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5.2 余弦函数的图象与性质再认识5.2 余弦函数的图象与性质再认识
[教材要点]
要点一 余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象．
要点二 余弦函数y＝cos
x，x∈R的性质．
函数性质
y＝cos
x
定义域
________
值域
________
奇偶性
________函数
单调性
当x∈____________________时，函数是递增的；当x∈____________________时，函数是递减的
周期性
最小正周期是________
最值
当______________时，y的最大值为1；当______________时，y的最小值为－1
对称轴
x＝________
对称中心
______________
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)余弦函数y＝cos
x，(x∈R)的图象与x轴有无数个交点．( )
(2)因为y＝cos
x，x∈R是偶函数，所以y＝cos
x＋5与y＝cos(x＋5)均是偶函数．( )
(3)函数y1＝|sin
x|与y2＝|cos
x|，x∈R的周期均为2π.( )
(4)余弦函数在第一象限内是减少的．( )
2．函数y＝cos
x－2在x∈[－π，π]上的图象是( )
3．函数y＝cos的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
4．函数y＝－cos
x的图象可由y＝sin
x的图象向________平移________个单位得到．
题型一 用五点法作余弦函数的图象——师生共研
例1 画函数y＝2cos
x＋3，x∈[0,2π]的简图．
方法归纳
作形如y＝acos
x＋b，x∈[0,2π]的图象的步骤
跟踪训练1 作出函数y＝－cos
x＋1，x∈[0,2π]的简图．
题型二 根据余弦函数的图象求角——师生共研
例2 求不等式cos
x<－的角x的集合．
方法归纳
用余弦函数的图象求角的范围时，首先可以作出y＝cos
x在一个周期内的图象，然后找出适合条件的角的范围，最后依据周期性，写出所有满足条件的角的范围．
跟踪训练2 函数y＝的定义域为________________________________________________________________________．
题型三 余弦函数的基本性质——微点探究
微点1 奇偶性
例3 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝xcos
x；
(2)f(x)＝sincos.
方法归纳
(1)判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
(2)判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时，要注意两个方面，一是函数的定义域是否关于原点对称；二是注意三角函数诱导公式的合理利用．
微点2 单调性——比较大小
例4 [多选题]下列比较大小正确的是( )
A．cosC．cosD．cos>cos
方法归纳
利用余弦函数的单调性比较大小，注意函数名称要相同，并且比较的角都在同一单调区间内．
微点3 值域与最值
例5 求下列函数的值域：
(1)y＝－2cos
x－1；
(2)y＝；
(3)y＝cos2x－3cos
x＋2.
(1)利用余弦函数y＝cos
x的有界性，即－1≤cos
x≤1来解决；
(2)利用反解法解决；
(3)利用换元及配方法解决．
方法归纳
与余弦函数有关的值域的求法
(1)直接法：①利用y＝cos
x的有界性；②已知x的范围，求y＝cos
x的值域．
(2)反解法：也是利用有界性，但是要把函数反解成cos
x＝g(y)的形式，再用－1≤g(y)≤1，解得y的取值范围．
(3)换元法：令t＝cos
x，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等．
跟踪训练3 (1)若f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则φ可以是( )
A.
B.
C．π
D．2π
(2)cos
110°，sin
10°，－cos
50°的大小关系是________．
(3)求使函数y＝
取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值．
5．2 余弦函数的图象与性质再认识
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
左 (0,1) (π，－1) (2π，1)
要点二
R [－1,1] 偶 [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2π x＝2kπ(k∈Z) x＝2kπ＋π(k∈Z) kπ(k∈Z) (k∈Z)
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：把y＝cos
x，x∈[－π，π]的图象向下平移2个单位长度即可．
答案：A
3．解析：因为y＝cos＝sin
x，所以该函数是奇函数．故选A.
答案：A
4．解析：y＝－cos
x＝－sin＝sin，因此，只需将y＝sin
x的图象向右平移个单位，得到y＝－cos
x的图象．
答案：右
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)列表：
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝2cos
x＋3
5
3
1
3
5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0,5)，，(π，1)，，(2π，5)五个点．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示．
跟踪训练1 解析：(1)列表：
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝－cos
x＋1
0
1
2
1
0
(2)描点：在坐标系中描出点(0,0)，，(π，2)，，(2π，0)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来(如图所示)．
题型二
例2 解析：作出函数y＝cos
x在[0,2π]上的图象(如图所示)．
因为cos＝cos＝－，所以当x<－.
因为y＝cos
x的最小正周期为2π，
所以适合cos
x<－的角x的集合为
.
跟踪训练2 解析：由cos
x－1≥0，得cos
x≥.
由函数y＝cos
x的图象知
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z
所以函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
题型三
例3 解析：(1)定义域为R，且f(－x)＝－x·cos(－x)＝－xcos
x＝－f(x)，因此f(x)是奇函数．
(2)定义域为R，且f(－x)＝sincos＝－sincos＝－f(x)，因此f(x)是奇函数．
例4 解析：A中，cos＝cos，∵函数y＝cos
x在上单调递减，<，∴cos>cos，A错误；B中，cos＝cos，cos＝cos，且0<<<π，又y＝cos
x在[0，π]上单调递减，∴cos>cos，即cosx在上单调递减，∴cos>cos，即cos>cos，C错误；D中，cos＝cos＝cos，cos＝cos，且0<<<π，又函数y＝cos
x在[0，π]上单调递减，所以cos>cos，即cos>cos，D正确．故选B、D.
答案：BD
例5 解析：(1)∵－1≤cos
x≤1，∴－2≤－2cos
x≤2，
∴－3≤－2cos
x－1≤1.
∴函数y＝－2cos
x－1的值域为[－3,1]．
(2)由y＝可得(1－2y)cos
x＝y，cos
x＝，
∵|cos
x|≤1，∴cos2x≤1，
∴≤1，即3y2－4y＋1≥0，∴y≤或y≥1.
∴函数y＝的值域为∪[1，＋∞)．
(3)令t＝cos
x，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．
∴原函数可化为y＝t2－3t＋2＝2－，
易知该二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线t＝.
∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间，
∴t＝－1时，ymax＝6，t＝1时，ymin＝0，
∴函数y＝cos2x－3cos
x＋2的值域为[0,6]．
跟踪训练3 解析：(1)当φ＝时，f(x)＝sin＝cos
x是偶函数，故选B.
(2)sin
10°＝cos
80°，－cos
50°＝cos(180°－50°)＝cos
130°.
且0°<80°<110°<130°<180°
又y＝cos
x在[0°，180°]上单调递减
∴cos
80°>cos
110°>cos
130°
即sin
10°>cos
110°>－cos
50°.
(3)因为－1≤cos
x≤1，所以当cos
x＝－1时，y取得最大值，此时x＝2kπ＋π(k∈Z)；当cos
x＝1时，y取得最小值为，此时x＝2kπ(k∈Z)，即函数取得最大值、最小值的自变量x的集合分别是{x|x＝2kπ＋π，k∈π，k∈Z}，最大值和最小值分别是和.
答案：(1)B (2)sin
10°>cos
110°>－cos
50° (3)见解析课时作业9 余弦函数的图象与性质再认识
[练基础]
1．函数y＝－3cos
x的一条对称轴方程是( )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝－π
2．[多选题]对于函数y＝sin，x∈R，下列说法错误的是( )
A．值域是[－1,0]
B．是奇函数
C．最小正周期是2π
D．在[0，π]上是减少的
3．函数y＝－3cos
x＋2的值域为( )
A．[－1,5]
B．[－5,1]
C．[－1,1]
D．[－3,1]
4．函数y＝|cos
x|的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
5．函数y＝的定义域是________．
6．求函数y＝cos2x＋2cos
x－2，x∈的值域．
[提能力]
7．[多选题]下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A．y＝sin＋1
B．y＝cos
C．y＝cos
D．y＝xcos
2x
8．已知cos
x＝有实根，则m的取值范围为________________________________________________________________________．
9．已知函数y＝cos
x＋|cos
x|.
(1)画出函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
[战疑难]
10．已知函数f(x)＝cos
x，x∈，若函数f(x)＝m有三个从小到大不同的实数根α，β，γ，且β2＝αγ，则实数m的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
课时作业9 余弦函数的图象与性质再认识
1．解析：因为函数y＝cos
x的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，而y＝－3cos
x的对称轴方程也为x＝kπ(k∈Z)．故选D.
答案：D
2．解析：因为y＝sin＝－cos
x，所以函数的值域是[－1,1]，是偶函数；最小正周期是2π；在[0，π]上是增加的．故选ABD.
答案：ABD
3．解析：∵－1≤cos
x≤1，∴－1≤－3cos
x＋2≤5，即值域为[－1,5]．
答案：A
4．解析：作出函数y＝|cos
x|的图象(图略)，由图象可知A、B都不是单调区间，D为单调递增区间，C为单调递减区间，故选C.
答案：C
5．解析：由2cos
x－≥0得cos
x≥，作出y＝cos
x在[－π，π]上的图象(图略)，因为cos＝cos＝，所以－≤x≤时，cos
x≥.故函数的定义域为：(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．解析：令t＝cos
x.
∵x∈，∴－≤t≤1，
∴原函数可化为y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.
∵－≤t≤1，
∴当t＝－时，ymin＝2－3＝－；
当t＝1时，ymax＝1.
∴原函数的值域是.
7．解析：由y＝sin＋1＝cos
2x＋1知，y＝sin＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；由y＝cos＝－sin
2x知，y＝cos为奇函数，故B不满足条件；由y＝cos(2x＋π)＝－cos
2x，故C满足条件；由y＝xcos
2x是奇函数，故D不满足条件．
答案：AC
8．解析：∵－1≤cos
x≤1，∴－1≤≤1，且2m＋3≠0，解得m≥－或m≤－4.
答案：(－∞，－4]∪
9．解析：(1)y＝cos
x＋|cos
x|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
10．解析：方程f(x)＝m有三个不同的实数根，则m∈(－1,0)，
由题意知三个根分别为α，β，γ，且α<β<γ，则<α<β<，<γ<3π，且α＋β＝2π，β＋γ＝4π，
又β2＝αγ，
∴β2＝(2π－β)(4π－β)，
解得β＝，
则m＝f＝cos＝－，故选A.
答案：A
