2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
[教材要点]
要点一 两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝________________
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝________________
α，β∈R
(1)记忆口诀：正余余正，符号相同．
(2)公式逆用：sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝sin(α＋β)
sin
αcos
β－cos
αsin
β＝sin(α－β)
要点二 两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正切
tan(α＋β)＝____________
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β)＝____________
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[教材答疑]
[教材P146思考交流]
在例3中，sin＝cos，是一个必然现象．
因为：＋＝.
所以－α＝－，
∴sin＝sin＝cos，
cos＝cos＝sin.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α，β角，都有sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β.( )
(2)存在α，β角，使得sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β.( )
(3)存在α，β角，使得tan(α－β)＝tan
α－tan
β.( )
(4)对任意的α，β角，都有tan(α±β)＝.( )
2．sin
15°cos
75°＋cos
15°sin105°等于( )
A．0 B.
C.
D．1
3．已知tan
α＝4，tan
β＝3，则tan(α＋β)＝( )
A.
B．－
C.
D．－
4．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，则α－β＝________.
题型一 给角求值——自主完成
求下列各式的值：
(1)tan
12°＋tan
33°＋tan
12°tan
33°；
(2)sin＋2sin－cos；
(3)；
(4)(tan
10°－)·.
方法归纳
解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
题型二 给值求值——师生共研
寻找2α(2β)与已知α－β的变换关系．
例1 (1)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos
2α与cos
2β的值．
(2)已知tan＝，tan＝2.求：tan(α＋β)．
变式探究1 本例(1)中的条件改为“α∈，β∈，cos＝，sin＝”，求sin(α＋β)的值．
变式探究2 本例(2)中的条件改为“β∈，sin
β＝，tan
α＝”，求tan(α－β)．
方法归纳
给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
题型三 给值求角——师生共研
例2 设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tan
α，tan
β，且0<|α|<，0<|β|<，求α＋β的值．
方法归纳
(1)已知某三角函数值求角问题，通常分两步：①先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；②根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．
(2)等式中同时出现tan
A±tan
B与tan
A·tan
B时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．
跟踪训练 已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
易错辨析 忽略条件中隐含的角的范围出错
例3 已知tan2α＋6tan
α＋7＝0，tan2β＋6tan
β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
解析：由题意知∴tan
α<0，tan
β<0(
)
又α，β∈(0，π)，∴α∈，β∈
∴α＋β∈(π，2π)，∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∴α＋β＝π.
易错警示
易错原因
纠错心得
忽略(
)这一隐含条件.
一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.
2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
sin
αcos
β＋cos
αsin
β sin
αcos
β－cos
αsin
β
要点二
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：sin
15°cos
75°＋cos
15°sin
105°＝sin
15°cos
75°＋cos
15°sin
75°＝sin(15°＋75°)＝sin
90°＝1.
答案：D
3．解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：B
4．解析：因为α，β均为锐角，
所以cos
α＝，cos
β＝.
所以cos(α－β)＝cos
α·cos
β＋sin
α·sin
β
＝×＋×＝.
又因为sin
α>sin
β，所以0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
解析：(1)∵＝tan(12°＋33°)＝tan
45°＝1.
∴tan
12°＋tan
33°＝1－tan
12°tan
33°，
∴tan
12°＋tan
33°＋tan
12°tan
33°＝1.
(2)原式＝sin
xcos＋cos
xsin＋2sin
xcos－2cos
xsin－coscos
x－sinsin
x
＝sin
x＋cos
x
＝sin
x＋cos
x
＝0.
(3)∵sin
47°＝sin(30°＋17°)＝sin
30°cos
17°＋cos
30°sin
17°，
∴原式＝＝sin
30°＝.
(4)原式＝(tan
10°－tan
60°)
＝
＝·
＝·
＝·
＝－＝－2.
题型二
例1 解析：(1)因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝－，
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.
(2)∵tan＝tan＝＝－
∴tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
变式探究1 解析：∵<α<，∴－<－α<0.
∴sin＝－＝－.
又∵0<β<，
∴<＋β<π，
∴cos＝－＝－，
sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝.
变式探究2 解析：∵β∈，sin
β＝，
∴cos
β＝－＝－＝－
∴tan
β＝＝＝－2
∴tan(α－β)＝＝＝7.
题型三
例2 解析：由已知，得tan
α＋tan
β＝－3，tan
αtan
β＝4.
所以tan(α＋β)＝＝＝，
且tan
α<0，tan
β<0，
所以－<α<0，－<β<0，
所以－π<α＋β<0，
所以α＋β＝－π.
跟踪训练 解析：tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
又因为α∈(0，π)，而tan
α>0，所以α∈.
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.
因为tan
β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，
所以α－β∈(－π，0)．
由tan(α－β)＝>0，得α－β∈，
所以2α－β∈(－π，0)．
又tan(2α－β)＝1，
所以2α－β＝－.课时作业29 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
[练基础]
1．sin
105°的值为( )
A.
B.
C.
D.
2．已知sin(π＋α)＝，|α|<，则cos＝( )
A.
B.
C.
D.
3．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
4．已知tan＝2，则tan
α＝________.
5．已知cos＝，则cos
α＝________.
6．已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
[提能力]
7．[多选题]在△ABC中，∠C＝120°，tan
A＋tan
B＝，下列各式正确的是( )
A．tan(A＋B)＝－
B．tan
A＝tan
B
C．cos
B＝sin
A
D．tan
A·tan
B＝
8．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos
A＝( )
A.
B.
C．－
D．－
9．已知tan
α＝，sin
β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
[战疑难]
10．是否存在锐角α，β，使得：(1)α＋2β＝；(2)tan·tan
β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由．
课时作业29 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1．解析：sin
105°＝sin(45°＋60°)＝sin
45°cos
60°＋cos
45°sin
60°＝×＋×＝.
答案：D
2．解析：∵sin(π＋α)＝－sin
α＝，∴sin
α＝－.又|α|<，
∴cos
α＝
＝，∴cos＝cos
αcos－sin
αsin＝×＋×＝.
答案：B
3．解析：因为cos
α＝－，α是第三象限的角，所以sin
α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin
αcos＋cos
αsin＝×＋×＝－.
答案：A
4．解析：tan＝tan＝tan＝2，
∴tan
α＝tan＝＝－3.
答案：－3
5．解析：由于0<α－<，
cos＝，
所以sin＝.
所以cos
α＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.
答案：
6．解析：∵sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin
αcos
β＝1 ①，cos2α＋sin2β＋2cos
αsin
β＝0 ②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
7．解析：∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝tan
60°＝，A错；∵tan
A＋tan
B＝(1－tan
Atan
B)＝，∴tan
A·tan
B＝ ①，∴D正确；又tan
A＋tan
B＝ ②，由①②联立解得tan
A＝tan
B＝，所以cos
B＝sin
A，故B、C正确．故选BCD.
答案：BCD
8.
解析：如图，设AD＝a，则AB＝a，CD＝2a，AC＝a，∴sin
α＝cos
α＝，sin
β＝，cos
β＝，∴cos
A＝cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
答案：C
9．解析： ∵tan
α＝<1且α为锐角，
∴0<α<.
又∵sin
β＝<＝且β为锐角．∴0<β<，
∴0<α＋2β<.①
由sin
β＝，β为锐角，得cos
β＝，∴tan
β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②
由①②可得α＋2β＝.
10．解析：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantan
β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，所以tan＝＝.
又因为tantan
β＝2－，所以tan＋tan
β＝3－.
因此tan，tan
β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解该方程得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝.这与α为锐角矛盾．
所以tan＝2－，tan
β＝1，
所以β＝，α＝－2β＝.
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.(共31张PPT)
2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
