北师大版（2019）高中数学 必修第二册 章末质量检测(三)　第四章　三角恒等变换word版含答案解析

章末质量检测(三)　第四章　三角恒等变换
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．coscos＋sinsin＝(　　)
A．1
B．0
C．－1
D.
2．若sin
α－4cos
α＝0，则tan的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
3．若(4tan
α＋1)(1－4tan
β)＝17，则tan(α－β)的值为(　　)
A.
B.
C．4
D．12
4．已知cos＝，则的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
5．已知tan
α＝2，则的值是(　　)
A.
B．－
C.
D.
6．已知sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于(　　)
A．±
B．±
C．－
D．－
7．函数f(x)＝2cos2x－sin
2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．2π，3
B．2π，1
C．π，3
D．π，1
8．化简sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的结果是(　　)
A．89
B.
C．45
D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列各式中，值为的是(　　)
A．tan
15°cos215°
B.cos2－sin2
C.
D.
10．下列各式与tan
α不相等的是(　　)
A.
B.
C.
D.
11．有下列四个函数，其中在上为递增函数的是(　　)
A．y＝sin
x＋cos
x
B．y＝sin
x－cos
x
C．y＝sin
xcos
x
D．y＝
12．关于函数f(x)＝2(sin
x－cos
x)cos
x有下列四个结论，其中正确的有(　　)
A．最大值为
B．把函数f(x)＝sin
2x－1的图象向右平移个单位长度后可得到函数f(x)＝2(sin
x－cos
x)cos
x的图象
C．递增区间为(k∈Z)
D．图象的对称中心为(k∈Z)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如果cos
α＝，且α是第四象限的角，那么cos＝________.
14．已知tan＝2，则的值为________．
15．已知sin＝，<α<π，则sin＝________.
16．△ABC的三个内角为A，B，C，当A为________时，cos
A＋2cos取得最大值，且这个最大值为________．(第一空2分，第二空3分)．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知sin
α＝，α∈，tan
β＝.
(1)求tan
α的值；
(2)求tan(α＋2β)的值．
18．(12分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.
求：(1)cos
2θ的值；
(2)sin(α＋β)的值．
19．(12分)从圆心角为120°，半径为20
cm的扇形铁片上截出一块矩形OPMN，如图，让矩形的一边在扇形的一条半径OA上，点M在弧AB上，求此矩形面积的最大值．
20．(12分)已知函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈，若f＝2cos
2α，求α的大小．
21．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a.
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin
18°cos
12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos
48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos
55°.
(1)从上述五个式子中选择一个，求出常数a；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
22．(12分)已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos
2x0的值．
章末质量检测(三)　第四章　三角恒等变换
1．解析：coscos＋sinsin＝cos＝0.故选B.
答案：B
2．解析：由已知得tan
α＝＝4，于是tan＝＝.故选A.
答案：A
3．解析：由已知得4(tan
α－tan
β)＝16(1＋tan
αtan
β)，即＝4，∴tan(α－β)＝4.故选C.
答案：C
4．解析：因为cos＝，
所以sin
2α＝－cos＝1－2cos2＝，sin＝cos＝，所以＝＝.故选A.
答案：A
5．解析：＝＝＝＝＝，故选D.
答案：D
6．解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
∴sin
β＝－.∵β是第三象限角，∴cos
β＝－.
∴cos＝±
＝±＝±.故选A.
答案：A
7．解析：∵f(x)＝cos
2x＋1－sin
2x＝2＋1＝2cos＋1，∴T＝π，f(x)max＝3.故选C.
答案：C
8．解析：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋cos244°＋…＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＝44＋＝.故选B.
答案：B
9．解析：A中，tan
15°cos215°＝sin
15°cos
15°
＝sin
30°＝，A不正确；B中，cos2－sin2＝cos
＝，B正确；C中，＝tan
60°＝，C不正确；D中，
＝，D正确．故选BD.
答案：BD
10．解析：A中，
＝
＝＝|tan
α|，A不符合；B中，＝＝tan，B不符合；C中，＝＝tan
α，C符合；D中，＝＝，D不符合．故选A、B、D.
答案：ABD
11．解析：A中，y＝sin
x＋cos
x＝sin，由图象可知，在上为递减函数，A不符合；B中，y＝sin，由图象可知，在上为递增函数，B符合；C中，y＝sin
xcos
x＝sin
2x，由图象知函数在上先增后减，C不符合；D中，y＝tan
x在上递增，D符合．故选BD.
答案：BD
12．解析：因为f(x)＝2sin
xcos
x－2cos2x＝sin
2x－cos
2x－1＝sin－1，所以最大值为－1，A错误；将f(x)＝sin
2x－1的图象向右平移个单位长度后得到f(x)＝sin－1＝sin－1的图象，B错误；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)．即递增区间为(k∈Z)，C正确；由2x－＝kπ(k∈Z)得x＝π＋(k∈Z)，所以对称中心为，(k∈Z)．D正确．故选CD.
答案：CD
13．解析：由题意得sin
α＝－＝－＝－，故cos＝－sin
α＝.
答案：
14．解析：由tan＝＝2，得tan
x＝，所以tan
2x＝＝，故＝×＝.
答案：
15．解析：由<α<π可知<α＋<，
因为sin＝，
所以cos＝－.
所以sin＝sin
＝cos－sin
＝－－＝－.
答案：－
16．解析：cos
A＋2cos＝cos
A＋2sin
＝1－2sin2＋2sin
＝－2sin2＋2sin－1
＝－22＋，
当sin＝，即A＝60°时，
得max＝.
答案：60°　
17．解析：(1)∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝＝＝.
∴tan
α＝＝＝.
(2)方法一：∵tan
β＝，
∴tan
2β＝＝＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝2.
方法二：∵tan
β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∴tan(α＋2β)＝＝＝2.
18．解析：(1)∵·＝－，∴sin2θ－cos2θ＝－，
∴－＝－，
解得cos
2θ＝.
(2)由(1)得cos2θ＝＝，sin2θ＝＝，
∴P，Q.
∴sin
α＝，cos
α＝，sin
β＝－，cos
β＝，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝×＋×＝－.
19．解析：设截出的矩形的面积为S
cm2，连接OM，
设∠POM＝α(0°<α<90°)，易知S＝OP·MP＝OMcos
α·OMsin
α＝OM2sin
2α＝200sin
2α.
当sin
2α＝1，即α＝45°时，矩形的面积S取得最大值200
cm2.
20．解析：(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos
2α，得tan＝2cos
2α，
即＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为α∈，所以sin
α＋cos
α≠0.
因此(cos
α－sin
α)2＝，即sin
2α＝.
由α∈，得2α∈，
所以2α＝，即α＝.
21．解析：(1)选择②式计算．a＝sin215°＋cos215°－sin
15°·cos
15°＝1－·sin
30°＝.
(2)猜想的三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝.
证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sin
α·(cos
30°·cos
α＋sin
30°sin
α)＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
22．解析：(1)由f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sin
xcos
x)＋(2cos2x－1)＝sin
2x＋cos
2x＝2sin.所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈.
从而cos＝－＝－.
所以cos
2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.