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6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积§6 简单几何体的再认识
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知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
[教材要点]
要点一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何体
侧面展开图
侧面积公式
圆柱
S圆柱侧＝________r为____________l为____________
圆锥
S圆锥侧＝________r为____________l为____________
圆台
S圆台侧＝________r1为____________r2为____________l为____________
求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．
要点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝________c为____________h为____________
正棱锥
S正棱锥侧＝ch′c为____________h′为________，即侧面等腰三角形的高
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)h′c′为________________c为________________h′为________，即侧面等腰梯形的高
[教材答疑]
[教材P239思考交流]
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积公式之间的关系为：当正棱台的上底面与下底面全等时，得到直棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥．
由此可得：S直棱柱侧＝chS正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等．( )
(2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形．( )
(3)空间几何体的侧面积即是表面积．( )
(4)圆台的侧面展开图是一个扇环．( )
2．已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22
B．20
C．10
D．11
3．若圆柱的轴截面为边长为2的正方形，求圆柱的侧面积( )
A．2π
B．4π
C．6π
D．8π
4．圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是________．
题型一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积——师生共研
例1 (1)若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A.π B．2π
C．2π
D．4π
(2)如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5
cm，BC＝16
cm，AD＝4
cm.则以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为________cm2.
方法归纳
(1)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键．
(2)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积．
跟踪训练1 (1)圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS
B．2πS
C．πS
D.πS
(2)若一个圆锥的轴截面是边长为4
cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
题型二 直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积——师生共研
例2 正三棱锥S?ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积．
方法归纳
(1)正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单．
(2)多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和．对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解．
跟踪训练2 (1)过长方体一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，体对角线的长是2，则这个长方体的表面积为( )
A．40
B．44
C．72
D．88
(2)所有棱长均为2的正三棱柱的表面积为________．
题型三 组合体的表面积——师生共研
例3 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
方法归纳
求组合体的表面积与体积，关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积与体积相加或相减得出．需要注意，组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的和，因为其接合部分并不裸露在表面．
跟踪训练3
如图所示的几何体是一棱长为4
cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2
cm、深为1
cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少．(π取3.14)
易错辨析 求几何体的表面积考虑不全致误
例4 如图所示的△OAB绕x轴旋转一周，会产生怎样的几何体？计算其表面积．
解析：绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一上、下底面半径分别为2,3，高为3的圆台，挖去了一个底面半径为3，高为3的圆锥，如图，其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和．圆台的母线长是，圆锥的母线长是
3，故其表面积S＝π×22＋π×(2＋3)×＋π×3×3＝(4＋5＋9)π.
易错警示
易错原因
纠错心得
解本题易出现的错误有：(1)错误判断几何体的形状，如绕x轴旋转时漏掉了线段OB所产生的圆面，这样计算时就少了这个圆的面积；(2)用错旋转体的面积计算公式，特别是圆台的侧面积公式，导致运算错误.
确定平面图形旋转形成的几何体的形状时，要根据旋转体的定义，将平面图形分成一些矩形、直角三角形、直角梯形、半圆等，要注意形成的旋转体之间的关系，尤其是几何体的挖空或重叠，防止求解几何体的表面积时造成遗漏或重复计算.
§6 简单几何体的再认识
6．1 柱、锥、台的侧面展开与面积
新知初探·课前预习
要点一
2πrl 底面半径 侧面母线长
πrl 底面半径 侧面母线长
π(r1＋r2)l 上底面半径 下底面半径 侧面母线长
要点二
ch 底面周长 高 底面周长 斜高 上底面周长 下底面周长 斜高
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：长方体的表面积为S表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
答案：A
3．解析：由轴截面的边长为2可知r＝1，l＝2，∴S＝2πr·l＝4π.
答案：B
4．解析：设底面半径是r，则2πr＝πR，
∴r＝，∴圆锥的高h＝＝R.
答案：R
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意可知r＝h＝l.
则(r)2＝1，而r＝1，l＝，
所以S圆锥侧＝πrl＝π.
答案：(1)A
解析：(2)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4
cm，下底半径是16
cm，母线DC＝＝13(cm)，
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．
答案：
(2)532π
跟踪训练1 解析：(1)设底面半径为r，则S＝πr2，则r＝，所以底面周长为2πr＝2π，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为l＝2πr＝2·π，
∴S侧＝2πr·l＝(2πr)2＝4π2·r2＝4π22＝4πS.故选A.
答案：(1)A
解析：(2)
如图所示，∵轴截面是边长为4
cm的等边三角形，
∴OB＝2
cm，PB＝4
cm，
∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π
(cm2)，
表面积S表＝8π＋π×22＝12π
(cm2)．
答案：
(2)8π 12π
例2 解析：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，
如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以×3a×h′＝a2×2，
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，
所以32＋2＝h′2，
所以h′＝2，所以a＝h′＝6，
所以S底＝a2＝×62＝9，
所以S侧＝2S底＝18，
则S表＝S侧＋S底＝27.
跟踪训练2 解析：(1)设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x，由已知得
x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，
解得x＝2，
所以三条棱长分别2,4,6.
所以长方体的表面积为S＝2(2×4＋2×6＋4×6)＝88.
答案：(1)D
解析：表面积S＝2S底＋S侧
＝2××2×2×sin
60°＋3×2×2
＝2＋12.
答案：
12＋2
例3
解析：如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥．
在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝(2a－a)tan
60°＝a，DC＝＝2a.
又DD′＝DC＝2a，
∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧
＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a
＝(9＋4)πa2.
跟踪训练3 解析：正方体的表面积为42×6＝96(cm2)，
一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28(cm2)，
则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68(cm2)．课时作业47 柱、锥、台的侧面展开与面积
[练基础]
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )
A．1:2
B．1:1
C．1:4
D．4:1
2．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )
A．48(3＋)
B．48(3＋2)
C．24(＋)
D．144
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是( )
A．3π
B．3π
C．6π
D．9π
4．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．20
＋4
B．24
C．24
＋4
D．28
5．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为________．
6．已知正四棱锥底面正方形边长为4
cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm2)．
[提能力]
7．[多选题]长方体ABCD?A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1，则( )
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3
D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2
8．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是________．
9．一个圆锥的底面半径为2
cm，高为6
cm，在其内部有一个高为x
cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
[战疑难]
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)：底面ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为( )
A．8＋6
B．8＋8
C．6＋2
D．8＋6＋2
课时作业47 柱、锥、台的侧面展开与面积
1．解析：S1＝2π·1·2＝4π，S2＝2π·2·1＝4π，∴S1＝S2.故选B.
答案：B
2．解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)．
答案：A
3．解析：根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.
答案：A
4．解析：由直观图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4××2×＝20＋4.
答案：A
5．解析：由题得该正四棱锥侧面三角形的斜高h＝＝2.
所以该正四棱锥的表面积S＝S底面＋4×S侧面＝2×2＋4××2×2＝12.
答案：12
6．解析：如图所示，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.
∵OE＝2(cm)，∠OPE＝30°，
∴PE＝2OE＝4(cm)，
因此，S棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32(cm2)．
S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．
7．解析：长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A错误．长方体的体积为3×2×1＝6，B正确．如图(1)所示，长方体ABCD
?
A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.求表面上最短(长)距离可把几何体展开成平面图形，如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，
则有AC1＝＝，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是；如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝＝3，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，
则有AC1＝＝2，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2<，所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是3，C正确，D不正确．故选BC.
答案：BC
8．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，所以S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，又S侧＝h2＝4π2r2，所以＝.
答案：
9．解析：(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，
∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4π(cm2)．
(2)该几何体的轴截面如图所示．
设圆柱的底面半径为r
cm，由题意，知＝，∴r＝.
∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，
∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6
π
cm2.
10．解析：∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，
EF∥AB，∴侧面ABFE，CDEF是等腰梯形，且两等腰梯形全等，易得等腰梯形的高为.
∴S梯形ABFE＝S梯形CDEF＝×(2＋4)×＝3.
又∵S△BCF＝S△ADE＝×22＝，
S矩形ABCD＝4×2＝8，
∴几何体的表面积S＝3×2＋×2＋8＝8＋8.
故选B.
答案：B
