§4 平面向量基本定理及坐标表示
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(1)理解平面向量基本定理及其意义．能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题．
(2)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
(3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
(4)能用坐标表示平面向量的共线条件.
4.1 平面向量基本定理
[教材要点]
要点 平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组______________，记为______________．
2．正交分解：若基中的两个向量________，则称这组基为正交基，在________下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为________．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．( )
(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．( )
(3)若e1，e2是不共线的向量，且λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2(λ1，λ2，μ1，μ2∈R)，则( )
(4)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．( )
(5)若e1，e2是不共线的向量，则λ1e1＋λ2e2＝0(λ1，λ2∈R)?λ1＝λ2＝0.( )
(6)基向量可以是零向量．( )
2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝( )
A.(a－b)
B．2b－a
C.(b－a)
D．2b＋a
4．如图，在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且＝a，＝b，则＝________.
题型一 对平面向量基本定理的理解——自主完成
1．设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A．e1，e2一定平行
B．e1，e2的模相等
C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
从两个向量是否共线入手.2.设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；
②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1；
④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基的是________(写出满足条件的序号)．
方法归纳
对基的理解
(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．
(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．
题型二 用基表示平面向量——师生共研
例1 如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量.
利用基可以将所有的向量放到同一个标准下，这样更容易看出多个向量之间的关系.
就本题而言，在解题时，只需紧盯着目标，不断地利用三点共线的性质定理进行转化，最后通过任一向量用基表示的唯一性，即若＝λ11＋μ12，且
＝λ21＋μ22，则来构建方程(组)，使得问题获解．
方法归纳
用基表示向量的两种基本方法
用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．
跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线上的向量＝a，＝b，试用基{a，b}表示，.
题型三 平面向量基本定理的应用——微点探究
微点1 利用平面向量基本定理求参数
例2 在△ABC中，D为AC的中点，＝3，BD与AE交于点F.若＝λ，则实数λ的值为( )
A. B.
C.
D.
方法归纳
1．利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基表示两次然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有
2．充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．
跟踪训练2 在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，点F满足＝2.若＝x＋y，则x＋y＝( )
A．－
B．－
C．－
D．－
微点2 确定两直线交点的位置问题
以与为基利用平面向量基本定理求解．注意条件A、P、M和B、P、N共线的应用．
例3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP?PM与BP?PN.
变式探究 将本例中的“N在AC上且AN＝2NC”改为“N为AC的中点”，其它条件不变，求AP?PM＝BP?PN.
方法归纳
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基．
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
易错辨析 对基的理解不准确致误
例4 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
解析：当e1∥e2时，a∥e1.因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，所以a与b共线；当λ＝0时，a∥e1，因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，所以a与b共线．故选D.
答案：D
易错警示
易错原因
纠错心得
本题中e1，e2没指明不共线，应考虑两种情况．本题易忽略e1∥e2的情况致错选A.
在应用平面向量基本定理时不能忽略向量作为基的条件，否则就会出错.
§4 平向向量基本定理及坐标表示
4．1 平面向量基本定理
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．基 {e1，e2}
2．互相垂直 正交基 标准正交基
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)×
2．解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故①③满足题意．
答案：B
3．解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.
答案：B
4．解析：＝＋＝－＝b－a.
答案：b－a
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：D选项符合平面向量基本定理．故选D.
答案：D
2．解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，
即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基．
③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基．
答案：③
题型二
例1 解析：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基，
所以解得，所以＝a＋b.
跟踪训练1 解析：方法一 设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b，
所以＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b.
方法二 设＝x，＝y，则＝＝y，又
所以
解得
即＝a－b，＝a＋b.
题型三
例2 解析：如图，∵B，F，D三点共线，∴存在实数k，使＝k＝(＋)，∴＝＋＝＋(＋)＝＋，＝＋＝＋.∵＝λ，∴＋＝λ＋.∵与不共线，
∴解得λ＝.
答案：C
跟踪训练2 解析：因为＝＋＝－－，x＋y＝x(＋)＋y＝(x＋y)＋x，所以x＋y＝－.故选A.
答案：A
例3 解析：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2.
变式探究 解析：如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2，
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得解得
∴＝，＝，
∴AP?PM＝2，BP?PN＝2.
∴AP?PM＝BP?PN.(共31张PPT)
4.1 平面向量基本定理
D
B
C课时作业19 平面向量基本定理
[练基础]
1．下列说法正确的个数是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一个基；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量的基；③零向量不能作为基向量．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知非零向量a，b不共线，则下列各组向量中，可作为平面内所有向量的一个基的是( )
A．{a＋b，a－b}
B．{a－b，b－a}
C.
D．{2a－2b，a－b}
3．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则＝( )
A.＋
B.－
C.－
D.＋
4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内所有向量的一组基，则实数λ的取值范围是________．
5．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e1，＝e2，以{e1，e2}为基来表示，，则＝________，＝________.
6．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
[提能力]
7．[多选题]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝＋
8．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
9．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
[战疑难]
10．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
课时作业19 平面向量基本定理
1．解析：因为一个平面内的基不唯一，即可以有无数对不共线向量组成该平面的基，所以说法①不正确，说法②正确；因为零向量与任一向量都共线，所以它不能作为基中的向量，说法③正确．故选C.
答案：C
2．解析：a－b＝－(b－a)，选项B中的两个向量共线；2＝2a＋b，选项C中的两个向量共线；2a－2b＝2(a－b)，选项D中的两个向量共线．只有选项A中的两个向量不共线，可作为一个基．故选A.
答案：A
3．解析：∵＝(＋)＝＋×
＝＋×(＋)＝＋.
答案：D
4．解析：由题意知a与b不共线，即对任意k∈R，a≠kb，
得λ≠4.
答案：λ≠4
5．解析：＝＋＝＋
＝e1＋(e2－e1)
＝e1＋e2
＝＋＝＋
＝＋(e2－e1)
＝e1＋e2
答案：e1＋e2 e1＋e2
6．解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
7．解析：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC
∴＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋，A对；
∵＝3
∴＝＝－＋
∴＝＋
＝＋
＝＋
又F为AE的中点，
∴＝＝＋，B对；
∴＝＋＝－＋＋
＝－＋，C对；
∴＝＋＝－
＝－＋－
＝－－，D错．故选A、B、C.
答案：ABC
8．解析：∵＝2，∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴＝－＝(＋)－＝－.
又∵＝x＋y，∴x＝，y＝－.
答案： －
9．解析：(1)由＝＋可知M，B，C三点共线，
如图，令＝λ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ?λ＝，
所以＝，即面积之比为1?4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，
＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
10．证明：因为M是AB边的中点，所以＝(＋)＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，
所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，
所以有且只有一个实数λ，使＝λ.
而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，
所以a＋b
＝λ.
又因为a，b不共线，
所以
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.
