苏科版七年级上册数学——数轴中的动点问题探究（附答案）

初一数学第 8 周资料动点问题探究
制作人：谢同欣审核人：谢同欣
一、解答题
如图，已知数轴上的点 A 表示的数为 6，点 B 表示的数为﹣4，点 C 是 AB 的中点，动点 P 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 x 秒（x＞0）．
当 x＝ 秒时，点 P 到达点 A．
运动过程中点 P 表示的数是 （用含 x 的代数式表示）；
当 P，C 之间的距离为 2 个单位长度时，求 x 的值．
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727710195580如图，A、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为﹣20，B 点对应的数为 100．
请写出与 A、B 两点距离相等的点 M 所对应的数；
现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，你知道 C 点对应的数是多少吗？
若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为 20 个单位长度？
3．如图，点 A、B 都在数轴上，O 为原点．
点 B 表示的数是 ；
若点 B 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动，则 2 秒后点 B 表示的数是 ；
若点 A、B 分别以每秒 1 个单位长度、3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点 O 不动，t 秒后，A、
727710281940B、O 三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求 t 的值．
727710499745已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数 2 表示的点与数﹣2 表示的点重合，则数轴上数﹣4 表示的点与数 4 表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：
若数轴上数﹣3 表示的点与数 1 表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）
①则数轴上数 3 表示的点与数 表示的点重合．
②若点 A 到原点的距离是 5 个单位长度，并且 A、B 两点经折叠后重合，则 B 点表示的数是 ．
③若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2018，并且 M、N 两点经折叠后重合，
如果 M 点表示的数比 N 点表示的数大，则 M 点表示的数是 ．则 N 点表示的数是 ．
已知数轴上 A，B 两点对应数分别为﹣2 和 5，P 为数轴上一点，对应数为 x．
若 P 为线段 AB 的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求 P 点对应的数．
数轴上是否存在点 P，使 P 点到 A 点，B 点距离和为 10？若存在，求出 x 值；若不存在，请说明理由．
若点 A，点 B 和点 P（P 点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为 1，6，3 个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P 三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
6．如图在数轴上 A 点表示数 a，B 点表示数 b，a、b 满足|a+2|+|b﹣4|＝0；
点 A 表示的数为 ；点 B 表示的数为 ；
若在原点 O 处放一挡板，一小球甲从点 A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为 t（秒），
①当 t＝1 时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ； 当 t＝3 时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
7．已知数轴上有 A、B、C 三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点 P 从 A 出发，沿 AC 方向，以每秒
个单位的速度向终点 C 运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
用含 t 的代数式表示点 P 到点 A、C 的距离，PA＝ ；PC＝ ．
当点 P 运动到点 B 时，点 Q 从 C 点出发，沿 CA 方向，以每秒 3 个单位的速度向 A 点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当 t＝ ，点 P、Q 相遇，此时点 Q 运动了 秒．
②请用含 t 的代数式表示出在 P、Q 同时运动的过程中 PQ 的长．
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8．如图 A 在数轴上所对应的数为﹣2．
点 B 在点 A 右边距 A 点 4 个单位长度，求点 B 所对应的数；
在（1）的条件下，点 A 以每秒 2 个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒 2 个单位长度沿数轴向右运动，当点 A 运动到﹣6 所在的点处时，求 A，B 两点间距离．
727710529590在（2）的条件下，现 A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间 A，B 两点相距 4 个单位长度．
参考答案
一、解答题
1．如图，已知数轴上的点 A 表示的数为 6，点 B 表示的数为﹣4，点 C 是 AB 的中点，动点 P 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 x 秒（x＞0）．
当 x＝ 5 秒时，点 P 到达点 A．
运动过程中点 P 表示的数是 2x﹣4 （用含 x 的代数式表示）；
当 P，C 之间的距离为 2 个单位长度时，求 x 的值．
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【分析】（1）直接得出 AB 的长，进而利用 P 点运动速度得出答案；
根据题意得出 P 点运动的距离减去 4 即可得出答案；
利用当点 P 运动到点 C 左侧 2 个单位长度时，当点 P 运动到点 C 右侧 2 个单位长度时，分别得出答案．
【解答】解：（1）∵数轴上的点 A 表示的数为 6，点 B 表示的数为﹣4，
∴AB＝10，
∵动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动时间为 10÷2＝5（秒），
故答案为：5；
（2）∵动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动过程中点 P 表示的数是：2x﹣4；
故答案为：2x﹣4；
（3）点 C 表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1， 当点 P 运动到点 C 左侧 2 个单位长度时， 2x﹣4＝1﹣2
解得：x＝1.5，
当点 P 运动到点 C 右侧 2 个单位长度时， 2x﹣4＝1+2
解得：x＝3.5
综上所述，x＝1.5 或 3.5．
727710501650【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论得出 PC 的长是解题关键． 2．如图，A、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为﹣20，B 点对应的数为 100．
请写出与 A、B 两点距离相等的点 M 所对应的数；
现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A
点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，你知道 C 点对应的数是
多少吗？
若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点
出发，以 4 个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为 20 个单位长度？
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点 Q 走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣ 20 向右运动到相遇地点所对应的数；
此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为 20 个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为 20 个单位长度，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）M 点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；
（2）它们的相遇时间是 120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间 Q 点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20 向右运动 48 个单位到数 28；
（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．
故当它们运动 50 秒或 70 秒时间时，两只蚂蚁间的距离为 20 个单位长度．
【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程＝速度×时间． 3．如图，点 A、B 都在数轴上，O 为原点．
点 B 表示的数是 ﹣4 ；
若点 B 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动，则 2 秒后点 B 表示的数是 0 ；
若点 A、B 分别以每秒 1 个单位长度、3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点 O 不动，t 秒后，A、
727710281305B、O 三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求 t 的值．
【分析】（1）根据数轴即可求解；
根据﹣4+点 B 运动的速度×t＝经过 t 秒后点 B 表示的数，即可得出结论；
找出 t 秒后点 A、B 表示的数，分①点 O 为线段 AB 的中点，②当点 B 是线段 OA 的中点，③点 A 是线段 OB 的中点，根据中点坐标公式即可求出此时的 t 值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）点 B 表示的数是﹣4；
（2）2 秒后点 B 表示的数是﹣4+2×2＝0；
（3）①当点 O 是线段 AB 的中点时，OB＝OA， 4﹣3t＝2+t，
解得 t＝0.5；
②当点 B 是线段 OA 的中点时，OA＝2OB， 2+t＝2（3t﹣4），
解得 t＝2；
③当点 A 是线段 OB 的中点时，OB＝2 OA，
3t﹣4＝2（2+t），
解得 t＝8．
综上所述，符合条件的 t 的值是 0.5，2 或 8．
故答案为：﹣4；0．
7277101053465【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是：（2）根据路程＝速度×时间结合点 B 初始位置找出经过 t 秒后点 B 表示的数；（3）分三种情况考虑． 4．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数 2 表示的点与数﹣2 表示的点重合，则数轴上数﹣4 表示的点与数 4 表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：
若数轴上数﹣3 表示的点与数 1 表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）
①则数轴上数 3 表示的点与数 ﹣5 表示的点重合．
②若点 A 到原点的距离是 5 个单位长度，并且 A、B 两点经折叠后重合，则 B 点表示的数是 ﹣7 或 3 ．
③若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2018，并且 M、N 两点经折叠后重合，
如果 M 点表示的数比 N 点表示的数大，则 M 点表示的数是 1008 ．则 N 点表示的数是 ﹣1010 ．
【分析】①数轴上数﹣3 表示的点与数 1 表示的点关于点﹣1 对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，可得数轴上数 3 表示的点与数﹣5 表示的点重合；
②点 A 到原点的距离是 5 个单位长度，则点 A 表示的数为 5 或﹣5，分两种情况讨论，即可得到 B 点表示的数是﹣7 或 3；
③依据 M、N 两点之间的距离为 2018，并且 M、N 两点经折叠后重合，M 点表示的数比 N 点表示的数大，即可得到 M 点表示的数是 1008，N 点表示的数是﹣1010．
【解答】解：①∵数轴上数﹣3 表示的点与数 1 表示的点关于点﹣1 对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣ 5，所以数轴上数 3 表示的点与数﹣5 表示的点重合；
故答案为：﹣5；
②点 A 到原点的距离是 5 个单位长度，则点 A 表示的数为 5 或﹣5，
∵A、B 两点经折叠后重合，
∴当点 A 表示﹣5 时，﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣1+4＝﹣3， 当点 A 表示 5 时，5﹣（﹣1）＝6，﹣1﹣6＝﹣7，
∴B 点表示的数是﹣7 或 3；
故答案为：﹣7 或 3；
③M、N 两点之间的距离为 2018，并且 M、N 两点经折叠后重合，
∴﹣1+ 1 ×2018＝1008，﹣1- 1 ×2018＝﹣1010，
2 2
又∵M 点表示的数比 N 点表示的数大，
∴M 点表示的数是 1008，N 点表示的数是﹣1010，
故答案为：1008，﹣1010．
【点评】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键．
5．已知数轴上 A，B 两点对应数分别为﹣2 和 5，P 为数轴上一点，对应数为 x．
若 P 为线段 AB 的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求 P 点对应的数．
数轴上是否存在点 P，使 P 点到 A 点，B 点距离和为 10？若存在，求出 x 值；若不存在，请说明理由．
若点 A，点 B 和点 P（P 点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为 1，6，3 个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P 三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
【分析】（1）先求出 AB 之间的距离，再根据 P 点的位置，求出它对应的数．
因分情况进行讨论 P 点在 A 点左侧，AB 中间和 B 点右侧三种情况进行讨论．
可列出方程求出需要的时间．
【解答】解：（1）因数轴上 A、B 两点对应的数分别是﹣2 和 5，所以 AB＝7，
又因 P 为线段 AB 的三等分点，
所以 AP＝7÷3= 7 或 AP＝7÷3×2= 14 ，
3 3
所以 P 点对应的数为 1 或 8 ；
3 3
（2）若 P 在 A 点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x＝10， 解得：x= ? 7 ；
2
若 P 在 A 点、B 中间，
∵AB＝7，
∴不存在这样的点 P；
若 P 在 B 点右侧，则 x﹣5+x+2＝10，
解得：x= 13 ；
2
（3）设第 x 分钟时，点 A 的位置为：﹣2﹣x，点 B 的位置为：5﹣6x，点 P 的位置为：﹣3x，
①当 P 为 AB 的中点，则5﹣6x+（﹣2﹣x）＝2×（﹣3x），解得：x＝3；
②当 A 为 BP 中点时，则2×（﹣2﹣x）＝5﹣6x﹣3x，
解得：x= 9 ，
7
③当 B 为 AP 中点时，则2×（5﹣6x）＝﹣2﹣x﹣3x，
解得：x= 3 ，
2
答：第 9 分钟时，A 为 BP 的中点；第 3 分钟时，B 为 AP 的中点；第 3 分钟时，P 为 AB 的中点．
7 2
【点评】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据数轴和路程问题，列出一元一
次方程求解，注意分情况讨论，不要漏解．
6．如图在数轴上 A 点表示数 a，B 点表示数 b，a、b 满足|a+2|+|b﹣4|＝0；
点 A 表示的数为 ﹣2 ；点 B 表示的数为 4 ；
若在原点 O 处放一挡板，一小球甲从点 A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为 t（秒），
①当 t＝1 时，甲小球到原点的距离＝ 3 ；乙小球到原点的距离＝ 2 ； 当 t＝3 时，甲小球到原点的距离＝ 5 ；乙小球到原点的距离＝ 2 ；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出 a，b 即可；
（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．
②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于 t 的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣4|＝0；
∴a＝﹣2，b＝4，
∴点 A 表示的数为﹣2，点 B 表示的数为 4，
故答案为：﹣2，4；
（2）①当 t＝1 时，
∵一小球甲从点 A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动，
∴甲小球 1 秒钟向左运动 1 个单位，此时，甲小球到原点的距离＝3，
∵一小球乙从点 B 处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，
∴乙小球 1 秒钟向左运动 2 个单位，此时，乙小球到原点的距离＝4﹣2＝2，
故答案为：3，2； 当 t＝3 时，
∵一小球甲从点 A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动，
∴甲小球 3 秒钟向左运动 3 个单位，此时，甲小球到原点的距离＝5，
∵一小球乙从点 B 处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，
∴乙小球 2 秒钟向左运动 2 个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动 1 秒钟，运动
个单位，
∴乙小球到原点的距离＝2．
②当 0＜t≤2 时，得 t+2＝4﹣2t，
解得 t= 2 ；
3
当 t＞2 时，得 t+2＝2t﹣4， 解得 t＝6．
故当 t= 2 秒或 t＝6 秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
3
故答案为：5，2．
【点评】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论．
7．已知数轴上有 A、B、C 三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点 P 从 A 出发，沿 AC 方向，以每秒
1 个单位的速度向终点 C 运动，设点 P 运动时间为 t 秒．
用含 t 的代数式表示点 P 到点 A、C 的距离，PA＝ t ；PC＝ 36﹣t ．
当点 P 运动到点 B 时，点 Q 从 C 点出发，沿 CA 方向，以每秒 3 个单位的速度向 A 点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当 t＝ 21 ，点 P、Q 相遇，此时点 Q 运动了 5 秒．
②请用含 t 的代数式表示出在 P、Q 同时运动的过程中 PQ 的长．
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【分析】（1）根据题意容易得出结果；
（2）①根据路程和＝20，列出方程即可求解；
②根据两点间的距离，要对 t 分类讨论，t 不同范围，可得不同 PQ．
【解答】解：（1）PA＝t；PC＝36﹣t；
（2）①有依题意有t+3（t﹣16）﹣16＝20， 解 得 ：t＝21， t﹣16＝21﹣16＝5．
故当 t＝21，点 P、Q 相遇，此时点 Q 运动了 5 秒． 答案为：24 或 30；
②当 16≤t≤21 时 PQ＝36﹣t﹣3（t﹣16）＝84﹣4t； 当 21＜t≤28 时 PQ＝3（t﹣16）+t﹣36＝4t﹣84． 故答案为：t，36﹣t；21，5．
【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解答（2）②题，对 t 分类讨论是解题关键． 8．如图 A 在数轴上所对应的数为﹣2．
点 B 在点 A 右边距 A 点 4 个单位长度，求点 B 所对应的数；
在（1）的条件下，点 A 以每秒 2 个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒 2 个单位长度沿数轴向右运动，当点 A 运动到﹣6 所在的点处时，求 A，B 两点间距离．
727710529590在（2）的条件下，现 A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间 A，B 两点相距 4 个单位长度．
【分析】（1）根据左减右加可求点 B 所对应的数；
先根据时间＝路程÷速度，求出运动时间，再根据列出＝速度×时间求解即可；
（3）分两种情况：运动后的 B 点在 A 点右边 4 个单位长度；运动后的 B 点在 A 点左边 4 个单位长度；列
出方程求解即可．
【解答】解：（1）﹣2+4＝2．
故点 B 所对应的数；
（2）（﹣2+6）÷2＝2（秒）， 4+（2+2）×2＝12（个单位长度）． 故 A，B 两点间距离是 12 个单位长度．
运动后的 B 点在 A 点右边 4 个单位长度，
设经过 x 秒长时间 A，B 两点相距 4 个单位长度，依题意有2x＝12﹣4，
解得 x＝4；
运动后的 B 点在 A 点左边 4 个单位长度，
设经过 x 秒长时间 A，B 两点相距 4 个单位长度，依题意有2x＝12+4，
解得 x＝8．
故经过 4 秒或 8 秒长时间 A，B 两点相距 4 个单位长度．
【点评】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键．