l⊥a，l⊥b在什么位置(过不过交点)、以什么方式(共面或异面)都不作要求，正是这种不作要求的“宽松”条件，使得证明直线与平面垂直的方法很灵活．
2．“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例如：若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直．
[教材答疑]
1．[教材P227思考交流]
两条异面直线不能垂直于同一平面．
假设两条异面直线都垂直于同一平面，那么这两条直线一定平行(直线与平面垂直的性质定理)，所以假设不成立，即两条异面直线不能垂直于同一个平面．
2．[教材P230思考交流]
(1)若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面垂直．(直线与平面垂直的判定定理)
(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线l垂直于平面α内的两条直线，则直线l垂直于平面．( )
(2)如果一条直线与平面的垂线垂直，则该直线与这个平面平行．( )
(3)直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l垂直于平面α.( )
(4)平面的斜线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°.( )
2．在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1B1CD
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC
4．直线n⊥平面α，n∥l，直线m?α，则l，m的位置关系是________．
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用——师生共研
例1 在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
方法归纳
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：
(1)a∥b，b∥c?a∥c.
(2)a∥α，a?β，β∩α＝b?a∥b.
(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b.
(4)a⊥α，b⊥α?a∥b.
跟踪训练1 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.
题型二 直线与平面所成的角——师生共研
作线面角是解题的关键．取DC的中点F，证明EF∥B1C，因为B1C⊥平面ABC1D1，所以EF⊥平面ABC1D1，从而作出线面角．
例2 在棱长为1的正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
方法归纳
求直线与平面所成的角的步骤
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
(3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．
跟踪训练2 如图，在四棱锥P
?
ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.
(1)求证：PD⊥平面ABCD.
(2)求出直线PB与平面ABCD所成的角的正切值．
题型三 直线与平面垂直的判定定理的应用——微点探究
微点1 证明线面垂直
例3 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
变式探究 在本例中，其它条件不变，再加上“AB＝BC”，求BD与平面SAC的位置关系．
方法归纳
要抓住基本的平面图形的几何性质来实现垂直的探索，第一类是图形本身具备的垂直性质，如矩形、正方形、直角三角形、直角梯形等，第二类是由图形的伴随性质提供的垂直关系，如等腰三角形底边的三线合一、菱形的对角线等．
微点2 证明线线垂直
例4 如图，在四面体P
?
ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥CE.
已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．
方法归纳
(1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①平面内的两条相交直线；②都垂直．
(2)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．
跟踪训练3
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
易错辨析 使用直线与平面垂直的判定定理时忽略条件致错
例5
如图，a∥b，点P在a，b所确定的平面γ外，PA⊥a，垂足为点A，AB⊥b，垂足为点B.求证：PB⊥b.
解析：因为PA⊥a，a∥b，所以PA⊥b.又AB⊥b，PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以b⊥平面PAB.
因为PB?平面PAB，所以PB⊥b.
易错警示
易错原因
纠错心得
没有正确使用直线与平面垂直的判定定理，忽略了“垂直于平面的两条相交直线”这一条件致错.
应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键条件.
§5 垂直关系
5．1 直线与平面垂直
新知初探·课前预习
要点一
任何一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足
要点二
平行 a∥b
要点四
投影 投影 ∠PAO
要点五
两条相交 a∩b＝A a?α b?α
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
答案：B
3．解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
答案：C
4．解析：由题意可知l⊥α，所以l⊥m.
答案：l⊥m
题型探究·课堂解透
题型一
例1 证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D ①.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D ②.
由①②可知EF∥BD1.
跟踪训练1 证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.
因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，
同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，
所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.
题型二
例2 解析：
如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.
由ABCD
?
A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面ABC1D1，D1C1?平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面ABC1D1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．
在Rt△EOA中，EO＝EF＝B1C＝，
AE＝＝
＝，
∴sin∠EAO＝＝.
∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
跟踪训练2 解析：(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.
∵AD，DC?平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴BD是PB在平面ABCD上的投影，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角．
∵BD＝a，∴tan∠PBD＝＝＝.
题型三
例3 证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.
变式探究 解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由本例知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
例4 证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，CF＝，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，
∴PB⊥平面CEF.
∵CE?平面CEF，
∴PB⊥CE.
跟踪训练3 证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.(共40张PPT)
5.1 直线与平面垂直
C1
Cl
B
D
B课时作业45 直线与平面垂直
[练基础]
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
2．ABCD
?
A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．AC1⊥BD1
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的投影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
4．有下列四种说法，正确的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.
5．在长方体ABCD
?
A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
6．如图，在四棱锥S
?
ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
[提能力]
7．[多选题]如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
8．如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)
9.
如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
[战疑难]
10．如图所示，已知长方体ABCD
?
A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点．
(1)求证：EF∥平面ABCD；
(2)设M为线段C1C的中点，当的值为多少时，DF⊥平面D1MB？并说明理由．
课时作业45 直线与平面垂直
1．解析：若l∥m，则l?α，∵m?α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．
答案：A
2．解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；
从而BD⊥AC1，即选项B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，
所以AC1⊥BD1不正确．选D.
答案：D
3．解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，
所以cos∠ABO＝，
即∠ABO＝60°.
答案：A
4．解析：①正确；对于②，若直线n?α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
答案：①
5.
解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的投影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△BD1B1中，
tan∠BD1B1＝＝＝，
则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
6．证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面ABCD为直角梯形，
AD＝＝.
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接BD，则BD＝＝，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.
7．解析：对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；
对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；
对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；
对于D，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理，EC⊥AB，且ED∩EC＝E，可得AB⊥平面CDE.故选BD.
答案：BD
8．解析：在平面四边形ABCD中，设AC与BD交于点E，假设AC⊥BD，则AE⊥BD，CE⊥BD.折叠后(如图)，AE与BD，CE与BD依然垂直，所以BD⊥平面AEC，所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
9.
解析：(1)证明：连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，
∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，
又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，
又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
10．解析：(1)证明：E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，
∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
(2)解：当＝时，DF⊥平面D1MB.证明如下．
如图，连接AC，BD，FM，设AC与BD交于点O，连接OF.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC.
∵D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF.
∵F，O分别是BD1，BD的中点，∴FO∥DD1，FO＝DD1，
又DD1∥CC1，D1D＝CC1，∴FO綊MC，
∴四边形FMCO为平行四边形，
∴FM∥AC，∴DF⊥FM.
∵D1D＝AD，∴D1D＝BD，
∴矩形D1DBB1为正方形．
∵F为BD1的中点，∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB.
