课时作业14 位移、速度、力与向量的概念 向量的基本关系
[练基础]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3
B．2
C．1
D．0
2．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
5.
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
6．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
(3)写出向量与的夹角．
[提能力]
7．[多选题]给出下列条件，能使a∥b成立的是( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
8．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点．设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
9．如图，在△ABC中，已知向量＝，＝，求证：＝.
[战疑难]
10．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1
m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1
m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1
m……按此方法继续操作下去．
(1)作图说明当α＝45
°时，最少转向几次可使赛车的位移为零？
(2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的情况．
课时作业14 位移、速度、力与向量的概念
向量的基本关系1.解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
答案：D
2．解析：由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠.与的模相等且方向相同，∴＝.
答案：D
3．解析：由＝，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
答案：C
4．解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
5．解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，.
答案：，
6.
解析：(1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，
故与共线，即AB∥CD.
又||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝200(千米)．
(3)向量与的夹角等于与的夹角130°.
7．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：ACD
8．解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余4个向量各不相等，即为()，()，()，()，()，()，()，()，，，，，由集合中元素的互异性知T中有12个元素．
答案：12
9．证明：由＝，可得DF＝EC且DF∥EC，
故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC.
∵＝，∴D为AB的中点．
∴＝，∴＝.
10．解析：记出发点为A.
(1)当α＝45
°时，如图(1)，赛车行进路线构成一个正八边形，
赛车所行路程是8
m，最少转向7次可使赛车的位移为零．
(2)当α＝120
°时，如图(2)，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行路程为3
m，转向2次可使赛车回到出发点；
当α＝90°时，如图(3)，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为4
m，转向3次可使赛车回到出发点；
当α＝60°时，如图(4)，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6
m，转向5次可使赛车回到出发点．(共37张PPT)
§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1．2 向量的基本关系
C
B
D
A
O
C
B§1 从位移、速度、力到向量
最新课标
(1)通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
(2)理解平面向量的几何表示和基本要素.
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1．2 向量的基本关系
[教材要点]
要点一 向量的相关概念
向量的概念
在数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量．
有向线段
具有________和________的线段称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段记作________，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作________．
向量的模
向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模．
零向量
长度为____的向量称为零向量，记作0.
单位向量
模等于____个单位长度的向量，称为单位向量．
共线向量
两个非零向量a，b的方向________或________称这两个向量为共线向量或平行向量，记作a∥b规定：零向量与________向量共线．
相等向量
长度相等且方向________的向量称为相等向量．
相反向量
若两个向量的长度________、方向________，则称它们互为相反向量.
共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
要点二 向量的表示
1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，________的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑体a，书写用________．
1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
3．向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
4．向量与数量的区别
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有||>||也不能说>，特殊地，若向量与是相等向量，记作＝；
(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但是向量，而0是数量．
要点三 向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，(如图)．
则θ＝∠AOB(____≤θ≤____)称为向量a与b的夹角．
当θ＝____时，a与b同向；
当θ＝____时，a与b反向；
当θ＝____时，a与b垂直，记作________．
规定：零向量可与任一向量垂直．
两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
[教材答疑]
[教材P74思考交流]
位移、速度、力都是有大小和方向的物理量．再如加速度、动量等．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．( )
(2)如果两个向量共线，那么它们的方向相同．( )
(3)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同．( )
(4)任意两个单位向量都相等．( )
(5)相等向量一定是共线向量．( )
(6)若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点．( )
2.
如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
3．下列说法正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量
B．零向量的长度为0
C．任意两个单位向量的方向相同
D．同向的两个向量可以比较大小
4.
如图，以1
cm×3
cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．
题型一 向量的相关概念——自主完成
1．下列说法正确的是( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量与向量是两个平行向量
D．单位向量都相等
2．下列五个命题：
①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；
②向量a≠b，则a与b的方向必不相同；
③|a|>|b|，则a>b；
④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线；
⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量．
其中正确的有( )
A．①⑤ B．④ C．⑤ D．②④
与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质．向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．
题型二 向量的几何表示——师生共研
例1 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练1 中国象棋中规定：马走“日”字．如图是中国象棋的部分棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”．试在图中画出向量，表示马在B，C处各走“一步”的所有情况．
题型三 相等向量、共线向量与向量的夹角——师生共研
例2 [多选题]如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，则下列判断正确的是( )
A.＝
B.∥
C．||＝||
D.＝
方法归纳
(1)寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量．
跟踪训练2 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点构成向量．
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
(3)写出与的夹角．
易错辨析 忽视零向量出错
例3 已知向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a与c一定平行吗？
解析：分两种情况说明：
①当向量b＝0，向量a与向量c均为非零向量时，不能保证a∥c.
②当向量b≠0时，因为a∥b，所以向量a与向量b具有相同或相反方向．又因为b∥c，所以向量c与向量b具有相同或相反方向，所以向量a与向量c具有相同或相反方向，故a∥c.
综上所述，当向量b≠0时，向量a与c平行；当向量b＝0时，向量a与c不一定平行．
易错警示
易错原因
纠错心得
忽视零向量，误认为a，b，c都是非零向量，则由a∥b，b∥c，得b∥c
求解向量问题时，要注意题目中的向量能否为零向量．零向量是特殊的向量，方向是任意的．所有的零向量都相等．零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来.
第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
1．1 位移、速度、力与向量的概念
1．2 向量的基本关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
方向 长度 || 0 1 相同 相反 任一 相同 相等 相反
要点二
1．有向线段
2.
要点三
0° 180° 0° 180° 90° a⊥b
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．解析：易知＝.
答案：B
3．解析：零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；长度有大小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误．
答案：B
4．解析：由图可知，以A为始点的向量有、、、、、、，共有7个．
答案：7
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故A项错误．
由于零向量与任一向量平行，因此，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误．
由于向量与向量方向相反，所以二者是平行向量．故C项正确．
单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D项错误．
答案：C
2．解析：温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错；a≠b，但a与b的方向可以相同，②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，④错；作图易得⑤正确．故选C.
答案：C
题型二
例1 解析：(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
跟踪训练1 解析：根据规则，画出符合要求的所有向量．
马在B处走了“一步”的所有情况如图(1)所示；
马在C处走了“一步”的所有情况如图(2)所示．
题型三
例2 解析：由题图可知，A、B、C正确；||＝||，但，不共线，故≠，D错误．故选A、B、C.
答案：ABC
跟踪训练2 解析：(1)由菱形的性质可知，与平行的向量有，，.
(2)由菱形的性质及∠DAB＝60°可知，与的模相等的向量有，，，，，，，，.
(3)由菱形的性质及∠DAB＝60°可知，与的夹角等于120°.如图．
