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2.1 复数的加法与减法
B
A课时作业36 复数的加法与减法
[练基础]
1．已知i是虚数单位，则复数z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虚部是( )
A．1
B.
C．－1
D．－i
2．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则( )
A.＝
B．||＝||
C.⊥
D.，共线
4．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a＝________，b＝________.
5．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i(m∈R)．若z1－z2＝0，则m＝________.
6．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．
(1)求向量对应的复数；
(2)求△ABC的面积．
[提能力]
7．[多选题]已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
8．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，这个正方形的第四个顶点对应的复数是________．
9．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
[战疑难]
10．已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求：
(1)|z|的最大值和最小值；
(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．
课时作业36 复数的加法与减法
1．解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.
故复数z的虚部为－1.
答案：C
2．解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．
答案：B
3．解析：如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模，又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则⊥.
答案：C
4．解析：z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i，
z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i，
由已知得b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4.
答案：－3 －4
5．解析：z1－z2＝m2－3m＋m2i－[4＋(5m＋6)i]
＝m2－3m－4＋(m2－5m－6)i.
∵z1－z2＝0，∴
解得m＝－1.
答案：－1
6．解析：(1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(－1,2)．
则D，点D对应的复数是＋i，
＝－＝－(1,0)＝，
∴对应复数为－＋i.
(2)＝－＝(1,1)，||＝，
＝－＝(－2,2)，||＝＝2，
＝－＝(－3,1)，||＝，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形．
∴S△ABC＝||·||＝××2＝2.
7．解析：满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝
.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，∴
解得∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD.
答案：CD
8．解析：设复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是A，B，C，则A(1,2)，B(－2,1)，C(－1，－2)．
设正方形第四个顶点对应的坐标是D(x，y)，
则其对应的复数为x＋yi，
∵四边形ABCD为正方形，
∴＝，
∴(x－1，y－2)＝(1，－3)，
∴x－1＝1，y－2＝－3，
解得x＝2，y＝－1.
故这个正方形的第四个顶点对应的复数是2－i.
答案：2－i
9．解析：方法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1①
(a－c)2＋(b－d)2＝1②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
方法二 设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A、B、C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长．
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
10.
解析：(1)满足|z＋＋i|≤1的复数z的几何意义：圆心为M(－，－1)，半径为1的圆内区域并包括边界，|z|则表示圆面上一点到原点的距离．如图所示，对应的复数的模为|z|的最大值，对应的复数的模为|z|的最小值．
∵||＝＝2，
∴|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
即|z|的最大值为3，最小值为1.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2，
|z－1|2＋|z＋1|2＝|a－1＋bi|2＋|a＋1＋bi|2
＝(a－1)2＋b2＋(a＋1)2＋b2
＝2(a2＋b2)＋2＝2|z|2＋2，
由(1)知|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为2×32＋2＝20，
最小值为2×12＋2＝4.§2 复数的四则运算
最新课标
复数的运算：掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
2.1 复数的加法与减法
[教材要点]
要点一 复数的加法与减法
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，
则z1＋z2＝________________，z1－z2＝________________.
2．加法运算律：设z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝____________.
1.复数加法运算的理解
(1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形．
(2)在这个规定中，当b
＝0，d
＝0时，则与实数的加法法则一致．
(3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
要点二 复数加减法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的____________的对角线所对应的________，即复数的加法可以按照向量的________来进行，如图，这就是复数加法的几何意义．
这两个复数的差z1－z2与向量－2(等于)对应．作＝，则点Z对应复数z1－z2(如图)，即复数(a－c)＋(b－d)i.
复数减法的几何定义的实质
(1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差．
(2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定．
[教材答疑]
[教材P170思考交流]
证明：对任意两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i
所以z1＋z2＝z2＋z1，即复数的加法满足交换律．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个复数的和(或差)仍然是一个确定的复数．( )
(2)两个虚数的和(或差)一定是虚数．( )
(3)复数的加法满足结合律，但减法不满足结合律．( )
(4)复数z是实数的充要条件是z＝.( )
2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝( )
A．2＋2i
B．4－2i
C．2
D．0
3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( )
A.
B．2
C.
D．4
4．(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝________.(x，y∈R)
题型一 复数的加、减运算——自主完成
1．若z＋5－6i＝3＋4i，则复数z的值为( )
A．－2＋10i
B．－1＋5i
C．－4＋10i
D．－1＋10i
2．已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是( )
A．1 B. C．－1 D．－i
3．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
方法归纳
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
(2)复数的加、减运算结果仍是复数；
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
题型二 复数加、减运算的几何意义——师生共研
例1 如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
方法归纳
1．向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据．
2．利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．
3．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
跟踪训练1 (1)已知i为虚数单位，在复平面内，点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若＝，则点D对应的复数是( )
A．1－3i
B．－3－i
C．3＋5i
D．5＋3i
(2)如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好为平行四边形的四个顶点，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则zA－zC＝________.
题型三 与复数模的几何意义有关的应用——师生共研
利用复数的代数形式表示复数的模，根据已知条件，列出方程(组)，解出未知数；也可利用复数的几何意义，借助图形，数形结合求解．
例2 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，
|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
方法归纳
1．设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练2 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
易错辨析 对复数加、减运算的几何意义理解不准确致错
例3 复数z满足|z－1－i|＝1，则|z＋1＋i|的最小值为________．
解析：因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意义得复数z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为－1＝2－1.
答案：2－1
易错警示
易错原因
纠错心得
误认为复数z对应的点的轨迹是以点(1，－1)为圆心，1为半径的圆致错.
根据复数的几何意义知，|z|表示复数z对应的点Z与原点O的距离，也就是向量的模；|z－a－bi|(a，b∈R)表示复数z对应的点Z与复数a＋bi对应的点A间的距离|ZA|.
§2 复数的四则运算
2．1 复数的加法与减法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i
2．z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
要点二
平行四边形 复数 加法
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(3－2＋1)＋(2－1－1)i＝2
答案：C
3．解析：对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，故||＝|2i|＝2.
答案：B
4．解析：原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i
＝(y－x)＋5(y－x)i.
答案：(y－x)＋5(y－x)i
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i.
答案：A
2．解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，
故复数z的虚部为－1.
答案：C
3．解析：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，且z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i，
∴即
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
题型二
例1 解析：(1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
跟踪训练1 解析：(1)∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，∵＝，
∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴解得
∴点D对应的复数为3＋5i，故选C.
答案：(1)C
解析：(2)因为＋＝，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，所以所以所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
答案：
(2)2－4i
题型三
例2 解析：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题意可得
∴2ac＋2bd＝0，
∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝2，
∴|z1－z2|＝.
方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝4，
∴|z1－z2|2＝2，
∴|z1－z2|＝.
方法三：在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量，，
∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，∴，不共线，
以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
∵|z1|＝|z2|＝1，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形，
∵|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2，∴∠Z1OZ2＝90°，
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形，∴|z1－z2|＝.
跟踪训练2 解析：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题意可得
∴2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|2＝(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2＝3，
∴|z1＋z2|＝.
方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝4，
∴|z1＋z2|2＝3，∴|z1＋z2|＝.
方法三：在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量，，
∴，不共线，
以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴平行四边形OZ1ZZ2是有一个内角为60°的菱形，
∴|z1＋z2|＝|OZ|
＝＝.
