11.3角的平分线的性质习题精选含答案
文档属性
| 名称 | 11.3角的平分线的性质习题精选含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 42.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-10-23 23:49:03 | ||
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文档简介
11．3角的平分线的性质习题精选含答案
班级: 姓名： 学号：
一、选择题：
1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
答案：D
说明：因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处，如图，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处，答案为D．
2．如图，∠1 =∠2，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，下列结论中错误的是( )
A．PD = PE
B．OD = OE
C．∠DPO =∠EPO
D．PD = OD
答案：D
说明：由已知可知PO为∠AOB的平分线，根据角平分线的性质不难得到PD = PE，且RtΔPDO≌RtΔPEO，所以有OD = OE，∠DPO =∠EPO，即选项A、B、C的结论都是正确的，所以答案为D．
3．如图，已知△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列四个结论中正确的个数是( )
①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；
②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；
③BD = CD，AD = BC；④∠BDE =∠CDF．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
说明：①如图，P为AD上任意一点，则ΔAPB与ΔAPC中，AP = AP，AB = AC，∠BAD =∠CAD，∴ΔAPB≌ΔAPC，∴PB = PC，①正确；②根据角平分线的性质不难得出AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；③不难得到ΔADB≌ΔADC(SAS)，∴BD = CD，但无法判断AD与BC之间的关系，∴AD = BC不成立，③错误；④由ΔADB≌ΔADC(SAS)，知∠B =∠C，而∠BDE+∠B = 90 ，∠CDF+∠C = 90 ，∴∠BDE =∠CDF，④正确；答案为C．
4．到△ABC的三条边的距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
答案：B
说明：因为角平分线上的点到角两边距离相等，所以到ΔABC的三条边的距离相等的点应该是ΔABC的三条角平分线的交点，答案为B．
二、解答题：
1．如图，已知点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内的一点，且AB = AD，BC = DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别是E、F．
求证：CE = CF．
证明：∵AB = AD，BC = DC，AC = AC，
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠DAC =∠BAC．
∵CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，
∴CE = CF．
2．如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．
求证：D在∠BAC的平分线上．
证明：证△BDE≌△CDF(AAS)，得DE = DF，
∵DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，
∴点D在∠BAC的平分线上．
3．求证：三角形的三条角平分线相交于一点．
证明：如图，设角平分线AD与BE相交于点O．点O到三边AB、BC、CA的距离分别是d1、d2、d3
∵O在∠A平分线AD上，
∴d1 = d3
∵O在∠B平分线BE上，
∴d1 = d2，∴d2 = d3
∵d2、d3是点O到∠C两边的距离，
∴点O在∠C的平分线CF上
∴AD、BE、CF交于一点O．
4．如图，△ABC中，∠ABC = 120 ，∠C = 26 ，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF．
求∠ADC的度数．
解：△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C = 180 ，
∵∠ABC = 120 ，∠C = 26 ，
∴∠BAC = 180 120 26 = 34 ，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE = DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，∠DAF =∠DAB =∠BAC =×34 = 17 ．
∴△ADC中，∠ADC = 180 ∠DAF ∠C = 180 17 26 = 137 ．
5．如图，△ABC中，BP、CP分别是∠B、∠C的外角平分线．
求证：(1)点P在∠A的平分线上；(2)∠BPC = 90 ∠BAC．
证明：(1)过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠B的外角∠CBM的平分线上，
∴PM = PQ
∵P在∠C的外角∠BCN的平分线上，
∴PN = PQ，∴PM = PN
而PM⊥AB，PN⊥AC，
∴点P在∠A的平分线上．
(2)∵∠BPC = 180 ∠1 ∠2，
而∠1 =∠MBC =(∠BAC+∠ACB)，∠2 =∠NCB =(∠BAC+∠ABC)，
∴∠BPC = 180 ∠1 ∠2 = 180 (∠BAC+∠ACB) (∠BAC+∠ABC)
= 180 (∠BAC+∠ACB+∠ABC) ∠BAC
= 180 ×180 ∠BAC
= 90 ∠BAC．
班级: 姓名： 学号：
一、选择题：
1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
答案：D
说明：因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处，如图，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处，答案为D．
2．如图，∠1 =∠2，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，下列结论中错误的是( )
A．PD = PE
B．OD = OE
C．∠DPO =∠EPO
D．PD = OD
答案：D
说明：由已知可知PO为∠AOB的平分线，根据角平分线的性质不难得到PD = PE，且RtΔPDO≌RtΔPEO，所以有OD = OE，∠DPO =∠EPO，即选项A、B、C的结论都是正确的，所以答案为D．
3．如图，已知△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列四个结论中正确的个数是( )
①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；
②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；
③BD = CD，AD = BC；④∠BDE =∠CDF．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
说明：①如图，P为AD上任意一点，则ΔAPB与ΔAPC中，AP = AP，AB = AC，∠BAD =∠CAD，∴ΔAPB≌ΔAPC，∴PB = PC，①正确；②根据角平分线的性质不难得出AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；③不难得到ΔADB≌ΔADC(SAS)，∴BD = CD，但无法判断AD与BC之间的关系，∴AD = BC不成立，③错误；④由ΔADB≌ΔADC(SAS)，知∠B =∠C，而∠BDE+∠B = 90 ，∠CDF+∠C = 90 ，∴∠BDE =∠CDF，④正确；答案为C．
4．到△ABC的三条边的距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
答案：B
说明：因为角平分线上的点到角两边距离相等，所以到ΔABC的三条边的距离相等的点应该是ΔABC的三条角平分线的交点，答案为B．
二、解答题：
1．如图，已知点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内的一点，且AB = AD，BC = DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别是E、F．
求证：CE = CF．
证明：∵AB = AD，BC = DC，AC = AC，
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠DAC =∠BAC．
∵CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，
∴CE = CF．
2．如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．
求证：D在∠BAC的平分线上．
证明：证△BDE≌△CDF(AAS)，得DE = DF，
∵DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，
∴点D在∠BAC的平分线上．
3．求证：三角形的三条角平分线相交于一点．
证明：如图，设角平分线AD与BE相交于点O．点O到三边AB、BC、CA的距离分别是d1、d2、d3
∵O在∠A平分线AD上，
∴d1 = d3
∵O在∠B平分线BE上，
∴d1 = d2，∴d2 = d3
∵d2、d3是点O到∠C两边的距离，
∴点O在∠C的平分线CF上
∴AD、BE、CF交于一点O．
4．如图，△ABC中，∠ABC = 120 ，∠C = 26 ，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF．
求∠ADC的度数．
解：△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C = 180 ，
∵∠ABC = 120 ，∠C = 26 ，
∴∠BAC = 180 120 26 = 34 ，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE = DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，∠DAF =∠DAB =∠BAC =×34 = 17 ．
∴△ADC中，∠ADC = 180 ∠DAF ∠C = 180 17 26 = 137 ．
5．如图，△ABC中，BP、CP分别是∠B、∠C的外角平分线．
求证：(1)点P在∠A的平分线上；(2)∠BPC = 90 ∠BAC．
证明：(1)过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠B的外角∠CBM的平分线上，
∴PM = PQ
∵P在∠C的外角∠BCN的平分线上，
∴PN = PQ，∴PM = PN
而PM⊥AB，PN⊥AC，
∴点P在∠A的平分线上．
(2)∵∠BPC = 180 ∠1 ∠2，
而∠1 =∠MBC =(∠BAC+∠ACB)，∠2 =∠NCB =(∠BAC+∠ABC)，
∴∠BPC = 180 ∠1 ∠2 = 180 (∠BAC+∠ACB) (∠BAC+∠ABC)
= 180 (∠BAC+∠ACB+∠ABC) ∠BAC
= 180 ×180 ∠BAC
= 90 ∠BAC．