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3.1 向量的数乘运算
DMC
A
N
B
C
E
A
P
B§3 从速度的倍数到向量的数乘
最新课标
(1)通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义．
(2)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
(3)掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.
3.1 向量的数乘运算
[教材要点]
要点一 数乘运算的定义
1．定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作________，满足以下条件：
(1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向________；
当λ<0时，向量λa与向量a的方向________；
当λ＝0时，0a＝________.
(2)|λa|＝________，这种运算称为向量的数乘．
2．λa几何意义：
当λ>0时，表示向量a的有向线段在________方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．
当λ<0时，表示向量a的有向线段在________方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．
3．非零向量a的单位向量：________.
要点二 数乘运算的运算律
向量的数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μ
a)＝________；
(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝________；
(3)第二分配律：λ(a＋b)＝________.
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(1)对于非零向量，当λ＝时，λ表示方向上的单位向量．
(2)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算．主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )
(2)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．( )
(3)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( )
(4)表示向量a方向上的单位向量．( )
2．化简：＝( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2
B．4e1
C．3e1＋6e2
D．8e2
4．(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a＝________.
题型一 向量数乘的定义——自主完成
1．[多选题]已知a，b为非零向量，下列命题中正确的是( )
A．2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的倍
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
2．[多选题]已知λ，μ∈R，则下列命题中正确的有( )
A．λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反
B．λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同
C．λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同
D．λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
题型二 向量的线性运算——师生共研
例1 (1)化简：
①－2；
②.
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，则m＝________，n＝________.
方法归纳
向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程组来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 (1)化简4(a＋b)－3(a－b)＝________.
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
题型三 用已知向量表示相关向量——师生共研
例2 已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为( )
A.＝－2＋3
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练2 如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
易错辨析 向量线性运算时忽略图形的性质致误
例3 已知点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，则用a，b表示＝________.
解析：如图，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，所以＝＝a.
在△ABD中，FP是中位线，
所以＝＝－＝－b.
在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)．
答案：－(a＋b)
易错警示
易错原因
纠错心得
四边形ABCD不一定是梯形，只是一般的四边形，有的同学误认为四边形ABCD是梯形出错.
在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质．首先应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.
§3 从速度的倍数到向量的数乘
3．1 向量的数乘运算
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．λa (1)相同 相反 0 (2)|λ||a|
2．原 反
3．±
要点二
(λμ)a λa＋μ
a λa＋λb
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，故选B.
答案：B
3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
4．解析：原式＝(5a－3a－7a)－4b＋9b＋c－3c＝－5a＋5b－2c.
答案：－5a＋5b－2c
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：A中，∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，A正确；B中，∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍，B正确；C中，∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量，C正确；D中，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的，D错误．故选ABC.
答案：ABC
2．解析：由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于CD，当λμ>0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ<0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C、D正确，故选A、B、C、D.
答案：ABCD
题型二
例1 解析：(1)①原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
②原式＝＝＝＝a－b.
(2)把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组解得
答案：(1)见解析 (2)a＋b a－b
跟踪训练1 解析：(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a＋4b－3a＋3b＝a＋7b.
(2)由2－(c＋b－3y)＋b＝0，
得2y－a－c－b＋y＋b＝0，
即y－a－c＋b＝0，
所以y＝a－b＋c.
答案：(1)a＋7b (2)a－b＋c
题型三
例2 解析：如图所示，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
答案：C
跟踪训练2 解析：因为∥，||＝2||，所以
＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
答案：(1)e2＋e1 (2)e1－e2课时作业17 向量的数乘运算
[练基础]
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
2．点C在线段AB上，且＝，则等于( )
A.
B.
C．－
D．－
3.
如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
4．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果＝3e1，＝3e2，则＝( )
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C.e1＋e2
D.e1＋e2
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
6．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
[提能力]
7．[多选题]△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是( )
A.＝
B.＝2
C.＝
D.＋＝
8．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
9．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e、f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
[战疑难]
10．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
课时作业17 向量的数乘运算
1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．解析：∵＝，∴＝－，∴＝－.故选D.
答案：D
3．解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：D
4．解析：∵＝－＝3(e2－e1)，∴＝＝2(e2－e1)，
∴＝＋＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.故选A.
答案：A
5．解析：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.
答案：2
6．解析：设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，∴＝b，＝a.
在△ADM和△ABN中，即
①×2－②，得b＝(2c－d)，
②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝－c＋d，＝c－d.
7．解析：选项A中，∵G是△ABC的重心，∴BG＝BE，∴＝；选项B中，CG＝2GF，∴＝2；选项C中，DG＝AG，∴＝－，∴C不正确；选项D中，＋＝＋＝＝.故选A、B、D.
答案：ABD
8．解析：如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．
答案：(b－a)
9．解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，
即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
10．解析：∵＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|，∴⊥.∴△ABC为直角三角形(由于AB不一定等于AC，因此△ABC不一定为等腰直角三角形)．
答案：D
