课时作业13 三角函数的简单应用
[练基础]
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin
100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A.
B．50
C.
D．100
2．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．
x
1
2
y
10
000
9
500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A．10
000元 B．9
500元
C．9
000元
D．8
500元
3．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2
s
B．1
s
C.
s
D.
s
4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
5．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________.
6．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin
(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[提能力]
7．[多选题]如图，摩天轮的半径为40
m，其中心O点距离地面的高度为50
m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20
min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A．经过10
min点P距离地面10
m
B．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的倍
C．第17
min和第43
min时P点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70
m的时间为min
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有两个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80
mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
[战疑难]
10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如表所示：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排恰当的训练时间．
课时作业13 三角函数的简单应用
1．解析：T＝＝.
答案：A
2．解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10
000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9
500＝9
500，即
所以易得3ω＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又当x＝3时，y＝500sin(3ω＋φ)＋9
500，所以y＝9
000.
答案：C
3．解析：由题意，知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为
s.
答案：C
4．解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
答案：80
5．解析：根据图象，知，两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝.
所以T＝1，则ω＝＝2π.
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
答案：
6．解析：(1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝
s时第一次取得最大值．
7．解析：由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设出时间为t，由题意：
P(t，h－50)，A＝40，T＝20可得ω＝＝，
故点P离地面的高度h＝40sin＋50，
即t时刻点P离地面的高度h＝40sin＋50，化简得h＝40cost＋50；
当t＝10
min时，h＝10，故A正确；
若摩天轮转速减半，T＝40，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第17
min
P点距离地面的高度为h(17)＝40cos＋50＝40cos＋50，
第43
min
P点距离地面的高度为h(43)＝40cos＋50＝40cos＋50，
第17
min和第43
min时P点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70
m，即
40
cost＋50≥70，
即cos≥，∵0≤t≤20，得0≤≤2π，∴0≤≤或≤≤2π，
解得0≤t≤或≤t≤20，共
min，故D正确．
故选A、C、D.
答案：ACD
8．解析：由T＝＝4可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x≤1时，函数单调递减；1答案：7
9．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，
所以函数P(t)的周期为min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
t/min
0
P(t)/mmHg
115
140
115
90
115
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80
mmHg相比较，此人血压偏高．
10．解析：(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
不妨令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－，
所以－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．§8 三角函数的简单应用
最新课标
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
[教材要点]
要点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义
要点二 三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是________________，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
要点三 三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“________”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
解答三角函数应用题应注意四点
(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．( )
(2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型．( )
(3)函数y＝|cos
x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．( )
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos.
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2
B．s1C．s1＝s2
D．不能确定
4．简谐振动y＝sin的频率和相位分别是________．
题型一 三角函数模型在物理中的应用——师生共研
例1 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？
方法归纳
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1 已知简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sin，其图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别是多少？
题型二 建立三角函数模型——师生共研
例2 某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
B．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
C．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
D．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
方法归纳
整理数据，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．
跟踪训练2 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
题型三 利用数据建立拟合函数模型——师生共研
例3 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据．
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin
ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式．
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝Asinωt＋b.
方法归纳
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
温馨提示：请完成课时作业13
章末质量检测(一)
§8 三角函数的简单应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
A ωx＋φ φ
要点二
建立数学模型
要点三
散点图
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
答案：C
3．解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.
答案：C
4．解析：简谐振动y＝sin的周期是T＝＝，相位是4x＋，频率f＝＝.
答案：，4x＋
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)由题意知，A＝300.
T＝－＝，∴ω＝＝100π.
∵是该函数图象的第一个零点，∴－＝－.
∴φ＝＝，符合|φ|<，
∴I＝300sin(t≥0)．
(2)问题等价于T≤，即≤，
∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.
跟踪训练1 解析：∵该简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sin，∴最小正周期T＝＝8.
又函数的图象过点(0,1)，
∴将点(0,1)代入函数解析式，得2sin
φ＝1，即sin
φ＝.
又|φ|<，∴φ＝.
题型二
例2 解析：根据题意，得T＝2×(7－3)＝8，则ω＝＝.由得∴f(x)＝2sin＋5.当x＝3时，2sin＋5＝7，得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)．
答案：D
跟踪训练2 解析：设y＝sin(ωt＋φ)，由题意可得，sin
φ＝，∴函数的初相是φ＝，排除B、D.又∵函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，∴T＝＝60，ω<0，解得|ω|＝，∴ω＝－，故选C项．
答案：C
题型三
例3 解析：(1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.(0≤t≤24)
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，∴sint≥.①
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.②
由①②得≤t≤或≤t≤.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．
跟踪训练3 解析：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A＝，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，
所以y＝cost＋1>1，cost>0,2kπ－又0≤t≤24.所以0≤t<3或9§8 三角函数的简单应用
31
22
P(x,)
