北师大版（2019）高中数学 必修第二册 章末质量检测(五)　第六章　立体几何初步word版含答案解析

章末质量检测(五)　第六章　立体几何初步
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列结论正确的是(　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
2．在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能的是(　　)
A．等边三角形
B．矩形
C．等腰梯形
D．正方形
3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是(　　)
A．4S
B．4πS
C．πS
D．2πS
4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9
cm3，则其表面积为(　　)
A．18
cm2
B．18
cm2
C．12
cm2
D．12
cm2
5．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直线m⊥平面β，还需要补充的条件是(　　)
A．m?α
B．m∥α
C．m⊥l
D．m?α且m⊥l
6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1,
，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为(　　)
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π
7.
如图，在棱长为4的正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝A1B1，则多面体P
?
BCC1B1的体积为(　　)
A.
B.
C．4
D．5
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是(　　)
A．无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合
B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°
C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°
D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°
二、多项选择题(大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β
10．已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
C．若m∥n，n?α，α∥β，m?β，则m∥β
D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
11．如图，在四棱锥P
?
ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(　　)
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P
?
BC
?
A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
12．在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则(　　)
A．CM与PN是异面直线
B．CM＞PN
C．平面PAN⊥平面BDD1B1
D．过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．
14．已知正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该四棱锥的高为________．
15．设α，β，γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：(1)a∥γ，b∥β；(2)a∥γ，b?β；(3)b∥β，a?γ.如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
16.
如图，已知六棱锥P
?
ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：
①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知正方体ABCD
?
A1B1C1D1.
(1)证明：D1A∥平面C1BD；
(2)求异面直线D1A与BD所成的角．
18．(12分)
如图，正方体ABCD
?
A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
(1)三棱锥A′
?
BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′
?
BC′D的体积．
19．(12分)在如图的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，点E，G，F分别为棱MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：
(1)平面EFG∥平面PMA；
(2)平面PDC⊥平面EFG.
20．(12分)如图平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证：AB⊥DE.
(2)求三棱锥E
?
ABD的侧面积．
21．(12分)如图，在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
22．(12分)如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝1，AA1＝BC＝2，点D在侧棱AA1上．
(1)若D为AA1的中点，求证：C1D⊥平面BCD；
(2)若A1D＝，求二面角B?C1D?C的大小．
章末质量检测(五)　第六章　立体几何初步
1．解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．
答案：D
2．解析：当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；
当点Q不与点D、D1重合时，令Q、R分别为DD1、C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)．D是不可能的．
答案：D
3．解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，
则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.
答案：C
4．解析：设正四面体的棱长为a
cm，则底面积为a2
cm2，易求得高为a
cm，则体积为×a2×a＝a3＝9，解得a＝3，所以其表面积为4×a2＝18(cm2)．
答案：A
5．解析：选项A，B，C的条件都不能得到直线m⊥平面β.而补充选项D后，可以得到直线m⊥平面β.理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．故选D.
答案：D
6．解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.
答案：A
7．解析：V多面体P
?
BCC1B1＝S正方形BCC1B1·PB1＝×42×1＝.
答案：B
8．解析：在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；
在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；
在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；
在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误．故选D.
答案：D
9．解析：
若m⊥α，则?a，b?α且a∩b＝P使得m⊥a，m⊥b，又m∥n，则n⊥a，n⊥b，由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A对；若m∥α，α∩β＝n，如图，设m＝AB，平面A1B1C1D1为平面α，m∥α，设平面ADD1A1为平面β，α∩β＝A1D1＝n，则m⊥n，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故D对；故选ACD.
答案：ACD
10．解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则可以m∥n，m，n异面，或m，n相交，故A错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，又α∥β，m?β，故m∥β，C正确；若m∥n，n⊥α，则m⊥α，α⊥β，则m∥β或m?β，D错误．
故选BC.
答案：BC
11．解析：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM?平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P
?
BC
?
A的平面角，设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P
?
BC
?
A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：
C、N、A共线，即CN、PM交于点A，共面，因此CM、PN共面，A错误；
记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcos
θ＝AP2＋AC2－AP·ACcos
θ，
CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcos
θ＝AC2＋AP2－AP·ACcos
θ，又AP＜AC，
CM2－PN2＝(AC2－AP2)＞0，CM2＞PN2，即CM＞PN，B正确；
由于正方体中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN?平面PAN，从而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正确；
取C1D1中点K，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方体中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK、AC共面，PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确．
故选BCD.
答案：BCD
13．解析：设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为＝，所以圆锥的表面积S＝×π×22＋π×12＝3π，体积V＝×π×12×＝π.
答案：3π　π.
14.
解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，
∴SO＝sin
60°·SC＝×2＝3.
答案：3
15．解析：(1)a∥γ，b∥β，不可以，举出反例如下：使β∥γ，b?γ，a?β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定有a∥b；
(2)a∥γ，b?β，可以，由a∥γ得a与γ没有公共点，由b?β，α∩β＝a，b?γ知，a，b在面β内，且没有公共点，故平行；
(3)b∥β，a?γ可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b无公共点，再由a?γ，b?γ，可得两直线平行．
综上可知满足的条件有(2)和(3)．
答案：(2)(3)
16．解析：对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．
对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．
对于④，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°，故④正确．
综上①④正确．
答案：①④
17．解析：(1)证明：在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，
∵AB∥D1C1，AB＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴AD1∥BC1，
∵AD1?平面C1BD，BC1?平面C1BD，
∴D1A∥平面C1BD.
(2)由(1)知，AD1∥BC1，
∴异面直线D1A与BD所成的角即为∠C1BD.
易知△C1BD为等边三角形，
∴∠C1BD＝60°，
即异面直线D1A与BD所成的角为60°.
18．解析：(1)∵ABCD
?
A′B′C′D′是正方体，
∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴三棱锥A′
?
BC′D的表面积为4××a××a＝2a2.
而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′
?
BC′D的表面积与正方体表面积的比值为＝.
(2)三棱锥A′
?
ABD，C′
?
BCD，D
?
A′D′C′，B
?
A′B′C′是完全一样的．
故V三棱锥A′
?
BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′
?
ABD
＝a3－4××a2×a＝.
19．证明：(1)∵点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点，
∴EG∥PM，GF∥BC.
又∵PM?平面PMA，EG?平面PMA，∴EG∥平面PMA.
∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.
∵AD?平面PMA，GF?平面PMA，∴GF∥平面PMA.
又∵EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面PMA.
(2)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中，∵G，F分别为PB，PC的中点，
∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG，∴平面PDC⊥平面EFG.
20．解析：(1)证明：∵AB＝2，BD＝2，AD＝4，
∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.
∵平面EBD⊥平面ABD，且平面EBD∩平面ABD＝BD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.
(2)由(1)知AB⊥BD.
∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而折叠后DE⊥BD.
在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，
∴S△DBE＝DB·DE＝2，
又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE.
∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝AB·BE＝4.
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.
又∵AD?平面ABD，∴ED⊥AD.
∴S△ADE＝AD·DE＝4.
综上，三棱锥E
?
ABD的侧面积S＝8＋2.
21．解析：(1)如图(1)，取AA1的中点M，连接EM，BM.
∵E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，
∴EM∥AD.
在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴EM⊥平面ABB1A1，从而∠EBM为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体ABCD
?
A1B1C1D1的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝
＝3.
在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝.
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：如图(2)，分别取C1D1和CD的中点F和G，连接EG，BG，CD1，FG，B1F.
∵A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴D1C∥A1B.
又∵E，G分别为D1D，CD的中点，∴EG∥D1C，
∴EG∥A1B.
∴A1，B，G，E四点共面，∴BG?平面A1BE.
在正方体AC1中，F和G分别为C1D1和CD的中点，
∴GF綊C1C綊B1B，∴四边形B1BGF为平行四边形，
∴B1F∥BG.
又∵B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE.
22．解析：(1)证明：由已知，得AA1⊥
BC，AC⊥BC，则BC⊥平面AA1C1C.又C1D?平面AA1C1C，则BC⊥C1D.①
因为D为AA1的中点，所以AD＝AC＝1.又AD⊥AC，则△CAD为等腰直角三角形，所以∠ADC＝45°.同理∠A1DC1＝45°.
所以∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D.②
结合①②得，C1D⊥平面BCD.
(2)作CE⊥C1D，垂足为E，连接BE，如图．
因为BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥C1D，所以C1D⊥平面BCE.
则C1D⊥BE，所以∠BEC为二面角B?C1D?C的平面角．
因为A1D＝，A1C1＝1，所以C1D＝.
在△CC1D中，CC1＝2，CC1边上的高为1，则其面积为1.
所以由×CE＝1得CE＝
.在Rt△BCE中，tan∠BEC＝＝，则∠BEC＝60°.
所以二面角B?C1D?C的大小为60°.