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人教版九年级下册第26章《反比例函数》导学案
[26.2.2
反比例函数的实际应用（2）]
学习目标
1．探索运用反比例函数来解决物理中的实际问题.
(难点)
2．能综合运用物理杠杆知识、电学知识和反比例函数的知识解决一些实际问题.
(重点)
情景引入
公元前
3
世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？
若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：_______________________________________.
典例分析
【例1】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为
1
200
N
和
0.5
m.
（1）动力
F
与动力臂
l
有怎样的函数关系？当动力臂为
1.5
m
时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力
F
不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂
l
至少要加长多少？
【针对练习】
1.现在要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高。原因在于，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空或更换较小秤砣，使秤砣变轻，从而欺骗顾客.
如图1，2所示，对于同一物体，哪个用了较轻的秤砣？
(2)在称同一物体时，秤砣到支点的距离
y
与所用秤砣质量
x
之间满足__________关系；
(3)当秤砣变轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？
2.假定地球重量的近似值为
6×1025
牛顿
(即阻力)，阿基米德有
500
牛顿的力量，阻力臂为
2000
千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
【例2】
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.
当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积
S
(m2)的变化，人和木板对地面的压强
p
(Pa)也随之变化变化.
如果人和木板对湿地地面的压力合计为
600
N，那么
(1)
用含
S
的代数式表示
p，p
是
S
的反比例函数吗？为什么？
(2)
当木板面积为
0.2
m2
时，压强是多少？
(3)
如果要求压强不超过
6000
Pa，木板面积至少要多大？
(4)
在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
【针对练习】
某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷
(木板的重量忽略不计)
(
)
A.
至少2m2
B.
至多2m2
C.
大于2m2
D.
小于2m2
电学知识告诉我们，用电器的功率
P（单位：W）、两端的电压
U（单位：V）以及用电器的电阻
R（单位:Ω）有如下关系
PR=U
2.这个关系也可写为
P= ，或
R= .
【例3】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为
110～220
Ω.已知电压为
220
V，这个用电器的电路图如图所示.
（1）功率
P
与电阻
R
有怎样的函数关系？
（2）这个用电器功率的范围多少？
结合例3，想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节.
【针对练习】
1.
在公式中，当电压
U
一定时，电流
I
与电阻
R
之间的函数关系可用图象大致表示为
(
)
2.
在某一电路中，保持电压不变，电流
I
(安培)
和电阻R
(欧姆)
成反比例，当电阻
R＝5
欧姆时，电流
I＝2安培．
(1)
求
I
与
R
之间的函数关系式；
(2)
当电流
I＝0.5
时，求电阻
R
的值．
3.在某一电路中，电源电压
U
保持不变，电流
I（A）与电阻
R（Ω）之间的函数关系如图所示.
（1）写出
I
与
R
之间的函数解析式；
（2）结合图象回答当电路中的电流不超过
12
A
时，电路中电阻
R
的取值范围是多少Ω？
课堂练习
1.
当电压为
220
V
时
(电压=电流×电阻)，通过电路的电流
I
(A)
与电路中的电阻
R
(Ω)
之间的函数关系为
(
)
2.
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
p
(kPa)
是气体体积
V
(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120
kPa
时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应
(
)
3.
受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为
1.2米
的撬棍，用了
500
牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有
300
牛顿的力量，
他该选择动力臂为
的撬棍才能撬动这块大石头呢.
4.
在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ
(单位：kg/m3)
是体积
V
(单位：
m3)
的反比例函数，它的图象如图所示，当
V
=10m3
时，气体的密度是
.
5.
蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流
I
(A)
是电阻
R
(Ω)
的反比例函数，其图象如图所示．
(1)
求这个反比例函数的表达式；
(2)
当
R
=10Ω
时，电流能是
4
A
吗？为什么？
6.
某汽车的功率
P
为一定值，汽车行驶时的速度
v
(m/s)
与它所受的牵引力F
(N)之间的函数关系如下图所示：
(1)
这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；
(2)
当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少
km/h？
(3)
如果限定汽车的速度不超过
30
m/s，则
F
在什么范围内？
7.为了预防流感，某学校在星期天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
y（毫克）与时间
t（小时）成正比；药物释放完毕后，y
与
t
的函数关系式为（a为常数）.如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y
与
t
之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
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2020年秋人教版九年级数学下册
第十六章反比例函数
26.2.2
反比例函数的实际应用（2）
探索运用反比例函数来解决物理中的实际问题.
能综合运用物理杠杆知识、电学知识和反比例函数的知识解决一些实际问题.
学习目标
公元前
3
世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？
阿基米德
新课导入
若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.
后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：
阻力
×
阻力臂
=
动力
×
动力臂
.
阻力
动力
支点
动力臂
阻力臂
例1
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为
1
200
N
和
0.5
m.
（1）动力
F
与动力臂
l
有怎样的函数关系？当动力臂为
1.5
m
时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力
F
不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂
l
至少要加长多少？
典例分析
（1）动力
F
与动力臂
l
有怎样的函数关系？当动力臂为
1.5
m
时，撬动石头至少需要多大的力？
解：根据“杠杆原理”，得
Fl
=
1
200×0.5，
所以
F
关于
l
的函数解析式为
当
l=1.5
m
时，
因此撬动石头至少需要
400
N
的力.
典例分析
（2）若想使动力
F
不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂
l
至少要加长多少？
解：对于函数
，F
随
l
的增大而减小.因此，只要求出
F
=
200N时对应的
l
的值，就能确定动力臂
l
至少应加长的量.
当
F=400×0.5=200
N
时，
3－1.5=1.5m
对于函数
，当
l
＞0
时，l
越大，F越小.
因此，若想用力不超过
400
N
的一半，则动力臂至少要加长
1.5
m.
【分析】对于函数
，F
随
l
的增大而减小.
因此，只要求出
F
=200
N
时对应的
l
的值，就能确定动力臂
l
至少应加长的量.
典例分析
现在要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高。原因在于，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空或更换较小秤砣，使秤砣变轻，从而欺骗顾客.
(1)如图1，2所示，对于同一物体，哪个用了较轻的秤砣？
图1
针对练习
反比例
(2)在称同一物体时，秤砣到支点的距离
y
与所用秤砣质量
x
之间满足__________关系；
(3)当秤砣变轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？
假定地球重量的近似值为
6×1025
牛顿
(即阻力)，阿基米德有
500
牛顿的力量，阻力臂为
2000
千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
由已知得F×l＝6×1025×2×106
=1.2×1032
米，
当
F
=500时，l
=2.4×1029
米，
解：
2000
千米
=
2×106
米，
变形得：
故用2.4×1029
米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
例2
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.
当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积
S
(m2)的变化，人和木板对地面的压强
p
(Pa)也随之变化变化.
如果人和木板对湿地地面的压力合计为
600
N，那么
(1)
用含
S
的代数式表示
p，p
是
S
的反比例函数吗？为什么？
解：由
得
p
是
S
的反比例函数，因为给定一个
S
的值，对应的就有唯一的一个
p
值和它对应，根据函数定义，则
p
是
S
的反比例函数．
典例分析
(2)
当木板面积为
0.2
m2
时，压强是多少？
解：当
S
＝0.2
m2
时，
故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．
(3)
如果要求压强不超过
6000
Pa，木板面积至少要多大？
解：当
p=6000
时，由
得
对于函数
，当
S
＞0
时，S
越大，p
越小.
因此，若要求压强不超过
6000
Pa，则木板面积至少要
0.1
m2.
(4)
在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
2000
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
5000
6000
S/m2
p/Pa
解：如图所示.
某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷
(木板的重量忽略不计)
(
)
A.
至少2m2
B.
至多2m2
C.
大于2m2
D.
小于2m2
20
40
60
O
60
20
40
S/m2
p/(N/m2)
A
针对练习
电学知识告诉我们，用电器的功率
P（单位：W）、两端的电压
U（单位：V）以及用电器的电阻
R（单位：
Ω
）有如下关系
PR=U
2.这个关系也可写为
P= ，或
R= .
思考
典例分析
例3
一个用电器的电阻是可调节的，其范围为
110～220
Ω.已知电压为
220
V，这个用电器的电路图如图所示.
R
U
（1）功率
P
与电阻
R
有怎样的函数关系？
（2）这个用电器功率的范围多少？
解：（1）根据电学知识，当
U=220
时，得
即输出功率
P
是电阻
R
的反比例函数，函数解析式为
①
典例分析
(2)
这个用电器功率的范围是多少?
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值
R
=
110
代入求得的解析式，得到功率的最大值
把电阻的最大值
R
=
220
代入求得的解析式，得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440
W.
结合例3，想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节.
提示：收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速由用电器的功率决定.
1.
在公式
中，当电压
U
一定时，电流
I
与电阻
R
之间的函数关系可用图象大致表示为
(
)
D
A.
B.
C.
D.
I
R
I
R
I
R
I
R
针对练习
2.
在某一电路中，保持电压不变，电流
I
(安培)
和电阻R
(欧姆)
成反比例，当电阻
R＝5
欧姆时，电流
I＝2安培．
(1)
求
I
与
R
之间的函数关系式；
(2)
当电流
I＝0.5
时，求电阻
R
的值．
解：(1)
设
∵
当电阻
R
=
5
欧姆时，电流
I
=
2
安培，
∴
U
=10．
∴
I
与
R
之间的函数关系式为
(2)
当I
=
0.5
安培时，
，解得
R
=
20
(欧姆)．
针对练习
3.在某一电路中，电源电压
U
保持不变，电流
I（A）与电阻
R（Ω）之间的函数关系如图所示.
（1）写出
I
与
R
之间的函数解析式；
（2）结合图象回答当电路中的电流不超过
12
A
时，电路中电阻
R
的取值范围是多少Ω？
O
I/A
3
12
6
9
3
6
9
12
A（6，6）
R/Ω
解：（1）由电学知识得
由图可知，当
R
=
6
时，I
=
6，
所以 U
=
36（V），
即
I
与
R
之间的函数解析式为
（2）电流不超过
12
A，
即
≤12，
R≥3（Ω）.
所以当电路中的电流不超过
12
A
时，电路中电阻
R
大于或等于
3Ω.
O
I/A
3
12
6
9
3
6
9
12
R/Ω
1.
当电压为
220
V
时
(电压=电流×电阻)，通过电路的电流
I
(A)
与电路中的电阻
R
(Ω)
之间的函数关系为
(
)
B.
I=220R
D.
R=220I
A.
C.
A
课堂练习
2.
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压
p
(kPa)
是气体体积
V
(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120
kPa
时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应
(
)
A.
不大于
B.
小于
C.
不小于
D.
大于
C
O
60
V/m3
p/kPa
1.6
课堂练习
3.
受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为
1.2米
的撬棍，用了
500
牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有
300
牛顿的力量，
他该选择动力臂为
的撬棍才能撬动这块大石头呢.
2
米
4.
在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ
(单位：kg/m3)
是体积
V
(单位：
m3)
的反比例函数，它的图象如图所示，当
V
=10m3
时，气体的密度是
.
1
kg/m3
5.
蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流
I
(A)
是电阻
R
(Ω)
的反比例函数，其图象如图所示．
(1)
求这个反比例函数的表达式；
解：设
，把
M
(4，9)
代入得
k
=4×9=36.
∴
这个反比例函数的
表达式为
.
O
9
I(A)
4
R(Ω)
M
(4，9)
(2)
当
R
=10Ω
时，电流能是
4
A
吗？为什么？
解：当
R=10Ω
时，I
=
3.6
≠
4，
∴电流不可能是4A．
O
9
I(A)
4
R(Ω)
M
(4，9)
6.
某汽车的功率
P
为一定值，汽车行驶时的速度
v
(m/s)
与它所受的牵引力F
(N)之间的函数关系如下图所示：
(1)
这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；
O
20
v(m/s)
3000
F(N)
解：
(3)
如果限定汽车的速度不超过
30
m/s，则
F
在什么范围内？
(2)
当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少
km/h？
解：把
F
=
1200
N
代入求得的解析式得
v
=
50，
∴汽车的速度是3600×50÷1000
=
180
km/m.
答案：F
≥
2000
N.
7.为了预防流感，某学校在星期天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
y（毫克）与时间
t（小时）成正比；药物释放完毕后，y
与
t
的函数关系式为
（a为常数）.如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y
与
t
之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
解：（1）药物释放过程：
药物释放完毕后：
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
解：（2）当y
=
0.25毫克时，由
得
（小时），
至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.
物理学科中的反比例函数
知识小结
与其他知识的综合
思想方法小结
建模—反比例函数的数学思想方法
“杠杆原理”：
动力×动力臂=阻力×阻力臂
与力学的综合
与电学的综合
课堂小结
谢谢聆听
