(共34张PPT)
§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1．2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1．3 综合应用课时作业27 基本关系式
由一个三角函数值求其他三角函数值
综合应用
[练基础]
1．已知α是第二象限角，且cos
α＝－，则tan
α的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
2．化简：的结果为( )
A．sin
50°－cos
50°
B．cos
50°－sin
50°
C．sin
50°＋cos
50°
D．－sin
50°－cos
50°
3．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
4．若α为第三象限角，则＋的值为________．
5．已知tan
α＝3，则sin2α－2sin
αcos
α＝________.
6．求证：·＝1.
[提能力]
7．[多选题]已知θ∈(0，π)，sin
θ＋cos
θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈
B．cos
θ＝－
C．tan
θ＝－
D．sin
θ－cos
θ＝
8．若θ为第四象限角，则
－可化简为( )
A．2tan
θ
B．－
C．－2tan
θ
D.
9．已知－x＋cos
x＝，求下列各式的值．
(1)sin
x－cos
x；
(2).
[战疑难]
10．设α是第三象限，问是否存在实数m，使得sin
α，cos
α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
课时作业27 基本关系式
由一个三角函数值求其他三角函数值
综合应用1.解析：∵α为第二象限角，∴sin
α＝＝＝，∴tan
α＝＝＝－.
答案：D
2．解析：原式＝
＝＝|sin
50°－cos
50°|＝sin
50°－cos
50°.
答案：A
3．解析：∵sin
α＝，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－＝－.
答案：B
4．解析：∵α为第三象限角，∴sin
α<0，cos
α<0，∴原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
答案：－3
5．解析：sin2α－2sin
αcos
α＝＝＝＝.
答案：
6．证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1.
7．解析：∵sin
θ＋cos
θ＝ ①
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝，
即1＋2sin
θcos
θ＝，
∴2sin
θcos
θ＝－，
∵θ∈(0，π)，∴sin
θ>0，cos
θ<0，∴θ∈，
∴(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
∴sin
θ－cos
θ＝ ②
由①②得sin
θ＝，cos
θ＝－，
∴tan
θ＝＝－.
故选ABD.
答案：ABD
8．解析：∵θ为第四象限角，则sin
θ<0，且0θ<1，
∴1±cos
θ>0，
∴
－
＝
－
＝
－
＝－
＝－＋＝.
答案：D
9．解析：(1)∵sin
x＋cos
x＝，
∴(sin
x＋cos
x)2＝2，即1＋2sin
xcos
x＝，
∴2sin
xcos
x＝－.
∵(sin
x－cos
x)2＝sin2x－2sin
xcos
x＋cos2x＝1－2sin
xcos
x＝1＋＝，
又－x<0，cos
x>0，
∴sin
x－cos
x<0，∴sin
x－cos
x＝－.
(2)由已知条件及(1)，可知，
解得，∴＝＝.
10．解析：假设存在实数m满足条件，
由题设得Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
sin
α＋cos
α＝－m<0(∵sin
α<0，cos
α<0)，②
sin
αcos
α＝>0(∵sin
α<0，cos
α<0)，③
又sin2α＋cos2α＝1，∴(sin
α＋cos
α)2－2sin
αcos
α＝1，
把②③代入上式得2－2×＝1.
即9m2－8m－20＝0，
解得m1＝2，m2＝－，
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．第四章
三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
最新课标
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan
x.
1.1 基本关系式
1．2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1．3 综合应用
[教材要点]
要点 同角三角函数的基本关系式
(1)sin2α＋cos2α＝________.
(2)tan
α＝________.
(1)基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系，公式中的角可以是具体的数值，也可以是变量，可以是单项式表示的角，也可以是多项式表示的角．
(2)这里的“同角”应广义上的理解，如与，2α与2α是同角，2α
＋与2α
＋也是同角．
(3)sin2α是(sin
α)2的简写，读作“sin
α的平方”，不能将sin2α写成sin
α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的．
(4)同角三角函数基本关系式的等价变形
①sin2α
＝1
－cos2α，sin
α
＝±；
②cos2α
＝1
－sin2α，cos
α
＝±；
③sin
α
＝cos
α·tan
α，cos
α
＝.
[教材答疑]
[教材P141思考交流]
∵tan
α＝＝3，∴sin
α＝3cos
α ①，又sin2α＋cos2α＝1 ②，由①②联立方程解得：
或
∴＝2＋或2－.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(2)对任意角α，sin
α＝cos
α·tan
α都成立．( )
(3)sin2＋cos2＝1.( )
(4)对任意的角α，都有tan
α＝成立．( )
2．若α为第二象限角，且sin
α＝，则cos
α＝( )
A．－ B.
C.
D．－
3．已知tan
α＝，且α∈，则sin
α的值是( )
A．－ B.
C.
D．－
4．已知tan
α＝－，则的值是________．
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值——微点探究
微点1 由一个三角函数值求其他三角函数值
例1 (1)已知sin
α＝－，且α是第三象限角，求cos
α，tan
α的值；
(2)已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
方法归纳
在使用开平方关系sin
α＝±和cos
α＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限．
微点2 利用弦化切求值
例2 已知tan
α＝2，求下列各式的值．
(1)；(2)4sin2α－3sin
αcos
α＋1.
所求式子都是关于sin
α、cos
α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos
α的整数次幂，就是把所求式子用tan
α表示，再求式子的值．
跟踪训练1 (1)已知sin
θ＝，θ∈，则tan
θ＝( )
A．－2
B．－
C．－
D．－
(2)已知＝，则tan
θ的值为( )
A．－4
B．－
C.
D．4
题型二 利用sin
θ±cos
θ与sin
θcos
θ关系求值——师生共研
例3 已知θ∈(0，π)，sin
θ＋cos
θ＝，求：
(1)sin
θ·cos
θ；(2)sin
θ－cos
θ.
变式探究1 将本例中的条件改为“sin
θ·cos
θ＝，且<θ<”，则cos
θ－sin
θ的值为________．
变式探究2 变式探究1中的条件不变，则sin4θ＋cos4θ＝________.
方法归纳
sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个．即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，利用此关系求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值时，要注意判断它们的符号．
题型三 利用同角三角函数基本关系式化简、证明——师生共研
例4 (1)化简：
.
(2)求证：＝.
方法归纳
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
证明简单三角恒等式的思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练2 (1)化简：；
(2)求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
易错辨析 忽略隐含条件致错
例5 若sin
α＝，cos
α＝，<α<π，则m＝________.
解析：由题意得，解得m＝8.
答案：8
易错警示
易错原因
纠错心得
直接利用平方关系式，忽略角的范围，造成错解m＝0或m＝8.
审题认真，不能漏掉每一个条件，本题<α<π，就是告诉sin
α>0，cos
α＜0.
第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
1．1 基本关系式
1．2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1．3 综合应用新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
(1)1 (2)
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：∵α是第二象限角，∴cos
α＝－＝－.
答案：A
3．解析：∵α∈(π，)，∴sin
α<0.由tan
α＝＝，
sin2α＋cos2α＝1，得sin
α＝－.
答案：A
4．解析：＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.
又∵α是第三象限角，∴cos
α<0，
即cos
α＝－，∴tan
α＝＝－×＝.
(2)∵cos
α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin
α>0，tan
α<0，
∴sin
α＝＝＝，
tan
α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin
α<0，tan
α>0，
∴sin
α＝－＝－＝－，
tan
α＝＝.
例2 解析：(1)原式＝＝＝＝－1.
(2)原式＝4sin2α－3sin
αcos
α＋1
＝＋1
＝＋1
＝＋1＝3.
跟踪训练1 解析：(1)∵sin
θ＝，θ∈，
∴cos
θ＝－＝－，
∴tan
θ＝＝＝－.
(2)＝＝，解得tan
θ＝－4.
答案：(1)D (2)A
题型二
例3 解析：(1)∵sin
θ＋cos
θ＝，∴(sin
θ＋cos
θ)2＝，
即1＋2sin
θcos
θ＝，∴sin
θ·cos
θ＝－.
(2)∵θ∈(0，π)，由(1)知sin
θcos
θ＝－，
∴sin
θ>0，cos
θ<0，即sin
θ－cos
θ>0，
∴sin
θ－cos
θ＝＝＝＝
＝.
变式探究1 解析：∵(cos
θ－sin
θ)2＝sin2θ－2sin
θcos
θ＋cos2θ＝1－2×＝，∴cos
θ－sin
θ＝±，又<θ<，sin
θ>cos
θ，∴cos
θ－sin
θ＝－.
答案：－
变式探究2 解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×2＝1－＝.
答案：
题型三
例4 解析：(1)＝
＝＝1.
(2)证明：左边＝＝＝＝＝右边，∴原式成立．
跟踪训练2 解析：(1)原式＝
＝＝＝1.
(2)证明：左边＝tan2α－sin2α＝－sin2α
＝＝
＝sin2α·＝tan2α·sin2α＝右边，
∴原式成立．
