2020-2021学年安徽省合肥市瑶海区九年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
2．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
3．（4分）已知点A（1，﹣3）关于y轴的对称点A′在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
4．（4分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　　）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
5．（4分）已知y＝x2+（t﹣2）x﹣2，当x＞1时y随x的增大而增大，则t的取值范围是（　　）
A．t＞0 B．t＝0 C．t＜0 D．t≥0
6．（4分）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
10．（4分）若一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为﹣1，则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．（5分）若，则＝　 　．
12．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为　 　．
13．（5分）如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为　 　．
14．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）此抛物线的对称轴是直线　 　；
（2）已知点P（，﹣），Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是　 　．
三、（每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3）和点（2，﹣1），求该函数的表达式，并求出当0≤x≤3时，y的最值．
16．（8分）已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，求4a﹣3b+c的值．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x+2）2+m的x的取值范围．
18．（8分）如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值．
五、（每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AE＝6cm，EC＝4cm，且．
①求AD的长；②求证：．
六、本题12分
21．（12分）如图，函数y1＝k1x+b的图象与函数的图象交于点A（2，1）、B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求函数y1的表达式和点B的坐标；
（2）观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．
七、本题12分
22．（12分）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
八、本题14分
23．（14分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤80且x为正整数）的售价与销量的相关信息如下表：
时间（天） 1≤x≤40 41≤x≤80
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
解：∵y＝2（x+1）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故选：D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），
故选：B．
3．（4分）已知点A（1，﹣3）关于y轴的对称点A′在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
解：∵点A′与点A（1，﹣3）关于y轴的对称，
∴点A′（﹣1，﹣3），
∵点A′（﹣1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣1）×（﹣3）＝3，
故选：A．
4．（4分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（　　）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；
D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
5．（4分）已知y＝x2+（t﹣2）x﹣2，当x＞1时y随x的增大而增大，则t的取值范围是（　　）
A．t＞0 B．t＝0 C．t＜0 D．t≥0
解：
∵y＝x2+（t﹣2）x﹣2，
∴抛物线对称轴为x＝﹣，开口向上，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵当x＞1时y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，解得t≥0，
故选：D．
6．（4分）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝，
∴AD＝×8＝6．
故选：D．
7．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（　　）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴（）2＝2，
∴＝．
故选：B．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正确；
③因为b＝﹣2a，
由4a+b2＜4ac，得
4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，
∴c＜1+a，
根据抛物线与y轴的交点，c＞1，
所以③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以④正确．
所以正确的是②④2个．
故选：B．
9．（4分）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO＝，
设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+，
∴a＝﹣，
∴大孔所在抛物线解析式为y＝﹣x2+，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，﹣），
∴﹣＝m（x﹣b）2，
∴x1＝+b，x2＝﹣+b，
∴MN＝4，
∴|+b﹣（﹣+b）|＝4
∴m＝﹣，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x＝﹣10时，y＝﹣，
∴﹣＝﹣（x﹣b）2，
∴x1＝+b，x2＝﹣+b，
∴单个小孔的水面宽度＝|（+b）﹣（﹣+b）|＝5（米），
故选：B．
10．（4分）若一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为﹣1，则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵直线y＝ax+b与反比例函数y＝的图象在第二象限内有一个交点的横坐标为﹣1，
∴﹣c＝﹣a+b，
∴a﹣b﹣c＝0，
∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象在第二象限内有两个交点，
∴a＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象开口向上，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b﹣c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣c过（﹣1，0）点，
故选：A．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．（5分）若，则＝　　．
解：∵，
∴＝＝，
12．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为　2　．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为﹣＝2．
故答案为：2．
13．（5分）如图所示，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为　4　．
解：设点A的坐标为（﹣a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，
∴点C（a，），
∴点B的坐标为（0，），
∴＝1，
解得，k＝4，
故答案为：4．
14．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）此抛物线的对称轴是直线　x＝1　；
（2）已知点P（，﹣），Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是　a≤﹣　．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，
∴A（0，﹣）
∴点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣），
∵点B也在抛物线上，
∴A、B关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与PQ无交点；
②a＜0时，
当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，
解得，x＝或x＝，
当≤2时，a≤﹣；
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
故答案为a≤﹣．
三、（每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3）和点（2，﹣1），求该函数的表达式，并求出当0≤x≤3时，y的最值．
解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（2，﹣1），
∴，
解得，，
∴函数解析式为：y＝x2﹣4x+3，
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝3，当x＝3时，y＝0，
y的最值是﹣1≤y≤3，．
16．（8分）已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，求4a﹣3b+c的值．
解：由题意设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+3b﹣2c＝15，
∴2k+9k﹣8k＝15，
∴k＝5，
∴a＝10，b＝15，c＝20；
∴4a﹣3b+c
＝4×10﹣3×15+20
＝15．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x+2）2+m的x的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+m，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1；
（2）令x＝0，则y＝（x+2）2﹣1＝3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
由图象可知，满足kx+b≥（x+2）2+m的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．
18．（8分）如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值．
解：（1）∵在反比例函数的图象中，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1，
∴反比例函数经过坐标（﹣4，﹣1），
∴﹣4＝，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将y＝x代入y＝，
解得或，
即M（2，2），N（﹣2，﹣2）．
∴OM＝2．
则MN＝4．
∴线段MN的最小值为4．
五、（每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．
解：如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF＝，
∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，
∴S3：S2＝（GF?FH）：（BC?BE）
＝（×）：（1×）
＝．
故答案为：．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AE＝6cm，EC＝4cm，且．
①求AD的长；②求证：．
解：①设AD＝xcm，则BD＝AB﹣AD＝（12﹣x）cm
∵，
∴
解得x＝7.2cm
∴AD＝7.2cm；
②∵，
∴
即．
∴．
六、本题12分
21．（12分）如图，函数y1＝k1x+b的图象与函数的图象交于点A（2，1）、B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求函数y1的表达式和点B的坐标；
（2）观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．
解：（1）∵函数y1＝k1x+b的图象与函数的图象交于点A（2，1），
∴＝1，
解得k2＝2，
∴反比例函数解析式为y2＝，
∵函数y1＝k1x+b经过点A（2，1），C（0，3），
∴，
解得，
∴y1＝﹣x+3，
两解析式联立得，，
解得，
∴点B的坐标为B（1，2）；
（2）根据图象，当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2，当1＜x＜2时，y1＞y2，当x＝1或x＝2时，y1＝y2．
七、本题12分
22．（12分）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
将C代入得：4＝﹣2a，
解得：a＝﹣2，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，
∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB
＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
当m＝1时，S最大，最大值为8．
八、本题14分
23．（14分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天（1≤x≤80且x为正整数）的售价与销量的相关信息如下表：
时间（天） 1≤x≤40 41≤x≤80
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800．
解：（1）由题意得：y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）或y＝（200﹣2x）（90﹣30），
（2）当1≤x≤40时，y＝﹣2（x+10）（x﹣100），则函数对称轴为x＝45，
故x＝40时，函数取得最大值为6000，
当41≤x≤80时，y＝12000﹣120x，函数在x＝41时，取得最大值为：7080，
故：第41天，利润最大，最大利润为7080元；
（3）当1≤x≤40时，y＝﹣2（x+10）（x﹣100）≥4800，
解得：20≤x≤70，20≤x≤40，为21天，
则函数对称轴为x＝45，故x＝40时，函数取得最大值为4000，
当41≤x≤80时，y＝12000﹣120x≥4800，x≤60，即：41≤x≤60，为20天，
故：共有41天．