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2.4 积化和差与和差化积公式2.4 积化和差与和差化积公式
[教材要点]
要点一 积化和差公式
cos
αcos
β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin
αsin
β＝－[cos(α＋β)－cos
(α－β)]；
sin
αcos
β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos
αsin
β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
要点二 和差化积公式
sin
x＋sin
y＝2sincos；
sin
x－sin
y＝2cossin；
cos
x＋cos
y＝2coscos；
cos
x－cos
y＝－2sinsin.
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin
αcos
β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]( )
(2)sin
αsin
β＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]( )
(3)sin
x－sin
y＝2coscos( )
(4)cos
x＋＝2coscos( )
2．sin
15°sin
75°＝( )
A. B.
C.
D.
3．sin
105°＋sin
15°＝( )
A.
B.
C.
D.
4．化简：(1)sin
84°cos
114°＝________________；
(2)cos＋cos＝________________.
题型一 利用积化和差与和差化积公式求值——师生共研
例1 若cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝，求sin(α＋β)的值．
方法归纳
在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可能不同，但最终结果应该是相同的，因此选择合适的公式是解决此类题目的关键，应尽量避开函数值正负不能确定的情况．
跟踪训练1 已知sinsin＝，求tan
θ.
题型二 利用积化和差与和差化积公式化简——师生共研
例2 化简：.
方法归纳
用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数式可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数式有公因式的两个三角函数式进行和差化积．
跟踪训练2 化简：sin(60°－α)sin
αsin(60°＋α)．
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明——师生共研
例3 求证：cos
αsin
β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
方法归纳
三角恒等式的证明主要从两个方面入手
(1)看角，分析角的差异，消除差异，向所求结果中的角转化；
(2)看函数，统一函数，向所求结果中的函数转化．
跟踪训练3 求证：sin
3αsin3α＋cos
3αcos3α＝cos32α.
2．4 积化和差与和差化积公式
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：sin
15°sin
75°＝－[cos(75°＋15°)－cos(15°－75°)]
＝－(cos
90°－cos
60°)＝.故选B.
答案：B
3．解析：sin
105°＋sin
15°＝2sin
cos
＝2sin
60°cos
45°
＝2××
＝.故选C.
答案：C
4．解析：(1)sin
84°cos
114°＝[sin(84°＋114°)＋sin(84°－114°)]
＝(sin
198°－sin
30°)
＝sin198°－.
(2)cos＋cos＝2cos·cos
＝2cos
cos
.
答案：(1)sin198°－ (2)2cos
cos
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：已知cos
α－cos
β＝，①
sin
α－sin
β＝－，②
将①②两式左边和差化积，得－2sinsin＝，③
2cossin＝－，④
由④得cos≠0，sin≠0，
∴③÷④得tan＝，∴sin(α＋β)＝＝.
跟踪训练1 解析：解法1 ∵sinsin＝，
∴－＝.
∴cos
2θ＝－＝.
∴tan
θ＝±2.
解法2 ∵sinsin＝，
∴＝，
∴sin2θ－cos2θ＝，
∴－＝.
即cos
2θ＝－＝.∴tan
θ＝±2.
题型二
例2 解析：原式＝
＝
＝＝.
跟踪训练2 解析：原式＝sin
α(cos
2α－cos
120°)
＝sin
αcos
2α＋sin
α
＝(sin
3α－sin
α)＋sin
α
＝sin
3α.
题型三
例3 证明：sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β，sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，两式相减，得sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos
α
sin
β，
∴cos
αsin
β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
跟踪训练3 证明：左边＝(sin
3αsin
α)sin2α＋(cos
3αcos
α)cos
2α
＝－(cos
4α－cos
2α)sin2α＋(cos
4α＋cos
2α)cos2α
＝－cos
4αsin2α＋cos
2αsin2α＋cos
4αcos
2α＋cos
2αcos
2α
＝cos
4αcos
2α＋cos
2α＝cos
2α(cos
4α＋1)
＝cos
2α·2cos22α＝cos32α＝右边，
∴原式得证．课时作业31 积化和差与和差化积公式
[练基础]
1．sin
20°·cos
70°＋sin
10°·sin
50°的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
2．cos
23°－cos
67°＋2sin
4°cos
26°＝( )
A．－
B.
C．－
D．－
3．化简的结果为( )
A．tan
α
B．tan
2α
C.
D.
4．函数y＝sin－sin
x的值域是( )
A．[－2,2]
B.
C.
D.
5．cos
20°＋cos
100°＋cos
140°＝________.
6．已知sin(α＋β)·sin
(β－α)＝m，则cos2α－cos2β的值为________．
[提能力]
7．在△ABC中，B＝，则sin
A·sin
C的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
8．设直角三角形中两锐角为A和B，则cos
Acos
B的取值范围是________．
9．已知在△ABC中，cos
A＋cos
B＝sin
C，求证：△ABC是直角三角形．
[战疑难]
10．已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan
＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．
课时作业31 积化和差与和差化积公式
1．解析：sin
20°·cos
70°＋sin
10°·sin
50°
＝(sin
90°－sin
50°)－(cos
60°－cos
40°)
＝－sin
50°＋cos
40°＝－sin
50°＋sin
50°＝.故选B.
答案：B
2．解析：cos
23°－cos
67°＋2sin
4°cos
26°
＝2sin
45°sin
22°＋(sin
30°－sin
22°)
＝sin
22°＋－sin
22°＝.故选B.
答案：B
3．解析：＝
＝＝tan
2α.故选B.
答案：B
4．解析：y＝sin－sin
x
＝2cossin＝cos.
∵x∈，∴≤x＋≤.∴y∈.
答案：B
5．解析：原式＝2coscos＋cos
140°
＝2cos
60°·cos
40°＋cos(180°－40°)
＝cos
40°－cos
40°＝0.
答案：0
6．解析：sin(α＋β)·sin(β－α)＝
＝＝cos2α－cos2β＝m.
答案：m
7．解析：sin
Asin
C＝sin
Asin(π－A－B)
＝sin
Asin
＝sin
A
＝sin
2A－cos
2A＋＝sin＋.
∵0
∴当2A－＝时，sin
Asin
C取得最大值.
答案：D
8．解析：由已知可得A＋B＝C＝，则cos
Acos
B＝[cos
(A－B)＋cos
(A＋B)]＝cos
(A－B)．
又因为A－B∈，所以cos
(A－B)∈.
答案：
9．证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin
C＝sin
(A＋B)＝cos
A＋cos
B.
利用和差化积公式，得cos
A＋cos
B＝2coscos，
又∵sin
(A＋B)＝2sincos，∴2sincos＝2coscos，显然cos≠0，
故sin＝cos，两边平方，得sin2＝cos2，
即＝，
∴cos
(A＋B)＋cos
(A－B)＝0，
∴2cos
Acos
B＝0，即cos
A＝0或cos
B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形．
10．解析：∵A，B，C是△ABC的三个内角
∴A＋B＋C＝π
则＝－
∴y＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋tan＋tan.
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化．