(共27张PPT)
7.3 正切函数的图象与性质
2
53O|T3m丌5m
4-4z4
27.3 正切函数的图象与性质
[教材要点]
要点 函数y＝tan
x的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
________________
值域
________________
周期
________________
奇偶性
________________
单调性
在开区间________________________上都是增函数
如何作正切函数的图象
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法
“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝.
在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右平移(每次平移π个单位长度)即可得到正切曲线．
[教材答疑]
1．[教材P61思考交流]
函数y＝tan(x＋)的图象如图：
周期：T＝π
定义域为：{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}
单调增区间是，k∈Z.
2．[教材P62思考交流]
函数y＝tan
ωx(ω>0)的周期为T＝.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数在整个定义域内是增函数．( )
(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )
(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( )
(4)函数y＝tan
x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tan
x．( )
2．已知函数f(x)＝tan，则函数f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
3．函数y＝tan
x的值域是( )
A．[－1,1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
4．比较大小：tan
135°________tan
138°.(填“＞”或“＜”)
题型一 正切函数的图象及应用——自主完成
1．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
2．不等式tan
x≥－1的解集为________．
3．函数y＝tan
x的相邻两个周期的图象与直线y＝2及y＝－2围成的图形的面积是________．
方法归纳
解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan
x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π.
题型二 正切函数的单调性问题——微点探究
微点1 求函数的单调区间
例1 求函数y＝tan的单调区间．
方法归纳
求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)
的单调区间的方法
①若ω>0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ
②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
微点2 比较大小
例2 比较tan
1.5，tan
2.5，tan
3.5的大小．
方法归纳
运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
跟踪训练1 (1)已知a＝tan
1，b＝tan
2，c＝tan
3，则( )
A．aB．cC．bD．b(2)函数y＝tan的单调区间为________．
题型三 正切函数图象与性质的综合应用——师生共研
例3 已知函数f(x)＝2tan.
(1)求f(x)的最小正周期、定义域；
(2)若f(x)≥2，求x的取值范围．
方法归纳
解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
跟踪训练2 设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
7．3 正切函数的图象与性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
R π 奇函数
，k∈Z
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：解法一 函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.
解法二 由诱导公式可得tan
＝tan＝tan，
所以f＝f(x)，所以周期为T＝.
答案：B
3．解析：函数y＝tan
x在上是增加的，且tan＝－1，tan＝1，故选A.
答案：A
4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan
x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan
135°＜tan
138°.
答案：＜
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：当x＝时，tan＝0，故排除C，D；当x＝时，tan＝tan，无意义，故排除B.故选A.
答案：A
2．解析：作出y＝tan
x一个周期的图象，如图所示，
令y＝－1，得x＝－，所以在中满足不等式tan
x≥－1的x的取值范围为.
由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
3．解析：由题意，画出图象如图所示，
根据正切函数图象的对称性可知，y＝tan
x的相邻两个周期的图象与直线y＝2及y＝－2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积，为4π.
答案：4π
题型二
例1 解析：y＝tan＝－tan.
由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－＋所以函数y＝tan的单调递减区间为(k∈Z)．
例2 解析：tan
2.5＝tan(2.5－π)，tan
3.5＝tan
(3.5－π)，又－<2.5－π<3.5－π<1.5<，y＝tan
x在上是增函数．故tan(2.5－π)1.5，即tan
2.53.51.5.
跟踪训练1 解析：(1)a＝tan
1>0，b＝tan
2＝－tan(π－2)<0，c＝tan
3＝－tan(π－3)<0，∵>π－2>π－3>0，且y＝tan
x在上单调递增，∴tan(π－2)>tan(π－3)>0，∴－tan(π－2)<
－tan(π－3)<0，故a>0>c>b.
答案：(1)C
解析：(2)y＝tan＝－tan，由kπ－答案：
(2)，k∈Z
题型三
例3 解析：(1)对于函数f(x)＝2tan，它的最小正周期为＝2π，由－≠kπ＋，求得x≠2kπ＋，故它的定义域为.
(2)f(x)≥2，即tan≥1，故＋kπ≤－跟踪训练2 解析：(1)由－≠＋kπ(k∈Z)．得x≠＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的定义域是.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是，k∈Z.
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.课时作业12 正切函数的图象与性质
[练基础]
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
2．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
3．函数y＝的值域是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
4．函数f(x)＝tan的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
5．函数y＝tan的最小正周期为________，图象的对称中心为________．
6．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
[提能力]
7．[多选题]已知函数f(x)＝tan，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在定义域内是增函数
B．f(x)的最小正周期是
C．f(x)的图象对称中心是，k∈Z
D．f(x)图象的对称轴是x＝＋，k∈Z
8．已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若a＝tan
2，b＝tan
3，c＝tan
5，则下列不等关系正确的是( )
A．f(c)>f(b)>f(a)
B．f(c)>f(a)>f(b)
C．f(b)>f(a)>f(c)
D．f(b)>f(c)>f(a)
9．画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．
[战疑难]
10．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
课时作业12 正切函数的图象与性质
1．解析：方法一 函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
方法二 由诱导公式可得tan＝
tan＝tan，
所以f＝f(x)，所以周期T＝.
答案：A
2．解析：当xx，y＝2tan
x<0；
当x＝π时，x＝0；
当πx>sin
x，y＝2sin
x.
结合选项知D中的图象符合，故选D.
答案：D
3．解析：∵－x<1，∴∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
答案：B
4．解析：f(x)＝－tan，令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，解得kπ－＜x＜kπ＋π，k∈Z.故选B.
答案：B
5．解析：最小正周期T＝；
由＝2x－(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)．
∴对称中心为(k∈Z)．
答案： (k∈Z)
6．解析：由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
，T＝＝2π，
所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ＜x－＜＋kπ，k∈Z，
得－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．
7．解析：A错，∵f(x)＝tan的定义域是，k∈Z，在定义域内的每一个区间上是单调增函数，整个定义域上没有单调性(用到逻辑推理)；B正确，函数f(x)＝tan的最小正周期为T＝；C正确，令2x＋＝，k∈Z，由数学运算解得x＝－＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心是，k∈Z；D错，正切函数的图象不是轴对称图象，f(x)＝tan的图象没有对称轴．故选B、C.
答案：BC
8．解析：偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，a＝tan
2，b＝tan
3，c＝tan
5，则f(a)＝f(tan
2)＝f(tan(－2))＝f(tan(π－2))；
f(b)＝f(tan
3)＝f(tan(－3))＝f(tan(π－3))；
f(c)＝f(tan
5)＝f(tan(－5))＝f(tan(2π－5))；
易知：0<π－3<π－2<2π－5<，
故0故f(b)>f(a)>f(c)．
答案：C
9．解析：由函数y＝|tan
x|得
y＝
根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数．
函数y＝|tan
x|的单调增区间为，k∈Z，单调减区间为，k∈Z.
10．解析：y＝tan＝tan，
∵y＝tan
x在区间(k∈Z)上为增函数，∴a<0.
又x∈，∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．
由－－＝6－8k得k＝1，
此时－2≤a≤－2，∴a＝－2<0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．