(共24张PPT)
3．2 向量的数乘与向量共线的关系
N
P
B3．2 向量的数乘与向量共线的关系
[教材要点]
要点一 共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使________．
向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉.
若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
要点二 直线的向量表示
通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的________向量．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.( )
(2)若＝3，则与共线．( )
(3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l.( )
(4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则＝(＋)．( )
2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
4．下列向量中，a，b一定共线的有________．(填序号)
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2；b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
题型一 向量共线的判定——自主完成
判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．
(1)a＝5e1，b＝－10e1；
(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得＝λ，则向量与非零向量共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．
题型二 证明三点共线——师生共研
例1 已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
变式探究1 将本例中条件改为“a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b”，证明A、B、C三点共线．
方法归纳
三点共线的证明问题及求解思路
1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
跟踪训练1 已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
题型三 由三点共线求参数的值——师生共研
例2 (1)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A.
B.
C．－
D．－
(2)已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2与e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
变式探究2 将本例(2)中的条件改为“若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上？
方法归纳
利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．
跟踪训练2 如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A.
B.
C.
D.
易错辨析 忽视向量共线的方向出错
例3 设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．
解析：∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，
∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，
即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±.
故所求实数t的值为±.
易错警示
易错原因
纠错心得
忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解.
向量共线应分同向与反向两种情况.
3．2 向量的数乘与向量共线的关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
a＝λb
要点二
方向
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：因为＝－，所以AB∥CD，且AB＝CD，所以四边形ABCD为梯形．故选C.
答案：C
3．解析：＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.所以A，B，D三点共线．
答案：A
4．解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4(e1－e2)＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb，故①②③中a与b共线．
答案：①②③
题型探究·课堂解透
题型一
解析：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．
(2)∵a＝b，∴a与b共线．
(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，
∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.
∵e1与e2是两个不共线向量，∴
这样的λ不存在，因此a与b不共线．
题型二
例1 解析：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．
变式探究1 证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2
∴与共线，且有公共点，
∴A，B，C三点共线．
跟踪训练1 解析：∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，且与有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.
答案：B
题型三
例2 解析：(1)方法一 由＝2得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝.
方法二 因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
由于e1与e2不共线
∴∴k＝±1.
答案：(1)A (2)见解析
变式探究2 解析：由题意知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，
整理得a＝b，
∵a与b不共线，∴∴
故当t＝时，三向量的终点共线．
跟踪训练2 解析：由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，N，P三点共线，所以m＋＝1，即m＝.
答案：D课时作业18 向量的数乘与向量共线的关系
[练基础]
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3
B.
C．－1或4
D．3或4
3．已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．10
B．－10
C．2
D．－2
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A．P，A，C三点共线
B．P，A，B三点共线
C．P，B，C三点共线
D．以上均不正确
5．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.
6．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
[提能力]
7．[多选题]已知两个非零向量a，b，下列条件中，一定能使a，b共线的条件是( )
A．2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e
B．存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C．xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)
D．在梯形ABCD中，＝a，＝b
8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
9．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点，设＝a，＝b.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若＝，求证：C，D，E三点共线．
[战疑难]
10．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则＝( )
A.
B.
C.
D.
课时作业18 向量的数乘与向量共线的关系
1．解析：∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝－2(a＋b)，∴a＋b与c共线．故选B.
答案：B
2．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
3．解析：∵A，B，D三点共线，∴＝λ＝λ(－)，∴a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，∴(1－λ)a＋(2λ－k)b＝0，
∴解得故选C.
答案：C
4．解析：在△ABC中，取AC的中点D，则＋＝2，∴2＝2，∴D和P重合，∴P，A，C三点共线．故选A.
答案：A
5．解析：∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
答案：1
6．解析：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，＝3e1－ke2，
∵B，D，F三点共线，∴＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2.
由题意知e1，e2不共线，得解得k＝12.
7．解析：A中
,2a－3b＝4×(－)(a＋2b)
即10a＝b，A满足条件；
B中，满足条件；
C中，当x＝y＝0时，a与b不一定共线．
D中，若AB∥CD，则与共线，若AD∥BC，则与不共线，故不一定能使a，b共线．
故选A、B.
答案：AB
8．解析：∵点O是BC的中点，∴＝(＋)＝＋，∴＝－＝(－1)＋.又＝－，与共线，∴存在实数λ，使得＝λ＝λ(－
)，即化简，得m＋n＝2.
答案：2
9．解析：(1)∵＝a，＝b，∴＝＋＝－b－a.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝2a＋(－a＋b)＝a＋b.
(2)证明：∵＝－＝(－b)＋a＋b＝a＋b＝，
∴与平行，又∵与有共同点C，
∴C，D，E三点共线．
10．解析：如图，设＝，＝，连接PM，PN，则＝＋，易知四边形AMPN为平行四边形，则NP∥AB，
所以＝＝.同理＝，故＝.
答案：D
