(共33张PPT)
5.1 向量的数量积
(1)若e是单位向量,则a·e=e·a
交换律:a·b
(2)若a,b是非零向量,
0
结合律:(Ⅻ)·b
(3)a·a
a
(cosa,
b)
(a|b≠0)
分配律:(a+b)·c
(5)a·b≤ab|,当且仅当
时等号成立§5 从力的做功到向量的数量积
最新课标
(1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
(2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
(3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．
(4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
5.1 向量的数量积
[教材要点]
要点 向量的数量积
关于向量数量积应注意的问题
(1)若向量与的夹角为θ，θ＝0时，与同向；θ＝π时，与反向；θ＝时，⊥.
(2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移．
(3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量．
(4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．( )
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos
θ>0?a·b>0.( )
(3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( )
(5)若a，b，c为非零向量，|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.( )
(6)若两个非零向量a，b满足a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|.( )
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝( )
A.
B.
C．1
D．－
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A.
B.
C.
D．4
4．若|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是________.
题型一 向量数量积的计算及其几何意义——自主完成
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
2．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．
方法归纳
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
题型二 求向量的模——师生共研
例1 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2 C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A.
B.
C.
D.
先由||＝|＋|寻找||与||的关系．(3)设非零向量a与b的夹角是，且|a|＝|a＋b|，则的最小值是________．
方法归纳
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
跟踪训练1 (1)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则|4a－b|＝( )
A．2
B．6
C．2
D．12
(2)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________；
(3)已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是________．
题型三 向量的夹角与垂直问题——微点探究
微点1 求向量的夹角
例2 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ.
先求||、||及·.
变式探究 将本例中的条件改为“|a|＝1，a·b＝，(a－b)(a＋b)＝”，求a与b的夹角．
方法归纳
求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos
θ＝求cos
θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos
θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．
微点2 已知两向量的夹角求相关参数的值
例3 已知两个向量a，b的夹角为30°，|a|＝，b为单位向量，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
微点3 向量垂直的问题
例4 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求当m为何值时，c与d垂直．
方法归纳
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b?a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
跟踪训练2 (1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos
〈a，c〉＝________.
易错辨析 忽视向量共线的特殊情况出错
例5 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos
θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简得2t2＋15t＋7<0.
解得－7当向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
解得
∴所求实数t的取值范围是∪.
易错警示
易错原因
纠错心得
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0包括了向量共线反向的情况，若忽视了这种情况，就得到了错误的答案
若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负，反之不成立．所以解题时注意结论的应用.
§5 从力的做功到向量的数量积
5．1 向量的数量积
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
|a||b|cos
θ a·b |a||b|cos
θ 0 |a|cos
θ |b|cos
θ
|a|cos〈a，e〉 a·b a∥b b·a λ(a·b)
a·(λb) a·c＋b·c
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
2．解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos
θ＝1×1×＝.
答案：A
3．解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos
60°＋9＝13，
所以|a＋3b|＝.
答案：C
4．解析：设a与b的夹角为θ.
∵a·b＝|a||b|cos
θ，
∴cos
θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，
∴θ＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3.
答案：B
2．解析：由已知得＝(＋)，＝，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝×(||2－||2－·)＝×(－1－cos
60°)＝－.
答案：－
3．解析：设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cos
θ＝－12，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos
θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos
θ＝＝＝－4.
答案：－ －4
题型二
例1 解析：(1)|a＋2b|＝
＝
＝
＝
＝2.
答案：B
解析：(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos
60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
答案：B
解析：(3)∵非零向量a与b的夹角是，且|a|＝|a＋b|，
∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos
，
∴|b|2－|a||b|＝0.
∵|b|≠0，∴|b|＝|a|，
∴2＝
＝
＝t2－2t＋＝(t－1)2＋，
∴当t＝1时，取得最小值，最小值是＝.
答案：
跟踪训练1 解析：(1)由已知得a·b＝|a||b|cos
＝1×2×＝1，则|4a－b|＝
＝＝2，故选C.
(2)因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．
因为(a－b)⊥c，所以c·(a－b)＝0，
所以－(a＋b)·(a－b)＝0，
所以a2－b2＝0，所以|b|＝|a|＝1.
(3)∵a·b＝|a|cos
60°＝|a|，∴|ta－b|＝
＝.设x＝t|a|(x∈R)，则|ta－b|＝＝≥＝.
答案：(1)C (2)1 (3)
题型三
例2 解析：∵e1·e2＝|e1||e2|cos
60°＝cos
60°＝，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)
＝－6e＋e1·e2＋2e＝－.
又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝7，
b2＝(2e2－3e1)2＝4e－12e1·e2＋9e＝7，
∴|a|＝|b|＝，
则cos
θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π.
变式探究 解析：因为(a－b)·(a＋b)＝，所以|a|2－|b|2＝.又因为|a|＝1，所以|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
例3 解析：因为向量a，b的夹角为30°，|a|＝，b为单位向量，
所以a·b＝|a||b|cos
30°＝×1×＝，
由于c＝ta＋(1－t)b，b·c＝0，则ta·b＋(1－t)b2＝0，
即t＋1－t＝0，解得t＝－2.
答案：－2
例4 解析：由已知得a·b＝2×1×cos
60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0，∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，解得m＝.
故当m＝时，c与d垂直．
跟踪训练2 解析：(1)方法一(向量的代数运算) 由(a－b)·b＝0，得a·b＝|b|2，
∴|a||b|cos
〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|，∴2|b|2cos
〈a，b〉＝|b|2，即cos
〈a，b〉＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
方法二(数形结合，聚焦图形特征) 如图，设＝a，＝b，则＝a－b，又(a－b)⊥b，∴B＝，||＝2||，∴∠AOB＝，即〈a，b〉＝.
(2)易知c2＝(2a－b)2即c2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，
∴|c|＝3.
∴cos
〈a，c〉＝＝＝＝.
答案：(1)B (2)课时作业21 向量的数量积
[练基础]
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|＝( )
A．7
B．6
C．5
D．4
3．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12
B．3
C．6
D．3
4．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为________．
5．已知|a|＝4，|b|＝3，且a与b不共线．若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k的值为________．
6．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；
(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；
(3)如图，已知在?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
[提能力]
7．[多选题]关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是( )
A．若a∥b且b∥c，则a∥c
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D．(a·b)·c＝a·(b·c)
8．已知平面内三个向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
9．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
[战疑难]
10．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，A是线段EF的中点，EF＝2.若与的夹角为60°，则·＝________.
课时作业21 向量的数量积
1．解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
答案：B
2．解析：|3a－b|＝
＝
＝
＝＝7.
答案：A
3．解析：a·b＝|a||b|cos
135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案：C
4．解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝3×cos＝.
答案：
5．解析：∵|a|＝4，|b|＝3，且a与b不共线，向量a＋kb与a－kb互相垂直，∴(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝16－9k2＝0，解得k＝±.
答案：±
6．解析：(1)a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，
∴|a＋b|＝
＝
＝
＝5，
|a－b|＝＝＝＝5，
|3a＋b|＝＝＝＝5.
(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.
(3)设＝a，＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝.
∴a·b＝|a||b|cos
θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，BD＝.
7．解析：A中，若b＝0，因为0与任意向量平行，所以a不一定与c平行，A错；
B中，向量数量积满足分配律，正确；
C中，向量数量积不满足消去律，C错；
D中，(a·b)·c是以c为方向的向量，a·(b·c)是以a为方向的向量，D错．
故选ACD.
答案：ACD
8．解析：当a，b，c共线时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝5，
当a，b，c两两夹角为时．
|a＋b＋c|＝
＝
＝＝2.
答案：5或2
9．解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝－1，
∴cos
θ＝－，∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
10．解析：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.
∵∠BAC＝90°，∴·＝0.
又A是线段EF的中点，∴＝－，
∴·＝·－·－2＝·－1＝4×1×cos
60°－1＝1.
答案：1
