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1.1 复数的概念
实数
复数
a+bi(a,b∈R)
纯虚数
虚数
非纯虚数课时作业34 复数的概念
[练基础]
1．[多选题]下列命题正确的是( )
A．不全为实数的两个复数不能比较大小
B．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则当a＝0且b≠0时，z为纯虚数
C．x＋yi＝1＋i?x＝y＝1
D．复数8＋4i的虚部是4i
2．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A．x＝－
B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2
D．x≠1且x≠－2
4．若复数z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．
6．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
[提能力]
7．[多选题]已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0
D．当m＝4时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
8．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)，不是纯虚数，则a的范围是________．
9．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
[战疑难]
10．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A．[－1,1]
B.
C.
D.
课时作业34 复数的概念
1．解析：两个复数，只有当它们都是实数时，才能比较大小，即A是真命题；对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当实部a＝0，虚部b≠0时为纯虚数，则B是真命题；两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别对应相等，但复数x＋yi的实部不一定是x，虚部不一定是y，故x＋yi＝1＋i?x＝y＝1不成立，即C是假命题；复数的虚部是一个实数，即虚部是4，不是4i，即D是假命题．
答案：AB
2．解析：a＝0时，a＋bi不一定为纯虚数，因为a＝0，b＝0时，a＋bi＝0，当a＋bi为纯虚数时a＝0.
答案：B
3．解析：依题意得x2＋x－2≠0，解得x≠1且x≠－2.
答案：D
4．解析：因为z为纯虚数，所以解得x＝－1.
答案：－1
5．解析：因为z<0，所以所以m＝－3.
答案：－3
6．解析：由复数相等的条件可知：
解得或
或或
7．解析：取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；?a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；取z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错误；复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数等价于解得m＝4，故D正确．故选BD.
答案：BD
8．解析：若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
∴，
解得a＝－1，所以当a≠－1时，复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i不是纯虚数．
答案：a≠－1
9．解析：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
10．解析：∵z1＝z2，
∴
∴4sin
2θ＝λ＋3sin
θ，
∴λ＝42－.
∵－1≤sin
θ≤1，
∴当sin
θ＝时，λ取得最小值－；当sin
θ＝－1时，λ取得最大值7，
∴－≤λ≤7，即λ的取值范围是.
答案：C第五章
复数
§1 复数的概念及其几何意义
最新课标
(1)通过方程的解，认识复数．
(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
1.1 复数的概念
[教材要点]
要点一 复数的概念及其代数表示法
1．复数的定义：形如________(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做________，满足：i2＝________.
2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即________，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的________，实数b叫做复数z的________．
要点二 复数的分类
1．复数的分类
2．集合表示
要点三 复数相等
两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)
相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di，当且仅当________且________．
1.理解复数与复数集的概念应注意以下几点
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数代数形式的应用
(1)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
[教材答疑]
[教材P164思考交流]
N?Z?Q?R?C
用Venn图表示：
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数z1＝2i，z2＝i，则z1>z2.( )
(3)复数z＝－1－2i的虚部是2i.( )
(4)复数z＝bi是纯虚数．( )
2．复数z＝－3－5i的实部和虚部分别是( )
A．3和5i
B．3和－5i
C．－3和－5i
D．－3和－5
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
B．m＝－1
C．m＝1
D．m≠1
4．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝________，y＝________.
题型一 复数的概念——自主完成
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－
D．2
2．下列说法错误的有______．(填序号)
①若z∈C时，z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若a>b，则a＋i>b＋i.
3．给出以下命题：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如a＋bi的数一定是虚数；③两个复数不能比较大小；④若a∈C，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确命题的个数是________．
在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义，复数的代数形式，根据题意，解出结果．
题型二 复数的分类——师生共研
例1 实数m取什么值时，复数z＝m2－5m＋6＋(m2－3m)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
变式探究 本例中的条件改为“m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，”当m为何值时，
(1)z为实数？
(2)z为虚数？
(3)z为纯虚数？
方法归纳
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别要注意，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为a＝0且b≠0.
跟踪训练1 “a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
题型三 复数相等——师生共研
例2 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．
(2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值．
先设出方程的实根，代入后转化为复数相等问题．(3)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
方法归纳
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解．
跟踪训练2 (1)设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i，a，b∈R，则a＋bi＝( )
A．2＋3i
B．－3＋2i
C．3－2i
D．－3－2i
(2)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________.
(3)已知x2－y2＋2xyi＝2i，则z＝x＋yi＝________.(x，y∈R)
易错辨析 对复数虚部的认识不清致错
例3 若z＝i＋i2(i为虚数单位)，则z的虚部是( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：∵z＝i＋i2＝－1＋i，∴z的虚部为1，故选A.
答案：A
易错警示
易错原因
纠错心得
对复数虚部认识不清，误认为虚部是i.
对于复数的实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，而且要注意当a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1．1 复数的概念
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．a＋bi 虚数单位 －1
2．z＝a＋bi 实部 虚部
要点二
1．b＝0 b≠0 a＝0 a≠0
要点三
a＝c b＝d
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．答案：D
3．解析：∵z是纯虚数，∴解得
∴m＝－1.故选B.
答案：B
4．解析：由题意知
解得
答案：－1 －4
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：复数2－bi(b∈R)的实部为2，虚部为－b，由题意知2＋(－b)＝0.∴b＝2.
答案：D
2．解析：①错误，若z＝i，则z2＝－1<0；②错误，当a＝－1时，(a＋1)i＝0∈R；③错误，两个虚数不能比较大小．
答案：①②③
3．解析：①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数，故①错；②形如a＋bi的数不一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大小，故③错；④中当a＝－3时，(a＋3)i＝0，不是纯虚数，故④错．因此正确命题的个数为0.
答案：0
题型二
例1 解析：(1)当m满足m2－3m＝0，即m＝0或m＝3，z为实数．
(2)当m满足m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，z为虚数．
(3)当m满足，即m＝2时，z为纯虚数．
变式探究 解析：(1)要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.
跟踪训练1 解析：若a＝1，则复数z＝4i是纯虚数，
若复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i是纯虚数，
则a2－1＝0且a＋1≠0，
所以a＝1.
因此“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件．
答案：A
题型三
例2 解析：(1)由复数相等的充要条件，得
解得
(2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得解得或
所以a＝±.
(3)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以解得a＝11或a＝－.
跟踪训练2 解析：(1)由2＋ai＝b－3i，a，b∈R，得a＝－3，b＝2.则a＋bi＝－3＋2i.
(2)由复数相等的充要条件知
，∴a＝－4.
(3)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或.∴z＝1＋i或－1－i.
答案：(1)B (2)－4 (3)1＋i或－1－i
