§6 平面向量的应用
最新课标
(1)借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
(2)能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．
(3)会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
[教材要点]
要点一 余弦定理
文字语言
三角形中任何一边的________，等于其他两边的________减去这两边与它们夹角________的________倍
符号语言
a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________.
推论
cos
A＝________________，cos
B＝________________，cos
C＝________________.
对余弦定理的理解
1．余弦定理对任意的三角形都成立．
2．在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
3．余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
要点二 三角形面积公式
S△ABC＝____________＝____________＝____________.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．( )
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
3．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝30°，则c＝________.
题型一 利用余弦定理解三角形——微点探究
微点1 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，则BC的长为( )
A.
B.
C．3
D.
(2)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，A＝45°，则c＝________.
方法归纳
1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
2．已知两边及其夹角解三角形的方法
首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
微点2 已知三角形三边及其关系
例2 (1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，c＝2，则角A等于( )
A．90°
B．60°
C．30°
D．45°
(2)在△ABC中，已知a:b:c＝2:
:
(＋1)，则A＝________，B＝________，C＝________.
方法归纳
(1)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择；
(2)由于余弦函数在区间(0，π)内是单调的，因此由余弦定理的推论可知，由任意一个内角的余弦值确定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形内角时不必进行分类讨论．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知a＝8，B＝30°，b＝4，则c等于( )
A.
B．2
C．3
D．4
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
(3)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝C，2b＝a，则cos
A＝________.
题型二 判断三角形的形状——师生共研
例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝acos
B＋bcos
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
变式探究 将本例中的条件改为“acos
B＝bcos
A”，则三角形ABC的形状是________．
方法归纳
利用余弦定理推断三角形形状时，采用角化边进行化简．
题型三 余弦定理与三角形面积公式的应用——师生共研
例4 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
(1)根据内角A，C互补，利用余弦定理列出关于角C和BD的方程组，即可求出角C和BD；
(2)利用三角形面积公式可得S四边形ABCD
＝S△ABD＋S△BCD
＝AB·ADsin
A
＋BC·CDsin
C，即可求得四边形ABCD的面积．
方法归纳
给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积，反过来，给出三角形的面积，利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．
三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形哪个角的正弦值可求．
跟踪训练2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c＝2，C＝，S△ABC＝，求a，b.
易错辨析 忽略构成三角形的条件出错
例5 已知2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围为________．
解析：∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边
∴解得a>.
要使2a＋1，a,2a－1
构成三角形，需满足
解得a>2.
由题知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ(钝角)，
则cos
θ＝<0，
∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2<0，即a2－8a<0，解得0
又a>2，∴a的取值范围为(2,8)．
答案：(2,8)
易错警示
易错原因
纠错心得
a>只能保证2a＋1，a,2a－1都是正数，而要表示三角形的三边，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于第三边”.
由于余弦定理的变形较多，且涉及平方和开方等运算，易因不细心而导致错误．在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形.
§6 平面向量的应用
6．1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
平方 平方和 余弦的积 两 b2＋c2－2bccos
A a2＋c2－2accos
B a2＋b2－2abcos
C
要点二
absin
C acsin
B bcsin
A
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由余弦定理的推论知cos
B＝＝＝，又0答案：A
3．解析：由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos
C＝12＋9－2×2×3×＝3
∴c＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos
A＝4＋9－6＝7，则BC＝，故选D.
(2)在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos
A，即c2－2c－6＝0，
所以c＝±3.
因为c>0，所以c＝＋3.
答案：(1)D (2)3＋
例2 解析：(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A
得：cos
A＝＝＝，
∴A＝45°.
(2)已知a?b?c＝2??(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理，得
cos
A＝＝＝，
cos
B＝＝＝，
∴A＝45°，B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
答案：(1)D (2)45° 60° 75°
跟踪训练1 解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得：
b2＝a2＋c2－2accos
B
即16＝64＋c2－16c×cos
30°
即c2－8c＋48＝0
解得c＝4.
故选D.
(2)由已知得a2＋c2－b2＝ac，
所以cos
B＝＝＝，
又0°(3)由已知得，2b＝2c＝a
于是可设a＝2k(k>0)
则b＝k，c＝k，
所以cos
A＝＝＝＝.
答案：(1)D (2)A (3)
题型二
例3 解析：∵a＝acos
B＋bcos
A，
∴由余弦定理可得a＝a·＋b·，
整理可得a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形．故选D.
答案：D
变式探究 解析：利用余弦定理得：
a×＝b×
即a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2
整理得a2＝b2，∴a＝b
故△ABC为等腰三角形．
题型三
例4 解析：(1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos
C＝13－12cos
C ①，
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos
A＝5＋4cos
C ②.
由①②得cos
C＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积S＝AB·DAsin
A＋BC·CDsin
C
＝sin
60°
＝2.
跟踪训练2 解析：由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4 ①，又△ABC的面积等于，所以absin
C＝，得ab＝4 ②，
联立①②得方程组解得(共36张PPT)
第2课时 正弦定理
A
B
C
C
2)
B(共29张PPT)
第1课时 余弦定理课时作业25 用余弦定理、正弦定理解三角形
[练基础]
1．海上有A、B两个小岛，相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A．10
n
mile
B．10
n
mile
C．5
n
mile
D．5
n
mile
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且·＝4，则△ABC的面积等于( )
A．4
B.
C.
D．2
3．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24
m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为( )
A．18
m
B．120
m
C．32
m
D．24
m
4．在平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形ABCD的面积是( )
A．16
B．18
C．20
D．32
5．如图，货轮在海上以20
n
mile/h的速度沿着方位角(从指北方向线起顺时针转到目标方向线的水平角)为150°的方向航行．为了确定船的位置，在点B观察灯塔A的方位角是120°，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是75°，则货轮到达C点时与灯塔A的距离为________n
mile.
6．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S.
[提能力]
7．[多选题]某人在A处向正东方向走x
km后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3
km到达C处，结果他离出发点恰好
km，那么x的值为( )
A.
B．2
C．3
D．3
8．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(，S)满足p∥q，则C＝________.
9．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向，相距20(＋1)
n
mile的海面上有一个台风中心，影响半径为20
n
mile.正以10
n
mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过，且(＋1)
h后开始影响基地持续2
h，求台风移动的方向．
[战疑难]
10．在锐角△ABC中，a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边，O为其外心，则O点到三边的距离之比为( )
A．a?b?c
B.??
C．cos
A?cos
B?cos
C
D．sin
A?sin
B?sin
C
课时作业25 用余弦定理、正弦定理解三角形
1．解析：如图，易知∠ACB＝45°，由正弦定理，得＝，∴BC＝5
n
mile.
答案：D
2．解析：由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos
A＝＝，
因为0又bc＝||·||＝＝8，
所以S△ABC＝bcsin
A＝×8×＝2.故选D.
答案：D
3．解析：设塔高为h
m，因为∠CAD＝60°，∠CBD＝45°，CD⊥AD，CD⊥BD，所以AD＝＝，BD＝＝h.
在△ABD中，由余弦定理得242＝2＋h2－2××h×cos
30°，解得h＝24.故选D.
答案：D
4．解析：如图．∵周长为18，∴AB＋BC＝9.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即65＝(AB＋BC)2－2AB·BC－2AB·BCcos∠ABC＝81－2AB·BC·(1＋cos∠ABC)．①
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos(π－∠ABC)＝BC2＋AB2－2BC·AB·cos(π－∠ABC)，
即17＝(BC＋AB)2－2AB·BC＋2BC·AB·cos∠ABC＝81－2AB·BC(1－cos∠ABC)．②
由①＋②，得82＝81＋81－4AB·BC，
∴AB·BC＝20.
∵AB＋BC＝9，∴AB＝4，BC＝5或AB＝5，BC＝4.
∴cos∠ABC＝＝＝＝－，
sin∠ABC＝，
∴S平行四边形ABCD＝AB·BC·sin∠ABC＝20×＝16.故选A.
答案：A
5．解析：根据题意，可知BC＝20×0.5＝10，∠ABC＝150°－120°＝30°，∠ACB＝30°＋75°＝105°，因此可得A＝45°.在△ABC中，由正弦定理得＝，得AC＝5.
答案：5
6．解析：如图所示，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD
＝AB·ADsin
A＋BC·CDsin
C.
∵A＋C＝180°，∴sin
A＝sin
C.
∴S＝sin
A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin
A.
在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos
A＝20－16cos
A.
在△CDB中，由余弦定理，得
BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos
C＝52－48cos
C.
∴20－16cos
A＝52－48cos
C.
又cos
C＝－cos
A，∴cos
A＝－，∴A＝120°.
∴S＝16sin
A＝8.
7．解析：由题意知∠ABC＝30°，
由余弦定理得cos
30°＝
解得x＝2或x＝，故选AB.
答案：AB
8．解析：由p∥q，得4S＝(a2＋b2－c2)，则S＝(a2＋b2－c2)．
由余弦定理得cos
C＝，
所以S＝×2abcos
C＝abcos
C.
又由面积公式得S＝absin
C，
所以abcos
C＝absin
C，所以tan
C＝.
又C∈(0，π)，所以C＝.
答案：
9．解析：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20
n
mile，AC＝20
n
mile.
由题意得AB＝20(＋1)
n
mile，DC＝20
n
mile，BC＝10(＋1)
n
mile.
在△ADC中，DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理，得
cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°.
∵B位于A的南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，
∴D位于A的正北方向．
∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45°方向．
故台风的移动方向为北偏西45°方向．
10．解析：如图，过A作⊙O的直径AG，连接BG，设⊙O的半径为R；
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG＝90°；
∵OD⊥AB，
∴OD∥BG；
又∵O是AG的中点，
∴OD是△ABG的中位线，即BG＝2OD；
Rt△ABG中，∠G＝∠C，
∴BG＝AG·cos
G＝2R·cos
C；
∴OD＝R·cos
C，即O到AB边的距离为R·cos
C；
同理可证得：OE＝R·cos
A，
OF＝R·cos
B；
∴点O到三边的距离之比为：
(R·cos
A)?(R·cos
B)?(R·cos
C)＝cos
A?cos
B?cos
C；
故选C.
答案：C课时作业24 正弦定理
[练基础]
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝30°，B＝45°，b＝8，则a＝( )
A．4
B．4
C．4
D．4
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝( )
A．30°或150°
B．150°
C．30°
D．60°
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．不确定
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝4，c＝2，B＝60°，则b＝________，C＝________.
5．在△ABC中，若sin
A?sin
B?sin
C＝1??1，则B＝________.
6．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，CD＝6，求AB的长度．
[提能力]
7．[多选题]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a，b，给出下列说法正确的是( )
A．若A≥90°，则此三角形最多有一解
B．当A<90°，aC．若A<90°，且a＝bsin
A，则此三角形为直角三角形，且B＝90°
D．当A<90°，且bsin
A8．已知在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A且sin
B＝2sin
Acos
A，则的值等于________，AC的取值范围为________．
9．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC的面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
[战疑难]
10．在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，且∠BPC＝120°，则的最小值为________．
课时作业24 正弦定理
1．解析：由正弦定理，得＝，即＝，
即a＝4，解得a＝4，故选B.
答案：B
2．解析：∵A＝60°，a＝4，b＝4，
∴由正弦定理得，sin
B＝＝＝.
∵a>b，∴B<60°，∴B＝30°，故选C.
答案：C
3．解析：方法一：在△ABC中，a＝15，b＝24，A＝46°.由正弦定理可得＝，即＝，
∴sin
B＝sin
46°>sin
45°>1，∴B值不存在，此三角形无解．故选C.
方法二：在△ABC中，bsin
A＝24sin
46°>24sin
45°＝12>a＝15.故此三角形无解，故选C.
答案：C
4．解析：在△ABC中，因为a＝4，c＝2，B＝60°，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos
B＝42＋22－2×4×2cos
60°＝12，所以b＝2.
又由正弦定理可得＝，即sin
C＝＝＝，
又由c答案：2 30°
5．解析：因为sin
A?sin
B?sin
C＝1??1，所以a?b?c＝1??1.设a＝x，则b＝x，c＝x，由余弦定理可得cos
B＝＝＝－，故B＝120°.
答案：120°
6．解析：在△ADC中，由余弦定理得
cos
∠ADC＝＝＝－，
∵0°<∠ADC<180°，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝180°－120°＝60°.
在△ABD中，由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝＝5.
7．解析：由A≥90°，知B为锐角，则此三角形最多有一解，故A说法正确；当A<90°，a1，则sin
B>1，此三角形不存在，故B说法错误；若A<90°，且a＝bsin
A，则sin
B＝1，即B＝90°，此三角形为直角三角形，故C说法正确；当A<90°，且a＝b时，A＝B，此三角形为等腰三角形，只有一解，故D说法错误．故正确说法的是AC.
答案：AC
8．解析：由正弦定理得＝，
所以＝，
所以＝2，即AC＝2cos
A.
因为△ABC为锐角三角形
所以
所以30°于是A<.
所以AC＝2cos
A∈(，)．
答案：2 (，)
9．解析：(1)如图，
∵S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD，S△ADC＝AC·AD·sin∠CAD，
又S△ABD＝2S△ADC，且∠BAD＝∠CAD，∴AB＝2AC.
由正弦定理，得＝，
∴＝＝.
(2)∵S△ABD＝2S△ADC，∴BD＝2DC.
又DC＝，∴BD＝.
在△ABD中，由AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠ADB，
得4AC2＝2＋1－2××1×cos(π－∠ADC)＝3＋2cos∠ADC.①
在△ADC中，由AC2＝DC2＋DA2－2DC·DA·cos∠ADC，得AC2＝＋1－2××1×cos∠ADC＝－cos∠ADC，即2AC2＝3－2cos∠ADC.②
由①＋②，得6AC2＝6，AC2＝1，∴AC＝1.
10．解析：如图，将△BAP绕点B顺时针旋转60°到△BCQ处，连接PQ，则△ABP与△CBQ全等，所以PA＝QC.
易得△BPQ为等边三角形，
所以∠BPQ＝60°，所以∠QPC＝∠BPC－∠BPQ＝60°.
在△PQC中，由正弦定理可得
＝＝＝≥，
当且仅当∠PQC＝90°时取等号，因此的最小值为.
答案：第2课时 正弦定理
[教材要点]
要点 正弦定理及常见变形
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等
符号语言
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)
常见变形
a＝2Rsin
A，b＝________，c＝________，sin
A＝，sin
B＝________，sin
C＝________，a?b?c＝____________，＝2R
(1)正弦定理对任意三角形都适用．
(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．
(3)正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广，它的主要功能是实现三角形中的边角互化．
(4)通过正弦定理可“知三求一”．
[教材答疑]
1．[教材P112思考交流]
①当△ABC是锐角三角形时，如图(1)．设BC＝a，CA＝b，AB＝c，连接BO并延长交圆O于点A′，连接A′C，则∠A′CB＝90°，∠A′＝∠A.
在Rt△A′BC中，＝A′B，
∴＝＝A′B＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，即＝2R.
同理可证，＝2R，＝2R.
∴＝＝＝2R.
②当△ABC是钝角三角形时，如图(2)．设BC＝a，CA＝b，AB＝c，连接BO并延长交圆O于点A′，连接A′C，则∠A′CB＝90°，A′＝π－A.
在Rt△A′BC中，∵＝A′B，
∴＝＝＝A′B＝2R，即＝2R.
同理可证，＝2R，＝2R.
∴＝＝＝2R.
综上①②，可得对任意三角形均有＝＝.
2．[教材P113思考交流]
已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解情况如下：
图形
关系式
解的个数
A为锐角
①a＝bsin
A；②a≥b
一解
bsin
A两解
aA
无解
A为钝角或直角
a>b
一解
a≤b
无解
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在△ABC中，已知C＝60°，a＝1，b＝3，可用正弦定理解此三角形．( )
(2)在△ABC中，必有asin
C＝csin
A．( )
(3)在△ABC中，一定有a:b:c＝cos
A:cos
B:cos
C．( )
(4)在△ABC中，a>b?A>B?sin
A>sin
B．( )
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝，A＝60°，B＝45°，则b＝( )
A.
B．2
C.
D．2
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
A＝，则sin
B＝( )
A.
B.
C.
D．1
4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________.
题型一 利用正弦定理解三角形——微点探究
微点1 已知两角和任一边解三角形
例1 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝45°，B＝30°，a＝，则b＝( )
A.－1
B．1
C．2
D.＋1
方法归纳
已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形内角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边．
微点2 已知两边及其一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形．
已知两边及一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况．用正弦定理进行求解时，必须分情况讨论．利用余弦定理求解，就可避免分情况讨论．
方法归纳
已知两边及一边的对角解三角形时，既可以用正弦定理也可以用余弦定理．利用正弦定理时，要先根据“大边对大角”对解的个数进行判断，再分别讨论．利用余弦定理时，可以得到关于某一条边长的一个一元二次方程，从而求得边长，再根据正弦定理和三角形内角和定理求得其他元素．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝30°，C＝105°，a＝10，则b＝( )
A．4 B．8
C．10
D．12
(2)在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝45°，则A＝( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．60°或120°
题型二 判断三角形的形状——师生共研
例3 在△ABC中，若2a＝b＋c，sin2A＝sin
B·sin
C，则△ABC一定是( )
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．非等腰三角形
变式探究 将本例中的条件改为“＝＝”，则△ABC的形状是________________．
方法归纳
利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是：从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系，角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确判断．
题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用——微点探究
微点1 边角转化求值
例4 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin
A－bsin
B＝4csin
C，cos
A＝－，则＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
在与边角互化有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三角形的边角关系求值．
微点2 范围与最值问题
例5 已知在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin
Bsin
C，则A的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
方法归纳
解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路，一是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为边的关系，利用代数方法求解；二是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为角的关系，利用三角中的方法求解．
微点3 在平面几何图形中的应用
例6 如图所示，在△ABC中，P是BC边上的一点，∠APC＝60°，AB＝2，AP＋PB＝4.
(1)求BP的长；
(1)在△ABP中，利用余弦定理可求解；
(2)在△ACP中，由正弦定理求sinC.(2)若AC＝，求sin
C的值．
题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未知的关系，合理选择正弦定理与余弦定理来求解．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin
B＝____________，c＝____________.
(2)已知在△ABC中，A＝30°，AB＝4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边的长度的取值范围为________．
(3)在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC＝________.
易错辨析 解三角形时忽略隐含条件出错
例7 在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．45°或135°
解析：根据正弦定理得＝，即＝，解得sin
B＝.又BC>AC，所以A>B，所以角B的大小为45°.故选B.
答案：B
易错警示
易错原因
纠错心得
忽略BC＝4>4＝AC?A>B这一条件，导致选D出错．即忽略了三角形中大边对大角的条件.
已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，由于三角形内角的正弦都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，因此需要由题中的隐含条件来判断角的情况.
第2课时 正弦定理
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
正弦 2Rsin
B 2Rsin
C sin
A:sin
B:sin
C
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：由正弦定理可得＝，即＝，解得b＝.
答案：A
3．解析：∵a＝3，b＝5，sin
A＝，
∴由正弦定理得sin
B＝＝＝.
答案：B
4．解析：由正弦定理得
sin
B＝＝＝.
又b∴C＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：由正弦定理得
b＝＝
＝＝1.
答案：B
例2 解析：方法一：由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin
C＝.
∵c>b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－(B＋C)＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
B，
得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos
30°，
化简可得a2－9a＋18＝0，解得a＝6或a＝3.
①当a＝6时，由正弦定理，得
sin
A＝＝1，∴A＝90°，c＝180°－(A＋B)＝60°.
②当a＝3时，由正弦定得，得sin
A＝＝，
∴A＝30°，C＝180°－(A＋B)＝120°.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
跟踪训练1 解析：(1)∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理得b＝＝＝10.故选C.
(2)由正弦定理得
sin
A＝＝＝＝，
∵a>b，∴A＝60°或120°.
答案：(1)C (2)D
题型二
例3 解析：由正弦定理得，a2＝b·c，由a＝，得2＝bc，整理得(b－c)2＝0，所以b＝c，因为a＝，所以a＝b＝c，所以三角形ABC为等边三角形．
答案：B
变式探究 解析：由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)得a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，代入＝＝中可得＝＝，
所以，tan
A＝tan
B＝1.
又因为角A，B，C是△ABC的内角，所以A＝B＝45°.
从而C＝90°，故△ABC是等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
题型三
例4 解析：根据正弦定理，由asin
A－bsin
B＝4csin
C，得a2－b2＝4c2.又由余弦定理，得cos
A＝＝＝－＝－，所以＝×4＝6.故选A.
答案：A
例5 解析：由已知及正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos
A，
所以b2＋c2－2bccos
A≤b2＋c2－bc，即cos
A≥.
又因为0答案：C
例6 解析：(1)由已知，得∠APB＝120°.
因为AB＝2，AP＋BP＝4，
所以在△ABP中，由余弦定理，得(2)2＝BP2＋(4－BP)2－2BP·(4－BP)cos
120°.
整理，得BP2－4BP＋4＝0，解得BP＝2.
(2)由(1)知AP＝BP＝2，
所以在△ACP中，由正弦定理，得＝，
所以sin
C＝2×＝.
跟踪训练2 解析：(1)因为bB＝＝.由余弦定理，得b2＋c2－2bccos
A＝a2，即4＋c2－2×2c×＝7，解得c＝3(负值已舍去)．
(2)由正弦定理知＝，所以BC＝＝.
因为△ABC有两解，所以30°C<1，
故BC＝∈(2,4)．
(3)根据题意画出图形，如图所示．
在△ABD中，设BD＝x(x>0)．
根据余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BDcos∠BDA，所以142＝102＋x2－10x，整理得x2－10x－96＝0，
解得x＝16或x＝－6(舍去)，即BD＝16.
由题意知∠BDC＝30°，
在△BCD中，根据正弦定理，得
＝，
则BC＝＝＝8.
答案：(1) 3 (2)(2,4) (3)8课时作业23 余弦定理
[练基础]
1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在△ABC中，若b＝8，c＝8，S△ABC＝16，则A等于( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
4．已知在△ABC中，a比b大2，b比c大2，最大角的正弦值是，则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝________.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos
A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b[提能力]
7．[多选题]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则＝( )
A．2
B．3
C.
D.
8．已知△ABC各角的对边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的范围是________．
9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
[战疑难]
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，已知D是BC边上一点，且CD＝2DB，若AD＝b，则＝________.
课时作业23 余弦定理
1．解析：由余弦定理得
AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos
C
即13＝9＋AC2－2×3×AC×cos
120°
∴AC2＋3AC－4＝0
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．
答案：A
2．解析：由三角形面积公式得×8×8·sin
A＝16，于是sin
A＝，所以A＝30°或A＝150°.故选C.
答案：C
3．解析：∵△ABC中，B＝60°，b2＝ac，
∴cos
B＝＝，∴a2＋c2－2ac＝0?(a－c)2＝0，
∴a＝c，A＝C，∴△ABC为等边三角形．故选D.
答案：D
4．解析：因为a＝b＋2，b＝c＋2，所以a＝c＋4，A为最大角，所以sin
A＝.
又A>B>C，所以A＝120°，
所以cos
A＝－，即＝－，
所以(c＋2)2＋c2－(c＋4)2＝－c(c＋2)，解得c＝3.
所以a＝7，b＝5，c＝3，A＝120°.
S△ABC＝bcsin
A＝×5×3×＝.故选A.
答案：A
5．解析：由余弦定理，得c2＋b2－2bccos
A＝a2，即4＋b2－2×2bcos
A＝5.整理，得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)．
答案：3
6．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos
A，∵a＝4，b＋c＝6，cos
A＝，∴16＝36－bc，∴bc＝8.
由可得
7．解析：∵B＝，a＋c＝b
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2 ①
由余弦定理得a2＋c2－2accos
＝b2 ②
由①②得2a2－5ac＋2c2＝0，即22－5＋2＝0
解得＝2或＝，故选AC.
答案：AC
8．解析：将不等式＋≥1两边同乘以(a＋c)(a＋b)整理得，b2＋c2－a2≥bc，所以cos
A＝≥＝，所以0答案：
9．解析：(1)由余弦定理知，cos
B＝，cos
C＝.
将上式代入＝－，得·＝－，整理得a2＋c2－b2＝－ac.
所以cos
B＝＝－＝－.
因为B为三角形的内角，所以B＝.
(2)将b＝，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accos
B，即b2＝(a＋c)2－2ac－2accos
B得，
13＝16－2ac，所以ac＝3.
所以S△ABC＝acsin
B＝.
10．解析：在△ADB中，由余弦定理的推论得cos
∠ADB＝＝，
在△ADC中，由余弦定理的推论得cos
∠ADC＝＝
由于∠ADB和∠ADC互补，因此＋＝0，化简，得a2＋9b2－3c2＝0.
在△ABC中，根据余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bc·cos
∠BAC＝b2＋c2－bc，代入上式可得10b2－bc－2c2＝0，解得＝.
答案：第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
[教材要点]
要点一 解三角形的具体情形
情形1：已知两个角的大小和一条边的边长应用________定理求解．
情形2：已知两边的边长及其夹角的大小应用________定理求解．
情形3：已知三条边边长，应用________定理求解．
情形4：已知两条边的边长和其中一边对角的大小，首先，由________定理求出第二条边所对角的正弦，这时要判断是两解、一解还是无解．然后根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小，最后，由余弦定理或正弦定理得第三条边的边长．
要点二 涉及有关角的术语
1．仰角与俯角
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角.
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan
α.
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比.
2.方位角与方向角
术语名称
术语意义
图形表示
方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)××度.
北偏东m
°或东偏北90
°－m
°
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)东偏北45°的方向就是东北方向．( )
(2)如图所示，为了测量隧道AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．( )
(3)俯角和仰角都是对于水平线而言的．( )
(4)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1
km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为( )
A.
km B.
km
C．1.5
km
D．2
km
3．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60
m，则树的高度为( )
A．(30＋30)
m
B．(30＋15)
m
C．(15＋30)
m
D．(15＋3)
m
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为________．
题型一 正、余弦定理在几何图形中的应用——师生共研
例1 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD.
(1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA；
(2)若AD＝3AC，求AC.
方法归纳
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程．
跟踪训练1 如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A. B．5
C．6
D．7
题型二 正、余弦定理与平面向量的结合应用——师生共研
例2 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos
A，sin
B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝1，求△ABC的面积．
方法归纳
当解三角形与平面向量综合时，往往只需利用平面向量的有关公式，就可把原问题转化为解三角形问题．
跟踪训练2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a.
题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用——微点探究
微点1 测量距离问题
例3 如图，某货轮在A处看灯塔B位于北偏东75°方向，距离为12海里，在A处看灯塔C位于北偏西30°方向，距离为8海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B位于南偏东60°方向，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
方法归纳
实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个或几个三角形中，可用余弦定理或正弦定理求解．
微点2 测量高度问题
例4 在学校每周一举行的升旗仪式上，从坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10米(如图所示)，则旗杆的高度为________米．
方法归纳
测量高度问题一般涉及仰角、俯角等，在画图时，要注意运用空间想象力．解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题，避免复杂的运算．
微点3 测量角度问题
例5 在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处有一条缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向航行能最快追上走私船？最少要花多长时间？
方法归纳
与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角的大小关系，但解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，从而利用正弦定理、余弦定理将这些边、角联系起来求解．
跟踪训练3 (1)如图，为了测量山顶上灯塔CD的高度，某人从高h＝40的楼AB的底部A处和楼顶B处测得灯塔顶部D处的仰角分别为β＝60°，α＝30°.若山顶高a＝35，则灯塔的高度是( )
A．15
B．25
C．40
D．60
(2)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a
n
mile，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n
mile.
第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
正弦 余弦 余弦 正弦
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝
(km)．
答案：A
3．解析：方法一 在△ABP中，由正弦定理可得＝，
则PB＝＝30(＋)(m)
设树的高度为h，则h＝PBsin
45°＝(30＋30)m.
方法二 设树的高度为h，则AB＝－＝60，解得h＝(30＋30)
m.
答案：A
4．解析：将c2＝a2＋b2－2abcos
C与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，则S△ABC＝absin
C＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin∠BCA＝.
(2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝.
在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos∠BAC＝＝.
又∠BAC＋∠CAD＝，
所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝.
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3.
跟踪训练1 解析：连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝120°－30°＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos
C，可得BD2＝22＋22－2×2×2cos
120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin
120°＝5.故选B.
答案：B
题型二
例2 解析：(1)因为m∥n，所以asin
B－bcos
A＝0，
由正弦定理，得sin
Asin
B－sin
Bcos
A＝0.
因为sin
B≠0，所以tan
A＝.因为0(2)由正弦定理得＝，
得：sin
B＝.
由a>b知A>B，所以B＝，
所以C＝π－－＝，
∴S△ABC＝ab＝.
跟踪训练2 解析：因为·＝－6，所以bccos
A＝－6.
又S△ABC＝3，所以bcsin
A＝6，
因为tan
A＝－1.
又0又b＝3，所以c＝2.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝9＋8－2×3×2×＝29，
所以a＝.
题型三
例3 解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
∴B＝180°－60°－75°＝45°.
又AB＝12海里，
∴由正弦定理可得AD＝＝＝24(海里)，
即A处与D处之间的距离为24海里．
(2)在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos
30°＝192，∴CD＝8海里，即灯塔C与D处之间的距离为8海里．
例4 解析：如图所示，记看台上的一列为BC，旗杆为OP，
依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∠PBO＝60°，BC＝10米，
∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，
∴在△PBC中，由正弦定理可知PB＝·sin
∠PCB＝20(米)，
∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin
∠PBO＝20×＝30(米)，
即旗杆的高度为30米．
答案：30
例5 解析：如图所示，假设缉私船用t(t>0)小时在D处追上走私船，两船所用时间相等，则有CD＝10t，BD＝10t.
由题意知AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos
∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos
120°＝6，所以BC＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
故sin
∠ABC＝.
又因为0°<∠ABC<60°，所以∠ABC＝45°，则BC为东西走向，
所以∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，由正弦定理得sin
∠BCD＝＝＝.
因为0°<∠BCD<60°，所以∠BCD＝30°，所以∠BDC＝180°－120°－30°＝30°，则BD＝BC＝，即10t＝，得t＝.
所以缉私船沿北偏东60°方向航行能最快追上走私船，最少需用小时．
跟踪训练3 解析：(1)过点B作BE⊥DC于点E，过点C作CF⊥AF于点F.则D、E、F三点共线，
如图所示，在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以AD＝.在Rt△ADF中，DF＝ADsin
β＝.
又山高为a，则灯塔的高度CD＝DF－CF＝－a＝－35＝60－35＝25.故选B.
(2)如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv.又B＝120°，则在△ABC中，由正弦定理得＝.
即＝，
得sin
∠CAB＝.
∵0°<∠CAB<60°，
∴∠CAB＝30°，∴60°－∠CAB＝60°－30°＝30°，
即甲船应沿北偏东30°方向行驶．
又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝a
n
mile，∴AC＝a
n
mile，即追上时甲船行驶了a
n
mile.
答案：(1)B (2)北偏东30° a(共34张PPT)
第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
北
60°
C
B
30975°
■』■囗
B
北
609
甲