2．3 三角函数的叠加及其应用
[教材要点]
要点一 Cα＋β，Cα－β，Sα＋β，Sα－β的逆用
cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝________
cos
αcos
β－sin
αsin
β＝________
sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝________
sin
αcos
β－cos
αsin
β＝________
要点二 辅助公式
asin
α＋bcos
α＝______________(a，b不同时为0)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin
φ＝和cos
φ＝的值确定，也就是由tan
φ＝来确定．
[教材答疑]
[教材P149思考交流]
(1)f(x)＝sin
x＋cos
x＝sin，最大值是，最小值是－，周期是2π.
(2)f(x)＝asin
x＋bcos
x(a，b不同时为0)＝sin(x＋φ)，其中tan
φ＝，最大值是，最小值是－，周期是2π.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin
x＋cos
x＝2sin.( )
(2)cos
x－sin
x＝cos.( )
(3)函数y＝sin
2x－cos
2x的最小正周期为π.( )
(4)函数y＝sin
x－cos
x的最大值为1.( )
2．函数y＝3sin
x＋4cos
x的最大值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．函数y＝|sin
x＋cos
x|的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
4．函数f(x)＝sin－cos的单调递增区间为________．
题型一 利用两角和与差的正、余弦公式、辅助公式化简——自主完成
化简下列各式：
1．sincos＋cossin.
2．3sin
2x－cos
2x.
3．2sin＋cos.
方法归纳
对化简的式子提系数，利用两角和与差公式的逆用或辅助公式化为形Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的形式．
题型二 两角和与差的正、余弦公式与三角函数的综合运用——师生共研
例1 已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin
2x＋a的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
跟踪训练1 [多选题]已知函数f(x)＝cos
2xcos
φ－sin
2xsin
φ的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是( )
A．直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数f(x)的图象向右平移个单位可得到y＝cos
2x的图象
D．函数f(x)在上的最小值为－1
例2 已知函数f(x)＝sin
2x＋mcos
2x＋n(m>0)
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)设x∈，f(x)的最小值是1－，最大值是3，求实数m，n的值．
跟踪训练2 已知定义在R上的函数f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx(ω>0)．若f(x)的最小正周期为π，且对一切x∈R，都有f(x)≤f＝4，求函数f(x)的表达式．
2．3 三角函数的叠加及其应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
cos(α－β) cos(α＋β) sin(α＋β) sin(α－β)
要点二
sin(α＋φ)[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．解析：由辅助公式得y＝3sin
x＋4cos
x＝sin(x＋φ)＝5sin(x＋φ)，其中tan
φ＝，所以最大值为5.
答案：C
3．解析：y＝|sin
x＋cos
x|＝2，所以它的最小正周期为π.故选C.
答案：C
4．解析：f(x)＝sin＝sin
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z
得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数的单调增区间为：
，(k∈Z)．
答案：，(k∈Z)
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：原式＝sin＝sin
x.
2．解析：原式＝2＝2sin.
3．解析：原式＝sin＝3sin，其中tan
φ＝.
题型二
例1 解析：(1)f(x)＝sin＋sin
2x＋a
＝cos
2x＋sin
2x＋a
＝2sin＋a，
∴2＋a＝1，∴a＝－1.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f＝2sin－1
＝2sin－1.
∵x∈，
∴2x＋∈
∴当2x＋＝时，sin＝，
g(x)取最大值－1.
当2x＋＝时，sin＝－1，
g(x)取最小值－3.
跟踪训练1 解析：∵f(x)＝cos
2xcos
φ－sin
2xsin
φ＝cos(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，
∴cos＝0，则＋φ＝＋kπ，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.
∵0<φ<，
∴φ＝.
则f(x)＝cos.
∵f＝cos＝cos
π＝－1，
∴直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴，故A正确；
当x∈时，2x＋∈，
∴函数f(x)在上单调递减，故B正确；
函数f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝cos＝cos的图象，故C项错误；
当x∈时，2x＋∈，
∴函数f(x)在上的最小值为cos
π＝－1，故D正确．
故选A、B、D.
答案：ABD
例2 解析：(1)f(x)＝sin
2x＋mcos
2x＋n
＝m＋n
＝msin＋n.
∵m>0，
∴由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间为，(k∈Z)．
(2)当x∈时，2x＋∈，
则sin∈，
由题意知
解得m＝2，n＝1.
跟踪训练2 解析：利用辅助角公式，可得f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中tan
φ＝)．又最小正周期T＝＝π，∴ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．∵对一切x∈R，都有f(x)≤f＝4，∴解得
∴f(x)＝2sin
2x＋2cos
x．即f(x)＝4sin.(共24张PPT)
2．3 三角函数的叠加及其应用课时作业30 三角函数的叠加及其应用
[练基础]
1．函数f(x)＝sin
x－cos
x，则函数f(x)的最大值为( )
A．2
B.
C．0
D．－2
2．设a＝sin
14°＋cos
14°，b＝sin
16°＋cos
16°，c＝，则下列结论正确的是( )
A．a
B．bC．cD．a3．已知函数f(x)＝sin
x＋acos
x的图象的一条对称轴是直线x＝，则函数g(x)＝asin
x＋cos
x的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
4．若x＝α时，函数f(x)＝3sin
x＋4cos
x取得最小值，则sin
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
5．函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)(x∈R)的最小值是________，最大值是________．
6．已知函数f(x)＝asin
x＋bcos
x的图象经过点和.
(1)求实数a和b的值；
(2)当x为何值时，f(x)取得最大值．
[提能力]
7．[多选题]已知函数f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g(x)图象．关于函数g(x)，下列说法不正确的是( )
A．在上是增函数
B．其图象关于直线x＝对称
C．函数g(x)是偶函数
D．在区间上的值域为[－，2]
8．若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________．
9．已知a≠0，函数f(x)＝－acos
2x－asin
2x－2a＋b，x∈，若函数值域为[－5,1]，求常数a，b的值．
[战疑难]
10．定义在区间[a，b](b>a)上的函数f(x)＝sin
x－cos
x的值域是，则b－a的最大值与最小值之和为( )
A.
B．π
C.
D．2π
课时作业30 三角函数的叠加及其应用
1．解析：f(x)＝sin，所以f(x)的最大值为，故选B.
答案：B
2．解析：因为a＝sin
14°＋cos
14°＝sin(14°＋45°)＝sin
59°.b＝sin
16°＋cos
16°＝sin(16°＋45°)＝sin
61°，c＝＝sin
60°，又因为y＝sin
x在(0°，90°)上是单调递增函数，所以sin
59°60°61°，即a答案：D
3．解析：由于函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴f(0)＝f，∴a＝－－，
∴a＝－，
∴g(x)＝－sin
x＋cos
x＝sin，
∴g(x)max＝.故选B.
答案：B
4．解析：由题，则f(x)＝5sin(x＋φ)，sin
φ＝，cos
φ＝，
当α＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即α＝－－φ＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，
则sin
α＝sin＝－cos
φ＝－，
故选B.
答案：B
5．解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.
∴y＝sin
α＋cos(α＋30°)＝sin
α＋cos
αcos
30°－sin
αsin
30°＝sin
α＋cos
α＝sin(α＋60°)．∴ymin＝－1，ymax＝1.
答案：－1 1
6．解析：(1)由题意知解得：a＝1，b＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin
x－cos
x＝2sin
当x－＝2kπ＋，即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．
7．解析：f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx＝2sin，由题意知函数f(x)的最小正周期为π，则＝π，所以ω＝2，f(x)＝2sin，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位，得到g(x)＝2sin＝2sin
2x的图象，当x∈时，2x∈，则g(x)在上单调递减，故A错误；当x＝时，g(x)≠±2，所以直线x＝不是g(x)的对称轴，故B错误；显然g(x)是奇函数，故C错误；当x∈时，2x∈，所以g(x)∈[－，2]，故D正确．故选A、B、C.
答案：ABC
8．解析：f(x)＝cos
x－sin
x＝cos，
令2kπ≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
因此[－a，a]?，∴－a∴0答案：
9．解析：函数y＝－acos
2x－asin
2x－2a＋b
＝－2asin＋2a＋b
当x∈时，∴2x＋∈，
∴sin∈
当a>0时，由题意知
解得a＝2，b＝－5，
当a<0时，由题意知
解得
综上，或.
10．解析：f(x)＝sin
x－cos
x＝sin，因为x∈[a，b](b>a)，所以x－∈，根据题意，不妨令a－＝－，则b－∈，所以b－a的最大值为M＝－＝；最小值为m＝－＝，所以M＋m＝2π.故选D.
答案：D