课时作业35 复数的几何意义
[练基础]
1．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1
B.
C.
D．2
3．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
4．复平面内长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数为________．
5．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是________．
6．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y2＝4x上．
[提能力]
7．[多选题]设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
8．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为________．
9．在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
[战疑难]
10．已知z1＝－3＋4i，|z|＝1，
求|z－z1|的最大值和最小值．
课时作业35 复数的几何意义
1．解析：依题意得＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．
答案：C
2．解析：由(1＋i)x＝1＋yi可知x＋xi＝1＋yi，故解得所以|x＋yi|＝
＝.故选B.
答案：B
3．解析：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi.又|z－i|＝1，
∴
＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
答案：C
4．解析：由题意可知A(2,3)，B(3,2)，C(－2，－3)，设D(x，y)，
则＝，即(x－2，y－3)＝(－5，－5)，解得故D点对应的复数为－3－2i.
答案：－3－2i
5．解析：∵|z1|＝，|z2|＝，
∴
<，∴－1
答案：(－1,1)
6．解析：复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内对应的点是
(a2－1,2a－1)．
(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝；
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－1(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，
则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，
解得a＝.
7．解析：|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC.
答案：AC
8．解析：因为复数－1＋2i在复平面内对应的点为A(－1,2)，此点关于直线y＝－x的对称点为点B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
答案：－2＋i
9．解析：(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
10.
解析：如图，|z|＝1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z1在坐标系中的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z－z1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离．
由图可知，点(－3,4)到圆心(原点)的距离为＝5，
故|z－z1|max＝5＋1＝6，|z－z1|min＝5－1＝4.(共31张PPT)
1.2 复数的几何意义1.2 复数的几何意义
[教材要点]
要点一 复平面的定义
建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面．x轴称为________，y轴称为________，实轴上的点都表示________；除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复平面上的点的坐标与复数的关系
(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．
(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
要点二 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点________；
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量____________．
要点三 复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝________.
巧用复数的几何意义解题
(1)复平面内|z
|的意义
我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a
|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，|z
|是表示复数z的点到坐标原点间的距离，也就是向量的模，|z
|＝||.
(2)复平面内任意两点间的距离
设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别为z1、z2，则|PQ|＝|z2－z1|.
运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．
要点四 共轭复数的概念
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为________，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝________，虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)原点是实轴和虚轴的交点．( )
(2)实轴和虚轴的单位都是1.( )
(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( )
(4)复数与复平面内的无数多个向量对应．( )
(5)复数的模一定是正实数．( )
(6)若两个复数互为共轭复数，则这两个复数的模相等．( )
2．复数1－2i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为( )
A．0
B．－5
C．－5i
D．5
4．设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
题型一 复数的几何意义——微点探究
微点1 复数与复平面内点的位置关系
例1 (1)当A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点
①位于第二象限？
②位于直线y＝x上？
方法归纳
(1)判断复数对应的点所在的象限，应先判断复数的实部、虚部的符号，再类比平面直角坐标系进行判断．
(2)根据复数与复平面内的点Z一一对应的关系可通过点Z的位置来求参数的取值．点的横坐标对应复数的实部，点的纵坐标对应复数的虚部．
微点2 复数与复平面内向量的对应关系
例2 (1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i
B．－2＋10i
C．4－2i
D．－12i
(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
方法归纳
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练1 (1)已知a为实数，若复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)在?ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
题型二 复数的模的计算——自主完成
1．已知复数z＝3＋4i(i为虚数单位)，则||＝________.
2．已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝( )
A．2
B．2
C．4
D.
3．已知复数z＝a＋
i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于________．
方法归纳
若复数z＝a＋bi，(a，b∈R)，则|z|＝，已知复数的模求复数，只需套用模长公式的方程即可．
题型三 复数模的几何意义——师生共研
例3 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．
(1)|z|＝2；
(2)1≤|z|≤2.
方法归纳
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．
跟踪训练2 已知复数z＝3＋ai(a∈R)且|z|<4，则实数a的取值范围是________．
易错辨析 对复数与复平面中的向量的一一对应关系理解不到位致错
例4 在复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向量向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量对应的复数是________．
解析：向量平移后得到向量，则＝，因而向量所对应的复数是1＋i.
答案：1＋i
易错警示
易错原因
纠错心得
容易忽视向量作平移变换后，两个向量仍然相等，误认为＝2＋3i.
(1)向量平移后，所得向量的坐标不变．(2)向量的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实部与虚部.
1．2 复数的几何意义
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
实轴 虚轴 实数 原点
要点二
1．Z(a，b)
2.＝(a，b)
要点三
要点四
共轭复数 a－bi
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．解析：复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．
答案：D
3．解析：对应的复数z＝0－5i＝－5i.
答案：C
4．解析：由z＝1＋2i得|z|＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)∵∴2<3m<3，
∴3m－2>0，m－1<0，
∴z在复平面内对应的点的坐标在第四象限．
答案：(1)D
解析：(2)根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
①由点Z位于第二象限得解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
②由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
答案：(1)D (2)见解析
例2 解析：(1)由复数的几何意义知：
＝(1,4)，＝(－3,6)
∴＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)
∴向量＋对应的复数为－2＋10i.
解析：(2)记O为复平面的原点，由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)．
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
＝(－5，－5)．
由题知，＝，
所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
答案：(1)B (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)∵复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数，
∴
∴
∴a＝－1，
∴z＝a－ai＝－1＋i，在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．
答案：(1)B
解析：由复数的几何意义知A(4,1)，B(3,4)，C(3，－5)
设D点坐标为(x，y)，
则由＝，
得：
解得：x＝4，y＝－8，
故点D对应的复数为z＝4－8i
答案：
C
题型二
1．解析：方法一：因为复数z＝3＋4i，所以＝3－4i，故||＝＝5.
方法二：||＝|z|＝＝5.
答案：5
2．解析：由题意可得x＋xi＝2＋yi，结合复数相等的充要条件可知则x＝y＝2.
故|x＋yi|＝|2＋2i|＝＝2.故选A.
答案：A
3．解析：∵z＝a＋
i在复平面内对应的点位于第二象限，
∴a<0.
由|z|＝2，得
＝2，解得a＝－1或1(舍去)，
∴z＝－1＋
i.
答案：－1＋
i
题型三
例3 解析：(1)方法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
方法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.
故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合．
不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．
如图中的阴影部分，
所求点的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．
跟踪训练2 解析：解法一：∵z＝3＋ai(a∈R，i为虚数单位)，
∴|z|＝
.
由已知得32＋a2<42，
∴a2<7，∴a∈(－，)．
解法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，4为半径的圆内(不包括边界)．
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知－