课时作业28 两角和与差的余弦公式及其应用
[练基础]
1．cos
25°·cos
35°－sin
155°·cos
55°＝( )
A.
B．－
C.
D．－
2．cos＋sin的值为( )
A．－2
B.
C.
D.
3．已知α∈，β∈，sin
α＝，sin
β＝，则cos(α＋β)等于( )
A．－
B.
C.
D．－
4．设α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α－β)＝，则cos
β等于( )
A.
B．－
C.或－
D.或
5．已知sin
α＝，α∈，则cos的值为________．
6．已知cos＋sin
α＝，求cos的值．
[提能力]
7．[多选题]已知α，β，γ∈，sin
α＋sin
γ＝sin
β，cos
β＋cos
γ＝cos
α，则下列说法正确的是( )
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝－
C．β－α＝
D．β－α＝－
8．已知sin(3π－θ)＝sin，(θ∈R)，则cos＝________.
9．已知tan
α＝4，cos(α＋β)＝－，且α，β均为锐角，求cos
β的值．
[战疑难]
10．若cos＝，sin＝，α∈，β∈，则cos(α＋β)等于( )
A.
B．－
C．－
D.
课时作业28 两角和与差的余弦公式及其应用
1．解析：原式＝cos
25°cos
35°－sin(180°－25°)·cos(90°－35°)
＝cos
25°·cos
35°－sin
25°·sin
35°
＝cos(25°＋35°)＝cos
60°＝.故选C.
答案：C
2．解析：原式＝2＝2＝2cos＝2cos＝.
答案：B
3．解析：∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝＝，
∵β∈，sin
β＝，
∴cos
β＝－＝－，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×
＝－.故选A.
答案：A
4．解析：因为α，β都是锐角，且cos
α＝，
sin(α－β)＝，
所以sin
α＝＝；
同理可得cos(α－β)＝，
所以cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝，故选A.
答案：A
5．解析：∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝－＝－＝－，
∴cos＝coscos
α＋sinsin
α
＝×＋×＝.
答案：
6．解析：因为cos＋sin
α＝cos
α＋sin
α＝，所以cos
α＋sin
α＝，所以cos＝cos
α＋sin
α＝.
7．解析：由已知，得sin
γ＝sin
β－sin
α，cos
γ＝cos
α－cos
β，两式分别平方相加得(sin
β－sin
α)2＋(cos
α－cos
β)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．又∵sin
γ＝sin
β－sin
α>0，∴β>α，∴β－α＝，C正确，D错误．
答案：AC
8．解析：由sin(3π－θ)＝sin得sin
θ＝cos
θ.因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以或
所以cos＝cos
θ＋sin
θ＝±.
答案：±
9．解析：∵α∈，tan
α＝4，∴sin
α＝4cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin
α＝，cos
α＝，
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－.
∴sin(α＋β)＝，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×
＝.
10．解析：∵α∈，∴－α∈
∴sin＝－
＝－.
又β∈，∴＋β∈，
∴cos＝
＝.
∴cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝－.
答案：C§2 两角和与差的三角函数公式
最新课标
(1)经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
(2)能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换.
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
[教材要点]
要点 两角和与差的余弦公式
名称
简单符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)
cos(α－β)＝________________
α，β为任意角
两角和的余弦
C(α＋β)
cos(α＋β)＝________________
α，β为任意角
(1)公式的特点：公式左边是差(和)角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和(差)式，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式．
(2)两角差的余弦公式是三角函数公式的基础，要理解公式的推导方法，公式的应用要讲究一个“活字”，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β
＝(α＋β)
－α，β
＝
－等．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意角α，β都有cos(α－β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.( )
(2)存在角α，β使得cos(α－β)＝cos
α－cos
β.( )
(3)对任意角α，β都有cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.( )
(4)存在角α，β使得cos(α＋β)＝cos
α＋cos
β.( )
2．cos
75°＝( )
A.
B.
C.
D.
3．cos
45°·cos
15°＋sin
45°·sin
15°等于( )
A.
B.
C.
D.
4．已知cos
α＝，α∈，则cos＝________.
题型一 给角求值——自主完成
1．计算coscos＋cossin＝( )
A．0
B.
C.
D.
2．cos
63°sin
33°－sin
117°sin
57°＝________.
3.＝________.
方法归纳
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
题型二 给值求值——师生共研
根据平方关系由sin
α求cos
α，由cos
β求sin
β.
例1 已知sin
α＝，α∈，cos
β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)，cos(α＋β)．
变式探究1 将本例中的条件改为“α，β∈，sin
α＝，cos(α＋β)＝－”，求cos
β.
变式探究2 将本例中的条件改为“α∈，β∈，cos＝，cos＝”，求cos.
方法归纳
给值求值的解题策略
(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的形式．
(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等．
题型三 给值求角——师生共研
先求cos
β，再利用公式cos
β＝cos[(α＋β)－α]求解．例2 已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．
方法归纳
(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．
(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．
跟踪训练 已知sin
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则β的值为________．
易错辨析 忽略三角函数值对角的范围限制致错
例3 若α，β均为锐角，sin
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β＝( )
A.
B.
C.或
D．－
解析：∵α，β均为锐角，且sin
α＝>sin(α＋β)＝.
∴α＋β为钝角，
∴cos(α＋β)＝－＝－，
cos
α＝＝.
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.故选B.
答案：B
易错警示
易错原因
纠错心得
忽略了sin
α＝>sin(α＋β)＝，没能判断α＋β的范围致错，错选C.
解答此类问题时，不仅要考虑已知角的范围，还要考虑由三角函数值对角的限制进一步缩小范围，否则容易出错.
§2 两角和与差的三角函数公式
2．1 两角和与差的余弦公式及其应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
cos
αcos
β＋sin
αsin
β cos
αcos
β－sin
αsin
β
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：cos
75°＝cos(30°＋45°)
＝cos
30°cos
45°－sin
30°sin
45°
＝×－×
＝，故选B.
答案：B
3．解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos
30°＝.
答案：B
4．解析：因为cos
α＝，α∈，
所以sin
α＝＝
＝.
所以cos＝cos
α
cos＋sin
αsin＝×＋×＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：原式＝coscos＋sinsin＝coscos＋sinsin＝cos＝cos＝.
答案：C
2．解析：原式＝cos
63°cos
57°－sin
63°·sin
57°＝cos(63°＋57°)＝cos
120°＝－.
答案：－
3．解析：原式＝
＝
＝－sin
30°
＝－.
答案：－
题型二
例1 解析：∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝－＝－＝－，
又cos
β＝－，β是第三象限角，
∴sin
β＝－＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×
＝－，
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×
＝.
变式探究1 解析：因为α，β∈，
所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝－，
得sin(α＋β)＝，
又sin
α＝，所以cos
α＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝×＋×＝.
变式探究2 解析：∵0<α<，－<β<0，
∴<α＋<，<－<，
又∵cos＝，cos＝，
∴sin＝，sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝.
题型三
例2 解析：因为0<β<α<，
所以0<α＋β<π，
由cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
得sin
α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝.
所以β＝.
跟踪训练 解析：∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)
∴cos
α＝＝
＝，
sin(α＋β)＝
＝，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.
答案：(共23张PPT)
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
