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5.2 向量数量积的坐标表示
5．3 利用数量积计算长度与角度5.2 向量数量积的坐标表示
5．3 利用数量积计算长度与角度
最新课标
(1)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．
(2)能用坐标表示平面向量垂直的条件.
[教材要点]
要点一 平面向量数量积的坐标表示
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
对于·＝||·||·cos
θ和·＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cos
θ的正负．
要点二 两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0?________________.
这个结论与∥?x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义理解．设非零向量，的起点均为原点O，的终点为A，的终点为B，
＝(x1，y1)，
＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不为0，则kOA
＝kOB，即
＝，得x2y1－x1y2
＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos
θ
＝0(θ为向量与的夹角)，·
＝0，即x1x2＋y1y2
＝0.
要点三 向量模的坐标表示
1．向量模的坐标表示
若a＝(x，y)，则|a|2＝________，或|a|＝________.
在平面直角坐标系中，若＝a＝(x，y)，
则||＝|a|，即|a|为点A到原点的距离．
2．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1)，||＝________________.
如何准确把握向量的模的坐标表示与两点间的距离公式
(1)向量的长度(或模)是该向量与其自身的数量积的算术平方根，由数量积的坐标公式即可推出向量长度的坐标计算公式；
(2)||即为A，B两点间的距离，||的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的；
(3)若已知向量的坐标或表示向量的有向线段的起点和终点的坐标，可分别利用上述两个公式求向量的模，它们在本质上是一致的．
3．向量a的单位向量的坐标表示
因为向量a的单位向量a0＝±，
若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝±＝____________________.
要点四 两向量夹角余弦的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则
cos
θ＝＝________________(|a||b|≠0)．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．( )
(2)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1x2＋y1y2>0，则向量a，b的夹角为锐角．( )
(3)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．( )
(4)两向量a与b的夹角公式cos
θ＝的使用条件是a≠0且b≠0.( )
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7 C．－23 D．－7
3．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
题型一 平面向量数量积的坐标运算——自主完成
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12)
B．0
C．－3
D．－11
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
3.已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
方法归纳
向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解．
题型二 平面向量共线、垂直的坐标表示的应用——师生共研
例1 已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A. B．－ C. D．－
变式探究 将本例中的条件“λa＋b与a－2b垂直”改为“λa＋b与a－2b共线”，则实数λ的值为________．
方法归纳
根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路
借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0或a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可．
跟踪训练1 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c的坐标为________．
题型三 平面向量的模与夹角——微点探究
微点1 向量的模
例2 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．5
方法归纳
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
微点2 向量的夹角
例3 已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
变式探究 将本例中的条件“|c|＝，(a＋b)·c＝”改为“c＝(－1，m)，若(a＋b)与c的夹角为锐角”，其它条件不变，则实数m的取值范围是________．
方法归纳
根据向量的夹角求参数：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0≤θ≤π，且cos
θ＝，故当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|；当0<θ<时，a·b>0且<1；当θ＝时，a·b＝0；当<θ<π时，a·b<0且>－1；当θ＝π时，a·b＝－|a||b|.
微点3 三角形形状的判断
例4 已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．以上均不正确
方法归纳
判断三角形的形状要两判
一判三角形三边所在的向量两两数量积的大小．
二判三角形三边边长的关系．
跟踪训练2 (1)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知A(2,5)，B(5,2)，C(10,7)，则△ABC的形状为________．
易错辨析 考虑不全面致错
例5 已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)，判断由此四点构成的四边形的形状．
解析：因为＝(4,0)－(1,2)＝(3，－2)，＝(8,6)－(5,8)＝(3，－2)，
所以＝，故四边形ABCD是平行四边形．
因为＝(5,8)－(1,2)＝(4,6)，
所以·＝3×4＋(－2)×6＝0，
所以⊥，故四边形ABCD是矩形．
因为||＝，||＝2，||≠||，
所以四边形ABCD不是正方形．
综上，四边形ABCD是矩形．
易错警示
易错原因
纠错心得
有的同学只求出＝，就判断四边形ABCD是平行四边形，没有进一步分析与是否垂直，以及它们的模是否相等，从而得到错误答案.
在判断图形的形状时，要从边和角两方面来考虑，从而判断出一个最准确的形状.
5．2 向量数量积的坐标表示
5．3 利用数量积计算长度与角度新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
x1x2＋y1y2
要点二
x1x2＋y1y2＝0
要点三
1．x2＋y2
2.
3．±
要点四
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.
答案：D
3．解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
答案：A
4．解析：因为a＋b＝(－1,
)，所以|a＋b|＝＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
答案：C
2．解析：因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.
答案：D
3．解析：设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以解得所以c＝.
答案：
4．解析：以AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系(也可以以A点为坐标原点)．则A(－1,0)，B(1,0)，D(－1,2)，E(0,2)，则＝(－2,2)，＝(1,2)，
于是·＝1×(－2)＋2×2＝2.
答案：2
题型二
例1 解析：由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
答案：B
变式探究 解析：由已知得：λa＋b＝(－3λ－1,2λ)
a－2b＝(－1,2)
又(λa＋b)∥(a－2b)
∴(－3λ－1)×2－2λ×(－1)＝0，解得λ＝－.
答案：－
跟踪训练1 解析：设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x,2＋y)．
∵(a＋c)∥b，∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1 ①
又a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0 ②
联立①②，得方程组解得
故c的坐标为.
答案：
例2 解析：因为a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－.
所以a＋b＝＋(1，－2)＝，|a＋b|＝＝.
答案：B
例3 解析：依题意，得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.设c＝(x，y)，a与c的夹角为θ，∵(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.又∵a·c＝x＋2y，∴cos
θ＝＝＝＝－.又θ∈[0°，180°]，∴a与c的夹角为120°.
答案：C
变式探究 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(－1，－2)，∵a＋b与c的夹角为锐角，∴(a＋b)·c>0且a＋b与c不共线．
即(－1，－2)·(－1，m)＝1－2m>0，且(－1)×m－(－2)(－1)≠0，
解得m<且m≠－2.
故实数m的取值范围是(－∞，－2)∪.
例4 解析：∵＝(3，－1)，＝(－1，－3)，∴·＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0，∴⊥，又||＝，＝，∴||＝||，∴△ABC为等腰直角三角形．
答案：C
跟踪训练2 解析：(1)由2a＋b＝(4,2)得b＝2a＋b－2a＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)
∴a·b＝2，|a|＝，|b|＝2
设向量a，b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝，故选B.
(2)∵＝(3,3)，＝(5,5)，
∴·＝0，∴⊥，
∴∠B＝90°.
故△ABC为直角三角形．
答案：(1)B (2)直角三角形课时作业22 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度
[练基础]
1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1
D．2
2．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝( )
A．－6
B．－1
C．1
D．6
4．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
[提能力]
7．[多选题]已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是( )
A．－2a2
B．－a2
C．－a2
D．－a2
8．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．
9．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2)，B(4,1)，C(－6,9)．
(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；
(2)若点E在x轴上，使△BCE为钝角三角形，且∠BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围．
[战疑难]
10．已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．
课时作业22 向量数量积的坐标表示
利用数量积计算长度与角度1.解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
答案：C
2．解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，
∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
3．解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.
答案：C
4．解析：因为a＝(－4,3)，所以2|a|2＝2×()2＝50.
a·b＝－4×1＋3×2＝2.
所以2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.
答案：44
5．解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，
又因为cos
α＝，cos
θ＝，
由题意知＝，即＝.
解得m＝2.
答案：2
6．解析：(1)由题意，得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，得a·(a＋b)＝6＋1－x＝0，解得x＝7.
∴b＝(1,7)．∴|b|＝＝5.
(2)a＋2b＝(4,2x－1)＝(4，－7)，故2x－1＝－7，解得x＝－3.
∴b＝(1，－3)．
设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为.
7.解析：建立如图所示的平面直角坐标系．
设P(x，y)，又A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，
则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)
.
所以·(＋)
＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]
＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2y2－2ay
＝2x2＋22－a2≥－a2.
故选BCD.
答案：BCD
8．解析：建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，D.
设F(x0，y0)，则＝，＝(x0，y0)．
∵＝2，∴F.
∴＝，＝(1,0)，
∴·＝.
答案：
9．解析：(1)设D(x，y)．∵A(0,2)，B(4,1)，C(－6,9)，
∴＝(x，y－2)，＝(x－4，y－1)，＝(－10,8)．
由题意知AD⊥BC，则·＝0，
即－10x＋8(y－2)＝0，即5x－4y＋8＝0，①
由∥，得8(x－4)＝－10(y－1)，即4x＋5y－21＝0.②
联立①②，解得x＝，y＝，则＝.
(2)设E(a,0)，则＝(4－a,1)，＝(－6－a,9)．
由∠BEC为钝角，得(4－a)(－6－a)＋9＜0，解得－5＜a＜3.由与不能共线，得9(4－a)≠－6－a，解得a≠.
故点E的横坐标的取值范围为(－5,3)．
10．解析：方法一：建立如图的平面直角坐标系，易知λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)＋λ3(－1,0)＋λ4(0，－1)＋λ5(1,1)＋λ6(－1,1)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．
所以所求模为.
所以最大值为＝2，λ1－λ3＝λ5－λ6＝2或－2，
λ2－λ4＝2或－2，λ5＋λ6＝0满足要求；最小值为0，λ5－λ6＝2，
λ5＋λ6＝0，λ1－λ3＝－2，λ2－λ4＝0满足要求．
综上，最小值为0，最大值为2.
方法二：以{，}为基，可知λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．
若能使|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0 ①，
|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝4，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝2 ②，
则所求最小值为0，最大值为2.
当λ5－λ6＝2，λ5＋λ6＝0，λ1－λ3＝－2，λ2＝λ4时，①式成立；
当λ1＝－λ3＝λ5＝－λ6，λ2＝－λ4时，②式成立．
综上，最小值为0，最大值为2.
答案：0 2
