(共29张PPT)
2.1 向量的加法
C
B
D
B
C
实际
船
A
水
B课时作业15 向量的加法
[练基础]
1．已知向量a表示“向东航行1
km”，向量b表示“向南航行1
km”，则a＋b表示( )
A．向东南航行
km
B．向东南航行2
km
C．向东北航行
km
D．向东北航行2
km
2．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，则＋＝( )
A.
B.
C.
D.
4．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1
B．2
C.
D.
5．已知||＝3，||＝3，∠AOB＝90°，则|＋|＝________.
6．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
[提能力]
7．[多选题]设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量．则下列结论中正确的是( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．|a＋b|＝|a|－|b|
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
8．小船以10
km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10
km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
9．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
[战疑难]
10．若||＝10，||＝8，则||的取值范围是________．
课时作业15 向量的加法
1．答案：A
2．解析：由加法的平行四边形法则可知＋＝，即(－)＋＝，所以＋＝.故选C.
答案：C
3．解析：∵＝，∴＋＝＋＝＝.故选A.
答案：A
4．解析：＝，
∴＋＋＝＋＋＝，∵AB＝1，∴|＋＋|＝||＝2.故选B.
答案：B
5．解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，
由∠AOB＝90°，||＝||＝3，
所以该四边形为正方形，则|＋|＝＝3.
答案：3
6．解析：(1)由图知，四边形OABC为平行四边形，∴＋＝.
(2)由图知＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
(3)∵＝，
∴＋＝＋＝0.
7．解析：∵a＝＋＋＋＝0，∴a∥b，a＋b≠a，|a＋b|≠|a|－|b|，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选AD.
答案：AD
8．解析：如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10
km/h.河水的流速为|v2|＝10
km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20
km/h，即小船实际航行速度的大小为20
km/h.
答案：20
9．证明：由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何知识可知：＝，＝.
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.
10．解析：如图，固定AB，以A为起点作，则的终点C在以A为圆心，||为半径的圆上，由图可见，当C在C1处时，||取最小值2，当C在C2处时，||取最大值18.
答案：[2,18](共28张PPT)
2．2 向量的减法
d
D
Aa
bb/b
B
C§2 从位移的合成到向量的加减法
最新课标
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
2.1 向量的加法
[教材要点]
要点一 向量的加法
定义
求两个向量和的运算，称为向量的加法
向量加法的三角形法则
前提
已知两个______的向量a，b，在平面内任取一点A.
作法
作＝a，＝b，连接AC
结论
有向线段表示的向量即为a与b的和，记作________，即a＋b＝＋＝________.
图形
向量加法的平行四边形法则
前提
已知两个________的向量a，b，在平面内任取一点O.
作法
作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作?OACB.
结论
以O为起点的向量就是向量a与b的和，即＝________.
图形
规定
对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a
1.在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
2．三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则适用条件
三角形法则
平行四边形法则
两向量位置关系
两向量共线或不共线均可
只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点
一个向量的终点为另一个向量的起点
两向量起点相同
要点二 向量加法的运算律
1．交换律：a＋b＝________
2．结合律：(a＋b)＋c＝________
1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
2．我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，方案②先走过的位移为向量，再走过的位移为向量，则方案①②中质点A一定会到达同一终点．
3．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)；＋＋＋＋＝[＋(＋)]＋(＋)．
[教材答疑]
[教材P81思考交流]
矩形ABCD中，记＝a，||＝3，＝b，||＝1，
则|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
当a，b共线时等号成立．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的和可能是数量．( )
(2)两个向量相加就是它们的模相加．( )
(3)＋＝.( )
(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．( )
2．[多选题]在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A.＝
B.＋＝
C.＝＋
D.＋＝0
3．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
4．化简下列各向量：
(1)＋＝________.
(2)＋＋＝________.
题型一 向量加法法则的应用——师生共研
例1 (1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
方法归纳
用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”，且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．
跟踪训练1 已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.
题型二 向量的加法运算——师生共研
例2 化简下列各式：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
方法归纳
向量加法运算律的应用原则及注意点
(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
(2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．
跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD中．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
题型三 向量加法的实际应用——师生共研
例3 在静水中船的速度为20
m/min，水流的速度为10
m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
作出船的速度与水流速度示意图．
变式探究 本例中的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角)．
方法归纳
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
易错辨析 忽视向量共线情况出错
例4 已知非零向量a，b，c，以表示a，b，c的有向线段构成三角形的充要条件是a＋b＋c＝0，这个判断正确吗？
解析：不正确
因为a，b共线时，即使a＋b＋c＝0成立，
但不能构成三角形．
当a，b，c不共线时，a＋b＋c＝0，则以表示a，b，c的有向线段能构成三角形．
易错警示
易错原因
纠错心得
忽视了向量共线的特殊情况.
解决向量问题时不要忽视特殊情形，如零向量、向量同向、向量反向、向量相等.
§2 从位移的合成到向量的加减法
2．1 向量的加法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
不共线 a＋b 不共线 a＋b
要点二
1．b＋a
2．a＋(b＋c)
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：A，B，D正确；C错误，因为＝＋≠＋.
答案：ABD
3．解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案：A
4．解析：(1)＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案：(1) (2)
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，＝a＋b.
(2)如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b.
跟踪训练1 解析：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.
题型二
例2 解析：(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0或＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋
＝0.
跟踪训练2 解析：(1)＋＝.
(2)＋＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＝.
(4)∵＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
题型三
例3 解析：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知
v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，
||＝||＝v水＝10
m/min，
||＝|v船|＝20
m/min，
∴cos
α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．
变式探究 解析：如图所示，||＝||＝|v船|＝20
m/min，
||＝|v水|＝10
m/min，则tan∠BAC＝2，即为所求．2．2 向量的减法
[教材要点]
要点 向量的减法
1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的________向量，即a－b＝a＋(－b)．
2．几何意义：如图，设＝a，＝b，故a－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝，即a－b表示为从向量________指向被减向量________的向量．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量．( )
(2)＝－.( )
(3)a－b的相反向量是b－a.( )
(4)两个同向向量的差一定小于这两个向量的和．( )
2．[多选题]下列等式中正确的是( )
A．a－b＝b－a
B．0－a＝－a
C．－(－a)＝a
D．a＋(－a)＝0
3．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．
题型一 向量的加减运算——自主完成
1．下列四式不能化简为的是( )
A.＋－
B．(＋)＋(＋)
C．(＋)＋
D.－＋
2．化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
方法归纳
向量加、减法运算的基本方法
(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
(2)运用减法公式－＝(正用或逆用均可)；
(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．
题型二 用已知向量表示未知向量——师生共研
灵活运用三角形法则或平行四边形法则．
例1 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.
方法归纳
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量的加法、减法以及共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量起点的位置，当两个向量共起点时，可以考虑向量的减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即
＝
＋
以及
＝
－(M，N均是与在同一平面内的任意点)．
跟踪训练1 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
题型三 向量加减法的综合应用——师生共研
例2 如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示、，并回答下面几个问题．
(1)当a、b满足什么条件时，AC⊥BD?
(2)当?ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
变式探究 将本例中的条件改为“?ABCD中，∠ABC＝60°，＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．
方法归纳
(1)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
(2)一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)及正六边形等．
跟踪训练2 设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
易错辨析 对向量加、减法的几何意义理解不透致误
例3 [多选题]如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝0
C.－＝
D.＋＝
解析：＋＝，A正确；＋＝0≠0，B错误；－＝＋＝，C正确；＋＝＝，D错误．故选AC.
答案：AC
易错警示
易错原因
纠错心得
对向量的加、减法的几何意义理解不透，致使错选A、B、C或A、C、D.
(1)向量加法运算时，应做到“首尾顺次相连”．(2)向量加法或减法运算后结果仍是向量.
2．2 向量的减法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．相反
2．b的终点B a的终点A
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：由向量的减法及其几何意义，得a－b＝－(b－a)，A错误；B、C正确；a＋(－a)＝0≠0，D错误．故选BC.
答案：BC
3．解析：＝－＝b－a.故选C.
答案：C
4．解析：＝－＝＋－＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：对于A，原式＝＋＋＝2＋；
对于B，原式＝＋(＋)＋＝＋＋＝；
对于C，原式＝(＋)＋＝＋＝；
对于D，原式＝＋＝.故选A.
答案：A
2．解析：(1)解法1：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
解法2：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋
＝＋＋
＝＋0＝.
解法3：原式＝(－)＋(－)－－
＝－＋－－＋
＝－＝.
(2)解法1：原式＝－＝.
解法2：原式＝－(＋)＝－＝.
解法3：设O是平面内任一点，
则原式＝(－)－(－)－(－)
＝－－＋－＋
＝－＝.
题型二
例1 解析：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
∴＝＋＝b－a＋c，＝－＝c－a，＝－＝c－b.
跟踪训练1 解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
题型三
例2 解析：∵＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b.
(1)当|a|＝|b|时，?ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC⊥BD.
(2)当?ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.
变式探究 解析：依题意，||＝|a＋b|＝2，如图所示．
而||＝|a|＝2.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB.
∴?ABCD为菱形，AC⊥BD.
∴三角形ABO是直角三角形，∠ABO＝30°，
∵AB＝2，AO＝AC＝1，
∴BO＝，
∴BD＝2BO＝2，∴|a－b|＝BD＝2.
跟踪训练2 解析：以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为|＋|＝|－|，所以||＝||.
又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
答案：C
