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3.1 二倍角公式§3 二倍角的三角函数公式
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(1)能从两角差与和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
(2)能运用二倍角公式进行简单的恒等变换．
(3)能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
3.1 二倍角公式
[教材要点]
要点一 二倍角公式
记法
公式
推导
S2α
sin
2α＝________
S(α＋β)S2α
C2α
cos
2α＝____________
C(α＋β)C2α
cos
2α＝________cos
2α＝________
利用________________消去sin2α或cos2α
T2α
tan
2α＝
T(α＋β)T2α
细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
要点二 二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α；
1－cos
2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝；
sin2α＝.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α角，都有cos
2α＝cos2α－sin2α.( )
(2)对任意的角α，cos
2α＝2cos
α都不成立．( )
(3)对于任意的角α，tan
2α＝.( )
(4)对于任意的角α，sin
4α＝2sin
2αcos
2α.( )
2.
sin
15°cos
15°的值等于( )
A. B.
C.
D.
3．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
4．已知α为第三象限角，cos
α＝－，则tan
2α＝________.
题型一 给角求值——自主完成
求下列各式的值：
(1)coscos；
(2)；
(3)－cos2；
(4)；
(5)sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°.
灵活运用二倍角公式及其逆用；
第(5)题体现了对二倍角的巧用，具体计算时要注意“2”的方幂，不要数错．一般地，sin
2nα＝2·sin
2n
－1αcos
2n
－1α?cos
αcos
2αcos
22α…cos
2n
－1α＝.
题型二 给值求值——师生共研
例1 (1)已知α是第三象限角，cos
α＝－，则sin
2α等于( )
A．－
B.
C．－
D.
(2)若sin＝，α∈，则tan
2α＝( )
A．－
B.
C．－
D.
(3)已知sin
2α＝，则cos2＝________.
方法归纳
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos
2x＝sin＝sin
＝2sincos.
跟踪训练1 (1)已知sin＝，则sin＝( )
A．－
B．－
C.
D.
(2)已知sin＝，02x＝________.
题型三 三角函数式的化简与证明——师生共研
例2 (1)若θ∈，化简＋的结果为( )
A．2sin
θ
B．2cos
θ
C．－2sin
θ
D．－2cos
θ
(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos
2Acos
2B.
方法归纳
三角函数式的化简与证明
(1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
跟踪训练2 化简：
(1)
，其中α∈；
(2)－，其中θ∈(0，π)．
§3 二倍角的三角函数公式
3．1 二倍角公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
2sin
αcos
α α＝β cos2α－sin2α α＝β 1－2sin2α 2cos2α－1 cos2α＋sin2α＝1 α＝β
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：原式＝×2sin
15°cos
15°＝×sin
30°＝.
答案：B
3．解析：1－2sin222.5°＝cos
45°＝.
答案：B
4．解析：因为α为第三象限角，cos
α＝－，
所以sin
α＝－＝－，
tan
α＝，tan
2α＝＝＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
题型一
解析：(1)原式＝cossin＝×2sincos＝sin＝.
(2)原式＝cos2－sin2＝cos＝.
(3)原式＝＝－cos＝－.
(4)原式＝＝＝2.
(5)原式＝cos
20°cos
40°cos
80°
＝·
＝·
＝·
＝·
＝·＝·＝.
题型二
例1 解析：(1)∵α是第三象限角，且cos
α＝－，∴sin
α＝－，∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝.
(2)∵sin＝cos
α＝，α∈，∴sin
α＝，
∴tan
α＝，∴tan
2α＝＝＝－.
(3)cos2＝＝＝＝.
答案：(1)D (2)A (3)
跟踪训练1 解析：(1)∵sin＝，
∴sin＝sin
＝－cos＝－＝－.
(2)因为x∈，所以－x∈，
又因为sin＝，所以cos＝，
所以cos
2x＝sin＝2sincos
＝2××＝.
答案：(1)B (2)
题型三
例2 解析：(1)∵θ∈，∴0>cos
θ>sin
θ，
∴＋
＝＋
＝＋
＝|sin
θ＋cos
θ|＋|sin
θ－cos
θ|
＝－(cos
θ＋sin
θ)＋cos
θ－sin
θ
＝－2sin
θ.
(2)证明：左边＝－
＝
＝(cos
2Acos
2B－sin
2Asin
2B＋cos
2Acos
2B＋sin
2Asin
2B)
＝cos
2Acos
2B＝右边，所以等式成立．
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)∵α∈，∴cos
α>0，∈，
∴cos<0.
故原式＝＝＝＝＝－cos.
(2)原式＝
－
＝
－
＝－.
①当θ∈时，∈，cos≥sin，此时原式＝sin＋cos－cos＋sin＝2sin.
②当θ∈时，∈，cos[练基础]
1．sin4－cos4＝( )
A．－
B．－
C.
D.
2．已知sin
α＝3cos
α，那么tan
2α的值为( )
A．2
B．－2
C.
D．－
3．已知α∈(0，π)，且sin
α＋cos
α＝，则cos
2α的值为( )
A．±
B.
C．－
D．－
4．[多选题]下列各式中，值为的是( )
A．2sin
15°cos
15°
B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215°
D.
5.＋＝________.
6．已知sin＝，则cos＝________.
[提能力]
7.－＝( )
A．－2cos
5°
B．2cos
5°
C．－2sin
5°
D．2sin
5°
8．若2cos
2α＝sin，α∈，则sin
2α＝________.
9．证明：＝tan
θ.
[战疑难]
10．化简：
(3π<α<4π)．
课时作业32 二倍角公式
1．解析：sin4－cos4＝＝－＝－cos＝－.
答案：B
2．解析：因为sin
α＝3cos
α，所以tan
α＝3，所以tan
2α＝＝＝－.
答案：D
3．解析：因为sin
α＋cos
α＝，α∈(0，π)，
所以1＋2sin
αcos
α＝，
所以sin
2α＝－，且sin
α>0，cos
α<0，
所以cos
α－sin
α＝－＝－，
所以cos
2α＝(cos
α－sin
α)(cos
α＋sin
α)＝－.故选C.
答案：C
4．解析：A中，2sin
15°cos
15°＝sin
30°＝，A不符合；B中，cos215°－sin215°＝cos
30°＝，B符合；C中，1－2sin215°＝cos
30°＝，C符合；D中，＝·＝·tan
30°＝，符合．故选B、C、D.
答案：BCD
5．解析：原式＝＝＝tan
2θ.
答案：tan
2θ
6．解析：cos＝cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－.
答案：－
7．解析：原式＝－
＝－
＝(cos
50°－sin
50°)
＝2＝2sin(45°－50°)＝－2sin
5°.
答案：C
8．解析：由2cos
2α＝sin得2sin＝sin，即4sincos＝sin，又sin≠0，所以cos＝，所以sin
2α＝cos＝2cos2－1＝－.
答案：－
9．证明：证法一 左边＝
＝
＝＝
＝＝tan
θ＝右边．
∴原式成立．
证法二：左边＝
＝＝
＝tan
θ＝右边．
∴原式成立．
证法三：左边＝
＝
＝
＝
＝＝tan
θ＝右边．
∴原式成立．
10．解析：因为3π<α<4π，
所以<<2π，<<π，<<.
则cos>0，cos<0，cos>0.
所以原式＝
＝
＝
＝
＝
＝2cos.
