6.3 球的表面积和体积
[教材要点]
要点一 球的截面
1．球的截面形状
(1)球面被经过________的平面截得的圆称为球的大圆．
(2)球面被不经过________的平面截得的圆称为球的小圆．
2．球的截面性质
(1)球心和截面圆心的连线________于截面．
(2)球心到截面的距离d，球的半径R及截面的半径r之间满足关系式________．
(1)解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的一个大圆来处理问题．
(2)大圆半径等于球的半径R，大圆面积S＝πR2，是球的表面积的.
(3)利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
要点二 球的切线
当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点的所有切线长都________．
要点三 球的体积和表面积公式
V球＝________，S球面＝________.
两个结论
(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用一个平面去截球所得截面都是圆．( )
(2)正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等．( )
(3)正方体的外接球的直径与正方体的棱长相等．( )
(4)球面展开一定是平面的圆面．( )
2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是( )
A．3:2 B．2:3
C．1:2
D．1:1
3．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________cm.
题型一 球的表面积和体积——自主完成
1．球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π C. D.
2．一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为( )
A.
B.
C.
D.
3．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的( )
A．2倍
B．2倍
C.倍
D．3倍
方法归纳
计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式V球＝πR3中系数的特征及半径的立方．
题型二 球的表面积和体积的应用——师生共研
例1 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？
设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．
方法归纳
(1)画出截面图是解答本题的关键．
(2)球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．
跟踪训练1 圆柱形容器的内壁底面半径为5
cm，两个直径为5
cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
题型三 球的切、接问题——微点探究
微点1 球与正方体、长方体的切、接问题
例2 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
方法归纳
若一个长方体从同一顶点起的三条棱长度分别为a，b，c，则该长方体的体对角线就是其外接球的直径，即2R＝.
微点2 球与四面体的切、接问题
例3 已知三棱锥P
?
ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P
?
ABC的内切球的表面积为________．
方法归纳
对于正四面体，有以下结论：
(1)正四面体的外接球与内切球的球心重合；
(2)棱长为a的正四面体的高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a.
微点3 球与圆锥(圆柱)的切、接问题
例4 一个圆柱形容器，它的底面直径为2r，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，则将球从容器内取出后，容器内水面的高是________．
方法归纳
1．要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如，几何体的中心或长方体体对角线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．
跟踪训练2 (1)在例3条件下，则三棱锥P
?
ABC的外接球的体积为________．
(2)如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为________．
易错辨析 对球的“切、接”的结构特点认识模糊致错
例5 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B.πa2
C.πa2
D．5πa2
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，如图．
设O1，O分别为上，下底面的中心，且球心O2为OO1的中点，连接AO交BC于D点，球半径为R.
∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，
∴R2＝AO＝a2＋a2＝a2.
∴S球＝4πR2＝4π×a2＝πa2.故选B.
答案：B
易错警示
易错原因
纠错心得
球心所在的截面位置判断错误，对多面体及外接球的几何特点理解模糊，基本量之间的关系不清.
解决此类问题要确定球心的位置及其所在的截面，在截面中寻找球半径与多面体基本量的关系.
温馨提示：请完成课时作业49
章末质量检测(五)
模块质量检测
6．3 球的表面积和体积
新知初探·课前预习
要点一
1．(1)球心 (2)球心
2．(1)垂直 (2)d＝
要点二
相等
要点三
πR3 4πR2
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：设球的半径为R，则球的表面积S表＝4πR2，圆柱的侧面积S侧＝2πR×2R＝4πR2，所以S表:S侧＝1:1.故选D.
答案：D
3．解析：由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝15(cm)，则球心到截面的距离d＝＝20(cm)．
答案：20
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.
故球的表面积S表＝4πR2＝16π.
答案：B
2．解析：设球的半径为r，S表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝.
答案：C
3．解析：设改变前、后球的半径分别是r、r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝r，V′＝＝2×＝2
V.
答案：B
题型二
例1 解析：设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，
如图所示．
∵AC＝r，PC＝3r，
∴以AB为底面直径的圆锥的容积为
V圆锥＝πAC2·PC
＝π(r)2·3r＝3πr3，V球＝πr3.
球取出后水面下降到EF，水的体积为
V水＝πEH2·PH
＝π(PH·tan
30°)2·PH＝πx3.
而V水＝V圆锥－V球，
即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝
r.
故球取出后水面的高为
r.
跟踪训练1 解析：设取出小球后，容器中水面下降h
cm，两个小球的体积为V球＝2×π×3＝，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，所以h＝(cm)，
即若取出这两个小球，则容器的水面将下降
cm.
题型三
例2 解析：(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长2，则球的半径R＝1.
∴V球＝πR3＝.
答案：
A
解析：(2)长方体外接球如图，长方体的体对角面是矩形，该矩形的对角线就是球的直径，此对角线也是长方体的体对角线，长方体的体对角线长为＝，设球的半径为R，则有
2R＝，所以R＝，
S球＝4πR2＝4π×2＝14π.
答案：
(2)14π
例3 解析：由题意，设三棱锥P
?
ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P
?
ABC＝V三棱锥O
?
PAB＋V三棱锥O
?
PAC＋V三棱锥O
?
PBC＋V三棱锥O
?
ABC，即××2×1×1＝××2×1×r×2＋××1×1×r＋×××
×r，解得r＝.
故内切球的表面积为4πr2＝.
答案：
例4 解析：设取出球后水面的高为x，则πr2×2r－πr3＝πr2×x，解得x＝r.故将球从容器内取出后，容器内水面的高是r.
答案：r
跟踪训练2 解析：(1)在三棱锥P
?
ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则以PA，PB，PC为邻边作一长方体，所以三棱锥P
?
ABC的外接球即该长方体的外接球，所以球的半径为r＝＝.
∴V球＝×π×3＝π.
(2)设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
∵V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
∴V球?V圆柱＝πR3?2πR3＝.
答案：(1)π (2)2?3课时作业49 球的表面积和体积
[练基础]
1．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )
A．2:1
B．2:3
C．2:π
D．2:5
2．一平面截一球得到直径为2
cm的圆面，球心到这个平面的距离是2
cm，则该球的体积是( )
A．12π
cm3
B．36π
cm3
C．64
π
cm3
D．108π
cm3
3．已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上．若球的体积为π，则该长方体的体积为( )
A.
B.
C.
D．14
4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
5．圆柱形玻璃容器内盛有高度为12
cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_______cm.
6．如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)
[提能力]
7．[多选题]如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2
8．已知三棱锥P
?
ABC的所有棱长都相等且长度为1，则三棱锥P
?
ABC的内切球的表面积为________．
9．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
[战疑难]
10．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
课时作业49 球的表面积和体积
1．解析：设半球的半径为r，圆锥的高为h，则πr2h＝πr3×，所以h＝2r，故选A.
答案：A
2．解析：
设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示，
在Rt△OO1A中，O1A＝
cm，OO1＝2
cm，
∴球的半径R＝OA＝
＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
答案：B
3．解析：设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝2.因为长方体的体对角线的长为球的直径，所以长方体的体对角线长为4.设长方体的高为x，则＝4，解得x＝，所以该长方体的体积为1×1×＝.故选B.
答案：B
4．解析：设正四棱柱底面边长为a，则S底＝a2，
∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a＝2.
又正四棱柱内接于球，设球半径为R，
则(2R)2＝22＋22＋42＝24，
∴R＝，
∴球的表面积为4πR2＝24π.故选C.
答案：C
5．解析：设球半径为r
cm，则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半径是6
cm.
答案：6
6．解析：过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得
∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R.
AO1＝AC·sin
60°＝R，
BO1＝AB－AO1＝，∴V球＝πR3.
V圆锥AO1＝·π·2·R＝πR3，
V圆锥BO1＝·π·2·R＝πR3，
V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1＝πR3－πR3－πR3＝πR3.
7．解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，∴A错误；圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，∴B错误；球面面积为4πR2，∵圆柱的侧面积为4πR2，∴C正确；∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，∴V圆柱?V圆锥?V球＝2πR3?πR3?πR3＝3?1?2，∴D正确．故选CD.
答案：CD
8．解析：因为棱长为1的正四面体的底面积S＝，高h＝，所以V＝Sh＝.设内切球的半径为r，则球心到各个底面的距离都为r，且球心与各个底面构成的三棱锥的体积都是V′＝Sr，所以V＝4V′，即＝4×Sr，从而r＝.故内切球的表面积为4πr2＝.
答案：
9.
解析：如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，
底面半径为R，
由tan∠OBO1＝
得：OB＝＝R.
∴SO＝OB×tan
60°＝R·＝3R
∴V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，
V锥＝π·(R)2·3R＝3πR3，
∴V球?V柱?V锥＝4?6?9.
10．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，
∴R＝9，∴SE＝2R＝18.
∵SD＝16，∴ED＝2.
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12.
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4.
∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π.
(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(12＋4)＝32，
∴r×32＝×8×16，解得r＝4.
故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π.(共30张PPT)
6.3 球的表面积和体积
4☆
O
A2
