课时作业46 平面与平面垂直
[练基础]
1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是( )
A．若m⊥n，则α⊥β
B．若m∥n，则α⊥β
C．若m⊥n，则α∥β
D．若m∥n，则α∥β
2.
如图所示，在三棱锥P
?
ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B
?
PA
?
C的大小为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
3.
如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为________．
5．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b?β，a∥b，则α⊥β.
其中不正确的命题是________．
6．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.
[提能力]
7．[多选题]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD?BC?AB＝2?3?4，E，F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出以下四个结论，可能成立的是( )
A．DF⊥BC
B．BD⊥FC
C．平面DBF⊥平面BFC
D．平面DCF⊥平面BFC
8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．(用序号表示)
9．如图(1)，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD.
(2)求二面角B?AD?C的大小．
[战疑难]
10．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足∠ABC＝90°，M为AP的中点．若AB＝1，AC＝2，AP＝，则二面角M?BC?A的正切值为________．
课时作业46 平面与平面垂直
1．解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.
答案：B
2．解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B
?
PA
?
C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.
答案：A
3．解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD?平面ABCD，
∴PA⊥BC，PA⊥AD.
又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．故选A.
答案：A
4．解析：如图，设S在底面内的投影为O，
取AB的中点M，
连接OM，SM，
则∠SMO为所求二面角的平面角，
在Rt△SOM中，
OM＝AD＝1，
SM＝
＝，
所以cos∠SMO＝＝，
所以∠SMO＝45°.
答案：45°
5．解析：如图，在长方体ABCD
?
A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．
答案：①②
6.
证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面AOC，AC?底面AOC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
7．解析：对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交，不垂直，所以BC与DF不垂直，故A不可能成立；
对于B，如图，设点D在平面BCF上的投影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD?BC?AB＝2?3?4可使条件满足，故B可能成立；对于C，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；对于D，因为点D的投影不可能在FC上，所以D不可能成立．故选BC.
答案：BC
8．解析：m⊥n，将m和n平移到相交的位置，此时确定一平面，
∵n⊥β，m⊥α，
∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β形成的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.
故①③④?②.
答案：①③④?②(答案不唯一)
9.
图(3)
解析：(1)证明：根据图(1)，
∵AB＝BC，∠B＝90°，∠BCD＝135°，
∴∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.
已知二面角B－AC－D是直二面角，如图(3)，过点B作BO⊥AC，垂足为O.由AB＝BC，知O为AC的中点．过点O作OE⊥AC交AD于点E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.
∵BO⊥AC，∴BO⊥平面ACD.
又∵CD?平面ACD，∴BO⊥CD.
又∵CD⊥AC，AC∩BO＝O，
∴CD⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴AB⊥CD.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又∵BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.
又∵AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD.
(2)在图(4)中，过AC的中点O作OF⊥AD，垂足为F，连接BF，BO.
图(4)
由(1)知BO⊥平面ACD，∴BO⊥AD.
∵BO∩OF＝O，∴AD⊥平面BOF.
又∵BF?平面BOF，∴AD⊥BF.
∴∠BFO是二面角B
?
AD
?
C的平面角．
∵AB＝BC＝CD＝a，∠ABC＝90°，
∴AC＝a，∴BO＝AO＝a.
由(1)知AC⊥CD，∴AD＝a.
∵△AOF∽△ADC，∴＝，∴OF＝＝a.
在Rt△BOF中，tan∠BFO＝＝＝，
∴∠BFO＝60°，
即二面角B
?
AD
?
C的大小为60°.
10．解析：由∠ABC＝90°知，AC为底面圆的直径．
如图所示，设底面圆圆心为O，连接PO，则PO⊥平面ABC，易知AO＝AC＝1，PO＝＝1.
设H为点M在底面上的投影，则H为AO的中点．在底面中作HK⊥BC于点K，连接MK，则BC⊥平面HMK，MK⊥BC，从而∠MKH为二面角M
?
BC
?
A的平面角．因为MH＝AH＝，HK∥AB，所以＝＝.得HK＝，所以tan∠MKH＝＝，故二面角M
?
BC
?
A的正切值为.
答案：5．2 平面与平面垂直
[教材要点]
要点一 二面角
半平面的定义
平面内的一条直线把平面分成________部分，其中的每一部分都称为半平面
二面角的定义
从一条直线出发的________所组成的图形称为二面角
二面角的相关概念
这条直线称为二面角的________，这两个半平面称为二面角的________
二面角的画法
二面角的记法
二面角α
?
l
?
β或α
?
AB
?
β或P
?
l
?
Q或P
?
AB
?
Q
二面角的平面角
定义
在二面角α
?
l
?
β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角
图形
范围
∠AOB的范围是________
作二面角的平面角的方法
方法一(定义法) 在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α
?
a
?
β的平面角．
方法二(垂面法) 过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α
?
l
?
β的平面角．
方法三(垂线法) 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A
?
BC
?
D的平面角．
要点二 平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．记作________．
要点三 平面与平面垂直的性质
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面________
符号语言
?a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直?________垂直；②作面的垂线
要点四 平面与平面垂直的判定
文字语言
如果一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直
符号语言
?α⊥β
图形语言
(1)由该定理可知要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．
(2)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直．( )
(2)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( )
(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )
(4)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( )
2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
3．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
4．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有________对．
题型一 平面与平面垂直的性质定理的应用——师生共研
例1 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，
求证：CF⊥平面BDE.
方法归纳
(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．
(2)证明线面垂直的常用方法：
①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α?a⊥α.
跟踪训练1 在三棱锥P
?
ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
题型二 平面与平面垂直的判定定理的应用——微点探究
微点1 利用面面垂直的定义证明
例2 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
证明：平面ACD⊥平面ABC.
方法归纳
证明二面角的平面角为直角的判定方法
(1)找出两相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．
微点2 利用面面垂直的判定定理证明
欲证平面EBD⊥平面ABCD，只需在平面EBD内找到一条直线垂直于平面ABCD，可考虑直线EF.例3 如图，在四棱锥S
?
ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.
方法归纳
利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决．
跟踪训练2 如图，三棱柱ABC
?
A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
题型三 求二面角——师生共研
例4
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB＝2，PA＝BC＝1.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求二面角P?BC?A的大小．
变式探究 本例条件不变，试求二面角C?PA?B的大小．
方法归纳
(1)求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角?证明?计算．
(2)要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等．
易错辨析 平面与平面垂直的条件把握不准确致误
例5 [多选题]已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有( )
A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
解析：
如图所示，在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，对于A，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故A错误；B正确；对于C，A1A⊥平面ABCD，A1A?平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正确；对于D，过平面AA1D1D内的点D1，作D1C，因为AD⊥平面D1DCC1，D1C?平面D1DCC1，所以AD⊥D1C，但D1C不垂直于平面ABCD，故D错误．故选BC.
答案：BC
易错警示
易错原因
纠错心得
对平面与平面垂直的条件把握不准确，很容易认为D正确，导致错选为BCD.
D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不同的，即“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内.
5．2 平面与平面垂直
新知初探·课前预习
要点一
两 两个半平面 棱 面 [0°，180°]
要点二
直二面角 α⊥β
要点三
交线 垂直 a?α a⊥l 线面
要点四
垂线 l?α
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
所以AD⊥平面DBC.
又因为AD?平面ADC，
所以平面ADC⊥平面DBC.
故选D.
答案：D
3.
解析：取正方体ABCD
?
A1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.
答案：C
4．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．
答案：5
题型探究·课堂解透
题型一
例1 证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.
由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.
又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF，CF?平面ACEF，
所以BD⊥CF.
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.
跟踪训练1
证明：如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
题型二
例2 证明：
由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.
又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.
如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D
?
AC
?
B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
例3 证明：如图，连接AC，与BD交于点F，连接EF.
∵F为?ABCD的对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点．
∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.
又∵EF?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
跟踪训练2 证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
题型三
例4 解析：(1)证明：∵A，B，C在⊙O上，
∴⊙O所在平面可记为平面ABC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵C在圆周上，且异于A、B两点，AB是⊙O的直径
∴BC⊥AC.
又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)由(1)知，BC⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴PC⊥BC，
又∵AC⊥BC，∴∠PCA为二面角P
?
BC
?
A的平面角．
在Rt△PAC中，PA＝1，AC＝，∠PAC＝90°，
∴tan∠PCA＝，∴∠PCA＝30°，
所以二面角P
?
BC
?
A的大小是30°.
变式探究 解析：∵PA⊥平面ABC.
∴PA⊥AC，PA⊥AB，
∴∠CAB即为二面角C
?
PA
?
B的平面角，
在Rt△ACB中，易知AB＝2，BC＝1，∴AC＝.
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∴二面角C
?
PA
?
B的大小为30°.(共33张PPT)
5．2 平面与平面垂直
