6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
最新课标
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
[教材要点]
要点一 向量在平面几何中的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，用夹角公式：cos
θ＝＝____________(θ为a与b的夹角)．
(4)计算线段长度，常用模长公式：|AB|＝||＝__________________.
要点二 向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.( )
(2)若∥，则直线AB与CD平行．( )
(3)物理学中的功是一个向量．( )
(4)速度、加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．( )
2．在四边形ABCD中，若·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A．直角梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C.
D．－
4．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
题型一 平面几何中的向量方法——师生共研
例1 (1)已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
(2)已知点O，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，·＝·＝·，则点O，P依次是△ABC的( )
A．重心，垂心
B．重心，内心
C．外心，垂心
D．外心，内心
例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
方法归纳
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
作出图形，取AB的中点E，连接OE.(2)若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
题型二 平面向量在物理中的应用——师生共研
例3 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1
N)和方向(精确到分)．(参考数值：tan
67°53′≈2.4616)
方法归纳
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
跟踪训练2 一艘船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)．
6．2 平面向量在几何、物理中的应用举例
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(3) (4)[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：由＝知BC綊AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由·＝0知，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形．
答案：C
3．解析：F1＋F2＝＋＝(1,1)＋(－3，－2)
＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
4．解析：∵＝(＋)＝(－1,2)，
∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)∵＝(－4,3)，＝(－4,3)，＝(8,0)，
∴＝，可得AB、DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵||＝5，||＝8，
∴||≠||
∴四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形．
(2)∵||＝||＝||，
∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心．
∵·＝·＝·
∴·(－)＝0，·(－)＝0，
∴⊥，⊥，
∴P是△ABC的垂心．
答案：(1)B (2)C
例2 解析：方法一 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二 建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
跟踪训练1 解析：(1)由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形．
(2)如图，取AB的中点E，连接OE，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．
答案：(1)D (2)D
题型二
例3 解析：设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)，
则a1＝300cos
30°＝150，a2＝300sin
30°＝150，b1＝－200cos
45°＝－100，b2＝200sin
45°＝100，
所以F1＝(150，150)，F2＝(－100，100)，
则F＝F1＋F2＝(150，150)＋(－100，100)＝(150－100，150＋100)，
|F|＝＝100≈314.6.
设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan
θ＝≈2.461
6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.
故两个力的合力约是314.6
N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′.
跟踪训练2
解析：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝＝4，
∴tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，
故船实际航行速度的大小为4
km/h，方向与水流速间的夹角为60°.课时作业26 平面向量在几何、物理中的应用举例
[练基础]
1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
3．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
4．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
6．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
[提能力]
7．[多选题]在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
8．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别是2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
9．如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.
(1)求y与x的关系式；
(2)若⊥，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
[战疑难]
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上的一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
课时作业26 平面向量在几何、物理中的应用举例
1．解析：由(＋)·＝||2，得(＋－)·＝0，
即(＋＋)·＝0，
∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°，
即△ABC的形状一定是直角三角形．
无法判断△ABC是不是等腰三角形，故选C.
答案：C
2．解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
答案：D
3.
解析：由题意知|v水|＝2
m/s，|v船|＝10
m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小
|v|＝＝＝2
(m/s)．
答案：B
4．解析：由＝3e，＝5e，得∥，
≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
5．解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)，
设＝λ，则点E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E.
故＝，则||＝＝，即ED＝.
答案：
6．证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，
即a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，所以·＝e·(d－c)＝0，所以⊥，即AD⊥BC.
7．解析：由·＝||||cos
A
＝||||，得||2＝·，A正确；
由·＝||||cos
B＝||||得
||2＝·，B正确；
由·＝||||cos
(π－∠ACD)<0
又||2>0，C错误．
由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC
所以||||＝||||
由A，B可得：||2＝，D正确．故选ABD.
答案：ABD
8．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，A(0,0)，D.
设＝＝λ，λ∈[0,1]，则
M，N
∴·＝·
＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6
∵λ∈[0,1]，∴·∈[2,5]．
答案：[2,5]
9．解析：(1)∵＝＋＋＝(4＋x，y－2)，
∴由∥，得x(y－2)＝y(4＋x)，
即y＝－x.
(2)由题易得，＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．
由⊥可得·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
又∵y＝－x，
∴或
∴＝(8,0)，＝(0，－4)或＝(0,4)，＝(－8,0)，
又∵⊥，∴四边形ABCD的面积为·||||＝×8×4＝16.
10．解析：如图，设A(2,0)，C(2,1)，D(0,1)．连接CD，PC，AC，过点P作PB⊥CD于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，所以圆心角∠PCA＝2，所以∠PCB＝2－.所以PB＝sin
＝－cos
2，CB＝cos
＝sin
2.所以xP＝2－CB＝2－sin
2，yP＝1＋PB＝1－cos
2，所以＝(2－sin
2,1－cos
2)．
答案：(2－sin
2,1－cos
2)(共25张PPT)
6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
E
B
