北师大版（2019）高中数学 必修第二册 4.3.2　半角公式课件(共24张PPT)+学案+作业（Word含答案解析）

课时作业33　半角公式
[练基础]
1．已知cos
α＝，α∈，则sin等于(　　)
A．－
B.
C.
D．－
2．若sin
2α＝，且α∈，则cos
α－sin
α的值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
3．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝2sin
13°cos
13°，c＝，则有(　　)
A．cB．aC．aD．b4．若cos
22°＝a，则sin
11°＝________，cos
11°＝________.
5．已知cos
α＝－，且180°<α<270°，则tan＝________.
6．求证：－2cos(α＋β)＝.
[提能力]
7．[多选题]已知函数f(x)＝sin
x(cos
x－sin
x)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在区间上的最小值为－
D．函数f(x)的单调减区间是(k∈Z)
8．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于________．
9．已知函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[战疑难]
10．如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB＝20米，设∠AOB＝θ
rad；一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sin
θ的积成正比，当θ＝时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米．
(1)求s关于时间t的函数的表达式；
(2)请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．
课时作业33　半角公式
1．解析：因为α∈，所以∈，
所以sin＝
＝＝.
答案：B
2．解析：因为α∈，所以cos
αα，(cos
α－sin
α)2＝1－sin
2α＝，所以cos
α－sin
α＝－.
答案：C
3．解析：由已知可得a＝sin
24°，b＝sin
26°，c＝sin
25°，所以a答案：C
4．解析：cos
22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，
所以cos
11°＝
＝
.
sin
11°＝
＝
.
答案：
　　
5．解析：因为180°<α<270°，所以90°<<135°，所以tan<0，所以tan＝－＝－＝－2.
答案：－2
6．证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin
β，
两边同除以sin
α得－2cos(α＋β)＝.
7．解析：∵f(x)＝sin
x(cos
x－sin
x)
＝sin
xcos
x－sin2x
＝sin
2x－×
＝sin
2x＋cos
2x－
＝sin－
∴最小正周期T＝＝π，A对；
f(－x)＝sin－＝－sin－≠f(x)，不是奇函数，B错；
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈，C对；
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，D对．故选A、C、D.
答案：ACD
8．解析：∵α，β∈，cos＝，sin＝－，∴α－＝±，－β＝－.
∴2α－β＝±，α－2β＝－.
α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或(0舍去)．
∴cos(α＋β)＝－.
答案：－
9．解析：(1)f(x)＝－cos
2x＋sin
2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
10．解析：(1)由题意，设s＝kt2sin
θ，t≥0，k≠0，
当θ＝，t＝2时，s＝10，∴10＝k×22sin，解得k＝5，
∴s关于时间t的函数表达式为s＝5t2sin
θ，t≥0.
(2)由题意，∠OBA为直角，∠AOB＝θ
rad，
可得OA＝，∴＝5t2sin
θ，
化简可得t＝
＝，
∴当θ＝时，时间t最短．(共24张PPT)
3.2　半角公式3.2　半角公式
[教材要点]
要点　半角公式
　
巧记“半角公式”
无理半角常戴帽，象限确定帽前号；
数1余弦加减连，角小值大用加号．
“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“
－”号．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos＝.(　　)
(2)存在α∈R，使得cos＝cos
α.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin＝sin
α都不成立．(　　)
(4)若α是第一象限角，则tan＝
.(　　)
2．若cos
α＝，且α∈(0，π)，则cos
的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　B．－
C．±
D．±
3．已知cos
α＝，α∈，则cos的值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
4．设5π<θ<6π，cos＝，则sin＝________.
题型一　求值——自主完成
1．设α是第二象限角，tan
α＝－，且sinA．－　　　B.　　　C.　　　D．－
2．已知tan＝，则cos
α＝________.
3．已知sin
α＝－，π<α<，则sin＝________，cos＝________.
方法归纳
利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan＝＝计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
题型二　三角恒等式的证明——师生共研
例1　若π<α<.
证明：＋＝－cos.
方法归纳
三角恒等式证明的思路
通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．
跟踪训练1　求证：＝sin
2α.
题型三　三角恒等变换与三角函数的综合——师生共研
例2　设函数f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x＋a.
利用降幂公式和辅助角公式，化简函数f(x)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值．
方法归纳
破解此类题的关键：一是“会化简”，即利用相关的三角函数公式，将三角函数变形为f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx＋h的形式，再利用辅助角公式把三角函数f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx＋h化为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋h的形式，三角恒等变换常用的方法是弦切互换法、角的拆变法、辅助角法、升幂与降幂法．二是“用性质”，判断三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b后的周期性、单调性、对称性等．此时需要熟记y＝sin
x的周期性、单调性、对称性等，以及整体视角“ωx＋φ”．三是“得结论”，解出相关的结果，从而得所求的结论．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝sin2x＋2sin
xcos
x＋3cos2x，x∈R，
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
温馨提示：请完成课时作业33
章末质量检测(三)
3．2　半角公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1－2sin2α　2cos2α－1　2α　α　1－2sin2　2cos2－1　
±
　±
[基础自测]
1．(1)×
(2)√　解析：当cos
α＝1－时上式成立．
(3)×　解析：当a＝2kπ(k∈Z)时，上式成立．
(4)√
2．解析：因为α∈(0，π)，所以∈.
所以cos＝
＝＝.
答案：A
3．解析：∵α∈，∴∈，
∴cos＞0.
∴cos＝
＝
＝.故选B.
答案：B
4．解析：∵<<，∴sin<0.
∴sin＝－
＝－
＝－.
答案：－
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：∵α是第二象限角，且sinα＝－，∴cos
α＝－，∴cos＝－＝－.
答案：A
2．解析：∵tan＝±
，∴tan2＝，
∴＝，解得cos
α＝.
答案：
3．解析：∵π<α<，sin
α＝－，∴cos
α＝－，且<<，∴sin＝＝，cos＝－＝－.
答案：　－
题型二
例1　证明：左边＝＋
＝＋
因为π<α<，所以<<，所以sin>0>cos.
所以左边＝＋
＝＋＝－cos＝右边．所以原等式成立．
跟踪训练1　证明：方法一　左边＝
＝＝＝cos
αsincos
＝sin
αcos
α＝sin
2α＝右边．所以原式成立．
方法二　左边＝＝cos2α·＝
cos2αtan
α＝cos
αsin
α＝sin
2α＝右边．
所以原式成立．
题型三
例2　解析：(1)∵f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x＋a，
∴f(x)＝sin
2x＋(1＋cos
2x)＋a＝sin＋a＋.
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
当2x＋＝－时，函数f(x)取最小值，即f(x)min＝－＋a＋＝a；
当2x＋＝时，函数f(x)取最大值，即f(x)max＝1＋a＋＝a＋.
∴a＋a＋＝，解得a＝0.
所以实数a的值为0.
跟踪训练2　解析：(1)f(x)＝＋sin
2x＋＝2＋sin
2x＋cos
2x＝2sin＋2，
所以最小正周期T＝＝π，因为－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，f(x)为单调递增函数，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)＝2＋2sin，由于－≤x≤，所以2x＋∈，
所以sin∈，所以f(x)∈[1,4]，所以f(x)在区间上的值域为[1,4]．