北师大版（2019）高中数学 必修第二册 章末质量检测(一)　第一章　三角函数word版含答案解析

章末质量检测(一)　第一章　三角函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知扇形的圆心角为2
rad，弧长为4
cm，则这个扇形的面积是(　　)
A．4
cm2
B．2
cm2
C．4π
cm2
D．1
cm2
2．已知a＝tan
，b＝cos
，c＝cos，则(　　)
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
3．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos
2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．已知sin＝，则cos等于(　　)
A.
B.
C．－
D．－
5．函数f(x)＝xsin
x的图象大致是(　　)
6．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　)
A．±1
B．1
C．±2
D．2
7．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为(　　)
A.
B.
C.
D.
8．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为(　　)
A．75米
B．85米
C．(50＋25)米
D．(60＋25)米
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有(　　)
A．y＝tan
B．y＝sin
C．y＝sin|2x|
D．y＝|sin
x|
10．已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)在[0，π]上有三个零点
C．当x＝时，函数f(x)取得最大值
D．为了得到函数f(x)的图象，只要把函数y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
11．若函数f(x)＝1＋4sin
x－t在区间上有2个零点，则t的可能取值为(　　)
A．－2
B．0
C．3
D．4
12．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．tan
15°＝________.
14．函数y＝2cos，x∈的值域为________．
15．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
16．已知函数f(x)＝2sin＋a，且f＝3，则实数a＝________，函数f(x)的单调递增区间为________________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的定义域；
(2)比较f与f的大小．
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)试确定f(x)的解析式；
(2)若f＝，求cos的值．
20．(12分)某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(ω>0，φ<0)．
(1)根据图中数据求函数解析式；
(2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？
21．(12分)已知函数f(x)＝2sin＋1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的最值，并求出取最值时x的值；
(3)求不等式f(x)≥2的解集．
22．(12分)已知点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象上的任意两点，角φ的终边经过点P(1，－)，且当|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．
章末质量检测(一)　第一章　三角函数
1．解析：设半径为R，由弧长公式得4＝2R，即R＝2
cm，则S＝×2×4＝4
(cm2)，故选A.
答案：A
2．解析：a＝tan
>1，b＝cos
<0,1>c＝cos＝cos
>0.∴a＞c＞b.
答案：D
3．解析：∵y＝cos＝cos，∴要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos
2x的图象向左平移个单位长度．
答案：B
4．解析：cos＝－cos
＝－sin＝－sin＝－.
答案：C
5．解析：因为函数f(x)＝xsin
x满足f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin
x＝f(x)，定义域为R，所以函数f(x)为偶函数，故排除B、C.又因为x∈(π，2π)时，sin
x<0，此时f(x)<0，所以排除D.故选A.
答案：A
6．解析：由题意可知＝，解得|ω|＝1，即ω＝±1，故选A.
答案：A
7．解析：由已知得2＝，解得ω＝，所以f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－≤x≤，所以函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为.
答案：C
8．解析：以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设t时刻的坐标为(x，y)，转过的角度为t，根据三角函数的定义有y＝50sin＝－50cos
t，地面与坐标系交线方程为y＝－60，则第7分钟时他距离地面的高度大约为60－50cos
＝85.故选B.
答案：B
9．解析：A.y＝tan，函数周期为π，非奇非偶函数，排除；B.y＝sin＝－cos
2x，函数周期为π，偶函数，满足；C.y＝sin|2x|是偶函数，不是周期函数，排除；D.y＝|sin
x|，函数周期为π，偶函数，满足；故选B、D.
答案：BD
10．解析：f(x)＝sin，周期为π，选项A正确；令f(x)＝0,2x＋＝kπ(k∈Z)，当x∈[0，π]时，x＝，，选项B不正确；当x＝时，f(x)＝取得最大值，选项C正确；只要把函数y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到f(x)，选项D不正确．故选A、C.
答案：AC
11．解析：令f(x)＝0，可得sin
x＝，可知两个函数在区间上的图象有两个交点，作出函数y＝sin
x与y＝在区间上的图象，如图所示：
则<<1或－1<<0，
解得3答案：ABD
12．解析：由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，但当x＝0时，y＝sin＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.
答案：BC
13．解析：tan
15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.
答案：2－
14．解析：∵x∈，∴2x＋∈，
∴cos∈，∴函数y＝2cos在上的值域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
15．解析：由图象可知：当sin＝－1时，ymin＝k－3＝2，
∴k＝5，当sin＝1时，ymax＝5＋3＝8.
答案：8
16．解析：①∵f＝3，
∴f＝2sin＋a＝3，解得：a＝1.
②将a代入，得f(x)＝2sin＋1.
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z
得－≤x≤＋，k∈Z，
故函数f(x)的增区间为(k∈Z)．
答案：1　(k∈Z)
17．解析：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin
α＝－2cos
α，
由此可知cos
α≠0.
∴原式＝＝＝＝－.
18．解析：(1)由已知得2x－≠kπ＋(k∈Z)，x≠kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的定义域为.
(2)因为f＝3tan＝－3tan
<0，f＝3tan＝3tan＝3tan＝3tan>0.所以f19．解析：(1)由图可知A＝2，且－＝＝，
∴T＝2，
又T＝＝2，∴ω＝π；
将代入f(x)＝2sin(πx＋φ)，
即sin＝0，
∴π＋φ＝kπ，
解得φ＝kπ－π，k∈Z；
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(x∈R)；
(2)∵f＝，
∴sin＝，
∴cos＝cos＝－sin＝－.
20．解析：(1)由图象可知ymax＝900，ymin＝700，
且A＋b＝ymax，－A＋b＝ymin，
∴A＝＝＝100，
b＝＝800，且T＝12＝，∴ω＝.
将(7,900)看作函数的第二个特殊点应有×7＋φ＝.
∴φ＝－.因此所求的函数解析式为
y＝100sin＋800.
(2)由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，
又＝＝6.
∴从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个低谷或一个高峰．
21．解析：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由－≤x≤得－≤2x＋≤，
故－≤sin≤1，所以0≤f(x)≤3.
当且仅当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值3；
当且仅当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取最小值0.
(3)由f(x)≥2得，sin≥，
所以2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)
即不等式f(x)≥2的解集为(k∈Z)．
22．解析：(1)∵角φ的终边经过点P(1，－)，
∴tan
φ＝－，
∵－<φ<0，∴φ＝－.
由当|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为，得T＝，即＝，ω＝3.
∴f(x)＝2sin.
(2)由－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为k∈Z.
(3)当x∈时，－≤f(x)≤1，
于是2＋f(x)>0，则mf(x)＋2m≥f(x)，
等价于m≥＝1－.
由－≤f(x)≤1，得的最大值为.
故实数m的取值范围是.