北师大版（2019）高中数学 必修第二册 章末质量检测(二)　第二章　平面向量及其应用word版含答案解析

章末质量检测(二)　第二章　平面向量及其应用
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)
A.
B．0
C．0
D.
2．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为(　　)
A.
B．－
C．－3
D．－
3．△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b＋c)(b－c)＝a(b－a)，则内角C等于(　　)
A.
B.
C.
D.
4．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，·＝－1，则△ABC的面积为(　　)
A.
B．1
C.
D.
5．已知向量a＝(x,2)，b＝(2，y)，c＝(2，－4)，且a∥c，b⊥c，则
|a－b|＝(　　)
A．3
B.
C.
D．2
6．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(　　)
A．3米
B．20米
C．5米
D．15米
7．已知点P是△ABC的内心(三个内角平分线交点)，外心(三条边的中垂线交点)，重心(三条中线交点)，垂心(三个高的交点)之一，且满足2·＝2－2，则点P一定是△ABC的(　　)
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
8．如图，在等腰直角△ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B)，过E作AD的垂线，垂足为F，则＝(　　)
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．0·a＝0
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b＝0?a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
10．点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
11．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若△ABC中A为钝角，则实数k的值可以是(　　)
A．1
B．－
C．－1
D．－2
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，则sin
A>sin
B
B．在锐角△ABC中，不等式sin
A>cos
B恒成立
C．在△ABC中，若acos
A＝bcos
B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设向量a＝(－3,0)，b＝(－2,6)，则b在a上的投影为________．
14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a⊥(a＋b)，则a与b夹角的大小是________．
15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD＝3，则S△ABC＝________.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
18．(12分)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.
(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a－tb与c共线，求实数t.
19．(12分)如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝6，AC＝2，DC＝4，
(1)求∠ADC的大小；
(2)求AB的长．
20．(12分)在①b2＋ac＝a2＋c2，②acos
B＝bsin
A，③sin
B＋cos
B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c________，A＝，b＝，求△ABC的面积．(已知sin＝)
21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P，连接AP.用向量法证明：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
22．(12分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量a＝(2a，)，b＝(c，sin
C)，且a∥b.
(1)求角A；
(2)若c＝2，且△ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小．
章末质量检测(二)　第二章　平面向量及其应用
1．解析：(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＋＋
＝.
答案：D
2．解析：因为＝－＝(3,1)，又∥，所以3×(m＋1)＝2m，∴m＝－3.
答案：C
3．解析：由(b＋c)(b－c)＝a(b－a)得a2＋b2－c2＝ab，即＝，∴cos
C＝，又0答案：B
4．解析：·＝||||cos
A＝1×3×cos
A＝－1
∴cos
A＝－
∴sin
A＝＝＝
∴S△ABC＝AB·AC·sin
A
＝×1×3×
＝
答案：C
5．解析：∵a∥c，b⊥c
∴
∴即a＝(－1,2)，b＝(2,1)
∴a－b＝(－3,1)
∴|a－b|＝.
答案：B
6．解析：因为∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝135°.在△BCD中，根据正弦定理可知＝，即＝，解得BC＝15(米)．因为在Rt△ABC中，tan60°＝＝，所以AB＝BC＝×15＝15(米)．故选D.
答案：D
7．解析：设BC的中点为M，∵2·＝2－2
∴2·＝(－)(＋)
∴2·＝·(＋)
∴·(＋－2)＝0，
∴·(－＋－)，即·(＋)＝0
即2·＝0，∴点P与BC的中点连线与BC垂直，即点P一定是△ABC的外心．
答案：B
8．解析：设BC＝6，则AB＝AC＝3，BD＝DE＝EC＝2，
AD＝AE＝
＝，
cos
∠DAE＝＝，
所以＝＝，所以＝
因为＝＋＝＋＝＋，
所以＝×＝＋.
答案：D
9．解析：∵0·a＝0，∴A中结论错误；向量的数量积不满足结合律，∴B中结论错误；当a·b＝0，a与b的夹角为90°，即a⊥b，∴C中结论正确；D中结论正确．故选CD.
答案：CD
10．解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0
∴||－|(－)＋(－)|＝0
即||＝|＋|，即|－|＝|＋|
两边平方化简得·＝0
∴⊥
∴∠A＝90°
则△ABC一定是直角三角形．
故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由已知＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，
所以＝(1,2)，＝(k，k＋1)．
因为A为钝角，
所以·<0，
所以(1,2)·(k，k＋1)<0，
所以3k＋2<0，解得k<－，
即实数k应满足的条件是k<－.
故选CD.
答案：CD
12．解析：对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin
A>sin
B?a>b?A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin
A>sin＝cos
B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos
A＝bcos
B，利用正弦定理可得sin
2A＝sin
2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos
B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：∵a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉，
∴向量b在a方向的投影为|b|cos
〈a，b〉＝＝＝2.
答案：2
14．解析：∵a⊥(a＋b)
∴a·(a＋b)＝0
∴a2＋a·b＝0
∴a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉＝－a2
∴cos
〈a，b〉＝－＝－
又〈a，b〉∈[0，π]
∴故a与b的夹角为.
答案：
15．解析：以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设AB＝1，则D(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1).＝(－2,2)，＝(－2,1)，＝(1,2)，
∵＝λ＋μ，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴解得
答案：　
16．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A可得：
b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝112
S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝b·ADsin
＋c·ADsin
＝(b＋c)
又S△ABC＝bcsin
A＝bc
∴bc＝(b＋c)∴b＋c＝bc
∴(bc)2－3bc＝112，解得：bc＝48
∴S△ABC＝×48＝12.
答案：12
17．解析：(1)∵2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，∴k＝－3.
(2)由题意知＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b.
∵A，B，C三点共线，∴设＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，
∴解得k＝.
18．解析：(1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，
∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)，
∴|a＋tb|＝＝＝
≥
＝，
当且仅当t＝时取等号，即|a＋tb|的最小值为.
(2)∵a－tb＝(－3,2)－t(2,1)＝(－3－2t,2－t)，
又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，
∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝.
19．解析：(1)在△ADC中，AD＝6，AC＝2，DC＝4，
由余弦定理得cos
∠ADC＝＝＝－.
又∵0°<∠ADC<180°，∴∠ADC＝120°.
(2)由(1)知∠ADB＝60°，
在△ABD中，AD＝6，B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝3.
20．解析：若选择①b2＋ac＝a2＋c2，
由余弦定理cos
B＝＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝；
由正弦定理＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，
所以C＝π－－＝，
所以S△ABC＝absin
C＝×××＝，
若选择②acos
B＝bsin
A，
则sin
Acos
B＝sin
Bsin
A，
因为sin
A≠0，所以sin
B＝cos
B，
因为B∈(0，π)，所以B＝；
由正弦定理＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝.
所以C＝π－－＝.
所以S△ABC＝absin
C＝×××＝.
若选择③sin
B＋cos
B＝，
则sin＝，所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋∈.
所以B＋＝，所以B＝；
由正弦定理＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，
所以C＝π－－＝，
所以S△ABC＝absin
C＝×××＝.
21．证明：如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)∵＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x－2，y)，由(1)知＝(－2，－1)，＝(－1,2)，∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4.
∴解得
即P.
∴2＝2＋2＝4＝2，
∴||＝||，即AP＝AB.
22．解析：(1)因为a∥b，a＝(2a，)，b＝(c，sin
C)，所以2asin
C＝c，
由正弦定理得2sin
Asin
C＝sin
C.
因为C∈，所以sin
C≠0，
所以sin
A＝，
因为A∈，
所以A＝.
(2)因为△ABC的面积为，
所以bcsin
A＝，
因为c＝2，A＝，所以b＝3.
在△ABM中，由余弦定理得
BM2＝AM2＋AB2－2AB·AMcos
A＝2＋4－2××2×＝.
所以BM＝.