平行四边形的存在性
考虑已知边为一边长或对角线，结合点的平移、三角形全等、中点坐标公式等方法求解点坐标。
类型一：已知三点
【经典例题1】如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)Q是平而直角坐标系内一点，在(2)的情况下，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)将A(?1，0)，B(5，0)代入y=?x2+bx+c，得：
，解得：，∴抛物线的解析式为y=?x2+4x+5.
(2)由(2)可知，点P的坐标为(，).
以P、Q、C.
D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图所示):
①以PD为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴点Q的坐标为(+4?0，+0?3)，即(，)；
②以PC为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴点Q的坐标为(+0?4，3?0)，即(?，)；
③以CD为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴点Q的坐标为(0+4?，3+0?)，即(，?).
综上所述：在(2)的情况下，存在以P、Q、C.
D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(，)、(?，)或(，?).
练习1-1如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），
B（0，2），抛物线的图象过C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
练习1-2如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：ED是⊙P的切线；
(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线
y=ax2+bx+c
上吗？
请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N
为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二：已知两点
【经典例题2：垂直于x轴】平行四边形的判定：一组对边平行且相等
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过点A、C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交直线AC于点M，设点P的横坐标为t.若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，求的值.
②当射线MP，AC，MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t的值。
【解析】(1)在y=x+3中，令x=0，y=3;令y=0，x=?4，得A(?4，0)，C(0，3)，
代入抛物线y=?x2+bx+c解析式得：，
∴抛物线的解析式y=?x2?x+3；
(2)设P(t，?t2?t+3)，
∵四边形OCMP为平行四边形，
∴PM=OC=3，PM∥OC，
∴M点的坐标可表示为(t，t+3)，
∴PM=?t2?3t，∴|?t2?3t|=3，
当?t2?3t=3，解得t=?2，
当?t2?3t=?3，解得t1=?2+2，t2=?2?2，
综上所述，满足条件的t的值为?2或?2+2或?2?2.
(3)如图1，若AC平分MP、MO的夹角，过点C作CH⊥OA，CG⊥MP，
则CG=CH，
∵S△MCO=OM?CH=OC?CG，
∴OM=OC=3，
∵点M在直线AC上，
∴M(t，t+3)，
∴MN2+ON2=OM2，可得，t2+(t+3)2=9，
解得t=?，
如图2，若MO平分AC、MP的夹角，则可得∠NMO=∠OMC，过点O作OK⊥AC，
∴OK=ON，
∵∠AKO=∠AOC=90°，∠OAK=OAC，
∴△AOK∽△ACO，
∴AO/AC=OK/OC，∴4/5=OK/3，
∴OK=，
由角平分线的性质可得：点O到AC和MP的距离相等，
∴t=，
综合以上可得t的值为?，.
练习2-1如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线
y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
练习2-2(2019咸宁改编)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，是否存在点E使得以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题3：不垂直于x轴】如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点.
(1)求抛物线解析式；
(2)F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE=，求点O到直线AF的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标，请说明理由.
【解析】(1)∵点A(?3，0)，B(1，0)，C(0，3)是抛物线y=ax2+bx+c上点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y=?x2?2x+3；
(2)如图，
当x=?=?1时，y=4，
∴顶点D坐标为(?1，4)，
∴AE=?1?(?3)=2，
又∵tan∠AFE=，∴2EF=，
∴EF=4，
∴F点坐标为(?1，?4)或(?1，4)，
∵OH⊥AF于点H，
根据勾股定理得：AF2=AE2+EF2=22+42，
∴AF=2，
∵×2?HO=×3×4，
∴OH=；
即点O到直线AF的距离；
(3)若存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形，则点Q(x，y)满足|y|=|EF|=4，
F为(?1，?4)时：
①当y=?4时，?x2?2x+3=?4，
解得：x=?1±2，
∴点Q坐标为(?1?2，?4)(?1+2，?4)
∴P1?(?2，0)，P2?(2，0)；
②当y=4时，?x2?2x+3=4，
解得：x=?1，
∴Q坐标为(?1，4)，
∴P3?坐标为(?2，0)，
F为(?1，4)时：同理可求得P4(2?2，0)，P5(?2?2，0)；
综上所述，符合条件的点有三个即：P1(?2，0)，P2?(2，0);P3?(?2，0);P4(2?2，0);P5(?2-2，0)
练习3-1(2019贵港)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，－5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
练习3-2如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+n（k≠0）与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点C（4，0），同时，抛物线W1：y=x2+bx+c也经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，直线x=m是抛物线的对称轴，且与x轴交于点D.
(1)求直线AC的表达式、抛物线W1的解析式及m的值.
(2)如图2，若将抛物线W1向右平移3个单位长度得到抛物线W2，抛物线W2与x轴交于点D，其顶点为G，设P为直线x=m上一点，Q为抛物线W1上一点，是否存在以G，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由.
练习3-3如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
练习3-4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．
（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆的面积；
（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
参考答案
练习1-1【解析】C(3，1)，
(1)如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°.
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD.
∵在△AOB与△CDA中，
∠OAB=∠ACD，AB=AC，∠OBA=∠CAD
∴△AOB≌△CDA(ASA).
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C(3，1).
∵点C(3，1)在抛物线y=x2+bx?2上，
∴1=×9+3b?2，解得：b=?.
∴抛物线的解析式为：y=x2?x?2，
(3)存在。
如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB?OG=1.
过点A作AP∥BC交y轴于点W，
∵四边形ACBP是平行四边形，
∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形。
过点P作PH⊥x轴于点H，
∵BC∥AP，
∴∠CBO=∠AWO，
∵PH∥WO，
∴∠APH=∠AWO，
∴∠CBG=∠APH，
在△PAH和△BCG中，
∠AHP=∠BGC，∠APH=∠CBG，AP=BC
∴△PAH≌△BCG(AAS)，
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH?OA=2，
∴P(?2，1).
抛物线解析式为：y=x2?x?2，当x=?2时，y=1，即点P在抛物线上。
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为(?2，1).
练习1-2【解析】(1)∵C(2，0)，BC=6，
∴B(?4，0)，
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=OD/OC，
∴OD=2tan60°=2，
∴D(0，2)，
设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x?2)，
把D(0，2)代入得a?4?(?2)=2，解得a=?，
∴抛物线的解析式为y=?(x+4)(x?2)=?x2?x+2；
(2)在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴AE/OC=3/2，AD/CD=6/4=3/2，
∴AE/OC=AD/CD，
而∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为P的直径，
∴ED是P的切线;
(3)E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上。理由如下：
∵△AED∽△COD，
∴DE/OD=AE/OC，即，解得DE=，
∵∠CDE=90°，DE>DC，
∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，
而点C.
D在抛物线上，
∴点E′不能在抛物线上；
(4)存在。
∵y=?x2?x+2=?(x+1)2+
∴M(?1，)，
而B(?4，0)，D(0，2)，
如图2，
当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M(?1，)向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1(?5，)；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D(0，2)向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2(3，)；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D(0，2)向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3(?3，?)，
综上所述，点N的坐标为(?5，)、(3，)、(?3，?).
类型二：已知两点
练习2-1【解析】(1)∵点A(?4，?4)，B(0，4)在抛物线y=?x2+bx+c上，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为y=?x2?2x+4；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴，∴，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E(m，2m+4)，
∴G(m，?m2?2m+4)，
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG=OB=4，
∴?m2?2m+4?2m?4=4，
∴m=?2，
∴G(?2，4)；
练习2-2【解析】(1)y=
(2)当BO为边时，OB=EF，解得m=2，m=，m=
当BO为对角线时，OB、EF互相平分，解得E的横坐标为或
所以E点坐标为（2,1）或（2-2,1+）或（2+2,1-）或（,3+）或（,3-）
练习3-1【解析】(1)函数表达式为：y=a(x=4)2+3，
将点B坐标代入上式并解得：a=?，
故抛物线的表达式为：y=?x2+4x?5；
(2)A(4，3)、B(0，?5)，则点M(2，?1)，
设直线AB的表达式为：y=kx?5，
将点A坐标代入上式得：3=4k?5，解得：k=2，
故直线AB的表达式为：y=2x?5；
(3)设点Q(4，s)、点P(m，?m2+4m?5)，
①当AM是平行四边形的一条边时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P(m，?m2+4m?5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q(4，s)，
即：m?2=4，?m2+4m?5?4=s，
解得：m=6，s=?3，
故点P、Q的坐标分别为(6，1)、(4，?3)；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2=m+4，3?1=?m2+4m?5+s，
解得：m=2，s=1，
故点P、Q的坐标分别为(2，1)、(4，1)；
③当点Q在点A上方时，AQ=MP=2，
同理可得点Q的坐标为(4，5)，
故点P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，?3)或(4，1)或(4，5).
练习3-2【解析】（1）∵直线y=kx+n（k≠0）经过点A（0，3），C（4，0），
∴∴直线AC的表达式为y=x+3.
抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3），C（4，0），
∴?∴抛物线的表达式为.
∴对称轴x=.即抛物线的对称轴为直线x=1.
（2）存在，理由如下
①当BG为平行四边形的对角线时，此时Q1G=BP1=3，
则P1(1，0)如图所示
②当BG为平行四边形的一边时时，
B(-1，0)，G(4，)，P2(1，m)根据平移的规律或中点坐标公式，得Q2的横坐标为-4，所以Q2(-4，-6)，根据平移规律P2(1，)
B(-1，0)，G(4，)，P3(1，m)根据平移的规律或中点坐标公式，得Q3的横坐标为6，所以Q3(6，-6)，根据平移规律P3(1，)
综上所述，有P1(1，0)、P2(1，)、P3(1，)三个点。
练习3-3【解析】(1)∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，
OE=.
∴E(0，?3)
设AD=m，则DE=BD=4?m，
∵OE=3，
∴AE=5?3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，
即m2+22=(4?m)2，解得m=，
∴D(?，?5)，
∵C(?4，0)，O(0，0)，
∴设过O、D.
C三点的抛物线为y=ax(x+4)，
∴?5=?a(?+4)，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x(x+4)=x2+x；
(2)∵CP=2t，
∴BP=5?2t，
∵BD=，DE=，
∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，DP=DQ，BD=ED，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL)，
∴BP=EQ，
∴5?2t=t，
∴t=；
(3)∵抛物线的对称为直线x=?2，
∴设N(?2，n)，
又由题意可知C(?4，0)，E(0，?3)，设M(m，y)，
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，如图1，
，
则线段EN的中点
横坐标为，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=×22+×2=16
∴M(2，16)；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图2，
，
则线段EM的中点，
横坐标为，线段CN中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴m=?3，解得m=?6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=×(-6)2+×(-6)=16，
∴M(?6，16)；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
∴设N(?2，n)，
又由题意可知C(?4，0)，E(0，?3)，设M(m，y)，
∵线段CE的中点坐标的横坐标为?2，线段MN的中点坐标的横坐标为
∵CE与MN互相平分，∴
解得m=?2，
当m=?2时，y=×(-2)2+×(-2)=?，
即M(?2，?).
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为(2，16)或(?6，16)或(?2，?).
练习3-4【解析】(1)在y=x2?2x?3中，令y=0可得x2?2x?3=0，解得x=?1或x=3，
∴A(?1，0)，B(3，0)，
令x=0可得y=?3，
又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，
∴C(0，3)，
设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c，
把A.
B.
C的坐标代入可得，解得，
∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=?x2+2x+3；
(2)设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=1，
∴M(1，1)，
∴MB，
即△ABC外接圆的半径为；
(3)设Q(t，0)，则BQ=|t?3|
①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，
∴P点纵坐标为3，
即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，
当点P在曲线M上时，在y=x2?2x?3中，令y=3可解得x=1+或x=1?，
∴PC=1+或PC=?1，
当x=1+时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t?3，
∴t?3=1+，解得t=4+，
当x=1?时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3?t，
∴3?t=?1，解得t=4?，
∴Q点坐标为(4+，0)或(4?，0)；
当点P在曲线N上时，在y=?x2+2x+3中，令y=3可求得x=0(舍去)或x=2，
∴PC=2，
此时Q点在B点的右侧，则BQ=t?3，
∴t?3=2，解得t=5，
∴Q点坐标为(5，0)；
②当BC为平行四边形的对角线时，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴线段BC的中点为(，)，设P(x，y)，
∴x+t=3，y+0=3，解得x=3?t，y=3，
∴P(3?t，3)，
当点P在曲线M上时，则有3=(3?t)2?2(3?t)?3，解得t=2+或t=2?，
∴Q点坐标为(2+，0)或(2?，0)；
当点P在曲线N上时，则有3=?(3?t)2+2(3?t)+3，解得t=3(Q、B重合，舍去)或t=1，
∴Q点坐标为(1，0)；
综上可知Q点的坐标为(4+，0)或(4?，0)或(5，0)或(2+，0)或(2?，0)或(1，0).正方形的存在性
类型一：根据全等求解
【经典例题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），．
（1）求抛物线的解析式；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵C(0，3)，∴OC=3，
∵tan∠OAC=，∴OA=4，
∴A(?4，0).
把A(?4，0)、C(0，3)代入y=ax2+2ax+c中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为y=?x2?x+3.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(?4，0)、C(0，3)代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x+3.
设N(x，0)(?4
∴PH=?x2?x+3(x+3)=?x2?x=?(x?2)2+，
∵?<0，
∴PH有最大值，
当x=2时，PH取最大值，最大值为.
(3)过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，?
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK.
在△MCK和△MEG中，∠MEG=∠CMK，∠MGE=∠CKM=90°，EM=MC，
∴△MCK≌△MEG(AAS)，
∴MG=CK.
由抛物线的对称轴为x=?1，设M(x，?x2?x+3)，则G(?1，?x2?x+3)，K(0，?x2?x+3)，
∴MG=|x+1|，CK=|?x2?x+3?3|=|?x2?x|=|x2+x|
∴|x+1|=|x2+x|，
∴x2+x=±(x+1)，
解得：x1=?4，x2=?，x3=?，x4=2，
代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，
∴点M的坐标是(?4，0)，(?，)，(?，)或(2，0).
练习1-1如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．
练习1-2如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上．若点P是直线AB上方抛物线上的一动点（不与点A、B重合），设点P的横坐标为m，连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请写出对应的点P的坐标．
?
?
?
【经典例题2】如图①，一次函数
y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点
A，B的横坐标分别为
m，n（m＜0，n＞0）．
（1）当m=﹣1，n=4时，k=
，b=
；当m=﹣2，n=时，k=
，b=
；
（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
如图②，直线
AB
与x轴，y
轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点
E，连接AO，OE，ED．
①当m=﹣3，n＞3
时，求的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为
；
当四边形AOED为正方形时，m=
，n=
．
【解析】(1)当x=?1时，y=x2=1，则A(?1，1);当x=4时，y=x2=16，则B(4，16)，
把A(?1，1)、B(4，16)分别代入y=kx+b得，解得；
当x=?2时，y=x2=4，则A(?2，4);当x=3时，y=x2=9，则B(3，9)，
把A(?2，4)、B(3，9)分别代入y=kx+b得，解得；
故答案为：3，4；1，6；
(2)k=m+n，b=?mn.理由如下：
把A(m，m2)，B(n，n2)代入y=kx+b得，解得；
(3)①当m=?3时，A(?3，9)，
∵点A关于y轴的对称点为点E，
∴E(3，9)，
∵k=m+n，b=?mn，
∴k=?3+n，b=3n，
∴直线AB的解析式为y=(?3+n)x+3n，则D(0，3n)，
当y=0时，(?3+n)x+3n=0，解得x=，则C(，0)，
∴S△ACO/S四边形AOED==(n>3)；
②连结AE交OD于P，如图②，
∵点A(m，m2)关于y轴的对称点为点E，
∴E(?m，m2)，
∴OP=m2，
∵k=m+n，b=?mn，
∴D(0，?mn)，
若四边形AOED为菱形，则OP=DP，即?mn=2m2，所以n=?2m；
若四边形AOED为正方形，则OP=AP，即?m=m2，解得m=?1，所以n=?2m=2.
练习2-1在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；
（2）如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标
（3）在（2）的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式．
练习2-2已知抛物线C1：y=x2．如图1，平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A(2，0)，C2的对称轴分别交C1，C2于点B，D．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）探究四边形ODAB的形状，并证明你的结论．
（3）如图2，将抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于点M．点N是点M关于x轴的对称点，点P在直线MG上．当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
【经典例题3】已知抛物线经过点，.把抛物线与线段围成的封闭图形记作.
（1）求此抛物线的解析式；
(2)点P为图形G中的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q.当△APQ为等腰直角三角形时，求m的值；
（3）点是直线上一点，且点的横坐标为，以线段为边作正方形，且使正方形与图形在直线的同侧，当，两点中只有一个点在图形的内部时，请直接写出的取值范围.
【解析】(1)将点A.
B坐标代入函数表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y=x2+x?3①；
(2)当∠QPA=90°时，
则PA∥x轴，则点P、A关于对称轴对称，故点P(?2，?1)，
此时△APQ为等腰直角三角形
即m=?2；
当∠PQA=90°时，
同理可得：m=?2；
当QAP=90°时，
直线AB与x轴负半轴的夹角为45°，则直线AP与x轴的夹角为45°，
故设直线AP的表达式为：y=x+s，
将点A的坐标代入上式并解得：s=?2，
故直线AP的表达式为：y=x?2②，
联立①②并解得：x=±1(舍去1)，即m=?1；
综上，m=?2或?1；
(3)点C的横坐标为n，且点C在直线AB上，则点C(n，?n)，
∵ACDE是正方形，AB与x轴负半轴的夹角为45°，则AD∥x轴，CE∥y轴，
根据正方形的性质可得yC?yA=?n+1=yA?yE，
故点E的纵坐标为?n?2(?n+1)=n?2，点E的横坐标同点C的横坐标相同为n，
故点E(n，n?2)，同理点D(2n?1，?1)，
当只有点E在图形G的内部时(注：应该不包括边界)，
则点E的横坐标在A.
B的横坐标之间，而点E在抛物线之上，点D在抛物线之下，
故，解得?1当只有点D在图形G的内部时(注：应该不包括边界)，
同理可得，解得：?故n的取值范围为?1参考答案
练习1-1【解析】可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x?6)，
把C点的坐标代入可得6=?12a，
解得a=?.
∴抛物线解析式为y=?(x+2)(x?6)=?x2+2x+6；
∴D(2，8)；
(2)如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F(x，?x2+2x+6)，
则FG=|?x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴FG/BG=BE/DE.
∵B(6，0)，D(2，8)，
∴E(2，0)，BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6?x，
∴，
当点F在x轴上方时，有，
解得x=?1或x=6(舍去)，
此时F点的坐标为(?1，)，
当点F在x轴下方时，有，
解得x=?3或x=6(舍去)，
此时F点的坐标为(?3，?)，
综上可知F点的坐标为(?1，)或(?3，?)；
(3)如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
QO′=MO′=PO′=NO′，PQ⊥MN，
设Q(2，2n)，则M坐标为(2?n，n)，
∵点M在抛物线y=?x2+2x+6的图象上。
∴n=?(2?n)2+2(2?n)+6，
解得n=?1+或n=?1?，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为(2，?2+2)或(2，?2?2).
练习1-2【解析】?由可得，A(-8,),B(2,0).
则－8＜m＜2.
①?当G点在y轴上时，此时，如图1
?
过点A作CD∥y轴，过点P，G分别作x轴的平行线交CD于D、C两点
∵PA=AG，∠PAD=∠AGC，∠D=∠C
∴△PAD≌△AGC
∴AD=CG=2，
则点P在y=2这条直线上
由=2可求得，x1=，x2=.
∴P1(，2),P2(，2)
②?当F点在y轴上时，此时，如图2
?
过点A作AH∥y轴，过点P作x轴的平行线，交AH于H点,交y轴于点E.
此时△PAH≌△FPE
∴EP=AH=m，即P（m，m）
P在抛物线上，将P（m，m）代入抛物线解析式可得
由=m可求得，m1=，m2=..
又∵-8＜m＜2，
∴只取m1=
∴P3(,)
综上所述：P1(，2)，P2(，2)，P3(,).
备注：图1对应P2
?
练习2-1
【解析】(1)四边形OKPA是正方形，
理由：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO=∠OKP=90?.
又∵∠AOK=90?，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90?.
∴四边形OKPA是矩形。
又∵PA=PK，∴
四边形OKPA是正方形；
(2)连接PB，过点P作PG⊥BC于G.
∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC为等边三角形。
在Rt△PBG中,∠PBG=60?，
设PB=PA=a,BG=a/2
由勾股定理得：PG=a，
所以P(a,a),将P点坐标代入y=，
解得：a=2或?2(舍去负值)，
∴PG=，PA=BC=2.
又四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG?BG=1，OC=OG+GC=3.
∴A(0,),B(1,0),C(3,0)；
(3)设：二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
根据题意得：a+b+c=0,9a+3b+c=0,而c=
解得：a=,b=?,c=，
∴二次函数的解析式为：y=x2?x+.
练习2-2【解析】(1)∵抛物线C2经过C1的顶点O，
∴设抛物线C2的解析式为y=x2+bx，
∵C2经过A(2,0)，
∴4+2b=0，
解得：b=?2，
∴求抛物线C2的解析式为y=x2?2x；
(2)∵y=x2?2x=(x?1)2?1，
∴抛物线C2的顶点坐标D为(1,?1)，
当x=1时，y=1，
∴点B的坐标为(1,1)，
∴根据勾股定理得：OB=AB=OD=AD=，
∴四边形ODAB是菱形，
又∵OA=BD=2，
∴四边形ODAB是正方形；
(3)∵抛物线C2向m个单位下平移(m>0)得抛物线C3，
∴抛物线C3的解析式为y=(x?1)2?1?m，
在y=(x?1)2?1?m中，令x=0，得y=?m，
∴M(0,?m)，
∵点N是M关于x轴的对称点，
∴N(0,m)，
∴MN=2m，
当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：
①若MN是平行四边形的一条边，
由MN=PQ=2m和点P(?m,m)得Q(?m,m)，
∵点Q在抛物线C3上，
∴m=(?m?1)2?1?m，
解得：m=或m=0(舍去)，
②若MN是平行四边形的一条对角线,由平行四边形的中心对称得Q(m,?m)
∵点Q在抛物线C3上，
∴?m=(m?1)2?1?m,解得：m=或m=0(舍去)
综上所述,当m=或时，
在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。2021中考专项训练：二次函数应用
二、喷泉、拱形桥等建系问题
【经典例题1】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(
)
A．
B．C．
D．
【解析】设抛物线的解析式为：y=ax2，
将B(45，?78)代入得：?78=a×452，
解得：a=?，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：y=?x2.
故选：B.
练习1-1某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
练习1-2一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图
1
所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱
EF
的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
练习1-3如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米.
现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点
M及抛物线顶点
P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面
OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
练习1-4如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系。
h=－（0≤t≤40）且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
练习1-5（2019?宁波模拟）某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退
m，恰好把水喷到F处进行灭火．
练习1-6卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5
cm，拱高OC＝0.9
cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1
cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45
cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．
【经典例题2】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2
m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9
m，高度为2.43
m，球场的边界距O点的水平距离为18
m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【解析】(1)∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a(x?6)2+h过点(0，2)，
∴2=a(0?6)2+2.6，
解得：a=?，
故y与x的关系式为：y=?(x?6)2+2.6，
(2)当x=9时，y=?(x?6)2+2.6=2.45>2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，?(x?6)2+2.6=0，
解得：x1=6+>18，x2=6-(舍去)
故会出界；
(3)当球正好过点(18，0)时，抛物线y=a(x?6)2+h还过点(0，2)，代入解析式得：
，解得，
此时二次函数解析式为：y=?(x?6)2+，
此时球若不出边界h?，
当球刚能过网，此时函数解析式过(9，2.43)，抛物线y=a(x?6)2+h还过点(0，2)，代入解析式得：，解得，
此时球要过网h?，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h?.
练习2-1
2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练。某跳水运动员在进行跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系。
(1)当k=4时，求这条抛物线的解析式；
(2)当k=4时，求运动员落水点与点C的距离；
(3)图中CE=米，CF=米，若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水时才能达到训练要求，求k的取值范围。
练习2-2一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m.
（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？
练习2-3甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
练习2-4小明跳起投篮，球出手时离地面，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线对应的函数关系式；
（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？
（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？
参考答案
练习1-1
【解析】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x?3)2+5(a≠0)，
将(8，0)代入y=a(x?3)2+5，得：25a+5=0，
解得：a=?，
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=?(x?3)2+5(0(2)当y=1.8时，有?(x?3)2+5=1.8，
解得：x1=?1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内。
(3)当x=0时，y=?(x?3)2+5=
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=?x2+bx+，
∵该函数图象过点(16，0)，
∴0=?×162+16b+，解得：b=3，
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=?x2+3x+=?(x?)2+.
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为。
练习1-2【解析】(1)根据题目条件A，B，C的坐标分别是(?10，0)，(10，0)，(0，6)，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
将B，C的坐标代入y=ax2+c，
得
解得.
所以抛物线的表达式y=?x2+6.
(2)可设F(5，yF)，于是
yF=?×52+6=4.5
从而支柱EF的长度是10?4.5=5.5米。
(3)设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，
则G点坐标是(7，0).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则yH=?×72+6=3.06>3.
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车。
练习1-3
【解析】(1)M(12，0)，P(6，6).(2分)
(2)设抛物线解析式为：
y=a(x?6)2+6(3分)
∵抛物线y=a(x?6)2+6经过点(0，0)
∴0=a(0?6)2+6，即a=?(4分)
∴抛物线解析式为：y=?(x?6)2+6，即y=?x2+2x.(5分)
(3)设A(m，0)，则B(12?m，0)，C(12?m，?m2+2m)
D(m，?m2+2m).(6分)
∴“支撑架”总长
AD+DC+CB=(?m2+2m)+(12?2m)+(?m2+2m)=?13m2+2m+12=?13(m?3)2+15，(8分)
∵此二次函数的图象开口向下。
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米.(9分)
练习1-4【解析】(1)∵点C到ED的距离是11米，
∴OC=11，
设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B(8，8)，
∴64a+11=8，
解得a=?，
∴y=?x2+11；
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11?5=6(米)，
∴6=?(t?19)2+8，
∴(t?19)2=256，
∴t?19=±16，
解得t1=35，t2=3，
∴35?3=32(小时).
答：需32小时禁止船只通行。
练习1-5
【解析】由图可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，
∵点B和点E.
点C和点F的离地高度分别相同，
∴E(20，9.2)，
设AE的直线解析式为y=kx+b，
，
∴k=?；b=21.2，
∴y=?x+21.2，
∵A，E，F在同一直线上。
∴F(25，6.2)，
设过D，E，F三点的抛物线为y=ax2+bx+c，
∴c=1.2；9.2=400a+20b+c；6.2=625a+25b+c，
∴y=?x2+x+，
水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，
∴D(0，6.2)，
设平移后的抛物线为y=?(x+m)2+(x+m)+1.2+5，经过点F，
∴m=5或m=?25(舍)，
∴向后退了5米。
故答案为5.
练习1-6【解析】（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
．
因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上，
所以，
得．
因此所求函数解析式为．
（2）因为点D、E的纵坐标为，
所以，
得．
所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）．
所以．
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
（米）．
练习2-1
(1)如图所示：
【解析】根据题意，可得抛物线顶点坐标M(3，4)，A(2，3)
设抛物线解析为：y=a(x?3)2+4，
则3=a(2?3)2+4，
解得：a=?1，
故抛物线解析式为：y=?(x?3)2+4；
(2)由题意可得：当y=0，则0=?(x?3)2+4，
解得：x1=1，x2=5，
故抛物线与x轴交点为：(5，0)，
当k=4时，求运动员落水点与点C的距离为5米；
(3)根据题意，抛物线解析式为：y=a(x?3)2+k，
将点A(2，3)代入可得：a+k=3，即a=3?k
若跳水运动员在区域EF内(含点E，F)入水，
则当x=时，y=a+k?0，即(3?k)+k?0，
解得：k?，
当x=时，y=+k?0，即(3?k)+k?0，
解得：k?，
故?k?.
练习2-2【解析】（1）∵y＝的顶点坐标为（0，），
∴球在空中运行的最大高度为m；
（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，
解得：x＝±1.5，
∵x＞0，
∴x＝1.5；
当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，
解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，
由1.5+2.5＝4（m），
故他距离篮筐中心的水平距离是4米．
练习2-3【解析】（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，
解得：h＝；
②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：，
解得：，
∴a＝﹣．
练习2-4
【解析】
（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，
将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，
解得a＝﹣，
∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝≠3，
∴抛物线不过点（8，3），
故不能正中篮筐中心；
∵抛物线过点（8，），
∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．
（3）由（1）求得的函数解析式，
当y＝3.19时，3.19＝﹣19（x﹣4）2+4
解得：x1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），
x2＝1.3
∴球员乙距离甲球员距离小于1.3米时，即可盖帽成功．二次函数过定点问题
【经典例题1】二次函数y=ax2+bx+1的图象必经过点______.
【解析】当x=0时，y=ax2+bx+1=1，
所以二次函数y=ax2+bx+1的图象必经过点(0，1).
故答案为(0，1).
练习1-1某二次函数y=ax2+(a+c)x+c必过定点___.
【解析】y=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1)，
由此可得当x=?1时，y=0，且与a、c取值无关。
故二次函数所过定点为(?1，0).
练习1-2无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2?m)x+m的图象总过的点是(
)
A.
(1，3)
B.
(1，0)
C.
(?1，3)
D.
(?1，0)
【解析】原式可化为y=x2+2x?mx+m=x2+2x+m(1?x)，
二次函数的图象总过该点，即该点坐标与m的值无关，
于是1?x=0，解得x=1，
此时y的值为y=1+2=3，图象总过的点是(1，3).
练习1-3在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=?x2+x+2a?2经过x轴上一定点Q，直线y=(a?2)x+2经过点Q.求抛物线的解析式。
【解析】∵不论a取何值，抛物线y=?x2+x+2a?2经过x轴上一定点Q，
∴当a=0，则y=?x2+x?2，当a=1时y=?x2+2x，
令y=0，则?x2+x?2；?x2+2x=0
解得x=4，
∴Q(4，0)，
∵直线y=(a?2)x+2经过点Q.
∴0=(a?2)×4+2，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=?x2+x+1.
练习1-4已知抛物线y=mx2+(1?2m)x+1?3m与x轴相交于不同的两点A.
B
(1)求m的取值范围；
(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
【解析】(1)当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当m≠0时，
∵抛物线y=mx2+(1?2m)x+1?3m与x轴相交于不同的两点A.
B，
∴△=(1?2m)2?4×m×(1?3m)=(1?4m)2>0，
∴1?4m≠0，
∴m≠；
(2)证明：∵抛物线y=mx2+(1?2m)x+1?3m，
∴y=m(x2?2x?3)+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2?2x?3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=?1，
当x=3时，y=4，定点坐标为(3，4)；
当x=?1时，y=0，定点坐标为(?1，0)，
∵P不在坐标轴上，
∴P(3，4)；
练习1-5对于二次函数y=x2?3x+2和一次函数y=?2x+4，把函数y=t(x2?3x+2)+(1?t)(?2x+4)(t为常数)称为这两个函数的“衍生二次函数”。已知不论t取何常数，这个函数永远经过某些定点，则这个函数必经过的定点坐标为___.
【解析】y=t(x2?3x+2)+(1?t)(?2x+4)，=t(x2?3x+2)+t(2x?4)+(?2x+4)，=t(x2?x?2)+(?2x+4)，
令x2?x?2=0则函数图象经过的点与t值无关，
解方程得，x1=?1，x2=2，
当x=?1时，y=6，
当x=2时，y=0，
所以，这个函数必经过的定点坐标为(?1，6)，(2，0).
故答案为：(?1，6)，(2，0).
【经典例题2】已知二次函数的顶点坐标为(?，?)，与y轴的交点为(0，n?m)，其顶点恰好在直线y=x+(1?m)上(其中m、n为正数).
(1)求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；
(2)在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点?若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)证明：把(?，?)代入y=x+(1?m)得?+(1?m)=?，
整理得m2?mn+m?n=0，
∵(m?n)(m+1)=0，
∴m=n或m=?1(舍去)，
∴二次函数的顶点坐标为(?，?)，与y轴的交点为(0，0)，
∵m为正数，
∴二次函数的顶点在第四象限，
而抛物线过原点，
∴抛物线开口向上，
∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；
(2)存在。
∵抛物线的对称轴为直线x=?，抛物线与x轴的一个交点坐标为(0，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?1，0)，
即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点(?1，0)和(0，0).
练习2-1如图1，抛物线y=(x?m)2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB=1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO=∠PCD，求证：AC=2AD；
(3)如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标。
【解析】(1)由题意和y=(x?m)2设A(m，0)
当x=0时，y═(0?m)2=，即设B(0，
)
∴OA=m，OB=
由S△OAB=1
∴?OA?OB=1，即m?=2
解得，m=2
∴A(2，0)，B(0，1)
把y=(x?2)2化为一般式为，y=x2?x+1.
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=2.
D.
C两点在直线x=2上，则设C(2，n)，D(2，n′)
如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E.
∵∠BAO=∠PCD，∠BOA=∠EAC=90?
∴Rt△BOA∽Rt△EAC
∴∠BAO=∠ECA
∴tan∠BAO=tan∠ECA=
∴
∴AC=2AE
又∵∠BAO=∠EAQ，∠BAO=∠ECA
∴∠ECA=∠EAQ
又∵∠ECA+∠CEA=90?
∴∠EAQ+∠QEA=90?
∴BQ⊥PC
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(2，0)，B(0，1)代入得，
0=2
k+b；1=b解得
k=?；b=1
∴直线AB的解析式为，y=?x+1
由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y=2x+b′.
又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点
∴令2x+b′═(x?2)2
整理得，x2?x+4?4b′=0，且△=0
即144?4(4?4b′)=0
解得，b′=?8
∴直线PC的解析式为，y=2x?8.
∴把点C(2，n)代入y=2x?8中得，n=2×2?8
解得，n=?4.
∴C点坐标为(2，?4)，即AC=4
由AC=2AE得，AE=2.
把b′=?8代入方程x2?12x+4?4b′=0中得，
x2?12x+36=0
解得，x1=x2=6
再把x=6代入y=2x?8中得，y=2×6?8
解得，y=4
∴P(6，4)
设直线PB解析式为y=k′x+1
把P(6，4)代入上式得，4=6k′+1
解得，k′=
∴直线PB的解析式为，y=x+1
又∵D(2，n′)在直线PB上，将其代入y=12x+1中得，
n′=×2+1=2
∴D点坐标为(2，2)，即AD=2
∴AD=AE
∴AC=2AD；
(3)如图3中，以A为原点建立新的坐标系，
则抛物线的解析式为y′=x2，在新坐标系中设M(a，a2)，N(m，m2).
∵AM⊥AN，
∴，∴ma=?16
设直线MN的解析式为y′=kx+b，则有解得：，
∵ma=?16，∴b=4，
∴直线MN的解析式为y′=(a+m)x+4，
∴直线MN经过定点(0，4)(新坐标系中)，
在原来坐标系中，直线MN经过点(2，4)，
∴直线MN经过定点(2，4)
练习2-2已知抛物线G：y=x2?2ax+a?1(a为常数)．
(1)当a=3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；
(2)若记抛物线G的顶点坐标为P(p，q)．
①分别用含a的代数式表示p，q；
②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；
③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在______的图象上．
A.一次函数
B.
反比例函数
C.
二次函数
(3)小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编：将(2)中的抛物线G改为抛物线H：y=x2?2ax+N(a为常数)，其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上。请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：______(用含a的代数式表示)，它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k，b为常数，k≠0)中，k=______，b=______．
【解析】(1)当a=3时，抛物线G为y=x2?6x+2，
∴
y=x2?6x+2=(x?3)2?7
此时抛物线G的顶点坐标为(3，?7)；
(2)①y=x2?2ax+a?1
=(x2?2ax+a2)?a2+a?1
=(x?a)2?a2+a?1
∵
抛物线G的顶点坐标为P(p，q)，
∴
p=a；q=?a2+a?1
②由①得q=?p2+p?1，
③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数的图象上，
故选C；
(3)答案不唯一，如新抛物线H的函数表达式为y=x2?2ax+a2+a，
得到k=1，b=0．
练习2-3如图所示，过点F(0，1)的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点(其中x1<0，x2>0).
(1)求b的值。
(2)求x1?x2的值。
(3)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m(m是常数)，使m与以MN为直径的圆相切?如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。
【解析】(1)∵直线y=kx+b过点F(0，1)，
∴b=1；
(2)∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M(x1，y1)和N(x2，y2)两点，
∴可以得出：kx+b=x2，
整理得：x2?kx?1=0，
∵a=14，c=?1，
∴x1?x2=?4，
(3)符合条件的定直线m即为直线l:y=?1.
过M作MH⊥NN1于H，
MN2=MH2+NH2=(x1?x2)2+(y1?y2)2=(k2+1)(16k2+16)=16(k2+1)2，
∴MN=4(k2+1)，
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1=(MM1+NN1)=(y1+1+y2+1)=(y1+y2+2)=(y1+y2)+1=k(x1+x2)+2=2k2+2，
∴PP1=MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半。
∴以MN为直径的圆与l相切。
即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条直线m的解析式是y=?1.
练习2-4孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A.
B两点，请解答以下问题：
(1)若测得OA=OB=2(如图1)，求a的值；
(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标___；
(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A.
B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。
【解析】(1)设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2,∠AOB=90?，
∴AC=OC=BC=2，
∴B(2,?2)，
将B(2,?2)代入抛物线y=ax2(a<0)得,a=?.
(2)解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B(1,?)，
∴BF=.
又∵∠AOB=90?，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90?，
∴△AEO∽△OFB，
∴AE/OE=OF/BF==2，
∴AE=2OE，
设点A(?m,?m2)(m>0)，则OE=m，
AE=m2，
∴m2=2m，
∴m=4，即点A的横坐标为?4.
(3)设A(?m,?m2)(m>0),B(n,?n2)(n>0)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b,则?mk+b=?m2(1);nk+b=?n2(2)，
(1)×n+(2)×m得,(m+n)b=?(m2n+mn2)=?mn(m+n)，
∴b=?mn(8分)
又易知△AEO∽△OFB，
∴AE/OF=OE/BF，
∴，
∴mn=4，
∴b=?×4=?2.
由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,?2).
练习2-5如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解析】
（1）抛物线解析式y=x2-2x-3
(2)若点P在x轴下方，如图1，点P（）
若点P在x轴上方，如图2，点P（）
（3）DM+DN为定值8.等边三角形的判定
【经典例题1】如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
(1)求此抛物线的解析式．
(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断
△RSF的形状．
【解析】(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B(2，1)
∴A(2，?1)、D(?2，?1)；
由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax2，则有：
4a=?1，a=?
∴抛物线的解析式为：y=?x2.
(2)①证明：由抛物线的解析式知：P(a，?a2)，而R(a，1)、F(0，?1)，
则：PF=，PR=1?(?a2)=a2+1.
∴PF=PR.
②由①得：RF=；
若△PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：
=a2+1，即：a4?a2?3=0，得：
a2=?4(舍去)，a2=12；
∴a=±2，?a2=?3；
∴存在符合条件的P点，坐标为(2，?3)、(?2，?3).
③同①可证得：QF=QS；
在等腰△SQF中，∠1=(180°?∠SQF)；
同理，在等腰△RPF中，∠2=(180°?∠RPF)；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=(360°?∠SQF?∠RPF)=90°
∴∠SFR=180°?∠1?∠2=90°，
即△SFR是直角三角形。
练习1-1如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B
（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
(1)求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
(2)请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
(3)对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
(4)试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵二次函数y=ax2+bx?1(a≠0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，
∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x2?1；
(2)令y=x2?1=0，
解得x=?2或x=2，
由图象可知当?2(3)当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；
当m=2时，P点的坐标为(2，0)，|PO|2=4，|PH|2=4，
当m=4时，P点的坐标为(4，3)，|PO|2=25，|PH|2=25，
由此发现|PO|2=|PH|2，
设P点坐标为(m，n)，即n=m2?1
|OP|=，
|PH|2=n2+4n+4=n2+m2，
故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2;
(4)由(3)知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，
设P点坐标为(m，n)，|OP|=，
|OH|=，
|OP|=|OH|，即n2=4，解得n=±2，
当n=?2时，n=m2?1不符合条件，
故n=2，m=±2时可使△POH为正三角形。
等腰直角三角形的判定
【经典例题1—点抛物线上】已知抛物线经过点，.把抛物线与线段AB围成的封闭图形记作G.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为图形G中的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q.当△APQ为等腰直角三角形时，求m的值；
【解析】(1)将点A.
B坐标代入函数表达式得?1=a+b?3；3=9a?3b?3，解得a=1，b=1，
故抛物线的表达式为y=x2+x?3①；
(2)当∠QPA=90°时，
则PA∥x轴，则点P、A关于对称轴对称，故点P(?2，?1)，
此时△APQ为等腰直角三角形，即m=?2；
当∠PQA=90°时，
同理可得：m=?2；
当QAP=90°时，
直线AB与x轴负半轴的夹角为45°，则直线AP与x轴的夹角为45°，
故设直线AP的表达式为：y=x+s，
将点A的坐标代入上式并解得：s=?2，
故直线AP的表达式为：y=x?2②，
联立①②并解得：x=±1(舍去1)，即m=?1；
综上，m=?2或?1；
【经典例题2—点在直线上】(19兰州节选)二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC.设运动的时间为t秒．
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋2的表达式；
(2)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．
【解析】y＝x2＋x＋2
(2)D(1,3)
【经典例题3—点在斜线上】如图，对称轴为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由对称性得：A（-1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
把C（0，4）代入：4=-2a，a=-2，
∴y=-2（x+1）（x-2），
∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；
（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，
理由是：
分以下两种情况：
①当∠BQM=90°时，如图2：
∵∠CMQ>90°，
∴只能CM=MQ．
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=-2x+4，
设M（m，-2m+4），
则MQ=-2m+4，OQ=m，BQ=2-m，
在Rt△OBC中，BC=，
∵MQ∥OC，
∴△BMQ∽BCO，∴BM/BC=BQ/BO
，即，∴BM=（2-m）=2-m，
∴CM=BC-BM=2-（2-m）=m，
∵CM=MQ，∴-2m+4=m，m==4-8．
∴Q（4-8，0）．
②当∠QMB=90°时，如图3：同理可设M（m，-2m+4），
过A作AE⊥BC，垂足为E，
则AE的解析式为：y=x+，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），
设Q（-x，0）（x>0），
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴①，
由勾股定理得：x2+42=2×[m2+（-2m+4-4）2]②，
由以上两式得：m1=4（舍），m2=，
当m=时，x=，
∴Q（-，0）．
综上所述，Q点坐标为（4-8，0）或（-，0）．
【经典例题4—两个动点】1.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0，3)、B(1，0)，其对称轴为直线l:x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（3）分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，解得：m=（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3，
同理得：2-m=m2-4m+3，解得：m1=（舍）或m2=，
P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，
同理得m2-4m+3=m-2，解得：m=或（舍）
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
练习1如图，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．
【解析】(1)∵直线y=x?3交于A.
B两点，其中点A在y轴上，
∴A(0，?3)，
∵B(?4，?5)，
∴，∴，
∴抛物线解析式为y=x2+x?3，
(2)存在，
设P(m，m2+m?3)，(m<0)，∴D(m，m?3)，
∴PD=|m2+4m|
∵PD∥AO，
∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，
∴|m2+4m|=3，
①当m2+4m=3时，
∴m1=?2?，m2=?2+(舍)，∴m2+m?3=?1?，
∴P(?2?，?1?)，
②当m2+4m=?3时，∴m1=?1，m2=?3，
Ⅰ、m1=?1，
∴m2+m?3=?，
∴P(?1，?)，
Ⅱ、m2=?3，∴m2+m?3=?，
∴P(?3，?)，
∴点P的坐标为(?2?，?1?)，(?1，?)，(?3，?).
(3)方法一，如图，
∵△PAM为等腰直角三角形，
∴∠BAP=45°，
∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，
设直线AP解析式为y=kx?3，
∵直线AB解析式为y=x?3，
∴k==3，∴直线AP解析式为y=3x?3，
联立，∴x1=0(舍)x2=?
当x=?时，y=?，∴P(?，?).
方法二：如图，
∵直线AB解析式为y=x?3，
∴直线AB与x轴的交点坐标为E(6，0)，
过点A作AF⊥AB交x轴于点F，
∵A(0，?3)，
∴直线AF解析式为y=?2x?3，
∴直线AF与x轴的交点为F(?，0)，
∴AE=3，AF=，
过点A作∠EAF的角平分线交x轴于点G，与抛物线相较于点P，过点P作PM⊥AB，
∴∠EAG=45°，
∴∠BAP=45°，
即：△PAM为等腰直角三角形。
设点G(m，0)，
∴EG=6?m.FG=m+，
根据角平分线定理得，AE/AF=EG/FG，
∴，∴m=1，
∴G(1，0)，
∴直线AG解析式为y=3x?3①，
∵抛物线解析式为y=x2+x?3②，
联立①②得，x=0(舍)或x=?，
∴y=?，∴P(?，?).
练习3如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【解析】
(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y=ax2+bx得，解得，
∴抛物线表达式为：y=?x2+4x；
(3)∵抛物线的对称性为直线x=2，
而点C.
B关于抛物线的对称轴对称，
∴C(3，3)，
以点C.
M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，易证得△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3?2=1，
∴MC=，
∴S△CMN=××=；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，过点M作DE⊥y轴，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，作辅助线，易得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5，
∴CM=，
∴S△CMN=××=；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，易得Rt△NEM≌Rt△CDN，
∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=5，
∴CN=，
∴S△CMN=××=17；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，易得Rt△NEM≌Rt△CDN，
∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD?BC=EM?BC=1，
∴CN=，
∴S△CMN=××=5；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述：△CMN的面积为：或或17或5.
练习4如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：
解得：，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点G的坐标为（1，4）．
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=B′D=m，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，m），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得：（舍），，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x=（负值舍去），
当x=时，HN=QM=﹣x2+2x+2=，点M（，0），
∴点N坐标为（+，﹣1），即（，﹣1）；
或（-，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，
同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；
M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．二次函数与阿氏圆问题
题型特点：动点在直线上运动、PA+k?PB型线段和最小值
解题方法：构造共边共角相似问题，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如果大于1，则将线段扩大相同的倍数取点，k值如果小于1，则将线段缩短相同的倍数取点，再两点之间线段最短解决问题。
【经典例题1】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线
y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以
A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求
AM+CM它的最小值．
【解析】(1)∵点A(?4，?4)，B(0，4)在抛物线y=?x2+bx+c上，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为y=?x2?2x+4；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴，∴，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E(m，2m+4)，
∴G(m，?m2?2m+4)，
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG=OB=4，
∴?m2?2m+4?2m?4=4，
∴m=?2，
∴G(?2，4)；
(3)①如图1，
由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4，
∴设E(a，2a+4)，
∵直线AC:y=?x?6，
∴F(a，?a?6)，
设H(0，p)，
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC:y=?x?6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴(?4+0)=(a+a)，(?4+p)=(2a+4?a?6)，
∴a=?2，P=?1，
∴E(?2，0).H(0，?1)；
②如图2，
由①知，E(?2，0)，H(0，?1)，A(?4，?4)，
∴EH=，AE=2，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，
∴PE=，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM=EH=，∴PE/ME=，∵ME/AE=，
∴PE/ME=ME/AE=，∵∠PEM=∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴PM/AM=ME/AE=，
∴PM=AM，
∴AM+CM的最小值=PC，
设点P(p，2p+4)，
∵E(?2，0)，
∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2，
∵PE=，
∴5(p+2)2=54，
∴p=?或p=?(由于E(?2，0)，所以舍去)，
∴P(?，?1)，
∵C(0，?6)，
∴PC=，
即：AM+CM=.
练习1-1如图1，在平面直角坐标系中，直线y=?5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由。
【解析】(1)直线y=?5x+5，x=0时，y=5
∴C(0，5)
y=?5x+5=0时，解得：x=1
∴A(1，0)
∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点
∴1+b+c=0；0+0+c=5??解得：b=?6；c=5
∴抛物线解析式为y=x2?6x+5
当y=x2?6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5
∴B(5，0)
(2)如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)
∴AB=5?1=4，OC=5
∴S△ABC=AB?OC=×4×5=10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m，m2?6m+5)(1∴MH=|m2?6m+5|=?m2+6m?5
∴S△ABM=AB?MH=×4(?m2+6m?5)=?2m2+12m?10=?2(m?3)2+8
∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[?2(m?3)2+8]=?2(m?3)2+18
∴当m=3，即M(3，?4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
(3)如图2，在x轴上取点D(4，0)，连接PD、CD
∴BD=5?4=1
∵AB=4，BP=2
∴
∵∠PBD=∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD=AP
∴PC+PA=PC+PD
∴当点C.
P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小
∵CD=
∴PC+PA的最小值为
练习1-2如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；
(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值。
【解析】(1)令y=0，则ax2+(a+3)x+3=0，
∴(x+1)(ax+3)=0，
∴x=?1或?，
∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，
∴?=4，
∴a=?
∵A(4，0)，B(0，3)，
设直线AB解析式为y=kx+b，则b=3；4k+b=0，
解得k=?；b=3，
∴直线AB解析式为y=?x+3.
(2)如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴AN/AB=AE/OA，
∴AN=(4?m)，
∵抛物线解析式为y=?x2+x+3，
∴PN=?m2+m+3?(?m+3)=?m2+3m，
∴，
解得m=2.
(3)如图2中，在y轴上取一点M使得OM=，
∵OE′=2，OM?OB=×3=4，
∴OE′2=OM?OB，
∴OE′/OM=OB/OE′，∵∠BOE′=∠MOE′，
∴△MOE′∽△E′OB，
∴ME′/BE′=OE′/OB=，
∴ME′=BE′，
∴AE′+BE′=AE′+E′M=AM′，
此时AE′+BE′最小，最小值=AM=.
练习1-3如图1，已知一条直线与抛物线y=x2相交于A，B两点，其中点A，B的横坐标分别是?2、8.
(1)求这条直线的函数表达式；
(2)如图2，设直线AB分别与x轴、y轴交于点D.
E，F为OD的中点，将线段顺时针旋转得到OF′，旋转角α(0?<α<90?)，连接DF′，EF′，求DF′+EF′的最小值。
练习1-3【解析】(1)∵直线与抛物线y=x2相交于A，B两点，其中点A，B的横坐标分别是?2、8.
可得A(?2，1)，B(8，16)；
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有?2k+b=18；k+b=16，
解得k=；b=4，
∴直线AB的解析式为y=x+4.
(2)取G(0，)，连接F′G.
由题意：D(?，0)，E(0，4)，F(?，0)
∴OF=OF′=，
∴OF′2=，OG?OE=，
∴OF′2=OG?OE，
∴OF′，∵∠GOF′=∠EOF′，
∴△OF′G∽△OEF′，
∴F′G=EF′，
∴DF′+EF′=DF′+F′G?DG，
∴DF′+EF′的最小值为DG的长，
∵DG=，
∴DF′+EF′的最小值为.本专题包括两线段之和最小（三角形周长最小）、三线段之和最小（四边形周长最下）
几何最值问题——“将军饮马”
基础知识：1.线段公理
两点之间所有连
线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
①A和B两点之间，线段AB最短.
②如图，两点A、B在直线l异侧，在直线上求作一点P，使PA+PB最小．
③AB=a，BC=b（a＞b），则当点C在D点时，ACmin=AB-AC=a-b，当点C在点E时，ACmax=AB+AC=a+b.
圆外一点A到圆O的最大距离与最小距离，连接圆外一点与圆心，与圆的交点为点D，那么线段AD的长为最小距离；延长AB交圆O于点E，那么线段AE的长为最大距离。
2.垂线公理
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称为垂线段最短。直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。如图，线段AB外一点C与线段上各点的连线中，垂线段CD最短.
3.三角形三边之间的关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
将军饮马问题
①两定一动模型（线段之和最小）
如图，两点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.
方法：过点B作直线l的对称点B'，连接AB'与直线l的交点为点P.
②两动一定模型
如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A、B，使△PAB的周长最小.
方法：过点P作直线OM的对称点P1，作直线ON的对称点P2，连接P1、P2与直线OM的交点为点A，与直线ON的交点为点B.
③两动两定模型
如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM、ON上作点A、B，使四边形PAQB的周长最小.
方法：过点P作直线OM的对称点P'，过点Q作直线ON的对称点Q'，连接P'、Q'与直线OM的交点为点A，与直线ON的交点为点B
④最大值模型
如图，A、B两点在直线l同侧，在直线l上求作点P，使最大.
方法：连接BA并延长，与直线l的交点为点P.
如图，A、B两点在直线l异侧，在直线l上求作一点P，使最大.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点为点P.
造桥选址模型
已知l1∥l2，l1，l2之间的距离为d，在l1，l2在上分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM+MN+NB最小.
方法1：将点A向下平移d个单位长度得到A'，连接A'B与直线l2的交点为点N，过点N作l1的垂线，与直线l1的交点为点M.
A、D为定点，B、C为直线l1，l2上的动点，BC⊥l1，使得AB+BC+CD最小.
方法2：BC
为定值，只需求AB＋CD最小即可，平移CD至BE，则变成求AB＋BE最小，转化为将军饮马中的两定一动问题.
类型一：两线段之和
【经典例题1】如图，抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PC有最小值，△PAC的周长有最小值，最小值分别是多少？若存在，求出P点的坐标并求出；若不存在，请说明理由.
步骤一：作点C（或点A）关于对称轴的对称点C'，连接点A与点C'，直线AC'与对称轴的交点即为点P；
步骤二：写出各点坐标，A(1，0)，C(0，3)，C'(-2，3)，利用待定系数法求出直线AC'表达式y＝－x＋1，
①求交点坐标，代入轴所在的横坐标x=-1即可；P(-1，2)
②求线段之和最小则利用两点间坐标公式求“另一点与对称点”的长度即可；
两点之间的距离A（x1，y1），B（x1，y1）
所以AC'==
③求△PAC的周长最小值，即AC'+AC=+
备注：动点P所在直线即为轴。
【变式—动点在其它直线上】已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，C三点，直线y＝mx＋交抛物线于A、Q两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N.
①如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；
②如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，当直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小时，求出点G的坐标．
【解析】
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(?1，0)，B(2，0)，
∴将点A和点B的坐标代入得：，解得a=?1，b=1，
∴抛物线的解析式为y=?x2+x+2.
(2)直线y=mx+交抛物线与A.
Q两点，把A(?1，0)代入解析式得：m=，
∴直线AQ的解析式为y=x+.
设点P的横坐标为n，则P(n，?n2+n+2)，N(n，n+)，F(n，0)，
∴PN=?n2+n+2?(n+)=?n2+n+，NF=n+.
∵PN=2NF，即?n2+n+=2×(n+)，解得：n=?1或.
当n=?1时，点P与点A重合，不符合题意舍去。
∴点P的坐标为(，).
(3)∵y=?x2+x+2，=?(x?)2+，
∴M(，).
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小。
设直线AM的函数解析式为y=kx+b，且过A(?1，0)，M(，).
根据题意得：，解得.
∴直线AM的函数解析式为y=x+.
∵D为AC的中点，
∴D(?，1).
设直线AC的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：?k+2=0，解得k=2，
∴AC的解析式为y=2x+2.
设直线DE的解析式为y=?x+c，将点D的坐标代入得：+c=1，解得c=，
∴直线DE的解析式为y=?x+.
将y=?x+与y=x+联立，解得：x=?，y=.
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G(?，).
【经典例题变式—两次对称】已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称．
（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；
（2）求二次函数解析式；
（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．
【解析】（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
点A坐标代入y＝kx+得：0＝﹣3k+，解得：k=
即直线l的表达式为：①，
同理可得直线AC的表达式为：
直线BD的表达式为：②，
联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2）；
（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，
即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=2±（舍去负值），点C（1，2），
将点C的坐标代入二次函数并解得：a=-
故二次函数解析式为：
（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），
作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），
则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，
∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，
作DF⊥x轴交于点F，
DF＝ADsin∠DAF=4×=2
∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，
∴ED＝FD＝2，
则QD＝4，BD＝4，
∴BQ=
即CN+NM+MD的最小值为8．
练习1-1.(2019资阳)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(3，2)，且与直线y＝－x＋交于B，C两点，点B的坐标为(4，m)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD＋PA的最小值；
图①
练习1-2（烟台中考）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二：三角形周长最小
【经典例题2】如图，直线y=x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y=x-3上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式；(2)求△BDP的周长；
【解析】（1）直线y=x-3，令x=0，则y=-3，令y=0
则x=3，故点A，C的坐标为(3，0)，(
0，-3
)
则抛物线的表达式为
y=a(x-3)(x-1)=a(x2-4x+3)
则3a=-3，解得：a=-1
故抛物线的表达式为：y=-x2+4x-3①
（2）过点B作直线y=x-3的对称点B'
连接BD交直线y=x-3于点P
直线B'B函数对称轴与点G，连接AB'
则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B'B
为最小值
D(2，1)，则点G(2，-1)，即：BG=EG，即点G是BB'的中点，过点B'(3，-2)
△BPD周长最小值=BD+B'B=
练习2-1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
练习2-2.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A(﹣3，0)，B(1，0)交于点C，抛物线的顶点为点A．
（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．
（2）若点F是线段AD上一个动点，
①如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；
②如图2，以点A，F，O为顶点的三角形能否与△ABC相似？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
类型三：三线段之和、四边形周长最小
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求抛物线的解析式；y＝-x2+4x＋5
(2)若点E为抛物线的顶点，点F(3，a)是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上分别找点M、N使四边形EFMN的周长最小，求出点M、N的坐标．
求得：顶点E(2，9)，F(3，8)
步骤一：分别作点E、F关于x轴、y轴的对称点E'，F'，连接点E'与点F'，直线E'F'与x轴、y轴的交点即为点M、N；
步骤二：写出各点坐标，E'(-2，9)，F'(3，-8)，利用待定系数法求出直线E'F'表达式
，
①求交点坐标，分别代入x=0，y=0即可；M(，0)，N(0，)
②求线段之和最小则利用两点间坐标公式求“另一点与对称点”的长度即可；
所以E'F'==
③求四边形EFMN的周长最小值，即E'F'+EF=+
【变式】(2019深圳)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，点C(0，3)，且OB＝OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；
【解析】抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=
10+1+A′C′=+1+；
练习3-1如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(?1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=(x>0)经过点D，连接MD，BD.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；
练习3-2如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。
练习3-3如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
参考答案
类型一：两线段之和
练习1-1.
【解析】y=
（2）D（2，）
如图所示：PD+PA的最小值为.
练习1-2
【解析】（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得
，解得：，
∴抛物线解析式为：y=x2+2x-，
∵过点B的直线y=kx+，
∴代入（1，0），得：k=﹣，
∴BD解析式为y=﹣x+；
（2）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，﹣a-），
∴=，即=，
解得：a=﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线ND′的解析式为y=x+1，
当x=﹣时，y=﹣，
∴M点坐标为（﹣，﹣），
此时，DM+MN的值最小为==2．
类型二：三角形周长最小
练习2-1.【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x?3)，
即y=ax2?2ax?3a，
∴?2a=2，解得a=?1，
∴抛物线解析式为y=?x2+2x+3；
当x=0时，y=?x2+2x+3=3，则C(0，3)，?
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A(?1，0)，C(0，3)代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
(2)∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，
∴顶点D的坐标为(1，4)，
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′(?3，0)，
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为(0，3)；
练习2-2.【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x?1)=a(x2+2x?3)，
故?3a=3，
解得：a=?1，
故抛物线的表达式为：y=?x2?2x+3，
函数的对称轴为：x=?1，故顶点D的坐标为：(?1，4)；
(2)①点D的坐标为：(?1，4)，点A(?3，0)，点C(0，3)，
作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，
FC+FO=FC+RF=CR为最小，
连接AR，设直线OR交AD于点H，
由点A.
D的坐标得，直线AD的表达式为：y=2x+6①，
则tan∠DAO=2=tanα，
设∠HOA=∠β，则tanβ=，则cosβ=，sinβ=，
OH=AO?cosβ=，OR=2OH=，
yR=ORsinβ=，同理xR=?，故点R(?，)，
由点R、C的坐标得，直线RC的表达式为：y=x+3…②，
联立①②并解得：x=?，y=，
则点F(?，)；
②在Rt△ACD中，tan∠CAD=DC/AC==，
在Rt△OBC中，tan∠OCB=OB/OC=，
∴∠CAD=∠OCB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45?，
∴∠FAO=∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF=∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B.
C的坐标代入上式并解得：
直线BC的解析式为y=?3x+3，
∴直线OF的解析式为y=?3x，
直线AD的解析式为y=2x+6，
联立直线OF、AD的表达式并解得：x=?，故点F(?，)；
当∠AOF=∠CAB=45?时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB=45?，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y=?x，
将上式与y=2x+6联立并解得：x=?2，
故点F(?2，2)；
综合以上可得F点的坐标为(?，)或(?2，2).
类型三：三线段之和、四边形周长最小
练习3-1【解析】解；（1）C（0，3）
∵CD⊥y，
∴D点纵坐标是3，
∵D在y＝上，
∴D（2，3），
将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）M（1，4），B（3，0），
作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；
∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），
∴M'D'直线的解析式为y＝﹣x+，
∴N（，0），F（0，）；
练习3-2
【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x?1)2+4，
∵点B的坐标为(3，0).
∴4a+4=0，
∴a=?1，
∴此抛物线的解析式为：y=?(x?1)2+4=?x2+2x+3；
(2)存在。
抛物线的对称轴方程为：x=1，
∵点E的横坐标为2，
∴y=?4+4+3=3，
∴点E(2，3)，
∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，
∴，∴，
∴直线AE的解析式为：y=x+1，
∴点F(0，1)，
∵D(0，3)，
∴D与E关于x=1对称，
作F关于x轴的对称点F′(0，?1)，
连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y=mx+n，
∴，
解得：，
∴直线EF′的解析式为：y=2x?1，
∴当y=0时，2x?1=0，得x=，
即H(，0)，
当x=1时，y=1，
∴G(1，1)；
∴DF=2，FH=F′H=，DG=，
∴使D.
G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+++=2+2；
(3)存在。
∵BD==3，
设M(c，0)，
∵MN∥BD，
∴MN/BD=AM/AB，
即，
∴MN=，DM=，
要使△DNM∽△BMD，
需DM/BD=MN/DM，即DM2=BD?MN，
可得：9+c2=3×，
解得：c=或c=3(舍去).
当x=时，y=?(?1)2+4=.
∴存在，点T的坐标为(，).
练习3-3如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
【解析】(1)∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A(?1，0)，C(0，5)，
∵二次函数y=ax2+4x+c的图象过A，C两点，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为y=?x2+4x+5；
(2)由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2，9)，点M的坐标为M(4，5)，
作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(?2，9)，
作点M(4，5)关于x轴的对称点HM1，则点M1的坐标为M1(4，?5)，
连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，
所以H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F.
E即为所求，
设直线H1M1解析式为y=k1x+b1，
直线H1M1过点M1(4，?5)，H1(?2，9)，
根据题意得方程组，解得，
∴y=?x+，
∴点F，E的坐标分别为(，0)(0，).菱形的存在性
根据平移、三角形全等，中点坐标公式等方法求解点坐标
类型一：根据等腰三角形确定第三点
【经典例题1】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵OA=2
，OC=6
∴A(-2
，0)，C(0
，-6)
抛物线y=x2+bx+c
过点A、C
∴4-2b+c=0；0+0+c=-6；；解得：b=-1；c=-6
∴抛物线解析式为
y=x2-x-6
（2）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形
∵
A(-2
，0)，C(0
，-6)
∴AC=
①若AC为菱形的边长，如图3
∴MN∥AC且，MN=AC=
N1(-2，)，N2(-2
，-)，N3(2
，0)
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN∥CM，AN=CN
设N4(-2
，n)
∴
-n=
解得：n=-
∴N4(-2
，)
综上所述，点N坐标为(-2，)，(-2
，-)
，(2
，0)，
(-2
，)．
练习1-1已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A(1，0)、B(0，3)、C(?4，0)，
∴，解得：，
∴经过A.
B.
C三点的抛物线的解析式为y=?x2?x+3；
(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A.
B.
C.
P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为(5，3)，
当点P在第二、三象限时，以点A.
B.
C.
P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为(5，3)时，以点A.
B.
C.
P为顶点的四边形为菱形；
(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(1，0)，P(5，3)，
∴，解得：，
∴直线PA的解析式为y=x?，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM?AM|当点M与点P、A在同一直线上时，|PM?AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM?AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为(1，0)或(?5，?)时，|PM?AM|的值最大，此时|PM?AM|的最大值为5.
练习1-2如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C'，那么是否存在点P，使四边形POP'C'为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【解析】(1)将点B(3，0)、C(0，?3)代入y=x2+bx+c中，
得：0=9+3b+c；?3=c
，解得：b=?2；c=?3，
∴该二次函数的表达式为y=x2?2x?3.
(2)取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，如图2所示。
∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，
∴四边形POP′C为菱形。
当y=?，则有?=x2?2x?3，
解得：x1=(舍去)
，x2=，
∴存在点P(，?)，使四边形POP′C为菱形。
类型二：两个动点，根据对称性求点
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x?h)2+k，
将点A的坐标代入得，y=a(x?2)2?4，
将O的坐标代入上式并解得：a=1，
故抛物线的表达式为y=x2?4x；
(2)点A(2，?4)，则抛物线的对称轴为x=2，
OAQP为菱形时，则OA=AQ，则点Q(抛物线与x轴的右侧交点)与点A关于函数对称轴对称，
故点P和点A关于x轴对称，故点P(2，4)；
(3)存在，理由：
过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，
点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GM=MH，
tan∠POH=4/2=2，则tan∠ORH=，
设GM=MH=m，则GR=2m，则RM=m，RH=RM+MH=m+m，
tan∠ORH==OH/RH，则OH=RH=m，
故点M(m，m)，
设直线OM的表达式为y=sx，
将点M坐标代入上式并解得：s==，
故直线OM的表达式为y=x.
类型三：根据全等求解
【经典例题3】如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(?2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长。
(4)如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′B、E′C，求E′B+E′C的最小值，请直接写出答案。
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(?2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x?4)，
∴?8a=4，∴a=?，
∴抛物线解析式为y=?(x+2)(x?4)=?x2+x+4；
(2)如图1，
①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，
连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由(1)知，OC=4，
∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴AO/CO=E′F′/CF′=，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′(2h，h+4)
∵点E′在抛物线上，
∴?(2h)2+2h+4=h+4，
∴h=0(舍)h=
∴E′(1，)，
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
同①的方法得，E(3，)，
点E的坐标为(1，)，(3，)
(3)①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，
交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠P′M′C=45°，
设点P′(m，?m2+m+4)，
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴直线BC的解析式为y=?x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′(m，?m+4)，
∴P′N′=?m2+m+4?(?m+4)=?m2+2m，
∴m=?m2+2m，
∴m=0(舍)或m=4?2，
菱形CM′P′N′的边长为(4?2)=4?4.
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P(n，?n2+n+4)，
∴CQ=n，OQ=n+2，
∴n+4=?n2+n+4，
∴n=0(舍)，
∴此种情况不存在。
∴菱形的边长为4?4.
练习2-1如图，已知抛物线交x轴于点A.
点B，交y轴于点C，且点A(6，0)，点C(0，4)，AB=5OB，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
(4)是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)∵点A(6，0)，AB=5OB，
∴点B(1，0)，
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则由题意可得：，解之得，
∴所求抛物线的解析式为：y=x2?x+4，
∵y=x2?x+4=(x?)2?，
∴所求抛物线的顶点坐标为：(，?)；
(2)∵点E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=x2?x+4，
∴y<0，
即?y>0，?y表示点E到OA的距离。
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2××OA?|y|=?6y=?6(x2?x+4)=?4x2+28x?24，
自变量x的取值范围为：1(3)根据题意得：?4x2+28x?24=24，
解之，得x1=3，x2=4，
∴所求的点E有两个，分别为E1(3，?4)，E2(4，?4)，
∵点E1(3，?4)，
∴OE=5，AE=，
∴OE=AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2(4，?4)，
∴OE=4，AE=，
∴不满足OE=AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
(4)∵当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能(3，?3)，而坐标为(3，?3)点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形。
练习2-2如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A(-4,0)，B(1,0)，∠ACB=90°．
（1）求点C的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF=EF时，求点E的坐标；
（3）设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)抛物线解析式y＝x2+x-2
(2)点E（-3，-2）
(3)存在，
①AM=AE时，点M不存在
②EM=AE时，M1(,),M2(,)
③MA=ME时，M3(,0)
综上，M1(,),M2(,)，M3(,0)
N1(,),N2(,)，N3(,-2)
练习2-3如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝2经过抛物线上两点D，E．已知点D，E的横坐标分别为x1，x2且满足x1+x2＝3，直线BC的表达式为y＝﹣x+n．
（1）求n的值及抛物线的表达式；
（2）设点Q是直线DE上一动点，问：点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，M是线段OB上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线BC和抛物线分别交于点P，N．若点F是直线BC上一个动点，当点P恰好是线段MN的中点时，在坐标平面内是否存在点G，使以点G，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当x＝0时，抛物线y＝ax2+bx+4＝4
∴C（0，4）
∵点C在直线BC：y＝﹣x+n上
∴n＝4
∵直线BC与x轴交点为B，﹣x+4＝0，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵点B在抛物线上∴16a2+4b+4＝0
①
∵yD＝yE＝2
∴DE∥x轴，点D、E关于抛物线对称轴对称
∵x1+x2＝3
∴抛物线对称轴为：直线x＝∴②
联立方程①②解得：
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4
（2）连接CQ，如图1
∵C（0，4），点Q是直线y＝2上一动点
∴O、C关于直线y＝2对称∴CQ＝OQ
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短
当﹣x+4＝2时，解得：x＝2
∴此时，Q（2，2）
∵OB＝OC＝4∴BC＝
∴△QOB周长最小值为：C△QOB＝OQ+BQ+OB＝BC+OB＝4+4
（3）存在满足条件的点G
设M（m，0）（0＜m＜4），则P（m，﹣m+4），N（m，﹣m2+3m+4）
∵点P是MN中点
∴MN＝2PM
∴﹣m2+3m+4＝2（﹣m+4）
解得：m1＝1，m2＝4（舍去）
∴M（1，0），P（1，3），PM＝3
①若PM为菱形的边，菱形GFPM中，点F在点P左侧，如图2
延长FG交x轴于点H
∵FP＝PM＝FG＝GM＝3，FG∥PM，FG∥GM
∴∠GHM＝90°，∠GMH＝∠CBO＝45°
∴MH＝GH＝GM＝
∴xG＝xM﹣＝，yG＝GH＝
∴G（，）
②若PM为菱形的边，菱形GFPM中，点F在点P右侧，如图3
根据与图2的对称关系可得G（，﹣）
③若PM为菱形的对角线，菱形GPFM中，如图4
设PM与GF交于点I
∴PI＝MI＝PM＝，GI＝IF，PM⊥GF
∴GF∥x轴，yF＝yI＝yG＝
∴∠PFI＝∠CBO＝45°
∴GI＝IF＝PI＝
∴xG＝xI﹣＝﹣
∴G（﹣，）
综上所述，满足条件的点G坐标为（（，））或（，﹣）或（﹣，）．
练习2-4（难题，根与系数关系）3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【解析】(1)∵抛物线与y轴交于点C(0，?).
∴a?3=?，解得：a=，
∴y=(x+1)2?3
当y=0时，有(x+1)2?3=0，
∴x1=2，x2=?4，
∴A(?4，0)，B(2，0).
(2)∵A(?4，0)，B(2，0)，C(0，?)，D(?1，?3)
∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+(+3)×1+×2×=10.
从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：
①当直线l边AD相交与点M1时，则S△AHM1=×10=3，
∴×3×(?y
M1)=3
∴y
M1=?2，点M1(?2，?2)，过点H(?1，0)和M1(?2，?2)的直线l的解析式为y=2x+2.
②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2(，?2)，过点H(?1，0)和M2(，?2)的直线l的解析式为y=?x?.
综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=?x?.
(3)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)且过点H(?1，0)的直线PQ的解析式为y=kx+b，
∴?k+b=0，∴b=k，
∴y=kx+k.由，
∴x2+(?k)x??k=0，
∴x1+x2=?2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，
∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M(k?1，k2).
假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k?3
由，解得：x1=?1，x2=3k?1，∴N(3k?1，3k2?3)
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN=DM，
∴(3k)2+(3k2)2=(k)2+(k2+3)2，
整理得：3k4?k2?4=0，
∵k2+1>0，
∴3k2?4=0，
解得k=±，
∵k<0，∴k=?23√3，
∴P(??1，6)，M(??1，2)，N(?2?1，1)
∴PM=DN=2，
∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM=DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(?2?1，1).新定义探究问题
类型一：新定义类问题
【经典例题1】阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
【解析】(1)∵点D(m，n)，
∴点D(m，n)的特征线是x=m，y=n，y=x+n?m，y=?x+m+n；
(2)点D有一条特征线是y=x+1，
∴n?m=1，
∵抛物线解析式为y=(x?m)2+n，
∴y=(x?m)2+m+1，
∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D(m，n)，
∴B(2m，2m)，
∴(2m?m)2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D(2，3)，
∴抛物线解析式为y=(x?2)2+3
(3)如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，
根据题意可得，D(2，3)，
∴OA′=OA=4，OM=2，
∴∠A′OM=60?，
∴∠A′OP=∠AOP=30?，
∴MN==，
∴抛物线需要向下平移的距离=3?=.
如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′(p，3)，
则OA′=OA=4，OE=3，EA′=，
∴A′F=4?，
设P(4，c)(c>0)，
，在Rt△A′FP中，(4?)2+(3?c)2=c2，
∴c=，
∴P(4，)
∴直线OP解析式为y=x，
∴N(2，)，
∴抛物线需要向下平移的距离=3?=，
即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上。
练习1-1在平面直角坐标系xoy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P(x，m)是图形G1上的任意一点，点Q(x，n)是图形G2上的任意一点，若存在直线l：y=kx+b(k≠0)满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b(k≠0)是图形G1与G2的“隔离直线”，如图1，直线l：y=-x-2是函数的图像与正方形OABC的一条“隔离直线”.
（1）在直线①y1=-x-1，②y2=3x+1，③y3=-x+4，④y4=-2x中，是图1函数的图像与正方形OABC的“隔离直线”的为
.
（2）如图，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是(2，1)，⊙O的半径为，是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；
（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的左侧，点M(-1，t)是此正方形的中心，若存在直线y=-2x+b是函数y=x2+2x-3(-4≤x≤0)的图像与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围.
练习1-2已知：抛物线C1:y=?(x+m)2+m2(m>0)，抛物线C2:y=(x?n)2+n2(n>0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1:y=?(x+1)2+1与抛物线C2:y=(x?)2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.
(1)已知抛物线①y=?x2?2x，②y=(x?3)2+3，③y=(x?)2+2，④y=x2?x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是
(请在横线上填写抛物线的数字序号)；
(2)如图1，当m=1，n=2时，证明AC=BD；
(3)如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO=∠BDC.
①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2:y=(x?2)2+4，请求出m的值。
练习1-3如图1，直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，?1)，抛物线y=x2+bx+c经过点B，点C的横坐标为4.
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)将△AOB绕平面内某点M旋转90?或180?，得到△A1O1B1，点A.
O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180?时点A1的横坐标。
【经典例题2】阅读下列材料：
我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B
不同时为0）．如
图1，点
P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=．
例：求点P(1，2)到直线y=x?16的距离d时，先将y=x?化为5x?12y?2=0，再由上述距离公式求得d=.
解答下列问题：
如图2，已知直线y=?x?4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2?4x+5上的一点M(3，2).
(1)求点M到直线AB的距离。
(2)抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小?若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)将直线AB变为：4x+3y+12=0，
又M(3，2)，
则点M到直线AB的距离d==6；
(2)假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为(a，a2?4a+5)，
∵y=3a2?8a+27中，△=64?12×27=?260<0，
∴y=3a2?8a+27中函数值恒大于0，
∴点M到直线AB的距离d==，
又函数y=3a2?8a+27，当a=时，ymin=，
∴dmin==，此时P坐标为(，)；
又y=?x?4，令x=0求出y=?4，令y=0求出x=?3，
∴OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=，
∴S△PAB的最小值为×5×=.
练习2-1已知点
P（x0，y0）和直线
y=kx+b，则点
P
到直线
y=kx+b
的距离证明可用公式
d=计算．
例如：求点
P（﹣1，2）到直线
y=3x+7
的距离．
解：因为直线
y=3x+7，其中
k=3，b=7．
所以点
P（﹣1，2）到直线
y=3x+7
的距离为：d===．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点
P（1，﹣1）到直线y=x﹣1
的距离；
（2）已知⊙Q
的圆心
Q
坐标为（0，5），半径r为，判断⊙Q与直线y=x+9
的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4
与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
类型二：探究类问题
【经典例题3】已知：如图，抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A（1-，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．
(1)求原抛物线的解析式；
(2)在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上?若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由。
(3)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于
0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）
【解析】(1)由题意得，点P与点P′关于x轴对称
所以由P′(1，3)得，P(1，?3)
将A(1?，0)，P(1，?3)代入方程y=a(x?1)2+c中
3a+c=0;c=?3
解得，a=1，c=?3
所以原抛物线的解析式为y=(x?1)2?3；
(2)假设存在满足题意的点(x，y)，其关于原点对称的点为(?x，?y)，
则，解得，，
∴存在满足题意的点为(?，2)和(，?2)；
(3)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上；
∴C、D两点纵坐标为3，有(x?1)2?3=3，
解得：x1=1?，x2=1+，
∴CD=(1+)?(1?)=2，
∴“W”图案的高与宽(CD)的比为：=≈0.612.
练习3-1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．
（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；
（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1，D2，使得S△D1BC＝S△D2BC＝S△ABC．并求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．
练习3-2如图，已知二次函数
y
x23，将其图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y
x
b与这个新图象有两个公共点时，求b
的取值范围。
【经典例题4】（2019年）两条抛物线C1:y1=3x2-6x-1与C2:y2=x2-mx+n的顶点相同。
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（，），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB'，且点B'恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)∵y1=?2x2+4x+2=?2(x?1)2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4).
∵抛物线C1:与C2顶点相同，
∴，?1+m+n=4.
解得：m=2，n=3.
∴抛物线C2的解析式为u2=?x2+2x+3.
(2)如图1所示：
设点A的坐标为(a，?a2+2a+3).
∵AQ=?a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=?a2+2a+3+a=?a2+3a+3=?(a?)2+.
∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为.
(3)如图2所示;连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.
∵B(?1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2.
∵∠BMB′=90?，
∴∠BMC+∠B′MD=90?.
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90?.
∴∠MB′D=∠BMC.
在△BCM和△MDB′中，∠MB′D=∠BMC，∠BCM=∠MDB′，BM=MB′，
∴△BCM≌△MDB′.
∴BC=MD，CM=B′D.
设点M的坐标为(1，a).则B′D=CM=4?a，MD=CB=2.
∴点B′的坐标为(a?3，a?2).
∴?(a?3)2+2(a?3)+3=a?2.
整理得：a2?7a?10=0.
解得a=2，或a=5.
当a=2时，M的坐标为(1，2)，
当a=5时，M的坐标为(1，5).
综上所述当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上。
练习4-1已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（4，﹣5）．
(1)如图，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B、C，得到矩形ABOC，且抛物线经过点C．
①求抛物线的解析式．
②将抛物线沿直线x＝m（2＞m＞0）翻折，分别交线段OB、AC于D，E两点．若直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，求m的值．
(2)将抛物线旋转180°，使点A的对应点为A1（m﹣2，n﹣4），其中m≤2．若旋转后的抛物线仍然经过点A，求旋转后的抛物线顶点所能达到最低点时的坐标．
【经典例题5】如图，抛物线T1:y=?x2?2x+3，T2:y=x2?2x+5，其中抛物线T1与x轴交于A.
B两点，与y轴交于C点.P点是x轴上一个动点，过P点并且垂直于x轴的直线与抛物线T1和T2分别相交于N、M两点。设P点的横坐标为t.
(1)用含t的代数式表示线段MN的长；当t为何值时，线段MN有最小值，并求出此最小值；
(2)随着P点运动，P、M、N三点的位置也发生变化。问当t何值时，其中一点是另外两点连接线段的中点?
(3)将抛物线T1平移，A点的对应点为A′(m?3，n)，其中≤m≤，且平移后的抛物线仍经过C点，求平移后抛物线顶点所能达到的最高点的坐标。
【解析】（1）M（t，t2-2t+5），N（t，-t2-2t+3），MN=t2-2t+5-（-t2-2t+3）=2t2+2，
∴当t=0时，MN有最小值为2；
（2）当N点是线段MP的中点时，MN=NP，2t2+2=-t2-2t+3，解得：t1=-1，t2=；
当P点是线段MN的中点时，MP=NP，t2-2t+5=-（-t2-2t+3），解得t=2；
M点不可能是线段PN的中点，所以当t为或-1或2时，P、M、N三点其中一点是另外两点连接线段的中点；
（3）因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，所以顶点坐标为（-1，4），
因为A（-3，0）平移后的对应点为A'（m-3，n），所以顶点（-1，4）的对应点，
为（-1+m，4+n），所以平移后的抛物线为y=-(x+1-m)2+4+n，
将C（0，3）代入得：3=-(1-m)2+4+n，所以4+n=3+(m-1)2，又因为≤m≤，
当m=时，4+n有最大值为，此时顶点坐标为（，）．
即：平移后抛物线顶点所能达到的最高点的坐标为（，）．
练习5-1如图，抛物线y1=x2?(2a+4)x+a2+4a与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，过点(?2，0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P.
(1)当a=0时，y1的对称轴为___，AB长为___；
当a=1时，y1的对称轴为___，AB长为___；
(2)猜想：当a为任何值时，AB的长是否会发生变化，请说明理由；
(3)抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，抛物线y2与直线l交于点Q.
①用含a的式子表示线段PQ的长___；
②抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，y1向右平移2个单位得到抛物线y3，y1向右平移n?1(n为正整数)个单位得到抛物线yn，当a=?3，抛物线yn与直线l交于点R，四边形PARB的面积为70时，求n的值。
练习5-2如图1，抛物线y=ax2+c与x轴，y轴的正半轴分别交于点B(4，0)和点C(0，4)，与x轴负半轴交于点A，动点M从点A出发沿折线AC?B向终点B匀速运动，将线段OM绕点O顺时针旋转60?得到线段ON，连接MN.
(1)求抛物线y=ax2+c的函数表达式；
(2)如图2，当点N在线段AC上时，求证：AM=CN；
(3)当点N在线段BC上时，直接写出此时直线MN与抛物线交点的纵坐标；
(4)设BN的长度为n，直接写出在点M移动的过程中，n2的取值范围。
练习5-3如图，二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
(1)用含m的代数式表示a；
(2)求：的值；
(3)设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
练习5-4已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点
A、C
关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．
(1)求抛物线C1的解析式的一般形式；
(2)当m=2时，求h的值；
(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．
参考答案
类型一：新定义类问题
练习1-1【解析】(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；故答案为：①④；
(2)存在，理由如下：
连接，过点作轴于点，如图，
在Rt△DGO中，，
∵⊙O的半径为，∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，
∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
设直线OD的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，
∵DH⊥OD，
∴设直线DH的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，
解得：，
∴直线DH的解析式为，
∴“隔离直线”的表达式为；
如图：
由题意点F的坐标为()，
当直线经过点F时，，
∴，
∴直线，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，
过点作⊥y轴于点G，
∵点是正方形的中心，且，
∴B1C1，，
∴正方形A1B1C1D1的边长为2，
当时，，
∴点C1的坐标是()，此时直线EF是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，
∴点的坐标是(-1，2)，
此时；
当直线与只有一个交点时，
，消去y得到，
由，可得，
解得：，
同理，此时点M的坐标为：()，
∴，
根据图象可知:
当或时，直线是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．
练习1-2【解析】(1)①y=?x2?2x=?(x+1)2+1，②y=(x?3)2+3=(x?3)2+()2，③y=(x?)2+()2，④y=x2?x+=(x?)2+()2，
所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；
故答案为①与③；①与④；
(2)证明：当m=1，n=2时，抛物线C1:y=?(x+1)2+1，抛物线C2:y=(x?2)2+4，
∴A(?1，1)，B(2，4)，
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C的横坐标为?1，点D的横坐标为2，
当x=?1时，y=(x?2)2+4=13，则C(?1，13)；
当x=2时，y=?(x+1)2+1=?8，则D(2，?8)，
∴AC=13?1=12，BD=4?(?8)=12，
∴AC=BD;
(3)①抛物线C1:y=?(x+m)2+m2(m>0)，则A(?m，m2)；
抛物线C2:y=(x?n)2+n2(n>0)，则B(n，n2)；
当x=?m时，y=(x?n)2+n2=m2+2mn+2n2，则C(?m，m2+2mn+2n2)；
当x=n时，y=?(x+m)2+m2=?2mn?n2，则D(n，?2mn?n2)；
∴AC=m2+2mn+2n2?m2=2mn+2n2，BD=n2?(?2mn?n2)=2mn+2n2，
∴AC=BD；∴四边形ACBD为平行四边形，
∵∠BEO=∠BDC，
而∠EHF=∠DHG，∴∠EFH=∠DGH=90?，
∴AB⊥CD，
∴四边形ACBD是菱形；
②∵抛物线C2:y=(x?2)2+4，则B(2，4)，
∴n=2，∴AC=BD=2mn+2n2=4m+8，
而A(?m，m2)，∴C(?m，m2+4m+8)，
∴BC2=(?m?2)2+(m2+4m+8?4)2=(m+2)2+(m+2)4，
∵四边形ACBD是菱形，
∴BC=BD，∴(m+2)2+(m+2)4=(4m+8)2，
即(m+2)4=15(m+2)2，
∵m>0，∴(m+2)2=15，
∴m+2=，∴m=?2.
练习1-3【解析】(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0，?1)，
∴m=?1，
∴直线l的解析式为y=x?1，
∵直线l:y=x?1经过点C，且点C的横坐标为4，
∴y=×4?1=2，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4，2)和点B(0，?1)，
∴×42+4b+c=2；c=?1，
解得b=?；c=?1，
∴抛物线的解析式为y=x2?x?1；
(3)“落点”的个数有4个，如图1，图2，图3，图4所示。
如图3中，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m+，
∴m2?m?1=(m+)2?(m+)?1，
解得：m=，
如图4中，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m+，B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1，
∴m2?m?1+1=(m+)2?(m+)?1，
解得：m=，
∴旋转180°时点A1的横坐标为或.
练习2-1【解析】(1)因为直线y=x?1，其中k=1，b=?1，
所以点P(1，?1)到直线y=x?1的距离为：d====
(2)Q与直线y=x+9的位置关系为相切。
理由如下：
圆心Q(0，5)到直线y=x+9的距离为：d===2，
而O的半径r为2，即d=r，
所以Q与直线y=x+9相切；
(3)当x=0时，y=?2x+4=4，即点(0，4)在直线y=?2x+4，
因为点(0，4)到直线y=?2x?6的距离为：d===2
因为直线y=?2x+4与y=?2x?6平行，
所以这两条直线之间的距离为2.
练习3-1（1）抛物线解析式y=-x2+2x+3(-1≤x≤3)
（4）D1（）、D2（）
T1（）、T2（）、T3（）、T4（）、T5（），使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为。
练习3-2
【解析】二次函数y=x2?3与x轴的交点坐标为(?，0)、(，0)，
当直线y=x+b与y=?x2+3(?时，直线y=x+b与此图象有两个公共点时，
当直线y=x+b经过点(?，0)与点(，0)之间时，直线y=x+b与此图象有两个公共点时，解得?所以b的取值范围为b>?或?故答案为b>或?练习4-1（1）抛物线解析式y=x2-4x-5;m=
(2)旋转后的抛物线顶点所能达到最低点时的坐标（2，-1）
练习5-1【解析】（1）当y=0时，有x2-（2a+4）x+a2+4a=0，即（x-a）[x-（a+4）]=0，
解得：x1=a，x2=a+4，
∴点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（a+4，0）．
当a=0时，A（0，0），B（4，0），
∴此时抛物线的对称轴为直线x=2，AB的长为4；
当a=1时，A（1，0），B（5，0），
∴此时抛物线的对称轴为直线x=3，AB的长为4．
故答案为：直线x=2；4；直线x=3；4．
（2）当a为任何值时，AB的长不会变化，理由如下：
当y=0时，有x2-（2a+4）x+a2+4a=0，即（x-a）[x-（a+4）]=0，
解得：x1=a，x2=a+4，
∴点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（a+4，0），
∴AB=a+4-a=4．
（3）y1=x2-（2a+4）x+a2+4a=[x-（a+2）]2-4．
①当x=-2时，y1=[x-（a+2）]2-4=a2+8a+12，
∴点P的坐标为（-2，a2+8a+12）．
∵抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，
∴y2=[x-1-（a+2）]2-4=[x-（a+3）]2-4，
当x=-2时，y2=[x-（a+3）]2-4=a2+10a+21，
∴点Q的坐标为（-2，a2+10a+21），
∴PQ=a2+10a+21-（a2+8a+12）=2a+9．
故答案为：2a+9．
②当a=-3时，y1=[x-（a+2）]2-4=（x+1）2-4，
∴点P的坐标为（-2，-3）；
∵y1向右平移n-1（n为正整数）个单位得到抛物线yn，
∴yn=[x+1-（n-1）]2-4=（x+2-n）2-4，
当x=-2时，yn=（x+2-n）2-4=n2-4，
∴点R的坐标为（-2，n2-4）．
∵S四边形PARB=S△PAB+S△RAB=×3×4+×4×（n2-4）=70，
∴n=±6，
∵n为正整数，
∴n=6．
练习5-2【解析】(1)将点B.
C代入抛物线，
解得c=4，16a+c=0，
∴a=?，
∴抛物线的解析式为y=?x2+4.
(2)令y=0，解得x1=4，x2=?4，
∴A(?4，0)，
∴OA=OC，∠OAC=∠OCA=45?，
∵OM=ON，∠MON=60?，
∴△OMN为等边三角形，∴∠AMO=∠CNO=120?，
∴△AMO≌△CNO(AAS)，
∴AM=CN.
(3)情况一：如图1所示，
过点O作OH垂直AC，OQ垂直BC，
∴△AOH≌△BOQ(AAS)，
∴OH=OQ，∵OM=ON，∴△OHM≌△OQN(HL)，
∴MH=NQ，∴CM=CN，
∴△CMO≌△CNO(SAS)，
∴∠MOC=∠NOC=30?，∴∠MOA=∠NOB=60?，
∵∠OMN=∠ONM=60?，
∴MN∥x轴，
设CE=ME=x，则OE=x，
∴x+x=4，∴x=2?2，
∴OE=6?2，
∴直线MN与抛物线交点的纵坐标为6?2.
情况二：当点N再一次落在BC上时，
此时M、N都在BC上，则MN与抛物线的交点为点B，点C，
∴直线MN与抛物线的交点的纵坐标为0，4，
综上所述：直线MN与抛物线的交点的纵坐标为6?2或0或4.
(4)如图2所示，
将△ACB绕点O顺时针旋转60?得到△A′C′B′，
∵点M的运动轨迹为AC、BC，
∴点N的运动轨迹为A′C′、C′B′，
当N落A′上时，BN最长，
∵A′(?2，2)，∴BN最长为4，
过点B作B′C′的垂线，此时BN最短，
过点E作OB′的垂线，
设PE=PB′=y，则OP=3y，
∴y+3y=4，解得y=6?2，
∴OE=4?4，BE=8?4，OH=2，
∵△OHE∽△BNE，∴OH/BN=OE/BE，
解得BN=?.
∴??n?4，
∴8?4?n2?48.
练习5-3【解析】（1）
将C（0，-3）代入二次函数y=a(x2-2mx-3m2)，
则-3=a（0-0-3m2），解得
a=．
（2）方法一：
证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由a（x2-2mx-3m2）=0，
解得
x1=-m，x2=3m，
则
A（-m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为-3，
又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，-3）．
∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．∴．
设E坐标为（x，（x2-2mx-3m2）），
∴，∴x=4m，
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴，即为定值．
方法二：
过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，
∵a（x2-2mx-3m2）=0，
∴x1=-m，x2=3m，
则A（-m，0），B（3m，0），
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为-3，∴D（2m，-3），
∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE=0，
∵A（-m，0），D（2m，-3），
∴KAD=，∴KAE=，
∴?x2-3mx-4m2=0，
∴x1=-m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），
∵∠DAM=∠EAN=90°
∴△ADM∽△AEN，∴，
∵DM=3，EN=5，∴．
（3）
如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，
∴=，∴=，
∵OC=3，HF=4，OH=m，
∴OG=3m．
∵GF=，
AD=，
∴．
∵，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为-3m．
练习5-4【解析】(1)设抛物线C1的顶点式形式y=a(x?1)2，(a≠0)，
∵抛物线过点(0，)，
∴a(0?1)2=，
解得a=，
∴抛物线C1的解析式为y=(x?1)2，
一般形式为y=x2?x+；
(2)当m=2时，m2=4，
∵BC∥x轴，
∴点B.
C的纵坐标为4，
∴(x?1)2=4，
解得x1=5，x2=?3，
∴点B(?3，4)，C(5，4)，
∵点A.
C关于y轴对称，
∴点A的坐标为(?5，4)，
设抛物线C2的解析式为y=(x?1)2?h，
则(?5?1)2?h=4，
解得h=5；
(3)证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，
∴点B.
C的纵坐标为m2，
∴(x?1)2=m2，
解得x1=1+2m，x2=1?2m，
∴点C的坐标为(1+2m，m2)，
又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，
∴CE=1+2m?1=2m，
∵点A.
C关于y轴对称，
∴点A的坐标为(?1?2m，m2)，
∴AE=ED=1?(?1?2m)=2+2m，
设抛物线C2的解析式为y=(x?1)2?h，
则(?1?2m?1)2?h=m2，
解得h=2m+1，
∴EF=h+m2=m2+2m+1，
∴tan∠EDF?tan∠ECP=EF/ED?EP/CE===
∴tan∠EDF?tan∠ECP=.2021中考专项训练：二次函数应用题
类型四：图形面积
【经典例题1】工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元?
【解析】
（1）如图所示：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（12-2x）（8-2x）=32，
即x2-10x+16=0，
解得x=2或x=8（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为32dm2；
（2）设总费用为y元，
则y=2（12-2x）（8-2x）+0.5×[2x（12-2x）+2x（8-2x）]
=4x2-60x+192
=4（x-7.5）2-33，
又∵12-2x≤5（8-2x），
∴x≤3.5，
∵a=4>0，
∴当x<7.5时，y随x的增大而减小，
∴当x=3.5时，y取得最小值，最小值为31，
答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
练习1-1如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．
（1）用含x的代数式表示矩形的长；
（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；
（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？
练习1-2为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？
练习1-3如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为 米．
（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．
练习1-4如图，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．
（1）若y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？
【经典例题2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，线段AB上一动点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动。过点D作DE⊥AB，交折线AC?CB于点E，以DE为一边，在DE左侧作正方形DEFG.设运动时间为x(s)(0(1)当x=___s时，点F在AC上；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)设正方形DEFG的中心为点O，直接写出运动过程中，直线BO平分△ABC面积时，自变量x的取值范围。
(1)如图1中，当点F在AB上时，易证AG=GE=DG=DB=，
∴运动时间x==，
故答案为.
(2)①如图2中，当0∵∠C=90?，AC=BC，
∴∠CAB=∠AED=45?，
∴AD=DE=x，
∴y=S△ADE=x2，
②如图3中，当2易知FG=GD=DE=DB=4?x，MG=AG=x?(4?x)=2x?4，
∴FM=FG?MG=(4?x)?(2x?4)=8?3x=FN，
∴y=S正方形DEFG?S△FMN=(4?x)2?(8?3x)2=?72x2+16x?16，
③当y=(4?x)2=x2?8x+16.
综上所述，
(3)如图5中，当2?x<4时，延长BO交AC于M.
∵OE=OG，EG∥AC，
∴OE/CM=BO/BM=OG/AM，
∴CM=AM，
∴直线OB平分△ABC的面积。
∴当2?x<4时，直线OB平分△ABC的面积。
练习2-1如图，在Rt△ABC中，AB=4，∠C=90?，∠A=60?.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB边向终点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC?CB于点D，过点D作DE∥AB交边BC或边AC于点E，连结PE，设点P的运动时间为t秒。
(1)当点D在AC边上时，PD的长为___(用含t的代数式表示)
(2)当点D为边的中点时，求t的值。
(3)设△PDE的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式。
(4)当边PE与△ABC的边垂直时，直接写出t的值。
练习2-2如图，在Rt△ABC中，∠C=90?，∠A=30?，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动。过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A.
B重合)，作∠DPQ=60?，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒。
(1)用含t的代数式表示线段DC的长；
(2)当点Q与点C重合时，求t的值；
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值。
练习2-3如图，在△ABC中，∠C=90?，AC=BC，AB=10.点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC?CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF，在点P出发的同时，点Q从点C出发，以每秒2√个单位长度的速度沿边CA向点A运动，过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG为边在QG的下方做正方形QGMN.设正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形的面积为S(S>0)，点P的运动时间为t秒(0(1)正方形QGMN的边长为___(用含t的代数式表示).
(2)当点E与点N重合时，求t的值。
(3)求S与t之间的函数关系式。
(4)作直线EM，当直线EM与△ABC的边垂直时，直接写出t的值。
练习2-4如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90?，AB=4，AC=3，点D为BC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，当点P离开点A后，过点P作PE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥AC于F，设点P运动时间为t(秒)，矩形PEFA与△ADE重叠部分的面积为S平方单位长度。
(1)PE的长为___(用含t的代数式表示)；
(2)求S与t之间的函数表达式；
(3)求S的最大值及S取得最大值时t的值；
(4)当S为△ABC面积的时，t的值有___个。
类型四：其它类应用
【经典例题3】12018年7月5日，载有海宁海派公司员工以及家属的游船，在泰国普吉岛附近海域突遇特大暴风雨，发生了倾覆事故，搜救人员根据定位系统成功定位“凤凰”号的沉船位置，假设搜救船在“凤凰”号沉入海底前对“凤凰”号的定位方式为：以“凤凰”号的当前位置为原点，以1海里为单位长度，以正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则搜救船恰好在“凤凰”号正南方向20海里的P处，如图，已知“凤凰”号的移动路径可视为二次函数，定位后搜救船即刻沿直线匀速前往求援，假设搜救船出发t小时后，“风凰”号所在位置的横坐标为．
(1)若t＝1时两船恰好于Q点会合，求搜救船的速度和方向．
(2)问搜救船的时速至少是多少海里才能追上“风凰”号？
(1)当t=1时，10t=10×1=10，
当x=10时，y==10，
∴点Q的坐标为(10，10)，
∵点P的坐标为(0，?20)，
∴PQ=，
∴搜救船的速度为20÷1=20(海里/小时)，
∴sin∠QPO==，∴∠QPO=30?，
即搜救船的速度是20海里/小时，方向是沿着北偏东30?方向航行；
(2)直线PQ与二次函数相切时，速度最慢，
令kx?20=，即?kx+20=0，
则△=(?k)2?4××20=0，
解得，k1=，k2=?(舍去)，
∴x==10，
当x=10时，y=×(10)2=20，
即点Q的坐标为(10，20)，
∴10t=10，得t=，
∵点P(0，?20)，点Q(10，20)，
∴PQ=，
∴搜救船的时速至少是：÷=10(海里/小时)
答：搜救船的时速至少是10海里/小时才能追上“风凰”号。
【经典例题4】（2019?舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10t25时可近似用函数刻画；当25t37时可近似看成函数．
(1)求h的值．
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15
求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m．
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20t25时的成本为200元/天，但若欲加温到25t37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）
(1)把(25，0.3)代入p=?(t?h)2+0.4得：
0.3=?(25?h)2+0.4
解得：h=29或h=21，
∵25?t?37
∴h=29.
(2)①由表格可知，m是p的一次函数，
设m=kp+b
把(0.2，0)，(0.3，10)代入得，解得
∴m=100p?20.
②当10?t?25时，p=t?
∴m=100(t?)?20=2t?40；
当25?t?37时，p=?(t?h)2+0.4
∴m=100[?(t?h)2+0.4]?20=?(t?29)2+20
∴，
③当20?t?25时，增加的利润为：
600m+[100×30?200(30?m)]=800m?3000=1600t?35000
当t=25时，增加的利润的最大值为1600×25?35000=5000元；
当25600m+[100×30?400(30?m)]=1000m?9000=?625(t?29)2+11000
∴当t=29时，增加的利润的最大值为11000元。
综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元。
参考答案
练习1-1【解析】（1）∵AB＝CD＝xm，
∴BC＝（30﹣2x）m；
（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；
（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5，
此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．
答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．
练习1-2【解析】（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，
∴BC×DF＝BC×FC，
∴2FC＝DC，
2BC+8FC＝120，
∴FC＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），
即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；
（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675
可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．
练习1-3【解析】（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；
（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，
解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
答：BE的长为4米；
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；
（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，
所以当x＝2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
练习1-4【解析】（1）由题意可得，
y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵24﹣3x≤10，3x＜24，
解得，x≥且x＜8，
∴≤x<8，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（≤x<8）；
（2）当y＝45时，
45＝﹣3x2+24x，
解得，x1＝3（舍去），x2＝5，
答：AB的长应为5m．
练习2-1【解析】
(1)∵PD⊥AB
∴∠APD=90?，
∵∠A=60?，PA=t，
∴PD=PA=t.
故答案为t.
(2)①当AD=DC时，2t=1，t=.
②当CD=DB时，AP=4?，t=，
综上所述，满足条件的t的值为或.
(3)当0∵DE∥AB，
∴DE/AB=CD/AC，
∴DE4=，
∴DE=4?4t，
∴S=DE?DP=?2t2+2t.
当1∵DE∥AB，
∴DE/AB=CD/CB，
∴，
∴DE=t?，
∴S=(?t2+5t?4).
(4)①如图4?1中，当PE⊥BC时，
∵EC=(2?t)，BE=PB?cos30?=(4?t)，
∴(2?t)+(4?t)=2，
∴t=.
②如图4?2中，当PE⊥AC时，
∵AE=t，CE=CD=[2(4?t)]，
∴t+[2?(4?t)]=2，
∴t=.
综上所述，满足条件的t的值为：t=或t=.
练习2-2
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，?
∴AC=2，
∵PD⊥AC，
∴∠ADP=∠CDP=90°，
在Rt△ADP中，AP=2t，
∴DP=t，AD=APcosA=2t×=t，
∴DC=AC-AD=2-t（0（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=∠DPQ=60°，
∴∠PQD=30°=∠A，
∴PA=PQ，
∵PD⊥AC，
∴AD=DQ，
∵点Q和点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2×t=2，
∴t=1；
（3）当1CQ=AQ-AC=2AD-AC=2（t-1），
在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，
∴CE=CQ?tan∠CQE=2（t-1）×=2（t-1），
∴S=S△PDQ-S△ECQ=t?t-?2（t-1）×2（t-1）=-t2+4t-2，
（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，
∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，
∵∠A=∠AQP=30°，
∴∠FPG=60°，
∴∠PFG=30°，
∴PF=2PG=2t，
∴AP+PF=2t+2t=2，
∴t=；
当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，
∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，
在Rt△NMQ中，NQ=，
∵AN+NQ=AQ，
∴，
∴t=，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，
∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BFH=30°=∠H，
∴BH=BF=1，
在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，
∴AH=AP+PH=AB+BH，
∴2t+2t=5，
∴t=，
即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为
秒或秒或秒．
练习2-3
【解析】(1)∵△ABC中，∠C=90?，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿边CA向点A运动，
过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG为边在QG的下方作正方形QGMN，
∴△CQG是等腰直角三角形，
CQ=t，则QG=CQ=×2=2t，
即正方形QGMN的边长为：2t，
故答案为：2t；
(2)∵以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，
过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF，
∴△APD是等腰直角三角形，AP=PD，
过点C作CK⊥AB于K，交QG于点H，如图1所示：
则CH⊥QG，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CK=AB=×10=5，
当点E与点N重合时，CH+QN+EF=CK=5，
∵△CQG是等腰直角三角形，
∴△CHQ是等腰直角三角形，
∴CQ=CH，
此时，CQ=t，AP=DP=EF=2t，
∴CH==t，
QG=QN=CQ=×t=2t，
∴t+2t+2t=5，
解得：t=1；
(3)由题意得：正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形是正方形，
当正方形PDEF与正方形QGMN完全重合时，3t=5，t=；
分两种情况：
①当1由(1)得：QG=GM=2t，△CQG是等腰直角三角形，
由(2)得：EF=2t，CH=t，CK=5，
∴S=[2t?(5?3t)]2=(5t?5)2=25t2?50t+25，
即S与t之间的函数关系式为S=25t2?50t+25；
②当S=(5?t)2=t2?10t+25，
即S=t2?10t+25；
(4)分三种情况：
①当EM⊥BC时，如图4所示：
由题意得：(5?2t)=10?2t，
解得：t=0，不合题意舍去；
②当EM⊥AC时，如图5所示：
由题意得：×3t=10?2t，
解得：t=；
③当EM⊥AB时，正方形PDEF与正方形QGMN重合，此时t=；
综上所述，当直线EM与△ABC的边垂直时，t的值为或.
练习2-4
【解析】(1)如图1中，∵EP∥AC，
∴PE/AC=BP/BA，
PE/3=，
∴PE=(4?t).
故答案为34(4?t).
(2)①当0∵∠BAC=90?，CD=DB，
∴∠DAB=∠B，∵∠APG=∠BAC=90?，
∴△APG∽△BAC，
∴PG/AC=AP/AB，
∴PG/3=，
∴PG=t，
∴EG=3?t，
∴S=?EG?AP=?t2+t.
②当2∴△AFG∽△CAB，
∴FG/AB=AF/AC，
∴FG=4?t，GE=2t?4，
∴S=?GE?AF=?t2+t?6.
综上所述.
(3)当0∴t=1时，S最大值为，
当2∴t=3时，S最大值为.
综上所述t=1或3时，S最大值都是.
(4)由题意?t2+t=，整理得到5t2?10t+4=0，t=符合题意。
或?t2+t?6=，整理得到5t2?30t+44=0，t=符合题意，
∴S为△ABC面积的时，t的值有四个，
故答案为4.相似三角形的判定
类型一：直角三角形相似根据相似、三角函数求解
【经典例题1】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
【解析】(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=?x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y=?x2+2x+4，
配方得y=?(x?1)2+5，
∴点M的坐标为(1，5)；
(2)设直线AC解析式为y=kx+b，把点A(3，1)，C(0，4)代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y=?x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E.
点F
把x=1代入直线AC解析式y=?x+4解得y=3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)
∴1<5?m<3，解得2(3)连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)
∵MG=1，GC=5?4=1
∴MC=，
把y=5代入y=?x+4解得x=?1，则点N坐标为(?1，5)，
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有MC/CP=CD/BD
∵BD=1，CD=3，
∴CP=MC?BD/CD==，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=∴PH==
把x=代入y=?x+4，解得y=，
∴P1(，)；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=?代入y=?x+4，解得y=
∴P2(?，)；
②若有△PCM∽△CDB，则有MC/CP=BD/CD
∴CP==∴PH=÷=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=?x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=?3代入y=?x+4，解得y=7
∴P3(3，1);P4(?3，7).
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1(，)，P2(?，)，P3(3，1)，P4(?3，7).
【经典例题】抛物线y=ax2+bx+c过A(2，3)，B(4，3)，C(6，?5)三点。
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标；
(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)根据题意，设抛物线表达式为y=a(x?3)2+h.
把B(4，3)，C(6，?5)代入得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y=?(x?3)2+4=?x2+6x?5；
(2)设直线AC的表达式为y=kx+n，
则：，解得：k=?2，n=7，
∴直线AC的表达式为y=?2x+7，
设点D(m，?m+6m?5)，2∴DE=(?m2+6m?5)?(?2m+7)=?m2+8m?12，
设直线DE与直线AB交于点G，
∵AG⊥EG，∴AG=m?2，EG=3?(?2m+7)=2(m?2)，
m?2>0，
在Rt△AEG中，∴AE=(m?2)，
由DE/AE=，得，
化简得，2m2?11m+14=0，
解得：m1=，m2=2(舍去)，
则D(，).
(3)根据题意得：△ABF为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则△BPQ为等腰直角三角形，
分三种情况：
①若∠BPQ=90°，BP=PQ，
如图2，过P作MN∥x轴，过Q作QM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，
易证得：△BAP≌△QMP，
∴AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，
∴P(2，?2)，Q(?3，0)，
在Rt△QMP中，PM=5，QM=2，
由勾股定理得：PQ=，
∴S△BPQ=PQ?PB=；
如图3，易证得：△BAP≌△PMQ，
∴AB=PM=2，AP=MQ=3?2=1，
∴P(2，2)，Q(3，0)，
在Rt△QMP中，PM=2，QM=1，
由勾股定理得：PQ=，
∴S△BPQ=PQ?PB=；
②若∠BQP=90°，BQ=PQ，
如图4，易得：△BNQ≌△QMP，
∴NQ=PM=3，NG=PM?AG=3?2=1，
∴BN=MQ=4+1=5，
∴P(2，?5)，Q(?1，0)
∴PQ=，
∴S△BPQ=PQ?PB=17；
如图5，易得△QNB≌△PMQ，
∴NQ=PM=3，
∴P(2，?1)，Q(5，0)，
∴PQ=，
∴S△BPQ=PQ?PB=5，
③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如图6，
过Q作QN⊥AB，交AB的延长线于N，
易得：△PAB≌△BNQ，
∵AB=2，NQ=3，AB≠NQ
∴此时不存在符合条件的P、Q.
练习1-1.如图，已知抛物线经过A（2，0）、B（3，3）及原点O，顶点为C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习1-2如图，二次函数
y
(x
2)(ax
b)
的图像过点
A(-4，3），B(4，4).
(1)求二次函数的解析式：
(2)求证：△ACB
是直角三角形；
(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
练习1-3如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
练习1-4如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C.
(1)求抛物线解析式；
(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD.求出点D坐标；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△BMP与△BAD相似，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习1-5如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点P，OM＝1，ON＝5．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点A是y轴正半轴上一动点，点B是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM，且AB⊥AM．
①AO为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；
②若Rt△ABM中有一边的长等于MP时，请直接写出点A的坐标．
练习1-6如图，已知：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(?1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D为顶点，连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交与点
E.
(1)求抛物线解析式及点D的坐标；
(2)G是抛物线上B，D之间的一点，且S四边形CDGB=4S△DGB，求出G点坐标；
(3)在抛物线上B，D之间是否存在一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使以C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似?若存在，求出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由。
练习1-7如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM＝CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角（0°＜＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
练习1-8如图，直线AB交x轴于点B(4，0)，交y轴于点A(0，4)，直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°.
(1)直接写出直线AB的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE.是否存在点P，使△BPF与△FCE相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
类型二：A字型或两组对应边成比例其夹角相
【经典例题2】如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵点A(0,1).B(?9,10)在抛物线上，
∴c=1;×81?9b+c=10，∴b=2;c=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，
(2)∵AC∥x轴,A(0,1)∴x2+2x+1=1，
∴x1=6,x2=0，
∴点C的坐标(?6,1)，
∵点A(0,1).B(?9,10)，
∴直线AB的解析式为y=?x+1，
设点P(m,m2+2m+1)∴E(m,?m+1)
∴PE=?m+1?(m2+2m+1)=?m2?3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC
=AC×EF+AC×PF=AC×(EF+PF)=AC×PE
=×6×(?m2?3m)=?m2?9m=?(m+)2+，
∵?6∴当m=?时,四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P(?,?).
(3)∵y=x2+2x+1=(x+3)2?2，
∴P(?3,?2)，
∴PF=yF?yP=3,CF=xF?xC=3，
∴PF=CF，∴∠PCF=45?
同理可得：∠EAF=45?，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q(t,1)且AB=9,AC=6,CP=3
∵以C.
P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴CQ/AC=CP/AB，
∴，∴t=?4，
∴Q(?4,1)
②当△CQP∽△ABC时，
∴CQ/AB=CP/AC，
∴，∴t=3，
∴Q(3,1).
【经典例题2】(2019娄底)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C，且过点D(2，－3)．点P、Q是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
【解析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入并解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2-2m-3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y=mx-3-2m，则OG=3+2m，
S△POD=×OG（xD-xP）=（3+2m）（2-m）=-m2+m+3，
∵-1<0，故S△POD有最大值，当m=时，其最大值为；
（3）∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠ABC=∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB=∠BOQ时，
AB=4，BC=3，AC=，
过点A作AH⊥BC于点H，
S△ABC=×AH×BC=AB×OC，解得：AH=2，
则sin∠ACB=AH/AC=，则tan∠ACB=2，
则直线OQ的表达式为：y=-2x…②，
联立①②并解得：x=±，
故点Q1（，-2），Q2（-，2），
②∠BAC=∠BOQ时，tan∠BAC=OC/OA=3=tan∠BOQ，则点Q（n，3n），
则直线OQ的表达式为：y=-3x…③，
联立①③并解得：x=，
故点Q3（，），Q4（，）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，-2）或（，）或（-，2）或（，）．
练习2-1如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D
.
（1）求h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
练习2-2(2019郴州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点F是线段AD上一个动点．
①如图①，设k＝，当k为何值时，CF＝AD?
②如图②，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
练习2-3如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
练习2-4如图，一次函数y=-x-2的图象与二次函数y=ax2+bx-4的图象交于x轴上一点A，与y轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y=ax2+bx-4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x=n（n<0），n是方程2x2-3x-2=0的一个根，连接AD．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当S△ACB=3S△ADB时，求点C的坐标；
（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三：点在抛物线上：求（设）直线，求点，算长度，验证对应边成比例
【经典例题4】(2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，
C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.
(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线解析式y=x2+x+3，点A坐标（-4,0）
（2）点P（3，）
（3）存在.
①如图，当CQ1∥AB交抛物线于点Q1时，
x2+x+3=3，此时Q1（2,3）符合要求
②如图，作∠ABQ2=∠ABC交抛物线于点Q2
此时Q2（-8，-7）不符合要求
③如图，过点B作BQ3∥AC，则∠ABC=∠ABQ3，此时Q3（-10，-12）符合要求
④如图，过点A作AQ4∥BC交抛物线于点Q4，，此时Q4（10，-7）不符合要求
⑤如图，作∠BAQ5=∠BAC交抛物线于点Q5.此时Q5（12，-12）符合要求
综上所述，点Q坐标为（2,3），（-10，-12），（12，-12）。
4-1已知抛物线y=a(x+3)(x-1)（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
练习4-2.如图，二次函数
y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点
A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点
C（0，3）．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点
M
以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点
D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间
t
为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值.
练习4-3(难题)抛物线
L：y＝﹣x2+bx+c经过点
A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
(1)直接写出抛物线
L的解析式；
(2)如图
1，过定点的直线
y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线
L交于点
M、N．若
△BMN的面积等于
1，求
k的值；
(3)如图
2，将抛物线L向上平移
m（m＞0）个单位长度得到抛物线
L1，抛物线L
1与y轴交于点
C，过点
C作
y轴的垂线交抛物线
L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
参考答案
练习1-1.【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将点A(?2，0)，B(?3，3)，O(0，0)，代入可得：
，解得：，
所以函数解析式为：y=x2+2x；
(3)假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P(x，y)，由题意知x>0，y>0，且y=x2+2x，
由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC:OB=1:3，
①若△PMA∽△COB，则AM/BO=PM/CO，
即x+2=3(x2+2x)，得
x1=，x2=?2(舍去)
②若△PMA∽△BOC，AM/CO=PM/BO，
即：x2+2x=3(x+2)，
得：x1=3，x2=?2(舍去)当x=3时，y=15，即P(3，15).
故符合条件的点P有两个，分别(，)或(3，15).
练习1-2【解析】(1)由题意得，函数图象经过点A(?4，3)，B(4，4)，
故可得：，解得：，
故二次函数关系式为：y=(x+2)(13x?20).
(2)由(1)所求函数关系式可得点C坐标为(?2，0)，点D坐标为(，0)，
又∵点A(?4，3)，B(4，4)，
∴AB=，AC=，
BC=，
∵满足AB2=AC2+BC2，
∴△ACB是直角三角形。
(3)存在点P的坐标，点P的坐标为(?，)或(?，).
设点P坐标为(x，(x+2)(13x?20))，则PH=(x+2)(13x?20)，HD=?x+，
①若△DHP∽△BCA，则PH/AC=DH/BC，即，
解得：x=?或x=(因为点P在第二象限，故舍去)；
代入可得PH=，即P1坐标为(?，)；
②若△PHD∽△BCA，则PH/BC=HD/AC，即，
解得：x=?或x=(因为点P在第二象限，故舍去).
代入可得PH=，即P2坐标为：(?，).
综上所述，满足条件的点P有两个，即P1(?，)、P2(?，).
练习1-3【解析】(1)∵顶点坐标为(1，1)，
∴设抛物线解析式为y=a(x?1)2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a(0?1)2+1，解得a=?1，
∴抛物线解析式为y=?(x?1)2+1，
即y=?x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B(2，0)，C(?1，?3)；
(2)如图，分别过A.
C两点作x轴的垂线，交x轴于点D.
E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，?x2+2x)，
∴ON=|x|，MN=|?x2+2x|，
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，
①当MN/AB=ON/BC时，则有|?x2+2x|/=|x|/3，即|x||?x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|?x+2|=，即?x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为(，0)或(，0)；
②当MNBC=ONAB时，则有|?x2+2x|/3=|x|/，即|x||?x+2|=3|x|，
∴|?x+2|=3，即?x+2=±3，解得x=5或x=?1，
此时N点坐标为(?1，0)或(5，0)，
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(?1，0)或(5，0).
练习1-4【解析】(1)将A(?1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+2，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=?x2+x+2．
(2)当x=0时，y=?x2+x+2=2，
∴点C的坐标为(0，2)．
①过点D作DE⊥x轴于点E，如图1所示．
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴OA=EB，OC=ED．
∵A(?1，0)，O(0，0)，C(0，2)，B(4，0)，
∴BE=1，DE=2，OE=3，
∴点D的坐标为(3，?2)．
②四边形ADBC为矩形，理由如下：
∵A(?1，0)，B(4，0)，C(0，2)，
∴OA=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC=，BC=．
∵AC2+BC2=25=AB2，
∴∠ACB=90°．
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴∠ABC=∠BAD，BC=AD，
∴BC//AD且BC=AD，
∴四边形ADBC为平行四边形．
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ADBC为矩形．
(3)假设存在，设点P的坐标为(，m)．
∵点M为AB的中点，
∴∠BPD=∠ADB=90°，
∴有两种情况(如图2所示)．
①当△PMB∽△BDA时，有PM/MB=BD/DA=，即，
解得：m=±，
∴点P的坐标为(，)或(，?)；
②当△BMP∽△BDA时，有PM/MB=AD/DB=2，即，
解得：m=±5，
∴点P的坐标为(，5)或(，?5)．
综上所述：在该抛物线对称轴上存在点P，使△BMP与△BAD相似，点P的坐标为(，)或(，?)或(，5)或(，?5)
练习1-5【解析】(1)∵OM=1，ON=5，
∴M(?1，0)，N(0，5)，
将M(?1，0)，N(0，5)代入y=ax2+4x+c，
，解得a=?1，c=5，
抛物线的表达式为y=?x2+4x+5；
(2)①AO为10时，△ABM∽△OMN.理由如下：
设A(0，m)，则OA=m，AM=，
∵kAM=m，AB⊥AM，
∴kAB=?，
∴直线AB表达式：y=?x+m，
∵抛物线y=?x2+4x+5对称轴：直线x=2，
∴B(2，?+m)，
∴AB=
∵△ABM∽△OMN，
∴AB/AM=OM/ON=，=，
化简，得m4?99m2?100=0，
(m2?100)(m2+1)=0，
∵m2+1≠0，
∴m2?100=0，
∴m=10或?10(舍去)
AO=10，即AO为10时，△ABM∽△OMN.
②A的坐标为(0，)或(0，2)或(0，).
∵M(?1，0)，P(2，0)，
∴MP=2?(?1)=3
Ⅰ。当AB=MP=3时，AB==3，
解得m=或?(舍去)
Ⅱ。当AM=MP=3时，AM==3，
解得m=2或?2(舍去)
Ⅲ。当BM=MP=3时，BM=
m=或?(舍去)，
故求得符合条件的A的坐标为(0，)或(0，2)或(0，).
练习1-6【解析】(1)点A(?1，0)、B(3，0)，根据两点式得：
抛物线的表达式为：y=(x+1)(x?3)=x2?2x?3…①；
函数的对称轴为x=1，当x=1时，y=x2?2x?3=?4，则D(1，?4)；
(2)过点G作y轴的平行线交BD于点H，设直线BC交对称轴于点F，
由点B(3，0)、C(0，?3)的坐标可得，直线BC的表达式为：y=x?3，
则点F(1，?2)，则FD=2，
同理可得，BD的表达式为：y=2x?6，
设点G(x，x2?2x?3)，则点H(x，2x?6)，
S四边形CDGB=4S△DGB，
则S△BDG=S△BCD=××FD×OB=×2×3=1，
S△BDG×HG×BE=×(2x?6?x2+2x+3)×(3?1)=1，
解得：x=2，
故点G(2，?3)；
(3)存在，理由：
过点B作BP⊥BC交CM的延长线于点P，
∵点B(3，0)、C(0，?3)、
则BC=3，BC、CD与y轴的夹角都是45°，
故∠BDC=90°，
∵MN⊥CD，
∴BC∥MN，
∵C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似，
∴B，C，P为顶点的三角形与△BDE相似，
则BP/CB=BE/ED或ED/BE，即或，
解得：BP=或；
过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵∠OBC=45°，
∴∠PBQ=45°；
①当PB=时，PQ=BQ=PB=，
OQ=OB+BQ=3+=，
故点P(，?)，
由点C.
P的坐标得，直线CP的表达式为：y=x?3…②，
联立①②并解得：x=0(舍去)或，
故点M(，?)；
②当BP=6时，
同理可得：点P(9，?6)，
则直线CP的表达式为：y=?x?3…③，
联立①③并解得：x=0(舍去)或，
故点M(，?)；
综上，点M的坐标为：(，?)或(，?).
练习1-7【解析】(1)∵x=?=，b=，∴a=?，
把A(4，0)，a=?代入y=ax2+x+c，解得c=2，
则抛物线解析式为y=?x2+x+2.
(2)如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
∵y=?x2+x+2，∴当x=0时，y=2，
∴C点的坐标是(0，2)，
设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0)，
把A(4，0)、C(0，2)代入y=kx+b，
可得，解得：，
∴直线AC解析式为y=?x+2，
∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为(m，?m2+m+2)，H(m，?m+2)，
∴MH=?m2+m+2?(?m+2)=?m2+2m，
∵CM=CH，OC=GE=2，
∴MH=2EH=2×[2?(?m+2)]=m，
又∵MH=?m2+2m，∴?m2+2m=m，
即m(m?2)=0，
解得m=2或m=0(不符合题意，舍去)，
∴m=2，
当m=2时，
y=?×22+×2+2=3，
∴点M的坐标为(2，3).
(3)存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：
∵抛物线与x轴交于A.
B两点，A(4，0)，A、B两点关于直线x=成轴对称，
∴B(?1，0)，
∵AC==2，BC==，AB=5，
∴AC2+BC2=(2)2+()2=25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，
设P点坐标为(n，0)，
则N点坐标为(n，?n2+n+2)，
①如图2，
当N1P1/AC=P1G/CB时，
∵∠N1P1G=∠ACB=90°，
∴△N1P1G∽△ACB，
∴，
解得：n1=3，n2=?4(不符合题意，舍去)，
∴P的坐标为(3，0).
②当N2P2/BC=P2G/CA时，
∵∠N2P2G=∠BCA=90°，
∴△N2P2G∽△BCA，
∴，
解得：n1=1+，n2=1?(不符合题意，舍去)，
∴P的坐标为(1+，0).
∴存在点P(3，0)或(1+，0)，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似。
练习1-8【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0，4)，B(4，0)两点坐标代入，
得，解得，所以，直线AB的解析式为y=?x+4；
(2)过D点作DG⊥y轴，垂足为G，
∵OA=OB=4，
∴△OAB为等腰直角三角形，
又∵AD⊥AB，
∴∠DAG=90°?∠OAB=45°，即△ADG为等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG?OA=DM?OA=6?4=2，
∴D(2，6)；
(3)存在。
由抛物线过O(0，0)，B(4，0)两点，设抛物线解析式为y=ax(x?4)，
将D(2，6)代入，得a=?，所以，抛物线解析式为y=?x(x?4)，
由(2)可知，∠PBF=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C(2，2)，
设P(x，0)，则MP=x?2，PB=4?x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时(如图1)，△BPF与△FCE相似，
过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4?x+2(x?2)=x，
将E(x，x)代入抛物线y=?x(x?4)中，得x=?x(x?4)，解得x=0或，即P(，0)，
②当∠CEF=∠BPF=90°时(如图2)，此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，
则PE=MC=2，将E(x，2)代入抛物线y=?x(x?4)中，得2=?x(x?4)，
解得x=或，即P(，0)，
所以，P(0)或(，0).
类型二：A字型或两组对应边成比例其夹角相
练习2-1【解析】(1)∵y=x2的顶点坐标为(0，0)，
∴y=(x?h)2+k的顶点坐标D(?1，?4)，
∴h=?1，k=?4(3分)
(2)由(1)得y=(x+1)2?4
当y=0时，
(x+1)2?4=0
x1=?3，x2=1
∴A(?3，0)，B(1，0)(1分)
当x=0时，y=(x+1)2?4=(0+1)2?4=?3
∴C点坐标为(0，?3)
又∵顶点坐标D(?1，?4)(1分)?
作出抛物线的对称轴x=?1交x轴于点E
作DF⊥y轴于点F
在Rt△AED中，AD2=22+42=20
在Rt△AOC中，AC2=32+32=18
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2
∵AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形；
(3)存在。由(2)知，OA=3，OC=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°；
连接OM，过M点作MG⊥AB于点G，
AC==3
①若△AOM∽△ABC，则AO/AB=AM/AC，
即，AM=
∵MG⊥AB∴AG2+MG2=AM2
∴AG=MG==;OG=AO?AG=3?=
∵M点在第三象限
∴M(?，?)；
②若△AOM∽△ACB，则AO/AC=AM/AB，
即，AM=2∴AG=MG==2
OG=AO?AG=3?2=1
∵M点在第三象限
∴M(?1，?2).
综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为(?，?)，(?1，?2).
练习2-2【解析】抛物线解析式为y=?x2?2x+3；
∵y=?x2?2x+3=?(x+1)2+4
∴顶点D的坐标为(?1，4)；
(2)①∵在Rt△AOC中，OA=3，OC=3，
∴AC2=OA2+OC2=18，
∵D(?1，4)，C(0，3)，A(?3，0)，
∴CD2=12+12=2
∴AD2=22+42=20
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°.
∵CF=AD，∴F为AD的中点，
∴AF/AD=，∴k=.
②在Rt△ACD中，tan∠ACD=DC/AC=，
在Rt△OBC中，tan∠OCB=OB/OC=，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠FAO=∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF=∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y=?3x+3，
∴直线OF的解析式为y=?3x，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y=2x+6，
∴，解得：，
∴F(?，).
当∠AOF=∠CAB=45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB=45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y=?x，
∴，解得：，
∴F(?2，2).
综合以上可得F点的坐标为(?，)或(?2，2).
练习2-3【解析】(1)把B.
C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2?2x?3；
(2)如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x2?2x?3中，令y=0可得0=x2?2x?3，解得x=?1或x=3，
∴A点坐标为(?1，0)，
∴AB=3?(?1)=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB?OC=×4×3=6，
∵B(3，0)，C(0，?3)，
∴直线BC解析式为y=x?3，
设P点坐标为(x，x2?2x?3)，则M点坐标为(x，x?3)，
∵P点在第四限，
∴PM=x?3?(x2?2x?3)=?x2+3x，
∴S△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?(OH+HB)=PM?OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=?x2+3x=?(x?)2+，
∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为(，?)，S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=
即当P点坐标为(，?)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；
(3)①当点Q在x轴下方时，如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，
则∠AGP=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AOC和Rt△NOB中
∠AOC=∠NOB，OC=OB，∠ACO=∠NBO
∴Rt△AOC≌Rt△NOB(ASA)，
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为(0，?1)，
设直线m解析式为y=kx+d，把B.
N两点坐标代入可得，解得，
∴直线m解析式为y=x?1；
②当点Q在x轴上方时，此时直线m与①中的直线m关于x轴对称，
∴解析式为y=?x+1；
综上可知存在满足条件的直线m，其解析式为y=x?1或y=?x+1.
练习2-4【解析】在y＝?x?2中，令y＝0，则x＝?2
∴A(?2，0)．
由2x2?3x?2＝0，得x1=?，x2＝2，
∴二次函数y＝ax2+bx?4的对称轴为直线x=?，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：y＝2x2+2x?4；
∵S△ADB=BD?OA＝2，
∴S△ACB＝3S△ADB＝6．
∵点C在x轴上，
∴S△ACB=AC?OB=×2AC＝6，
∴AC＝6．
∵点A的坐标为(?2，0)，
∴当S△ACB＝3S△ADB时，点C的坐标为(4，0)或(?8，0)；
存在．
理由：令x＝0，一次函数与y轴的交点为点B(0，?2)，
∴AB=，∠OAB＝∠OBA＝45°．
∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD＝180°?45°＝135°，
∴点C在点A的左边．
①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴AC/AB=AB/BD=1，
∴AC＝BD＝2，
∴OC＝OA+AC＝2+2＝4，
∴点C的坐标为(?4，0)．
②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA
∴AC/AB=AB/BD=，
∴AC=AB=×2=4，
∴OC＝OA+AC＝2+4＝6，
∴点C的坐标为(?6，0)．
综上所述，在x轴上有一点C(?4，0)或(?6，0)，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．
类型三：点在抛物线上：求（设）直线，求点，算长度，验证对应边成比例
练习4-1【解析】(1)∵y=a(x+3)(x?1)，
∴点A的坐标为(?3，0)、点B两的坐标为(1，0)∵直线y=?x+b经过点A，
∴b=?3，∴y=?x?3，
当x=2时，y=?5，
则点D的坐标为(2，?5)，
∵点D在抛物线上，∴a(2+3)(2?1)=?5，
解得，a=?，
则抛物线的解析式为y=?(x+3)(x?1)=?x2?2x+3；
(2)作PH⊥x轴于H，
设点P的坐标为(m，n)，
当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即OC/OA=PH/HB，
∴，即n=?a(m?1)，∴，
解得，m1=?4，m2=1(不合题意，舍去)，
当m=?4时，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴AC/AB=AB/B，即AB2=AC?PB，
∴42=，
解得，a1=(不合题意，舍去)，a2=?，
则n=5a=?，
∴点P的坐标为(?4，?)；
当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即OC/OB=PH/HB，
∴，即n=?3a(m?1)，
∴，
解得，m1=?6，m2=1(不合题意，舍去)，
当m=?6时，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴BC/BA=AB/PB，即AB2=BC?PB，
∴42=，
解得，a1=(不合题意，舍去)，a2=?，
则点P的坐标为(?6，?)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(?4，?)和(?6，?)；
(3)作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN=DN/AN==，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE=EF/sin∠EDF=EF，
∴Q的运动时间t=BE/1+=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，y=?4.
练习4-2.【解析】(1)由题意知：，解得，
∴二次函数的表达式为y=?x2+2x+3；
(2)在y=?x2+2x+3中，令y=0，则?x2+2x+3=0，
解得：x1=?1，x2=3，
∴B(3，0)，
由已知条件得直线BC的解析式为y=?x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y=?x+b，
∴0=1+b，∴b=?1，
∴直线AD的解析式为y=?x?1；
(3)①∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
∴只要当：BC/AD=PB/AB或BC/AB=PB/AD时，△PBC∽△ABD，
解y=?x2+2x+3和y=?x?1得D(4，?5)，
∴AD=5，AB=4，BC=3，
设P的坐标为(x，0)，
即或，
解得x=或x=?4.5，
∴P(，0)或P(?4.5，0)，
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=45°，
∴sin∠BAF=BF/AB，
∴BF=4×2=2，BD=，
∴sin∠ADB=BF/BD==，
∵DM=5?t，DN=t，
又∵sin∠ADB=NE/DN，NE=5t?=t，
∴S△MDN=DM?NE=(?t)?t=?t2+t=?(t2?t)=?(t?)2+，
∴当t=时，S△MDN的最大值为.
练习4-3(难题)抛物线
L：y＝﹣x2+bx+c经过点
A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
(1)直接写出抛物线
L的解析式；
(2)如图
1，过定点的直线
y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线
L交于点
M、N．若
△BMN的面积等于
1，求
k的值；
(3)如图
2，将抛物线L向上平移
m（m＞0）个单位长度得到抛物线
L1，抛物线L
1与y轴交于点
C，过点
C作
y轴的垂线交抛物线
L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【解析】（1）由题意知，解得：b=2、c=1，
∴抛物线L的解析式为y=-x2+2x+1.
待定系数法求二次函数的表达式
（2）∵y=kx-k+4=k(x-1)+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4）.
∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
二次函数表达式的三种形式
∴点B（1，2），则BG=2.
∵S△BMN=1，即S△BNG-S△BMG=BG?xN-BG?xM=1，
∴xN-xM=1，
由y=kx?k+4y=?x2?2x+1
得x2+(k-2)x-k+3=0，
解得：x==，
则xN=、xM=，
用公式法解一元二次方程
由xN-xM=1得=1，
∴k=±3.
∵k＜0，∴k=-3；
（3）设抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，PC/PD=FO/OP，
∴，∴t2-(1+m)t+2=0；
②当△PCD∽△POF时，
PCCD=POOF，
∴，∴t=(m+1)；
a.当方程①有两个相等实数根时，
△=(1+m)2-8=0，
一元二次方程根的判别式
解得：m=2-1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，
方程②有一个实数根t=，∴m=2-1，
此时点P的坐标为（0，2）和（0，）；
b.当方程①有两个不相等的实数根时，
一元二次方程根的判别式
把②代入①，得：(m+1)2-(m+1)+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程①有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=2-1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）.几何最值问题——线段之差最大
④最大值模型
如图，A、B两点在直线l同侧，在直线l上求作点P，使最大.
方法：连接BA并延长，与直线l的交点为点P.
如图，A、B两点在直线l异侧，在直线l上求作一点P，使最大.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点为点P.
造桥选址模型
已知l1∥l2，l1，l2之间的距离为d，在l1，l2在上分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM+MN+NB最小.
方法1：将点A向下平移d个单位长度得到A'，连接A'B与直线l2的交点为点N，过点N作l1的垂线，与直线l1的交点为点M.
A、D为定点，B、C为直线l1，l2上的动点，BC⊥l1，使得AB+BC+CD最小.
方法2：BC
为定值，只需求AB＋CD最小即可，平移CD至BE，则变成求AB＋BE最小，转化为将军饮马中的两定一动问题.
类型四：线段之差最大
动点产生的线段和差最值问题
求线段和差问题通常作对称点，利用三角形两边之和大于第三边求出线段之和的最小值，利用两边之差小于第三边求出差的最大值.
当且仅当三点共线时等号成立.
【经典例题4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(?1，0，)、B(3，0)两点与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的坐标为(a，0)，当|PD?PC|最大时，求a的值；
【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x?3)，
把C(0，3)代入得a?1?(?3)=3，解得a=?1，
所以抛物线解析式为y=?(x+1)(x?3)，即y=?x2+2x+3；
(2)y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，则D(1，4)，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
把C(0，3)，D(1，4)代入得n=3；m+n=4，解得m=1；n=3，
所以直线CD的解析式为y=x+3，
当y=0时，x+3=0，解得x=?3，则直线CD与x轴的交点坐标为(?3，0)，
因为|PD?PC|?CD(当且仅当点P、C.
D共线时，取等号)，此时P点为直线CD与x轴的交点，
所以a=?3；
练习4-1.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
?
练习4-2.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
练习4-3如图，抛物线l交x轴于点A(?3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，?3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.
(1)求l1的解析式；
(2)在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E.
F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径。
练习4-4如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90?，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B.
D三点的坐标分别是A(?1，0)，B(?l，2)，D(3，0).连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y=ax2+bx+c经过点D.
M、N.
(1)求抛物线的解析式。
(2)抛物线上是否存在点P，使得PA=PC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE?QC|最大?并求出最大值。
练习4-5如图，抛物线y=?x2?x+2的顶点为A，与y轴交于点B.
(1)求点A.
点B的坐标；
(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA?PB?AB；
(3)当PA?PB最大时，求点P的坐标。
练习4-6如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A.
E两点，与x轴交于B.
C两点，且B点坐标为(1，0).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点M的坐标；
(3)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标。
参考答案
类型四：线段之差最大
练习4-1.【解析】?（1）令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
∵BC∥x轴，
∴点B，C关于对称轴对称，
又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线
∴点B的坐标为（5，4），
∴AC=BC=5，
在Rt△ACO中，OA=，
∴点A的坐标为A（-3，0），
∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，
∴9a+15a+4=0，解得，
∴抛物线的解析式是y=
（2）存在，M（，）
理由：∵B，C关于对称轴对称，
∴MB=MC，
∴；
∴当点M在直线AC上时，值最大，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴y=
令，则，∴M（，）
练习4-2.【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A(1，0)、B(0，3)、C(?4，0)，
∴，解得：a=，b=?，c=3，
∴经过A.
B.
C三点的抛物线的解析式为y=?x2?x+3；
(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A.
B.
C.
P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为(5，3)，
当点P在第二、三象限时，以点A.
B.
C.
P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为(5，3)时，以点A.
B.
C.
P为顶点的四边形为菱形；
(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(1，0)，P(5，3)，
∴，
解得：k=，b=?，
∴直线PA的解析式为y=x?，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM?AM|当点M与点P、A在同一直线上时，|PM?AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM?AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为(1，0)或(?5，?)时，|PM?AM|的值最大，此时|PM?AM|的最大值为5.
练习4-3【解析】(1)如图1所示，设经翻折后，点A.
B的对应点分别为A1、B1，
依题意，由翻折变换的性质可知A1(3，0)，B1(?1，0)，C点坐标不变，
因此，抛物线l1经过A1(3，0)，B1(?1，0)，C(0，?3)三点，
设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
9a+3b+c=0；a?b+c=0；c=?3，
解得a=1，b=?2，c=?3，
故抛物线l1的解析式为：y=x2?2x?3.
(2)抛物线l1的对称轴为：x=?=1，
如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。
此时，|PA1?PC|=|PB1?PC|=B1C.
设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：
|P′A1?P′C|=|P′B1?P′C|故|P′B1?P′C|<|PA1?PC|，即|PA1?PC|最大。
设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有：
?k+b=0；b=?3，解得k=b=?3，
故直线B1C的解析式为：y=?3x?3.
令x=1，得y=?6，
故P(1，?6).
练习4-4【解析】(1)∵BC∥AD，B(?1，2)，M是BC与y轴的交点，∴M(0，2)，
∵DM∥ON，D(3，0)，
∴N(?3，2)，
则9a+3b+c=0；c=2；9a?3b+c=2，
解得a=?；b=?；c=2，
∴y=?x2?x+2；
(2)连接AC交y轴于G，
∵M是BC的中点，
∴AO=BM=MC，AB=BC=2，
∴AG=GC，即G(0，1)，
∵∠ABC=90?，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为y=kx+b，
则?k+b=2；b=1，
解得k=?1；b=1，
∴y=?x+1，
∴y=?x+1；y=?x2?x+2，
解得，，
∴点P(，)或P(，)，
(3)∵y=?x2?x+2=?(x+)2+，
∴对称轴x=?，
令?x2?x+2=0，
解得x1=3，x2=?6，
∴E(?6，0)，
故E.
D关于直线x=?对称，
∴QE=QD，
∴|QE?QC|=|QD?QC|，
要使|QE?QC|最大，则延长DC与x=?相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=?的交点，由于M为BC的中点，
∴C(1，2)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则3k+b=0；k+b=2，
解得k=?1；b=3，
∴y=?x+3，
当x=?时，y=+3=，
故当Q在(?，)的位置时，|QE?QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，
则CD=.
练习4-5【解析】(1)抛物线y=?x2?x+2与y轴的交于点B，
令x=0得y=2.∴B(0，2)
∵y=?x2?x+2=?(x+2)2+3
∴A(?2，3)
(2)证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，
PA?PB=AB.
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，PA?PB综合上述：PA?PB?AB
(3)作直线AB交x轴于点P，由(2)可知：当PA?PB最大时，点P是所求的点
作AH⊥OP于H.
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴AHBO=HPOP
由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2，
∴OP=4，
故P(4，0).
练习4-6【解析】(1)将A(0，1)、B(1，0)坐标代入y=x2+bx+c
得c=1；+b+c=0，
解得：b=?；c=1.
∴物线的解折式为y=x2?x+1；
(2)抛物线的对称轴为x=，B、C关于x=对称，
∴MC=MB，
要使|AM?MC|最大，即是使|AM?MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A.
B.
M在同一直线上时|AM?MB|的值最大。
知直线AB的解析式为y=?x+1
∴y=?x+1；x=，
解得：x=；y=?.
则M(，?).
(3)设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2?m+1，
即E点的坐标(m，m2?m+1)，…(7分)
又∵点E在直线y=x+1上，
∴m2?m+1=m+1
解得m1=0(舍去)，m2=4，
∴E的坐标为(4，3).
(Ⅰ)当A为直角顶点时，
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1(a，0)易知D点坐标为(?2，0)，
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得
DO/OA=OA/OP即2/1=1/a，
∴a=，a=?(舍去)，
∴P1(，0).
(Ⅱ)同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，
DO/OA=DE/EP2即：2/1=3/EP2，
∴EP2=
∴DP2==
∴a=?2=，
∴P2点坐标为(，0).
(Ⅲ)当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3(b、0)，
由∠OPA+∠FPE=90?，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由AO/PF=OP/EF得：，
解得b1=3，b2=1，
∴此时的点P3的坐标为(1，0)或(3，0)，
综上所述，满足条件的点P的坐标为(，0)或(1，0)或(3，0)或(，0).二次函数与圆的问题
【经典例题1】如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．
【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x+8)，
将D(0，4)代入得4=16a，即a=，
∴抛物线的解析式为y=(x+8)(x+2)=x2+x+4；
(2)证明：如图1，设直线CE与y轴交于点G，连接AB、AC、AG.
由题知，顶点E的坐标为(?5，?)，
设直线EC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，
∴直线CE的解析式为：y=x+，
令x=0得G(0，)
∴BG=4?=，
∵CG==，
∴BG=CG，
在△ACG和△ABG中
∵AG=AG，AC=AB，CG=BG，
∴△ACG≌△ABG(SSS)
∴∠ACG=∠ABG，
∵A与y轴相切于点B，∴∠ACG=∠ABG=90?，
∵点C在A上，
∴直线CE与A相切；
(3)存在点F，使△BDF面积最大。
如图2，连接BD、BF、DF，过F作FN∥y轴，交BD于点N，交x轴于点G.
由B(0，4)、D(?8，0)，
设直线BD的解析式为y=cx+d，则，解得：，
故直线BD的解析式为：y=x+4，
设F(t，t2+t+4)，N(t，t+4)
则FN=t+4?(t2+t+4)=?t2?2t，
∴S△BDF=S△DNF+S△BNF=FN×DG+FN×OG=FN×OD
=×8×(?t2?2t)=?(t+4)2+16，
∴当t=?4时，S△BDF有最大值，最大值为16.
此时点F的坐标为(?4，?2).
练习1-1.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD
相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
练习1-2如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．
练习1-3.如图，已知抛物线(a≠0)与x轴交于A.
B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，-3)，。
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由。
练习1-4.如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M(3，)，将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；
(1)求抛物线n的解析式；
(2)设抛物线n与x轴的另一个交点为
E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.
【经典例题2】如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
【解析】(1)过点B.
C分别作x轴的垂线交于点R、S，
∵∠BAR+∠RAB=90?，∠RAB+∠CAS=90?，
∴∠RAB=∠CAR，又AB=AC，
∴RtBRA△≌Rt△ASC(AAS)，
∴AS=BR=2，AR=CS=1，
故点B.
C的坐标分别为(2，2)、(5，1)，
将点B.
C坐标代入抛物线y=ax2?x+c并解得：
a=，c=11，
故抛物线的表达式为：y=x2?x+11；
(2)将点B坐标代入y=kx+1并解得：y=x+1，则点D(?2，0)，
点A.
B.
C.
D的坐标分别为(3，0)、(2，2)、(5，1)、(?2，0)，
则AB=，AD=5，
点E在直线BD上，则设E的坐标为(x，x+1)，
∵AD=AE，则52=(3?x)2+(x+1)2，
解得：x=?2或6(舍去?2)，
故点E(6，4)，
把x=6代入y=x2?x+11=4，
故点E在抛物线上；
(3)①当切点在x轴下方时，
设直线y=k1x?1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G(0，?1)，连接GA，
AH=AB=，GA=，
∵∠AHK=∠KOG=90?，∠HKA=∠HKA，∴△KOG∽△KHA，
∴KO/KH=OG/HA，即：，
解得：KO=2或?(舍去)，
故点K(?2，0)，
把点K、G坐标代入y=k1x?1并解得：
直线的表达式为：y=?x?1；
②当切点在x轴上方时，
直线的表达式为：y=2x?1；
故满足条件的直线解析式为：y=?x?1或y=2x?1.
练习2-1如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点，按顺时针方向旋转180o到△C'DE的位置．
（1）求经过三点O、A、C'的抛物线的解析式；
（2）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B的直线BF与⊙G相切，求直线BF的解析式；
（3）抛物线上是否存在一点，使得S△AMF＝2S△OAB，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
练习2-2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；
（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．
练习2-3如图，已知二次函数
y=(x-m)2-4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
(1)写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
(3)设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
直径所对的弦是圆的直径，都是轴对称图形，勾股定理
练习2-4如图，直线y=x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y=x-3上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，求四边形ABMN的面积.
练习2-5在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0），A（4，0），B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
练习2-6已知函数y
mx2
(2m
5)xm2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1；
①当n
x
1时，y的取值范围是1
y
3n，求n的值；
②函数
C2：y
2(x
h)2
k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原
点为圆心，半径为的圆内或圆上.设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距
离最大时函数C2的解析式．
练习2-7如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是(3，0)，半径为2的M交x轴于E.
F两点，过点P(?1，0)作M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交M于点B.
抛物线y=ax2+bx+c经过P、B.
M三点。
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；
(3)如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由。
参考答案
二次函数与圆的问题
练习1-1.【解析】(1)设抛物线为y=a(x?4)2?1，
∵抛物线经过点A(0，3)，
∴3=a(0?4)2?1，a=；
∴抛物线为y=(x?4)2?1=x2?2x+3；
(2)相交。
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当(x?4)2?1=0时，x1=2，x2=6.
A(0，3)，B(2，0)，C(6，0)，
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90?，∠OBA+∠EBC=90?，
∴△AOB∽△BEC，
∴AB/BC=OB/CE，即，解得CE=，
∵>2，
故抛物线的对称轴l与C相交。
(3)如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;
可求出AC的解析式为y=?x+3；
设P点的坐标为(m，m2?2m+3)，
则Q点的坐标为(m，?m+3)；
∴PQ=?m+3?(m2?2m+3)=?m2+m.
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(?m2+m)×6
=?(m?3)2+；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为；
此时，P点的坐标为(3，?).
练习1-2
【解析】(1)如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA=，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A(0，4)，B(0，?4)，C(8，0)，
∵抛物线的顶点为C，
∴设抛物线的解析式为：y=a(x?8)2，
将点B的坐标代入得：64a=?4，
a=?，
∴y=?x?8)2，
∴抛物线的解析式为：y=?x2+x?4；
(2)直线l与E相切；
理由是：在直线l的解析式y=x+4中，
当y=0时，即x+4=0，x=?，
∴D(?，0)，
当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵OE/OA=，OA/OD=，
∴OE/OA=OA/OD，
∵∠AOE=∠DOA=90?，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90?，
∴∠DAO+∠EAO=90?，
即∠DAE=90?，
∴直线l与E相切；
(3)如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M(m，m+4)，P(m，?m2+m?4)，
则PM=m+4?(?m2+m?4)=m2?14m+8=(m?2)2+
当m=2时，PM取最小值是，
此时，P(2，?)，
对于△PQM，
∵PM⊥x轴，
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90?，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO=×=，
∴当抛物线上的动点P(2，?94)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为.
练习1-3.
【解析】(1)过点D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示。
∵点D的坐标为(2，?3)，∴OE=2，DE=3.
∵tan∠DBA=，∴BE=2DE=6，
∴OB=BE?OE=4，
∴点B的坐标为(?4，0).
将B(?4，0)，D(2，?3)代入y=?x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=?x2?x+2.
(2)过点M作MF⊥x轴，垂足为F，如图2所示。
当y=0时，?x2?x+2=0，
解得：x1=?4，x2=1，
∴点A的坐标为(1，0);
当x=0时，y=?x2?x+2=2，
∴点C的坐标为(0，2).
设点M的坐标为(m，?m2?m+2)(?4∴BF=4+m，OF=?m，MF=?m2?m+2，OC=2，OA=1，
∴S四边形BMCA=S△BMF+S梯形FMCO+S△OCA，=BF?MF+(MF+OC)?OF+OA?OC，=×(4+m)×(?m2?m+2)+×(?m2?m+2+2)×(?m)+×1×2，=?m2?4m+5，=?(m+2)2+9.
∵?1<0，
∴当m=?2时，S四边形BMCA取得最大值，最大值为9.
(3)连接BC，如图3所示。
∵OB/OC=OC/OA=2，∠BCO=∠COA=90?，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OBC=∠OCA.
∵∠OBC+∠OCB=90?，
∴∠OCA+∠OCB=90?=∠ACB，
∴BC⊥AC.
∵点B的坐标为(?4，0)，点C的坐标为(0，2)，点A的坐标为(1，0)，
∴直线BC的解析式为y=x+2，直线AC的解析式为y=?2x+2(可利用待定系数法求出).
设点Q的坐标为(?2，n)，则过点Q且垂直AC的直线的解析式为y=x+n+1.
联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，
∴两直线的交点坐标为(，).
依题意，得：(?2?0)2+(n?0)2=[?(?2)]2+(?n)2，
整理，得：n2+3n?4=0，
解得：n1=1，n2=?4，
∴点Q的坐标为(?2，1)或(?2，?4).
综上所述：在这条直线上存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为(?2，1)或(?2，?4).
练习1-4.
【解析】(1)∵顶点坐标为M(3，)，
∴k=，h=?3，
∴抛物线m的解析式为：y=?(x?3)2+=?(x?8)(x+2)，
∴A(?2，0)，B(8，0).
由旋转性质可知，点D与点M(3，)关于点B(8，0)成中心对称，
∴D(13，?)，
∴抛物线n的解析式为：y=(x?13)2?.
(2)∵抛物线n:y=(x?13)2?=(x?8)(x?18)，
∴E点坐标为(18，0).
设直线DE的解析式为y=kx+b，则有：
，解得k=，b=?，
∴直线DE的解析式为：y=x?.
如题图所示，S=PF?OF=x?(?y)=?x?(x?)=?(x?9)2+
∵点P是线段ED上一个动点(P不与E.
D重合)，
∴13∴S=?(x?9)2+(13可见该抛物线开口向下，对称轴为x=9，函数图象位于对称轴右侧，y随着x的增大而减小，故S在13所以S与x的函数关系式为S=?(x?9)2+，自变量取值范围是13(3)结论：直线CM与G相切。理由如下：
∵抛物线m的解析式为：y=-(x?3)2?，令x=0，解得y=4，
∴C(0，4).
在Rt△COG中，由勾股定理得：CG=，
又∵G半径为5，
∴点C在G上。
如右图所示，依题意作出G，连接CG、CM、MG，过点C作CH⊥MG于点H，则CH=3，HG=4，MH=?4=，
∵CH/HG=MH/CH=，CH⊥MG，
∴△CHG∽△MHC，
∴∠MCH=∠CGH；
又∠HCG+∠CGH=90?，
∴∠HCG+∠MCH=90?，即GC⊥MC.
综上所述，点C在G上，且满足GC⊥MC，
∴直线CM与与G相切。
练习2-1
【解析】(1)如图，过点B作BH⊥OA交OA于点H.
依题，等边△OAB中，OA=OB=AB，△ABC′≌△OAB，
∴OA=OB=BC′=AC′=2.
∴四边形OAC′B是菱形，且∠AOB=60?.
∴BH=OBsin∠AOB=，OH=OB?cos∠AOB=1.
∴点A.
B.
C′坐标分别为A(2，0)，B(1，)，C′(3，).
由抛物线过点O，A，可设y=ax(x?2)(a≠0).
又抛物线过点C，
∴?=a?3(3?2).∴a=.
∴抛物线解析式为y=x(x?2)=x2?x；
(2)∵BF是OG切线，
∴BF⊥AB，
又∵△AOB中∠OAB=60?，
∴∠AFB=90??∠OAB=30?.
∴kBF=tan∠AFB=.
∴设直线BF解析式为lBF:y=x+b.
由直线过点B得=×1+b.∴b=.
∴直线BF解析式为y=x+；
(3)由(2)知，直线BF解析式为y=x+，
令y=0=x+时，x=?2.
∴点F坐标为(?2，0)，
∴AF=4.
又S△AOB=OA?BH=×2×=.
∴S△AMF=2S△AOB=2.
设点M坐标为(x0，y0)，
则S△AMF=F?y0=×4y0=2.
∴y0=x0=.
∴或.
∴点M坐标为(?1，)或(3，).
练习2-2
【解析】(1)∵点A为OB的中点，
∴点A的坐标为(0，?1).
∵CD=4，由抛物线的对称性可知：点C(?2，0)，D(2，0)，
将点A(0，?1)，C(?2，0)，D(2，0)代入抛物线的解析式得：c=?1，4a+c=0，
解得：c=?1，a=，
∴抛物线得解析式为y=x2?1.
(2)如下图：过点P1作P1F⊥OE.
∵OE=2，
∴点E的坐标为(0，2).
∵P1F⊥OE.
∴EF=OF.
∴点P1的纵坐标为1.
同理点P2的纵坐标为1.
将y=1代入抛物线的解析式得：x1=?2，x2=2.
∴点P1(?2，1)，P2(2，1).
如下图：
当点E与点B重合时，点P3与点A重合，
∴点P3的坐标为(0，?1).
综上所述点P的坐标为(?2，1)或(2，1)或(0，?1).
(3)设点P的坐标为(m，m2?1)，
∴圆的半径OP==+1，
点P到直线l的距离=m2?1?(?2)=+1.
∴d=r.
∴直线l与圆P相切。
练习2-3
【解析】(1)∵y=(x?m)2?4m2，
∴当y=0时，(x?m)2?4m2=0，
解得x1=?m，x2=3m，
∵m>0，
∴A、B两点的坐标分别是(?m，0)，(3m，0)；
(2)∵A(?m，0)，B(3m，0)，m>0，
∴AB=3m?(?m)=4m，圆的半径为AB=2m，
∴OM=AM?OA=2m?m=m，
∴抛物线的顶点P的坐标为：(m，?2m)，
又∵二次函数y=(x?m)2?4m2(m>0)的顶点P的坐标为：(m，?4m2)，
∴?2m=?4m2，
解得m1=，m2=0(舍去)，
∴二次函数的解析式为y=(x?)2?1，即y=x2?x?；
(3)如图，连接CM.
在Rt△OCM中，∵∠COM=90?，CM=2m=2×=1，OM=m=12，
∴OC=，
∴CD=2OC=.
直径所对的弦是圆的直径，都是轴对称图形，勾股定理
练习2-4【解析】
练习2-5【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)
由题意得：解得：a=，b=?，c=0
∴抛物线的解析式为：y=x2?x
(2)存在
抛物线y=x2?x的顶点坐标是(2，?)，作抛物线和M(如图)，
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2，∠CBM=30?，CM⊥BC
∴∠BCM=90?，∠BMC=60?，BM=2CM=4，
∴B(?2，0)
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM?∠CMD=30?
∴DM=1，CD=
∴C(1，)
设切线l的解析式为：y=kx+b(k≠0)，点B.
C在l上，
可得：k+b=，?2k+b=0
解得：k=，b=
∴切线BC的解析式为：y=x+
∵点P为抛物线与切线的交点，
由y=x2?x，y=x+，
解得：，，，
∴点P的坐标为：P1(?，)，P2(6，)；
∵抛物线y=x2?x的对称轴是直线x=2
此抛物线、M都与直线x=2成轴对称图形
于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′(如图)
得到B.
C关于直线x=2的对称点B1、C1
直线l′满足题中要求，由对称性，
得到P1、P2关于直线x=2的对称点：P3(，)，P4(?2，)即为所求的点；
∴这样的点P共有4个：P1(?，)，P2(6，)，P3(，，P4(?2，).
练习2-6【解析】（1）∵函数图象与x轴有两个交点，
∴m≠0且[-（2m-5）]2-4m（m-2）>0，
解得：m<且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数，
∴m=2．
∴函数的解析式为y=2x2+x．
（2）①抛物线的对称轴为x=-=-．
∵n≤x≤-1<-
，a=2>0，
∴当n≤x≤-1时，y随x的增大而减小．
∴当x=n时，y=-3n．
∴2n2+n=-3n，解得n=-2或n=0（舍去）．
∴n的值为-2．
②∵y=2x2+x=2（x+）2-，
∴M（-，-）．
如图所示：
当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：-k=-，
解得：k=．
∴OM的解析式为y=x．
设点P的坐标为（x，x）．
由两点间的距离公式可知：OP==，
解得：x=2或x=-2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，1）．
∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x-2）2+1．
练习2-7【解析】(1)连接AM，∵PA切M于点A，
∴AM⊥PA，又AB⊥x轴，
∴∠MAC=∠APM，Rt△APM中，PM=PO+OM=1+3=4，AM=2，
∴sin∠APM=AM/PM=，∠APM=30?，
在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30?，
CM=AM?sin30?=2×=1，AC=AM?cos30?=2×=，
∴OC=OM?CM=3?1=2，A(2，)，
∵A、B两点关于x轴对称，
∴B(2，?)，
∵抛物线过P(?1，0)、M(3，0)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x?3)，
将B(2，?)代入，得a(2+1)(2?3)=?，解得a=，
∴y=(x+1)(x?3)=x2?x?；
(2)如图1，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H，由(1)得H(x，0)，Q(x，x2?x?)
S四边形APQB=S△APC+S△PQH+S梯形BCHQ=×PC×AC+×PH×QH+×(QH+BC)×CH
=×3×+×(x+1)×(?x2+x+)+×(?x2+x+)×(2?x)=?x2+x+4
∵?<0，四边形APQB的面积有最大值，
当x=时，四边形APQB的面积最大值为，此时Q(，?)；
(3)直线AF与弧AE′B相切。如图2，连接AE，
由(1)可知，AE?度数为60?，根据对称性可知AE′?度数为60?，△AEE′为等边三角形，
∴AE′B?的圆心为E点，∠EAF=∠EAC+∠CAF=30?+60?=90?
∴直线AF与弧AE′B相切。矩形的存在性
根据平移、三角形全等，中点坐标公式等方法求解点坐标
类型一：已知一边垂直，对边相等即可
【经典例题1】如图，已知抛物线y=?x2+bx+c与y轴相交于点A(0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1.
(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标。
(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动。过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒。
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形。
②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由。
【解析】∵抛物线y=?x2+bx+c对称轴是直线x=1，
，解得b=2，
∵抛物线过A(0,3)，
∴c=3，
∴抛物线解析式为y=?x2+2x+3，
令y=0可得?x2+2x+3=0，解得x=?1或x=3，
∴B点坐标为(3,0)；
(2)①由题意可知ON=3t，OM=2t，
∵P在抛物线上，
∴P(2t,?4t2+4t+3)，
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON=PM，
∴3t=?4t2+4t+3,解得t=1或t=(舍去)，
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A(0,3),B(3,0)，
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=?x+3，
∴当t>0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，
由题意可知OM=2t，
∴Q(2t,?2t+3)，
∴OQ==,
BQ==，
又由题意可知0当OB=QB时,则有=3,解得t=(舍去)或t=；
当OQ=BQ时,则有=,解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形。
按直角三角形算思路：先直角，再矩形
例1：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
【解析】分别以点A、B、C为直角顶点构造构造直角三角形，求出点C的坐标
C1(),C2(),C3(2,0),C4(3,0)，在C点的基础上，根据平移，全等，中点坐标公式等求出D点坐标。
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(?2，0)、B(4，0)两点，
所以可以假设y=a(x+2)(x?4)，
∵OC=2OA，OA=2，
∴C(0，4)，代入抛物线的解析式得到a=?，
∴y=?(x+2)(x?4)或y=?x2+x+4或y=?(x?1)2+.
(2)如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F.
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m=PM/DM=PF/DC，
∵直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D，则D(0，1)，
∵BC的解析式为y=?x+4，
设P(n，?n2+n+4)，则F(n，?n+4)，
∴PF=?n2+n+4?(?n+4)=?(n?2)2+2，
∴m=PF/CD=?16(n?2)2+，
∵?16<0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P(2，4).
(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D.
Q、N四点组成的四边形是矩形。
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2?1中，四边形DQNP是矩形时，
有(2)可知P(2，4)，代入y=kx+1中，得到k=，
∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D(0，1)，E(?，0)，
由△DOE∽△QOD可得OD/OQ=OE/OD，
∴OD2=OE?OQ，
∴1=?OQ，
∴OQ=，
∴Q(，0).
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N(2+，4?1)，即N(，3)
b、如图2?2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y=?x+，
∴Q(8，0)，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N(0+6，1?4)，即N(6，?3).
②当DP是对角线时，设Q(x，0)，则QD2=x2+1，QP2=(x?2)2+42，PD2=13，
∵Q是直角顶点，
∴QD2+QP2=PD2，
∴x2+1+(x?2)2+16=13，
整理得x2?2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为(，3)或(6，?3).
练习2-1如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与
y
轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以
AM
为边的矩形．若点T
和点Q关于
AM
所在直线对称，求点T的坐标．
练习2-2如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+n（k≠0）与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点C（4，0），同时，抛物线W1：y=x2+bx+c也经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，直线x=m是抛物线的对称轴，且与x轴交于点D.
（1）求直线AC的表达式.
（2）求出抛物线W1的解析式及m的值.
（3）设点E是抛物线的对称轴上一动点，点F是平面内一动点，是否存在点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
练习2-3如图，已知抛物线
y=ax2+bx+c
经过
A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线上是否存在一点
P，使得以点
A、B、C、P
四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2?2ax?3a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；
(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。
【解析】(1)令y=0，则ax2?2ax?3a=0，
解得x1=?1，x2=3
∵点A在点B的左侧，
∴A(?1，0)，
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴OF/OA=CD/AC，
∵CD=4AC，
∴OF/OA=CD/AC=4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D点的横坐标为4，
代入y=ax2?2ax?3a得，y=5a，
∴D(4，5a)，
把A.
D坐标代入y=kx+b得，解得，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a.
(2)如图1，过点E作EN⊥y轴于点N
设点E(m，a(m+1)(m?3))，yAE=k1x+b1，
则，解得：，
∴yAE=a(m?3)x+a(m?3)，M(0，a(m?3))
∵MC=a(m?3)?a，NE=m
∴S△ACE=S△ACM+S△CEM=[a(m?3)?a]+[a(m?3)?a]m=(m+1)[a(m?3)?a]=(m?)2?a，
∴有最大值?a=，∴a=?；
(3)令ax2?2ax?3a=ax+a，即ax2?3ax?4a=0，
解得x1=?1，x2=4，
∴D(4，5a)，
∵y=ax2?2ax?3a，
∴抛物线的对称轴为x=1，
设P1(1，m)，
①若AD是矩形的一条边，
由AQ∥DP知xD?xP=xA?xQ，可知Q点横坐标为?4，将x=?4带入抛物线方程得Q(?4，21a)，
m=yD+yQ=21a+5a=26a，则P(1，26a)，
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∵AD2=[4?(?1)]2+(5a)2=52+(5a)2，
PD2=[4?(?1)]2+(5a)2=52+(5a)2，
∴[4?(?1)]2+(5a)2+(1?4)2+(26a?5a)2=(?1?1)2+(26a)2，
即a2=，∵a<0，∴a=?，
∴P1(1，?).
②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为(，a)，Q(2，?3a)，
m=5a?(?3a)=8a，则P(1，8a)，
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，
∵AP2=[1?(?1)]2+(8a)2=22+(8a)2，
PD2=(4?1)2+(8a?5a)2=32+(3a)2，
AD2=[4?(?1)]2+(5a)2=52+(5a)2，
∴22+(8a)2+32+(3a)2=52+(5a)2，
解得a2=，∵a<0，∴a=?，
∴P2(1，?4).
综上可得，P点的坐标为P1(1，?4)，P2(1，?).
练习3-1如图：在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，经过点A的抛物线的对称轴是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
练习3-2如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(－3，0)，且OB＝OC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m＋4，点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值；
②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形？
参考答案
练习2-1【解析】∴直线AD的解析式为y=x+1
（2）直线AM交y轴于R，y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，则M(1，4)
设直线AM的解析式为y=mx+n，
把A(?1，0)、M(1，4)分别代入得，解得，
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
当x=0时，y=2x+2=2，则R(0，2)，
当AQ为矩形APQM的对角线，如图1，
∵∠RAP=90°，
而AO⊥PR，
∴Rt△AOR∽Rt△POA，
∴AO:OP=OR:OA，即1:OP=2:1，解得OP=，
∴P点坐标为(0，?)，
∵点A(?1，0)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M(1，4)，
∴点P(0，?)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q(2，)，
∵点T和点Q关于AM所在直线对称，
∴T点坐标为(0，)；
当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，
同理可得S点坐标为(0，?)，
∵R点为AM的中点，
∴R点为PS的中点，
∴PM=SA，P(0，)，
∵PM=AQ，
∴AQ=AS，
∴点Q关于AM的对称点为S，
即T点坐标为(0，?).
综上所述，点T的坐标为(0，)或(0，?).
练习2-2【解析】（1）∵直线y=kx+n（k≠0）经过点A（0，3），C（4，0），
∴，解得.
∴直线AC的表达式为y=-x+3.
（2）抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，3），C（4，0），
∴，解得.
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+3.
∴=1.
即抛物线的对称轴为直线x=1.
（3）存在.理由如下：
如图，要以A，C，E，F为顶点的四边形是矩形，分两种情况讨论：
情况一：当线段AC为矩形的一边时，
①当矩形ACEF在直线AC的上方时，过点E1作E1H⊥y轴于点H，
易证△AHE1∽△COA，
则AH/CO=HE1/AO，
解得OH=，
∴E1（1，）.
②当矩形ACFE在直线AC的下方时，同理可求E2（1，-4）.
情况二：当线段AC为矩形的对角线时，
同理可求E3（1，），E4（1，）.
综上所述，满足条件的点有4个，即E1（1，），E2（1，-4），E3（1，），E4（1，）.
练习2-3【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(4，0)，B(2，3)，C(0，3)三点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=?x2+x+3;
(3)结论：存在。
如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1.
由B(2，3)，C(0，3)，可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。
抛物线解析式为：y=?x2+x+3，令y=0，解得x1=?2，x2=4，
∴P1(?2，0).
∵P1A=6，BC=2，
∴P1A≠BC，
∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2.
设CP2与x轴交于点N，
∵BC∥x轴，AB∥CP2，
∴四边形ABCN为平行四边形，
∴AN=BC=2，
∴N(2，0).
设直线CN的解析式为y=kx+b，则有：解得，
∴直线CN的解析式为：y=?x+3.
∵点P2既在直线CN:y=?x+3上，
又在抛物线：y=?x2+x+3上，
∴?x+3=?x2+x+3，化简得：x2?6x=0，
解得x1=0(舍去)，x2=6，
∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为?6，∴P2(6，?6).
∵?ABCN，
∴AB=CN，而CP2≠CN，
∴CP2≠AB，
∴四边形ABCP2为梯形。
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A.
B.
C.
P四点为顶点所构成的四边形为梯形;点P的坐标为(?2，0)或(6，?6).
练习3-1
【解析】(1)当y=0时，=0，解得x=4，即A(4，0)，抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，
抛物线的解析式为y=x2?3x?4；
∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P(3a，a)，则PC=3a，PB=a．
又∵PF=3PE，
∴PC/PF=PB/PE．∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．
如图所示，点E在点B的左侧时，设E(a，0)，则BE=6?a．
∵CF=3BE=18?3a，∴OF=20?3a．
∴F(0，20?3a)．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20?3a+0，
∴Qx=a?6，Qy=18?3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18?3a=(a?6)2?3(a?6)?4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q(?2，6)．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E(a，0)，则BE=a?6．
?
∵CF=3BE=3a?18，
∴OF=3a?20．
∴F(0，20?3a)．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20?3a+0，
∴Qx=a?6，Qy=18?3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18?3a=(a?6)2?3(a?6)?4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q(2，?6)．
综上所述，点Q的坐标为(?2，6)或(2，?6)．
练习3-2(2019南充·难)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(－3，0)，且OB＝OC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m＋4，点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值；
②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形？
【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）
∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）
∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴
∴C（0，﹣3）
把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3
∴a＝﹣1
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3
（2）①如图2，∵x＝m+4时，y＝﹣（m+4）2﹣4（m+4）﹣3＝﹣m2﹣12m﹣35
∴M（m，﹣m2﹣4m﹣3），N（m+4，﹣m2﹣12m﹣35）
设直线MN解析式为y＝kx+n
∴
解得：
∴直线MN：y＝（﹣2m﹣8）x+m2+4m﹣3
设D（d，﹣d2﹣4d﹣3）（m＜d＜m+4）
∵DE∥y轴
∴xE＝xD＝d，E（d，（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3）
∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3]＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣（m+2）]2+4
∴当d＝m+2时，DE的最大值为4．
②如图3，∵D、F关于点E对称
∴DE＝EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN＝DF，且MN与DF互相平分
∴DE＝MN，E为MN中点
∴xD＝xE＝＝m+2
由①得当d＝m+2时，DE＝4
∴MN＝2DE＝8
∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82
解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+
∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．二次函数角度问题
（角相等，45°角，二倍角）
【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解
抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，
①
求该抛物线的解析式；
②
若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
【解析】(1)①将P(1，?3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2?；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，
∴D与P关于y轴对称，且P(1，?3)，
∴D(?1，?3)；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G.
作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3.
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG.
设OG=x，则PG=x，HG=x?1.
在Rt△PGH中，由x2=(x?1)2+32，得x=5.
∴点G(5，0).
∴直线PG的解析式为y=x?，
解方程组得或.
∵P(1，?3)，
∴D(，?).
∴点D的坐标为(?1，?3)或(，?).
【经典例题变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC.
(1)求抛物线解析式；
(2)BC的垂直平分线交抛物线于D.
E两点，求直线DE的解析式；
(3)若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标。
【解析】（1）由题意，得：解得：．
故这个抛物线的解析式为y=x2-x+2．
（2）解法一：
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．
∴△BMF∽△BCO，
∴．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1）…（5分）
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：，解得：．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．
解法二：
如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，CM=BM．
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（，0）．
∴BN=4-=．
∵CF∥x轴，∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．∴F（，2）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，得：，解得：
∴直线DE的解析式为y=2x-3．
（3）由（1）得抛物线解析式为y=x2-x+2，
∴它的对称轴为直线x=．
①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G（，2），
以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，
则∠CP1B=∠CAB．
GA=，
∴点P1的坐标为（，-）．
②如图4，由（2）得：BN=，∴BN=BG，
∴G、N关于直线BC对称．
∴以N为圆心，NB长为半径的
N与
G关于直线BC对称．
N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B=∠CAB．
设对称轴与x轴交于点H，则NH=-=1．
∴HP2=，∴点P2的坐标为（，）．
综上所述，当P点的坐标为（，-）或（，）时，∠CPB=∠CAB．
【经典例题变式】如图①，抛物线y=?x2+(a+1)x?a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C.
已知△ABC的面积是6.
(1)求a的值；
(2)在△ABC内是否存在一点M，使得点M到点A.
点B和点C的距离相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ=∠AQB，求点Q的坐标。
【解析】(1)∵y=?x2+(a+1)x?a
令y=0，即?x2+(a+1)x?a=0
解得x1=a，x2=1
由图象知：a<0
∴A(a，0)，B(1，0)
∵S△ABC=6
∴(1?a)(?a)=6
解得：a=?3，(a=4舍去)；
(2)如图①，∵A(?3，0)，C(0，3)，
∴OA=OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y=?x，
∵由A(?3，0)，B(1，0)，
∴线段AB的垂直平分线为x=?1
将x=?1代入y=?x，
解得：y=1
∴△ABC外接圆圆心的坐标(?1，1)
(3)如图②，作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP=AB?PM=×4d
∵S△PQB=S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等，
∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y=x+b
∵直线经过点B(1，0)
所以：直线PB的解析式为y=x?1
联立y=?x2?2x+3；y=x?1.
解得：x=?4；y=?5.
∴点P坐标为(?4，?5)
又∵∠PAQ=∠AQB，
∴∠BPA=∠PBQ，∴AP=QB，
在△PBQ与△BPA中，
AP=QB，∠BPA=∠PBQ，PB=BP，
∴△PBQ≌△ABP(SAS)，
∴PQ=AB=4
设Q(m，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42
解得：m=?4，m=?8(当m=?8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去)
∴Q坐标为(?4，?1).
练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.
（1）求该抛物线的表达式.
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由
练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
练习1-4.抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．
练习1-5如图(1)，直线y=?x+n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B(0，?2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
(3)如图(2)，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标。
练习1-6在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线（a>0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A．B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
【经典例题2—45°角】(2019资阳)如图，抛物线过点A(3，2)，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为(4，m)．
（1）求抛物线的解析式；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
练习2-1如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求k的值和抛物线的解析式；
(2)M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①若△BNP是直角三角形，求m的值．
②连接BN，当∠PBN＝45°时，求m的值．（两直线垂直，k值积为-1）
练习2-2如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(?1，0)和B(5，0)，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF，CE交于点G.
(1)求抛物线解析式；(2)求线段DF的长；
(3)当DG=时，①求tan∠CGD的值；
②试探究在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使∠EDP=45°?若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
练习2-3如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3).
(1)求抛物线解析式；
(2)若点P为抛物线对称轴上一点，当∠APC=45°时，求点P的坐标；
(3)已知点Q(0，1)，M是抛物线上一动点，是否存在点M使得∠MBQ=45°？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
练习2-4如图，直线y=x?4与x轴、y轴分别交于A.
B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A.
B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；
在求二倍角的问题中，先根据等腰三角形和外角定理构造二倍角，再利用三角函数（一般用正切）计算。
【经典例题3—二倍角】(2019咸宁改编)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求D点的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【解析】（1）在y=x+2中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入y＝－x2＋bx＋c，得
，解得
∴抛物线得解析式为y＝－x2＋x＋2
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，
过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x，－x2＋x＋2），则BF＝x，DF＝－x2＋x
∵tan∠DBE＝DF/BF，tan∠BAC＝BO/AO
∴，即
解得x1＝0（舍去），x2＝2
当x＝2时，－x2＋x＋2＝3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m，m+2），F（m，－m2＋m＋2）
EF＝|（m+2）﹣（－m2＋m＋2）|＝2
解得m1=m2＝2，m3=2-，m4=2+
当BO为对角线时，OB与EF互相平分
过点O作OF∥AB，直线OF:y=-x交抛物线于点F（2+，-1-）和（2-，-1+）
求得直线EF解析式为或
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为--2或-2
∴E点的坐标为（2，1）或（--2，3+）或（-2，3-）
∴综上E点的坐标为（2，1）或（2+，-1-）或（2-，-1+）
或（--2，3+）或（-2，3-）
【经典例题—变式】如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为________；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】如图1，∵点A的坐标为(3，0)，∴OA=3，
当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，
∴P(2，0)，Q(3，4)，
∴线段PQ的中点坐标为：(，)，即(，2)；
故答案为：(，2)；
如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，PA/AQ=QB/BC，
∴，4t2?15t+9=0，(t?3)(t?)=0，
t1=3（舍），t2=，
②当△PAQ∽△CBQ时，PA/AQ=BC/BQ，
∴，t2?9t+9=0，t=，
∵>7，∴x=不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；
当t=1时，P(1，0)，Q(3，2)，
把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线y=x2+bx+c中得：
1+b+c=0；9+3b+c=2
，解得：b=?3；c=2
，
∴抛物线：y=x2?3x+2=(x?)2?，∴顶点k(，?)，
∵Q(3，2)，M(0，2)，
∴MQ//x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，
∴KM=KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，
如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，
设DQ交y轴于H，
∵∠HMQ=∠QEK=90°，
∴△KEQ∽△QMH，
∴KE/EQ=MQ/MH，∴，∴MH=2，
∴H(0，4)，
易得HQ的解析式为：y=?x+4，
则y=?x+4y=x2?3x+2
，x2?3x+2=?x+4，
解得：x1=3（舍），x2=?，
∴D(?，)；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，
由对称性得：H(0，0)，
易得OQ的解析式：y=x，
则y=x;y=x2?3x+2
，x2?3x+2=x，
解得：x1=3（舍），x2=，
∴D(，)；
综上所述，点D的坐标为：D(?，)或(，)．
练习3-1如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=?x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=3x+6经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，过点D作直线AC的垂线，垂足为点E，设点D的横坐标为t，线段DE的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范图）；
（3）在（2）的条件下，当d=时，连接AD，点F为直线AD上方抛物线上一个动点，过点F作FG⊥AD于点G，连接DF，是否存在点F，使得△DFG中的某个角恰好等于∠DAB的2倍？若存在，求出点F的横坐标；若不存在，请说明理由．
练习3-2在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，直线AC的解析式为y=kx?3，且tan∠ACO=.
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是x轴负半轴上一动点，连接PC、BC和BD，当∠OPC=2∠CBD时，求点P的坐标；
练习3-3如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=?x2+bx+c经过A.
C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，如图2，是否存在点D，使得∠DCA=2∠BAC?若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，说明理由。
练习3-4如图1，抛物线y=ax2+bx+2过点A(-1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图2，点D是直线BC上方抛物线上的一个动点.过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得∠CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
练习3-4如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，OB=OC=3.
(1)求该抛物线的函数解析式。
(2)如图2，点E的坐标为(0，?)，点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
练习3-5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A()，B(6，0)两点，与y轴相交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2所示，点D为直线AB下方抛物线上的一个动点，过点DE作⊥BC于点E，问：是否存在点D，使得当∠CDE＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
练习1-1【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C（﹣1，0）；
（2）设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
练习1-2.解析】(1)当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为(0，6).
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x?6)，将C(0，6)代入得：?12a=6，解得a=?.
∴抛物线的解析式为y=?12(x+2)(x?6)，整理得：y=?x2+2x+6.
(2)将x=4代入得：y=6.
∴D(4，6).
如图所示：作点DE∥x轴，过点B作BE∥y轴，作点D关于BC的对称点D′，则BD=BD′，过点D′作D′F⊥x轴，垂足为F.
∵B(6，0)，C(0，6)，
∴OB=OC.
∴∠OBC=45°.
∴∠OBC=∠EBC.
又∵∠D′BC=∠DBC，
∴∠DBE=∠D′BF.
在△DEB和△D′FB中，∠D′FB=∠DEB，∠DBE=∠D′BF，BD=BD′，
∴△DEB≌△D′FB.
∴D′F=ED=2，BF=BE=6.
∴点D′的坐标为(0，2).
设BD′的解析式为y=kx+2，将点B的坐标代入得：6k+2=0，解得k=?，
∴BD′的解析式为y=?x+2.
将y=?x+2代入y=?x2+2x+6得：?x+2=?x2+2x+6，整理得：3x2?14x?24=0，解得：x=6(舍去)或x=?.
将x=?代入得：y=?×(?)+2=+2=
∴点P的坐标为(?，).
练习1-3
【解析】抛物线解析式y=x2-x-2
(2)点P的坐标（4，）
(3)
练习1-4.【解析】(1)在y=?x2+2x+3中，令y=0可得0=?x2+2x+3，解得x=?1或x=3，令x=0可得y=3，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=?1，
∴直线BC解析式为y=?x+3；
(2)∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，
∴抛物线对称轴为x=1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，
∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
∴∠PBA=(180°?45°)/2=67.5°，∠DPB=∠APB=22.5°，
∴∠PBD=67.5°?45°=22.5°，
∴∠DPB=∠DBP，
∴DP=DB，
在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，
∴PE=2+2，
∴P(1，2+2)；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为(1，?2?2)；
综上可知P点坐标为(1，2+2)或(1，?2?2)；
(3)设Q(x，?x2+2x+3)，当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，
当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，
∴QE/CE=AO/CO=，即，解得x=0(舍去)或x=5，
∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；
当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA>∠OCQ；
当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA<∠OCQ.
练习1-5【解析】点C(0，4)在直线y=?x+n上，
∴n=4，∴y=?x+4，
令y=0，∴x=3，
∴A(3，0)，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B(0，?2).
∴c=?2，6+3b?2=0，∴b=?，
∴抛物线解析式为y=x2?x?2，
(2)∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴P(m，m2?m?2)，D(m，?2).
若△BDP为等腰直角三角形，则PD=BD.
①当点P在直线BD上方时，PD=m2?m.
(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m<0，BD=?m.
∴m2?m=?m，
∴m1=0(舍去)，m2=(舍去).
(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m>0，BD=m.
∴m2?m=m，
∴m3=0(舍去)，m4=.
②当点P在直线BD下方时，m>0，BD=m，PD=?m2+m.
?m2+m=m，
∴m5=0(舍去)，m6=.
综上所述，m=或m=.
即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.
(3)∵∠PBP′=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP′=，cos∠PBP′=，
①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
如图1，
由旋转知，P′D′=PD=m2?m，
在Rt△P′D′N中，cos∠ND′P′=ND′P′D′=cos∠PBP′=，
∴ND′=(m2?m)，
在Rt△BD′M中，BD′=?m，sin∠DBD′=D′MBD′=sin∠PBP′=，
∴D′M=?m，
∴ND′?MD′=2，
∴(m2?m)?(?m)=2，
∴m=(舍)，或m=?，
如图2，
同①的方法得，ND′=(m2?m)，MD′=m
∵ND′+MD′=2，
∴(m2?m)+m=2，
∴m=，或m=?(舍)，
∴P(?，)或P(，)，
②当点P′落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，
∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
同①的方法得，P′N=(m2?m)，BM=m，
∵P′N=BM，
∴(m2?m)=m，
∴m=，
∴P(，).
∴P(?，)或P(，)或P(，).
练习1-6【解析】（1）如图1，∵AB与x轴平行，
根据抛物线的对称性有AE=BE=1，
∵∠AOB=90°，
∴OE=
AB=1，
∴A（-1，1）、B（1，1），
把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1，
∴抛物线的解析式y=x2，
A、B两点的横坐标的乘积为xA?xB=-1
（2）xA?xB=-1为常数，
如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△BON，
∴AM/ON=OM/BN，
∴OM?ON=AM?BN，
设A（xA，yA），B（xB，yB），
∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2图象上，
∴，yA=，yB=，
∴-xA?xB=yA?yB=?，
∴xA?xB=-1为常数；
（3）设A（m，m2），B（n，n2），
如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴AE/OF=OE/BF，即，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线AB的解析式为y=kx+b，联立
y=kx+b，y=x2
，得：x2-kx-b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=-b．
∴b=1．
∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，-2a-2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，
即：（-a）2+（-2a-3）2=32，整理得：5a2+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-，
当a=-时，-2a-2=，
∴P（-，）．
练习2-1【解析】(1)把A(3，0)代入y=kx+2中得，0=3k+2，
∴k=?，
∴直线AB的解析式为：y=?x+2，
∴B(0，2)，
把A(3，0)和B(0，2)代入抛物线y=?x2+bx+c中，
则0=?12+3b+c，c=2，
解得：b=，c=2，
二次函数的表达式为：y=x2+x+2；
(2)①当∠BNP=90°时，且∠AMN=90°，
∴∠BNP=∠AMN，
∴BN∥AO，∴点N的纵坐标为2，
∴2=x2+x+2，
∴x=0(舍去)，x=，∴点N坐标(，2)；
当∠NBP=90°时，
直线BN的解析式为：y=x+2，
∴x+2=x2+x+2，
∴x=0(舍去)，x=，∴点N(，)
②有两解，N点在AB的上方或下方，
如图2，过点B作BN的垂线交x轴于点G，
过点G作BA的垂线，垂足为点H.
由∠PBN=45°
得∠GBP=45°，
∴GH=BH，
设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，
∴AH/AO=AG/AB=GH/OB，
得AH=t，GA=t，
由AB=AH+BH=t+t=，解得t=，
∴AG=×=，
从而OG=OA?AG=3?=，即G(，0)，由B(0，2)，G(，0)得：
直线BG:y=?5x+2，直线BN:y=0.2x+2.
则y=?5x+2，y=x2+x+2，
解得：x1=0(舍)，x2=，即m=；
则y=0.2x+2，y=x2+x+2，
解得：x1=0(舍)，x2=；即m=；
故m=与m=为所求。
练习2-2【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(?1，0)和B(5，0)，
∴a?b+3=0，25a+5b+3=0，解得a=?，b=，
∴抛物线解析式为：y=?x2+x+3；
(2)当x=0时，y=?x2+x+3=3，则C(0，3)，如图1，
∵CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
∵∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△OCD和△HDE中
∠DOC=∠EHD，∠1=∠3，CD=DE，
∴△OCD≌△HDE，
∴HD=OC=3，
∵CF⊥BF，
∴四边形OCFH为矩形，
∴HF=OC=3，
∴DF=；
(3)①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如图1，
∴∠DCE=45°，∠DFH=45°，
∴∠DFC=45°，
而∠CDG=∠FDC，
∴△DCG∽△DFC，
∴CD/DF=DG/DC，∠DGC=∠DCF，
即，解得CD=，
∵CF∥OH，
∴∠DCF=∠2，
∴∠CGD=∠2，
在Rt△OCD中，OD=
∴tan∠2=OC/OD=3，
∴tan∠CGD=3；
②∵OD=1，
∴D(1，0)，
∵△OCD≌△HDE，
∴HD=OC=3，EH=OD=1，
∴E(4，1)，
取CE的中点M，如图2，则M(2，2)，
∵△DCE为等腰直角三角形，∠EDP=45°，
∴DP经过CE的中点M，
设直线DP的解析式为y=mx+n，
把D(1，0)，M(2，2)代入得m+n=0，2m+n=2，解得m=2，n=?2，
∴直线DP的解析式为y=2x?2，
解方程组得或(舍去)，
∴P点坐标为(，).
练习2-3【解析】过点C作CE垂直抛物线对称轴于点E，以CE
点P坐标（1,1+），（1,1-）
点M坐标（1,4），（,）
练习2-4【解析】(1)直线解析式y=x?4，
令x=0，得y=?4；令y=0，得x=4.
∴A(4，0)、B(0，?4).
∵点A.
B在抛物线y=x2+bx+c上，
∴+4b+c=0；c=?4，解得b=?13；c=?4，
∴抛物线解析式为：y=x2?x?4.
令y=x2?x?4=0，解得：x=?3或x=4，
∴C(?3，0).
(2)∠MBA+∠CBO=45°，
设M(x，y)，
①当BM⊥BC时，如答图2?1所示。
∵∠ABO=45°，
∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件。
过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E=x，OE=?y，
∴BE=4+y.
∵tan∠M1BE=tan∠BCO=，∴=，
∴直线BM1的解析式为：y=x?4.
联立y=x?4与y=x2?x?4，
得：x?4=x2?x?4，
解得：x1=0，x2=，
∴y1=?4，y2=?，
∴M1(，?)；
②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2?2所示。
∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，
∴∠MBA+∠CBO=45°，
故点M满足条件。
过点M2作M2E⊥y轴于点E，
则M2E=x，OE=y，∴BE=4+y.
∵tan∠M2BE=tan∠CBO=，∴=，
∴直线BM2的解析式为：y=x?4.
联立y=x?4与y=x2?x?4得：x?4=x2?13x?4，
解得：x1=0，x2=5，∴y1=?4，y2=，
∴M2(5，).
综上所述，满足条件的点M的坐标为：(，?)或(，?).
练习3-1【解析】∵直线y=3x+6经过A、C两点，
∴A(?2，0)，C(0，6)，
把A、C两点坐标代入y=?x2+bx+c得到：c=6；?2?2b+c=0
，
解得b=2；c=6
，
∴抛物线的解析式为y=?x2+2x+6．
如图1中，连接CD、AD、OD．
∵A(?2，0)，C(0，6)，D(t，?t2+2t+6)
∴AC=，
∴S△ACD=?AC?DE=S△ACO+S△OCD?S△AOD，
∴??d=×2×6+×6×t?×2×(?t2+2t+6)，
∴d=t2+t．
当d=时，=+t，
解得t=5或?7（舍弃），
∴D(5，)．
如图，作DE⊥AB于E，作FM//AB交AD的延长线于M，在AE上截取AH=DH，连接DH，延长ED交FM于K．
∵A(?2，0)，D(5，72)，
∴DE=，AE=7，设AH=DH=x，
在Rt△DHE中，x2=(7?x)2+()2，
解得x=，∴EH=7?=，
∴tan∠DHE=/=．
①当∠FDG=2∠DAB时，∵FM//AB，
∴∠M=∠MAB，∵∠FDG=∠M+∠DFM，
∴∠DFM=∠DAB，
∴tan∠MFD=tan∠DAB=，
∴KD/FK=，设F(m，?m2+2m+6)，
∵D(5，)，
∴DK=?m2+2m+6?，FK=5?m，
∵FK=2DK，
∴5?m=?m2+4m+?7，
解得m=0或5（舍弃）．
②当∠DFG=2∠DAB时，∵∠DHE=∠DFG，
∴tan∠DFG=tan∠DHE=43=DGFG，设DG=4k，则FG=3k，DF=5k，
∵tan∠M=FGGM=，
∴MG=6k，∴DM=2k，
∴FM=k，DK=k，KM=，
∴KF=k，
∴DK/FK=k/k=，
解得m=?或5（舍弃）．
综上所述，满足条件的m的值为0或?．
练习3-2【解析】（1）如图1，∵直线AC的解析式为y=kx-3，
令x=0，得y=-3，
∴C（0，-3）．
又∵tan∠ACO=，
∴A（-1，0）．
∴c=-3；(-1)2+b×(-1)+c=0，
解得b=-2，c=-3，
∴抛物线y=x2-2x-3．
（2）如图2，∵点P是x轴负半轴上一动点，
∴设P（x0，0），x0<0；
且C（0，-3），B（3，0），D（1，-4）．
在Rt△POC中，tan∠OPC=．
在△BCD中，根据等面积法求得cos∠CBD=，
∴sin∠CBD=，∴tan∠CBD=，
又∵∠OPC=2∠CBD，tan2∠CBD=，
即tan∠CBD==，
解得x0=-4，
∴点P的坐标为P（-4，0）．
练习3-3【解析】(1)根据题意得A(?4，0)，C(0，2)，
∵抛物线y=?x2+bx+c经过A.
C两点，
∴，∴b=?，c=2，
∴y=?x2?x+2；
(2)∵A(?4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
∴P(?，0)，∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
如图2，
∴∠DCA=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即RC:DR=，
令D(a，?a2?a+2)，
∴DR=?a，RC=?a2?a，∴(?a2?a):(?a)=1:2，
∴a1=0(舍去)，a2=?2，
∴xD=?2，
∴yD=3，
∴点D的坐标为(?2，3).
练习3-4【解析】【解析】（1）OB=OC=3，则：B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：y=-x2+2x+3…①；
（2）当点P在第一象限时，
①如图所示，当∠PEB=2∠OBE=2α时，
过点E作∠PEB的平分线交x轴于G点，PE交x轴于H点，
则：∠PEQ=∠QEB=∠ABE=α，则∠HGE=2α，
设：GB=m，则：OG=3-m，GE=m，
在Rt△OGE中，由勾股定理得：EG2=OG2+OE2，
即：m2=（3-m）2+（）2，解得：m=，
则：GE=，OG=，BE=，
∵∠PEQ=∠ABE=α，∠EHG=∠EHG，∴△HGE∽△HEB，
∴，设：GH=，HE=4x，
在Rt△OHE中，OH=OG-HG=-，OE=，EH=4x，
由勾股定理解得：x=，则：OH=，H（，0），
把E、H两点坐标代入一次函数表达式，
解得：EH所在直线的表达式为：y=x-，
将上式与①联立并解得：x=1，
则点P（1，4）；
②当∠PBE=2∠OBE时，则∠PBO=∠EBO，
BE所在直线的k值为，则BP所在直线的k值为-，
则：PB所在的直线方程为：y=-x+，
将上式与①联立，解得：x=-或3，
与题意不符，都舍去．
故：点P坐标为：（1，4）；
当P在第二象限时，同理可得：点P坐标（-，）
在三、四象限时，坐标为（-，-）、（，-），
故点P的坐标为：（1，4）或（-，）或（-，-）或（，-）．
练习3-5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A()，B(6，0)两点，与y轴相交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2所示，点D为直线AB下方抛物线上的一个动点，过点DE作⊥BC于点E，问：是否存在点D，使得当∠CDE＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.直角三角形的判定
【经典例题1—点对称轴上】
如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2?2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D.
E，点A为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x=?=1，
∵BC∥x轴，∴B点和C点关于直线x=1对称轴，
∴AB=AC，
而∠BAC=90，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AF=BF=1，
∴A点坐标为(1，4)，
把A(1，4)代入y=ax2?2ax+3得a?2a+3=4，解得a=?1，
∴抛物线解析式为y=?x2+2x+3；
(2)令y=0，则?x2+2x+3=0，解得x1=?1，x2=3，
∴D点坐标为(?1，0)，
设P点坐标为(1，t)，
∴CD2=32+(2+1)2=18，PC2=12+(t?3)2，PD2=22+t2，
当CD2=PC2+PD2，即18=12+(t?3)2+22+t2，解得t1=，t2=，此时P点坐标为(1，)，(1，)；
当PD2=CD2+PC2，即22+t2=18+12+(t?3)2，解得t=4，此时P点坐标为(1，4)，；
当PC2=CD2+PD2，即12+(t?3)2=18+22+t2，解得t=?2，此时P点坐标为(1，?2)；
∴符合条件的点P的坐标为(1，)或(1，)或(1，4)或(1，?2).
练习1-1在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为(?1，0).如图所示，B点在抛物线y=x2+x?2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为?3.
(1)求证：△BDC≌△COA；
(2)求BC所在直线的函数关系式；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)证明：∵AC⊥BC，BD⊥CD，
∴∠BDC=∠COA=90?，∠ACO+∠BCD=90?，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∵在△BDC和△COA中
∠BDC=∠COA=90?，∠BCD=∠OAC，BC=AC
∴△BDC≌△COA(AAS)，
(2)∵△BDC≌△COA，
∴BD=CO，
∵C点的坐标为(?1，0)，
∴BD=OC=1，
∴B点的纵坐标为1，
∵B点的横坐标为?3，
∴B点的坐标为(?3，1)，
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴，∴解方程组得，
∴直线BC所在直线的解析式为：y=?x?，
(3)存在，
∵抛物线的解析式为：y=x2+x?2，
∴y=x2+x?2
=(x+)2?，
∴二次函数的对称轴为x=?，
①若以AC为直角边，C点为直角顶点，做CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴P1点为直线BC与对称轴直线x=?的交点，
∵直线BC所在直线的解析式为：y=?x?，
∴，∴解得，
∴P1点的坐标为(?，?)；
②若以AC为直角边，A点为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，
∴过点A作AP2∥BC，交对称轴直线x=?于点P2，
∵OD=3，OC=1，
∴OA=CD=2，
∴A点的坐标为(0，2)，
∴直线AP2的解析式为y=?x+2，
∴，∴解得：，
∴P2点的坐标为(?，)，
∴P点的坐标为P1(?，?)、P2(?，).
练习1-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=?x2+x+2与x轴相交于A.
B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点M，对称轴MN与x轴相交于点N，连接AC.
(1)求A.
B两点的坐标；(2)求∠CAO的大小；
(3)抛物线的对称轴MN上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】
(1)令y=?x2+x+2=0，
解得：x=?2或x=4，
故A点的坐标为(?2，0)，点B的坐标为(4，0)；
(2)∵令x=0，则y=2，
∴点C的坐标为(0，2)，
∴AO=CO=2，
∴∠CAO=45?；
(3)∵抛物线y=?x2+x+2=?(x?1)2+，
∴对称轴为x=1，
∵A(?2，0)，C(0，2)，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
当直角△ACP的直角边PC经过点C时，
设直线PC的解析式为y=?x+b，
∵经过点C(0，2)，
∴直线PC的解析式为y=?x+2，
∴当x=1时，y=?1+2=1，
∴点P的坐标为(1，1)；
当直角△ACP的直角边PA经过点A时，
设直线PA的解析式为y=?x+b，
∵经过点A(?2，0)，
∴直线AP的解析式为y=?x?2，
∴当x=1时，y=?1?2=?3，
∴点P的坐标为(1，?3)；
综上所述：点P的坐标为(1，1)和(1，?3).
2.如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分∠CAO；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】抛物线表达式：y=
(2)因为∠CAB=∠BAO，所以AB平分∠CAO.
(3)点M坐标()或()
练习1-3如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时△APC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D，直接写出点D的坐标．
【解析】（1）令y=-x+2=0，解得：x=4，
即点A的坐标为（4，0）．
∵A、B关于直线x=对称，
∴点B的坐标为（-1，0）．
令x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，
∴有解得：
故抛物线解析式为y=-x2+x+2；
（2）直线AC的解析式为y=-x+2，即x+y-2=0，
设点Q的坐标为（m，-m+2）；则P点坐标为（m，-m2+m+2），
∴PQ=（-m2+m+2）-（-m+2），
=-
m2+2m=-（m-2）2+2
∴当m=2时，PQ最大=2，
此时点P（2，3）S△PAC=S梯形OCPM+S△PMA-S△AOC=5+3-4=4；
（3）D点的坐标为（，-5），（，5），（，1+），（，）．
解法如下：假设存在，设D点的坐标（，m）
△ADC为直角三角形分三种情况：
①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M
由△CD1M∽△ACO可得：
MC/MD1=AO/CO
∴，CM=3∴OM=5即D1（，5）
②同理当点A为直角顶点时可求D2（，-5）
③当点D为直角顶点时：
过D3作MN⊥y轴
由△CD3M∽△D3NA可得：
MC/MD3=D3N/AN
∴，可得：n2-2n=解得：n=1±
D3（，1+），D4（，1-）
故D点的坐标为（，-5），（，5），（，1+），（，1-）．
练习1-4直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B，且交x轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m．
①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；
②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)∵直线y=x?3与x轴、y轴分别交于点A.
B，
∴点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，?3)．
将A(6，0)、B(0，?3)代入y=x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2?x?3．
(2)①过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E，如图1所示．
设点P的横坐标为m，则点P的坐标为(m，m2?m?3)，点E的坐标为(m，m?3)，
∴PE=m?3?(m2?m?3)=?m2+2m，
∴S△PAB=×PE×(AD+DO)=×(?m2+2m)×6=?m2+6m=?(m?3)2+9，
∴当m=3时，△PAB的面积最大，最大值是9．
②当y=0时，有x2?x?3=0，
解得：x1=?，x2=6，
∴点C的坐标为(?，0)．
设点Q的坐标为(3，y)，
则CQ2=()2+y2，BC2=9+，BQ2=9+(y+3)2．
当∠QCB=90?时，有CQ2+BC2=BQ2，
即()2+y2+9+=9+(y+3)2，
解得：y=；
当∠CBQ=90?时，有BC2+BQ2=CQ2，
即9++9+(y+3)2=()2+y2，
解得：y=?32；
当∠CQB=90?时，有BQ2+CQ2=BC2，
即()2+y2+9+(y+3)2=9+，
方程无解．
综上所示：在直线PD上否存在点Q(3，)或(3，?)，使△QBC为直角三角形
练习1-5如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求k的值和抛物线的解析式；
(2)M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①若△BNP是直角三角形，求m的值．
【解析】(1)把A(3，0)代入y=kx+2中得，0=3k+2，
∴k=?，
∴直线AB的解析式为：y=?x+2，
∴B(0，2)，
把A(3，0)和B(0，2)代入抛物线y=?x2+bx+c中，
则，解得：，
二次函数的表达式为：y=?x2+x+2；
(2)①当∠BNP=90?时，且∠AMN=90?，
∴∠BNP=∠AMN，
∴BN∥AO，
∴点N的纵坐标为2，
∴2=?x2+x+2，
∴x=0(舍去)，x=，
∴点N坐标(，2)；
当∠NBP=90?时，
直线BN的解析式为：y=x+2，
∴x+2=?x2+x+2，
∴x=0(舍去)，x=，
∴点N(，)
②有两解，N点在AB的上方或下方，
如图2，过点B作BN的垂线交x轴于点G，
过点G作BA的垂线，垂足为点H.
由∠PBN=45?
得∠GBP=45?，
∴GH=BH，
设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，
∴AH/AO=AG/AB=GH/OB，
得AH=t，GA=t，
由AB=AH+BH=t+t=，解得t=，
∴AG=×=，
从而OG=OA?AG=3?=，
即G(，0)，
由B(0，2)，G(，0)得：
直线BG:y=?5x+2，直线BN:y=0.2x+2.
则，
解得：x1=0(舍)，x2=，
即m=；
则，
解得：x1=0(舍)，x2=；
即m=；
故m=与m=为所求。
练习1-6如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC=10，抛物线经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；
②在S最大的情况下，在抛物线的对称轴上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）在矩形OABC中，∠AOC=90°，
由勾股定理，得
OC=，
所以点C的坐标为（6，0）.
将A、C两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c，
，解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+8；
（2）①过点Q作QE⊥BC与E点，如图.
则sin∠ACB=QE/QC=AB/AC=3/5，
∴QE/（10?m）=3/5，
∴QE=(10-m)，
∴S=×CP×QE=m×(10-m)=-m2+3m.
②∵S=-m2+3m=-(m-5)2+，
∴当m=5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=y=-x2+x+8，
∴抛物线对称轴为x=，D点的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（，8），
当∠FQD=90°时，则F2（，4），
当∠DFQ=90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即+(8-n)2++(n-4)2=16，解得：n=6±，
∴F3（，6+），F4（，6-）.
满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6-）.
【经典例题2—点在抛物线上】如图，在平面直角坐标系中，已知A(－1，0)、C(4，0)，BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于另一点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
问一：在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(1)由已知得：A(?1，0)，B(4，5)，
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(?1，0)，B(4，5)，
∴，解得：；
如图：∵直线AB经过点A(?1，0)，B(4，5)，
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2?2x?3，
(2)∴设点E(t，t+1)，则F(t，t2?2t?3)，
∴EF=(t+1)?(t2?2t?3)=?(t?)2+，
∴当t=时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为(，)；
问一如图：
(ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P(m，m2?2m?3)
则有：m2?2m?3=，
解得：m1=1+，m2=1?，
∴P1(1+，)，P2(1?，)；
(ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3(n，n2?2n?3)
则有：n2?2n?3=?，
解得：n1=，n2=(与点F重合，舍去)，
∴P3(，?154)，
综上所述：所有点P的坐标：P1(1+，)，P2(1?，)，P3(，?)能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形。
练习2-1(19年河南)如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线经过点A、C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m.当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
【解析】当x=0时，=-2
∴点C的坐标为(0，?2)；
当y=0时，?x?2=0，
解得：x=?4，
∴点A的坐标为(?4，0).
将A(?4，0)，C(0，?2)代入y=ax2+x+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2+x?2.
(2)①∵PM⊥x轴，
∴∠PMC≠90?，
∴分两种情况考虑，如图1所示。
(i)当∠MPC=90?时，PC∥x轴，
∴点P的纵坐标为?2.
当y=?2时，x2+x?2=?2，
解得：x1=?2，x2=0，
∴点P的坐标为(?2，?2)；
(ii)当∠PCM=90?时，设PC与x轴交于点D.
∵∠OAC+∠OCA=90?，∠OCA+∠OCD=90?，
∴∠OAC=∠OCD.
又∵∠AOC=∠COD=90?，
∴△AOC∽△COD，
∴OD/OC=OC/OA，即OD/2=2/4，
∴OD=1，
∴点D的坐标为(1，0).
设直线PC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将C(0，?2)，D(1，0)代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线PC的解析式为y=2x?2.
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，
点P的坐标为(6，10).
综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为(?2，?2)或(6，10).
练习2-2如图，抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，其对称轴为x=3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点O作直线l，使l∥AB，点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】∵点B与O(0，0)关于x＝3对称，
∴点B坐标为(6，0)，
把B(6，0)代入y＝ax2+2x得36a+12＝0，解得a=?13，
∴抛物线解析式为y=?x2+2x；
∵y=?x2+2x=?(x?3)2+3，
∴顶点A的坐标为(3，3)，
设直线AB解析式为y＝kx+b．
把A(3，3)，B(6，0)代入得?，解得?，
∴直线AB的解析式为y＝?x+6；
∵直线//AB且过点O，
∴直线解析式为y＝?x，
设P点坐标为(t，?t)，
当点P在第四象限时(t>0)，
S＝S△AOB+S△POB=?6?3+?6?|?t|＝9+3t，
∵0∴0<9+3t≤18，解得?3又t>0，
∴0当点P在第二象限时(t<0)，
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N．如图，
S＝S梯形PANM+S△ANB?S△PMO=[3+(?t)]?(3?t)+?3?3??(?t)(?t)
＝?3t+9，
∵0∴0又t<0，
∴?3≤t<0；
综上所述，t的取值范围是?3≤t<0或0存在．
依题意可知，t＝3，则P(3，?3)
当直角顶点为点O时，OP⊥OQ，
∴直线OQ的解析式为y＝x，
解方程组得?或，此时点Q的坐标为(3，3)；
当直角顶点为点P时，过点P作直线的垂线交抛物线于点Q，
设直线PQ的解析式为y＝x+b，
把P(3，?3)代入得b＝?6，
∴直线PQ的解析式为y＝x?6，
解方程组得?或，此时Q点坐标为(6，0)或(?3，?9)，
综上所述，点Q的坐标为(3，3)或(6，0)或(?3，?9)．
练习2-3如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=﹣x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．
（1）求点E，F的坐标；
（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；
（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；
（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】∵点E在直线l:y=?x+7上，
∴设点E的坐标为(x，?x+7)，
∵OE=OC=5，
∴x2+(?x+7)2=52，
解得：x1=3，x2=4，
∴点E的坐标为(3，4)，点F的坐标为(4，3).
(2)∵OG=OC=5，且点G在x正半轴上，
∴G(5，0).
设经过E，F，G三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将E(3，4)、F(4，3)、G(5，0)代入y=ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴经过E，F，G三点的抛物线的解析式为y=?x2+6x?5.
(3)∵BC∥x轴，且OC=5，
∴设点D的坐标为(m，5)(m>0)，则CD=m.
∵ED=CD或FD=CD，
∴或，
解得：m=或m=.
∴当点C的对应点落在直线l上时，CD的长为或.
(4)假设存在，设点P的坐标为(n，?n2+6n?5)，
∵E(3，4)，F(4，3)，
∴EF==，PE=，
PF=.
以E，F，P为顶点的直角三角形有三种情况：
①当∠EFP为直角时，有PE2=PF2+EF2，
即(n?3)2+(?n2+6n?9)2=2+(n?4)2+(?n2+6n?8)2，
解得：n1=1，n2=4(舍去)，
此时点P的坐标为(1，0)；
②当∠FEP为直角时，有PF2=PE2+EF2，
即(n?4)2+(?n2+6n?8)2=2+(n?3)2+(?n2+6n?9)2，
解得：n3=2，n4=3(舍去)，
此时点P的坐标为(2，3)；
③当∠EPF为直角时，有EF2=PE2+PF2，
即2=(n?3)2+(?n2+6n?9)2+(n?4)2+(?n2+6n?8)2，
整理得：(n?4)(n?3)(n2?5n+7)=0，
∵在n2?5n+7中△=(?5)2?4×7=?3<0，
∴n2?5n+7≠0.
解得：n5=3(舍去)，n6=4(舍去).
综上可知：在(2)中的抛物线上存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为(1，0)或(2，3).
练习2-4已知抛物线l1:y1=x2-2的顶点为P，交x轴于A.
B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP=.
(1)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1:4两个部分，求直线AC的解析式；
(2)在(1)的情况下，将抛物线l1绕点P逆时针旋转180?得到抛物线l2，点M为抛物线l2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形?
【解析】直线AC的解析式为y=x+1．
∵将抛物线l1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线l2
∴抛物线l2解析式为：y2=-x2-2
设点M坐标为（m，-m2-2）
①若∠BDM=90°，如图1，则m<0
过M作MN⊥y轴于点N
∴∠MND=∠BOD=∠BDM=90°，MN=-m，DN=1-（-m2-2）=m2+3
∴∠MDN+∠BDO=∠MDN+∠DMN=90°
∴∠BDO=∠DMN
∴△BDO∽△DMN
∴BO/DN=OD/MN
，即BO?MN=DN?OD
∴-4m=m2+3
解得：m1=-16+2
，m2=-16-2
②若∠DBM=90°，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q
∴∠BQM=∠DBM=∠BDM=90°，BQ=4-m，MQ=-（-m2-2）=m2+2
∴∠BMQ+∠MBQ=∠MBQ+∠DBO=90°
∴∠BMQ=∠DBO
∴△BMQ∽△DBO
∴BQ/DO=MQ/BO
，即BQ?BO=MQ?OD
∴4（4-m）=m2+2
解得：m1=-16+4
，m2=-16-4
③若∠BMD=90°，则点M在以BD为直径的圆除点B、D外的圆周上
显然以AB为直径的圆与抛物线l2无交点，故此情况不存在满足的m
综上所述，点M的横坐标为-16+2或-16-2或-16+4或-16-4时，△BDM为直角三角形．
练习2-2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(3)在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
【经典例题3—点在线段上】如图1所示，二次函数yax2bxc的图象经过A(4，0)，B(-1，0)，C(0，-2)三点，一次函数ykxt图象与二次函数交于点A，交y轴于点D（0，2）；
(1)分别求出一次函数与二次函数的表达式；
(2)如图2，若点M是线段BA上的一个动点，过点M作y轴的平行线l，交一次函数图象于点P，交二次函数图象于点Q；是否存在点M，使得△APQ是直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
(3)若连接BC，把△BOC绕平面内某点R逆时针旋转90°得到△B’O’C’，点B，O，C的对应点分别是B’，O’，C’，若△B’O’C’的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称点R为“旋转点”，请直接写出旋转后满足条件的点B’坐标.
【解析】
【经典例题2改编】如图所示，抛物线y=x2+2x?3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y=
-x与抛物线交于E，F两点.
(3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形?若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】①当∠BCD=90?时，如图2左侧图，
当点D在BC右侧时，
过点D作DM⊥y轴于点M，则CD=1，OB=1，OC=3，
tan∠BCO==tan∠CDM=tanα，则sinα=，cosα=；
xD=CDcosα=，同理yD=?3?，
故点D(，?3?)；
同理当点D(D′)在BC的左侧时，
同理可得：点D′(?，?3+)；
②当∠CDB=90?时，
当点D在BC右侧时，如右侧图，CD=OB=1，则点D(1，?3)；
当点D在BC左侧时，由点的对称性，同理可得：点D(?，?)；
综上，点D的坐标为：(，?3?)、(?，?3+)、(1，?3)或(?，?).
新方法突破：如图甲，AB⊥BD，CD⊥BP，AP垂直PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．
(1)证明：AB·CD=PB·PD；
(2)如图乙也是一个“三垂图”，上述结论还成立吗？请说明理由．
(3)已知抛物线交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，设AQ与y轴相交于D，且角QAP=90°，利用上述结论求D点坐标．
【解析】(1)证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90?，
∴∠A+∠APB=90?，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90?，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴AB/PD=PB/CD，
∴AB?CD=PB?PD；
(2)AB?CD=PB?PD仍然成立。
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90?，
∴∠A+∠APB=90?，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90?，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ABPD=PBCD，
∴AB?CD=PB?PD；
(3)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵抛物线与x轴交于点A(?1，0)，B(3，0)，与y轴交于点(0，?3)，?
∴，解得，
所以，y=x2?2x?3，
∵y=x2?2x?3=(x?1)2?4，
∴顶点P的坐标为(1，?4)，
过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，
则AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根据(2)的结论，AO?AC=OD?PC，
∴1×2=OD?4，
解得OD=，
∴点D的坐标为(0，)，
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0)，
则，解得，
所以，y=x+，
联立，解得，(为点A坐标，舍去)，
所以，点Q的坐标为(，).
情况讨论
1.如图，抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．?
写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
?（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；?
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式
【解析】(1)在y=a(x?1)(x?3)，令x=0可得y=3a，
∴C(0，3a)，
∵y=a(x?1)(x?3)=a(x2?4x+3)=a(x?2)2?a，
∴D(2，?a)；
(2)在y=a(x?1)(x?3)中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=3?1=2，
∴S△ABD=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，
把C.
D的坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=?2ax+3a，令y=0可解得x=，
∴E(，0)，
∴BE=3?=
∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××(3a+a)=3a，
∴S△BCD:S△ABD=(3a):a=3，
∴k=3；
(3)∵B(3，0)，C(0，3a)，D(2，?a)，
∴BC2=+(3a)2=9+9a2，CD2=22+(?a?3a)2=4+16a2，BD2=(3?2)2+a2=1+a2，
∵∠BCD<∠BCO<90?，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90?或∠CDB=90?两种情况，
①当∠CBD=90?时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=?1(舍去)或a=1，此时抛物线解析式为y=x2?4x+3；
②当∠CDB=90?时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=?(舍去)或a=，此时抛物线解析式为y=x2?x+；
综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2?4x+3或y=x2?x+.
2.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．
（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)在直线y=?x+2中，
令y=0可得0=?x+2，解得x=2，
令x=0可得y=2，
∴A为(2，0)，B为(0，2)；
(2)由(1)可知OA=2，OB=2，
∴tan∠ABO=OA/OB=，
∴∠ABO=30?，
∵运动时间为t秒，
∴BE=t，
∵EF∥x轴，
∴在Rt△BEF中，EF=BE?tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，
在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，
∴AB=4，
∴AF=4?2t；
(3)相似。理由如下：
当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，
即t=4?2t，解得t=，
∴AF=4?2t=4?=，OE=OB?BE=2?×=，
如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，
?
则四边形OEGH为矩形，
∴GH=OE=，
又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，
∴OA=AH=2，
在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=()2+22=，
又AF?AB=×4=，
∴AF?AB=AG2，即AF/AG=AG/AB，且∠FAG=∠GAB，
∴△AFG∽△AGB；
(4)存在，
∵EG∥x轴，
∴∠GFA=∠BAO=60?，
又G点不能在抛物线的对称轴上，
∴∠FGA≠90?，
∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90?，
又∠FGA=30?，
∴FG=2AF，
∵EF=t，EG=4，
∴FG=4?t，且AF=4?2t，
∴4?t=2(4?2t)，
解得t=，
即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB?BE=2?t×=2?×=
∴E点坐标为(0，，
∵抛物线的顶点为A，
∴可设抛物线解析式为y=a(x?2)2，
把E点坐标代入可得=4a，解得a=，
∴抛物线解析式为y=(x?2)2，
即y=x2?x+二次函数的图像和性质
知识点一、二次函数的定义
1、定义：形如__________________________的函数.
要点点拨：
(1)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
(2)a，b，c为常数，且a≠0.
(3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
(4)x的取值范围是任意实数.
知识点二、二次函数的图象和性质
二次函数的图象都是抛物线，画图象的三步为:列表、描点、?连线.
1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0，0)
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；
x<0时，y随x的增大而减小；
x=0时，y有最小值0.
a<0
向下
(0，0)
y轴
x>0时，y随x的增大而减小；
x<0时，y随x的增大而增大；
x=0时，y有最大值0.
2.二次函数y=ax2+k的图象和性质：上加下减
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0，k)
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随的增大而减小；x=0时，y有最小值k.
a<0
向下
(0，k)
y轴
x>0时，y随的增大而减小；x<0时，y随的增大而增大；x=0时，y有最大值k.
总结:
二次函数y=ax2+k图象与二次函数y=ax2图象的关系，简记为“上加下减”.
当k>0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=ax2+k；
当k<0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=ax2+k.
3.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质：左加右减.
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h，0)
x=h
x>h时，y随x的增大而增大；xa<0
向下
(h，0)
x=h
x>h时，y随的增大而减小；x总结:
二次函数y=a(x-h)2图象与二次函数y=ax2图象的关系，简记为“左加右减”
当h>0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=a(x-h)2;
当h<0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=a(x-h)2.
4.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h，k)
x=h
x>h时，y随x的增大而增大；xa<0
向下
(h，k)
x=h
x>h时，y随x的增大而减小；x总结:
二次函数y=a(x-h)2+k图象与二次函数y=ax2图象的关系
把抛物线y=ax2向上(下)、向右(左)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
1.
平移步骤：
⑴
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.
平移规律:
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.
概括成八个字:“左加右减，上加下减”.
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点1:二次函数y=ax2+bx+c图象的特征
?①图象是_______;②对称轴是直线_______;③顶点是_______.
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是最低点.
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是最高点.
知识点2:二次函数y=ax2+bx+c图象的性质
从二次函数y=ax2+bx+c图象可知:
①如果a>0，当_______时，y随x的增大而减小，当_______时，y随x的增大而增大;
②如果a<0，当_______时，y随x的增大而增大，当_______时，y随x的增大而减小.
知识点3:
二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x-h)2+k的关系
1.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)2+k，
即：y=ax2+bx+c
=a()
=a
=a
二次函数的图象是一条关于直线x=-对称的抛物线，它的顶点是（）.
b)
增减性：a＞0，开口向上，当x＜-时，y随着x的增大而减小，当x＞-时，y随着x的增大而增大；a＜0，开口向下，当x＜-时，y随着x的增大而增大，当x＞-时，y随着x的增大而减小；
c)
最值：a＞0，开口向上，抛物线有最小值，当x=-时，y最小=；a＜0，开口向下，抛物线有最大值，当x=-时，y最大=
（3）抛物线的运动变换
a)平移：平移
左右平移变化x，左加右减，上下平移变化y，上加下减
b)轴对称：y=ax2+bx+c关于x轴对称
y=－ax2－bx－c；
y=ax2+bx+c关于y轴对称
y=
ax2－bx+c
c)中心对称：y=ax2+bx+c关于x轴对称
y=－ax2＋bx－c
d)顶点对称：顶点不变，a相反，y=-a(x-h)2+k
顶点式：或y=a
【经典例题1】已知抛物线
y=x2-（k+2）x+9
的顶点在坐标轴上，则
k的值为
．
【解析】当抛物线y=x2-（k+2）x+9
的顶点在x轴上时，△=0，即△=(k+2)2?4×9=0，
解得k=4或k=?8；
当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=?=?=0，解得k=?2.
故答案为：4，?8，?2.
练习1-1一抛物线的形状、开口方向与y=相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
练习1-2二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标为（-3，1），则b=
，c=
.
练习1-3已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=?t2+24t+1．则下列说法中正确的是（
）
A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24s火箭落于地面
C.点火后10s的升空高度为139m
D.火箭升空的最大高度为145m
练习1-4在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是(
)
A.?y的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2
C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
平移类
【经典例题2】将抛物线y
x2
-6x5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是
.
【解析】y
x2
-6x5=(x-3)2-4，上移2个单位长度后变成y=(x-3)2-2，右平移1个单位长度后变成y=(x-4)2-2.
【变式】已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
练习2-1(2019·西藏中考)把函数y＝－x2的图象经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－(x－1)2＋1的图象( )
A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位
练习2-2(2019·广西百色中考)抛物线y＝x2＋6x＋7是由抛物线y＝x2如何平移得到的( )A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
练习2-3（2018?绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A.?(?3，?6)
B.?(?3，0)
C.?(?3，?5)
D.?(?3，?1)
练习2-4（2019?淄博）将二次函数y=x2?4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是(
)
A.?a>3
B.?a<3
C.?a>5
D.?a<5
练习2-5（2019?绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x?3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x?5)，则这个变换可以是(
)
A.
向左平移2个单位
B.
向右平移2个单位
C.
向左平移8个单位
D.
向右平移8个单位
练习2-6（2019?玉林）已知抛物线C:y=?1，顶点为D，将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1=60°，则m等于(
)
A.?±4
B.?±2
C.??2或2
D.??4或4
练习2-7（2019?资阳）如图是函数y=x2?2x-3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（?
?）
A.m≥1
B.m≤0
C.?0≤m≤1
D.?m≥1或m≤0
翻折类
【经典例题3】将抛物线y=x2?2x-3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为
A.y=-x2+2x+3
B.y=-x2?2x-3
C.y=x2+2x-3
D.y=x2?2x+3
【解析】A
练习3-1如图，将抛物线y=﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象.则新图象与直线y=﹣5的交点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
练习3-2某班“数学兴趣小组”对函数y=x2?2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
...
-3
-
-2
-1
0
1
2
3
...
y
...
3
m
-1
0
-1
0
3
...
其中，m=___.
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分。
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质。
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有___个交点，所以对应的方程x2?2|x|=0有___个实数根；
②方程x2?2|x|=2有___个实数根；
③关于x的方程x2?2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是___.
比较大小
【经典例题4】若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( B )
A.y1＞y2＞y3
B.y1＞y3＞y2
C.y2＞y1＞y3
D.y3＞y1＞y2
练习4-1已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）.若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（
）
A.y1B.y2C.y3D.y1练习4-2[2017·衡阳]
已知函数
y=-(x-1)2图象上两点
A(2，y1)，B(a，y2)，其中
a>2，则
y1与
y2的大小关系是
y1
y2(填“<”“>”或“=”).
练习4-3已知二次函数
y=-(x-1)2+2，当
t时，y
随
x
的增大而减小，则实数
t的取值范围
.
知识点四、二次函数与一元二次方程及不等式
知识点1:二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与_____轴交点的___________是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
知识点2:
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等式
从形上：?
不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c图象位于x轴___方的所有点的横坐标；
不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c图象位于x轴___方的所有点的横坐标.
从数上：
当二次函数y=ax2+bx+c<0(a≠0)的函数值______时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c>0的解集；
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值______时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c<0的解集.
【经典例题5】如图，抛物线y
ax
2c与直线y
mxn交于A(-1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2mxcn的解集是
.
【解析】∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(?1，p)，B(3，q)两点，
∴?m+n=p，3m+n=q，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=?mx+n交于P(1，p)，Q(?3，q)两点，
观察函数图象可知：当x1时，直线y=?mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方，
∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x1.
故答案为：x1.
练习5-1下图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______.
练习5-2如图，已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=?1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线l上的点，且?1.
考点：二次函数与一元二次方程；判别式
【经典例题6】已知二次函数y=x2-x+的图象与x轴有交点，则m的取值范围是(
)
【解析】根据≥0，得m≤
练习6-1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，－3.2)及部分图象(如图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3
和x2＝( )
A.－1.3
B.－2.3
C.－0.3
D.－3.3
练习6-2(2019·山东淄博中考)将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是( )
A.a＞3
B.a＜3
C.a＞5
D.a＜5
练习6-3(2019·广西梧州中考)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )
A.x1＜－1＜2＜x2
B.－1＜x1＜2＜x2
C.－1＜x1＜x2＜2
D.x1＜－1＜x2＜2
练习6-4若直线y=x-n与抛物线y
=
x2-x-n的交点在x轴上，则n的取值一定为
（
）
A.0
B.2
C.0或2
D.任意实数
练习6-5已知函数的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为_____.
判断函数图象
【经典例题7】在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( C )
练习7-1（2019?青岛）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
)
练习7-2（2019?深圳）已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则y=ax+b和y=的图象为(
)
练习7-3在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（
）
练习7-4在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是(
)
练习7-5(2019·攀枝花)在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是(
)
练习7-6一次函数
y=ax+b
与反比例函数
y=的图象如图所示，则二次函数
y=ax2+bx+c
的大致图象是(
)
练习7-7（2019?新泰市二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
练习7-8（大庆模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【经典例题8】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
则点(b，)在第
四
象限.
练习8-1如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=ax?bc的图象不经过
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
练习8-2二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点（）在直角坐标系中的(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
练习8-3已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
练习8-4如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是(
)
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
练习8-5已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且，，则P，Q的大小关系是(
)
练习8-6如图，一段抛物线：y:-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；...，如此进行下去，直到得到C6，若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m=
.
参考答案
【解析】练习1-1C
练习1-2b=6，c=10.
练习1-3D
练习1-4C
平移类
变式B、
练习2-1C
练习2-2A
练习2-3B
练习2-4D
练习2-5B
练习2-6A
练习2-7C
翻折类
练习3-1
D
练习3-2
(1)0
(2)图略
(3)①函数的图象关于y轴对称；②当x>1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）(4)3，3，2，-1比较大小【解析】练习4-1B、练习4-2
>、练习4-3
1≤t<5
解析】练习5-1
-2≤x≤1
练习5-2
y3＞y1＞y2
【解析】练习6-1D
练习6-2D
练习6-3A
练习6-4C
练习6-5
0练习7-1C
练习7-2C
练习7-3D
练习7-4D
练习7-5C
练习7-6A
练习7-7C
练习7-8C
练习8-1D
练习8-2C
练习8-3C
练习8-4C
练习8-5
P>Q
练习8-6
∵y=?x(x?2)(0?x?2)，
∴配方可得y=?(x?1)2+1(0?x?2)，
∴顶点坐标为(1，1)，
∴A1坐标为(2，0)
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为(3，?1)，A2(4，0)；
照此类推可得，C3顶点坐标为(5，1)，A3(6，0)；
C4顶点坐标为(7，?1)，A4(8，0)；
C5顶点坐标为(9，1)，A5(10，0)；
C6顶点坐标为(11，?1)，A6(12，0)；
∴m=?1.
故选B.二次函数与胡不归问题
题型特点：①PA+k?PB型线段和最小值(k=、、、或其它)
②动点在直线上以不同的速度运动、
解题方法：利用锐角三角函数或三角形相似转化线段长
【经典例题1——k=】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(?1，0)，B(4，0)、C(0，)，其中对称轴与x轴交于点E.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，若P为y轴上的一个动点，连接PE，求PC+PE的最小值；
【解析】(1)将A，B，C的坐标代入函数解析式，得
a?b+c=0；16a+4b+c=0；c=，
解得a=?；b=；c=，
此二次函数的表达式y=?x2+x+，
(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PC+PE最小。
理由：∵OA=1，OC=，
∴tan∠ACO=OA/OC=，∴∠ACO=30°，
∴PH=PC，
∴PC+PE=PH+EP=EH，
∴此时PC+PE最短(垂线段最短).
A.
B关于E点对称，得E点坐标为(，0)
在RT△ADH中，∵∠AHE=90°，AE=?(?1)=，∠HAE=60°，
∴sin60°=HE/AE，
∴HE=AE?sin60°=×=
∴PC+PE的最小值为.
【经典例题变式】在平面直角坐标系中，抛物线y=?x2+bx+c经过点A，B，C，已知A(?1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由。
【解析】(1)y=?x2+bx+c经过点C，则c=3，
将点A的坐标代入抛物线表达式：y=?x2+bx+3并解得：b=2，
抛物线的表达式为：y=?x2+2x+3；
(2)存在，理由：
令y=0，则x=?1或3，故点B(3，0)，
将点B.
C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y=?x+3，
设点D(x，?x2+2x+3)，则点P(x，?x+3)，
则PD=(?x2+2x+3)?(?x+3)=?x2+3x，
当x=时，PD最大值为：；
(3)过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，
直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y=?x+3，
当x=1时，y=3?，当y=0时，x=，
故点N、M的坐标分别为：(1，3?)、(，0)，
CN+MN+MB的最小值=CH=CM+FH=.
练习1-1如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(?1，0)，B(0，?)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为___；
练习1-2如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．
（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．
练习1-3已知抛物线y=x2-4x+3过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC=3．若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由
【经典例题2——k=、】二次函数y=ax2?2x+c的图象与x轴交于A.
C两点，点C(3，0)，与y轴交于点B(0，?3).
(1)a=___，c=___；
(2)如图1，P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；
(3)如图2，点M在抛物线上，若S△MBC=3，求点M的坐标。
【解析】(1)把C(3，0)，B(0，?3)代入y=ax2?2x+c
得到，c=?3；9a?6+c=0，解得a=1；c=?3.
故答案为1，?3.
(2)如图1中，作PH⊥BC于H.
∵OB=OC=3，∠BOC=90?，
∴∠PCH=45?，
在Rt△PCH中，PH=PC.
∵DP+PC=(PD+PC)=(PD+PH)，
根据垂线段最短可知，当D.
P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，
在Rt△DH′B中，∵BD=4，∠DBH′=45?，
∴DH′=BD=2，
∴DP+PC的最小值为?2=4.
(3)如图2中，取点E(1，0)，作EG⊥BC于G，易知EG=.
∵S△EBC=?BC?EG=?3?=3，
∴过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则S△BCM1=3，S△BCM2=3，
∵直线BC的解析式为y=x?3，
∴直线M1M2的解析式为y=x?1，
由y=x?1；y=x2?2x?3解得x=；y=或x=；y=，
∴M1(，)，M2(，)，
根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，
易知直线M3M4的解析式为y=x?5，
由y=x?5；y=x2?2x?3解得x=1；y=?4或x=2；y=?3，
∴M3(1.?4)，M4(2，?3)，
综上所述，满足条件的点M的坐标为
∴M1(，)，M2(，)，M3(1.?4)，M4(2，?3).
练习2-1(2020·青白江区模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．
练习2-2如图1，二次函数y=x2?2x+1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为(0，1)，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO:S四边形AONB=1:48.
(1)求直线AB和直线BC的解析式；
(2)点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F.
当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H(不与点A，点B重合)，使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；
【经典例题3——k=其它】(2019·恩施州)如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．
（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．
（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题可列方程组：，解得：
∴抛物线解析式为：y=x2?x?2；
(2)由题，∠AOC=90°，AC=，AB=4，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y=?2x?2；
当△AOC∽△AEB时
S△AOC/S△AEB=(AC/AB)2=()2=，
∵S△AOC=1，∴S△AEB=，
∴AB×|yE|=，AB=4，则yE=?，
则点E(?，?)；
由△AOC∽△AEB得：AO/AC=AE/AB=
∴AEAB=；
(3)如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，
则FG=CFsin∠FCG=CF，
∴CF+BF=GF+BF?BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由(2)可知∠ABE=∠ACO
∴BE=ABcos∠ABE=ABcos∠ACO=4×=，
|y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×=，
∴当y=?时，即点F(0，?)，CF+BF有最小值为；
(4)①当点Q为直角顶点时(如图3):
由(3)易得F(0，?)，
∵C(0，?2)∴H(0，2)
设Q(1，m)，过点Q作QM⊥y轴于点M.
则Rt△QHM∽Rt△FQM
∴QM2=HM?FM，
∴12=(2?m)(m+)，
解得：m=，
则点Q(1，)或(1，)
当点H为直角顶点时：
点H(0，2)，则点Q(1，2)；
当点F为直角顶点时：
同理可得：点Q(1，?)；
综上，点Q的坐标为：(1，)或(1，)或Q(1，2)或Q(1，?).
练习3-1如图，二次函数y=x2?x?4的图象与x轴交于A.
B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为___.
【经典例题4】如图，抛物线y=x2+bx+c经过B(?1，0)，D(?2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
(2)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少?
【解析】（1）把B（-1，0），D（-2，5）代入y=x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）存在点P，使∠APB=90°．
当y=0时，即x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3，
∴OB=1，OA=3．
设P（m，m2-2m-3），则-1≤m≤3，PH=-（m2-2m-3），BH=1+m，AH=3-m，
∵∠APB=90°，PH⊥AB，
∴∠PAH=∠BPH=90°-∠APH，∠AHP=∠PHB，
∴△AHP∽△PHB，
∴PH/BH=AH/PH，
∴PH2=BH?AH，
∴[-（m2-2m-3）]2=（1+m）（3-m），
解得m1=1+，m2=1-，
∴点P的横坐标为：1+或1-；
（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，
∴tan∠DAB=DN/AN=1，
∴∠DAB=45°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ=QG．
由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+DQ，
∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．
由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点B作BH⊥DK于点H，则t最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．
∵A（3，0），D（-2，5），
∴直线AD的解析式为：y=-x+3，
∵B点横坐标为-1，
∴y=1+3=4，
∴Q（-1，4）．
练习4-1已知抛物线y=a(x+3)(x?1)(a≠0)，与x轴从左至右依次相交于A.
B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=?x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
(2)若在(1)的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少?
练习4-2如图，已知抛物线(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=?x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为?5，求抛物线的函数表达式；
(2)若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?
(4)设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值.
练习4-3如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=?x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A(0，3)，C(3，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)求tan∠BAC的值；
(3)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少?
参考答案
练习1-1
【解析】(1)由题意解得，
∴抛物线解析式为y=x2?x?，
∵y=x2?x?=(x?)2?，
∴顶点坐标(，?).
(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PB+PD最小。
理由：∵OA=1，OB=，
∴tan∠ABO=OAOB=，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+OD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短(垂线段最短).
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=DH/AD，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为.
故答案为.
练习1-2
【解析】如图1，
当x＝0时，y＝3．
当y＝0时，．
∴，，
∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且
设D（a，），则E（）
∴DE＝a﹣
∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAB＝∠CAB＝30°，
∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，
∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，
∵PQ⊥BC，
∴PQB＝60°，∴AQ＝PQ，
∴＝，
将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．
当Q运动到Q′时，有＝DM，
过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，
DN＝Dy＝，AN＝
∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝
∴Q′M＝，
∴DM＝DQ′+Q′M＝
＝DM＝．
练习1-3点Q（0，）
点H（）、A（1，0）
则AH=，即AQ-QC的最小值为
练习2-1【解析】（1）OA=3OB=3，则点B（-1，0），
抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
即-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）过点M作MN⊥AC，则MN=CM，
故当B、M、N三点共线时，BM+CM=BN最小，
直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA=45°，
即BN=AB==AN，
则点N（1，2），
由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y=x+1，
故点M（0，1）．
练习2-2【解析】(1)∵点C是二次函数y=x2?2x+1图象的顶点，
∴C(2，?1)，
∵PE⊥x轴，BN⊥x轴，
∴△MAO∽△MBN，
∵S△AMO:S四边形AONB=1:48，∴S△AMO:S△BMN=1:49，
∴OA:BN=1:7，
∵OA=1∴BN=7，
把y=7代入二次函数解析式y=x2?2x+1中，可得7=x2?2x+1，
∴x1=?2(舍)，x2=6
∴B(6，7)，
∵A的坐标为(0，1)，
∴直线AB解析式为y=x+1，
∵C(2，?1)，B(6，7)，
∴直线BC解析式为y=2x?5.
(2)如图1，
设点P(x0，x0+1)，
∴D(，x0+1)，
∴PE=x0+1，PD=3?x0，
∵△PDF∽△BGN，
∴PF:PD的值固定，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
PE×PD=(x0+1)(3?x0)=?x2+x0+3，
∴当x0=时，PE×PD最大，
即：PE×PF最大。此时G(5，)
∵△MNB是等腰直角三角形，
过B作x轴的平行线，
∴BH=B1H，
GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，
∴当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，
此时H(5，6)，最小值为7?=.
练习3-1【解析】连接AC
y=x2?x?4与x轴交点A(?3，0)、B(5，0)，点C(0，?4)，
∴sin∠ACO=，
作点D关于y轴的对称点D′，作点A关于y轴的对称点A′，过点D′作D′E⊥CA′交于点E，则D′E为所求；
由对称性可知，∠ACO=∠OCA′，
∴sin∠OCA′=，
∴PC=PE，
再由D′P=DP，
∴PC+PD的最小值为D′E，
∵A′(3，0)，D′(?1，0)，
∴A′D′=4，CO=4，A′O=3，
∴CA′=5，
∴
∴D′E=；
故答案为；
练习4-1【解析】(1)∵y=a(x+3)(x?1)，
∴点A的坐标为(?3，0)、点B两的坐标为(1，0)，
∵直线y=?x+b经过点A，
∴b=?3，∴y=?x?3，
当x=2时，y=?5，
则点D的坐标为(2，?5)，
∵点D在抛物线上，∴a(2+3)(2?1)=?5，
解得，a=?，
则抛物线的解析式为y=?(x+3)(x?1)=?x2?2x+3；
(3)如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN=，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE=EF，
∴Q的运动时间t=+=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，此时点E坐标(1，?4).
练习4-2【解析】(1)抛物线y=x2?x?k，
令y=0，解得x=?2或x=4，
∴A(?2，0)，B(4，0).
∵直线y=?x+b经过点B(4，0)，
∴?×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：y=?x+.
当x=?5时，y=3，
∴D(?5，3).
∵点D(?5，3)在抛物线y=(x+2)(x?4)上，
∴(?5+2)(?5?4)=3，
∴k=.
∴抛物线的函数表达式为：y=(x+2)(x?4).
即y=x2?x?；
(2)由抛物线解析式，令x=0，得y=?k，
∴C(0，?k)，OC=k.
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角。
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2?1所示。
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y.
tan∠BAC=tan∠PAB，即：，
∴y=x+k.
∴P(x，x+k)，代入抛物线解析式y=(x+2)(x?4)，
得(x+2)(x?4)=x+k，整理得：x2?6x?16=0，
解得：x=8或x=?2(与点A重合，舍去)，
∴P(8，5k).
∵△ABC∽△APB，
∴AC/AB=AB/AP，即，
解得：k=；
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2?2所示。
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y.
tan∠ABC=tan∠PAB，即：，
∴y=x+.
∴P(x，x+)，代入抛物线解析式y=(x+2)(x?4)，
得(x+2)(x?4)=x+，整理得：x2?4x?12=0，
解得：x=6或x=?2(与点A重合，舍去)，
∴P(6，2k).
∵△ABC∽△PAB，
AB/AP=CB/AB，∴，
解得k=±，
∵k>0，
∴k=，
综上所述，k=或k=.
(3)如答图3，由(1)知：D(?5，3)，
如答图2?2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA=DNBN==，
∴∠DBA=30°.
过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°.
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF.
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值。
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段。
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点。
∵A点横坐标为?2，直线BD解析式为：y=?x+，
∴y=?×(?2)+=2，
∴F(?2，2).
综上所述，当点F坐标为(?2，2)时，点M在整个运动过程中用时最少。
(4)如图所示，过点D作DM平行于x轴，作FH⊥DM于H，
2AF+DF=2（AF+HF）取最小值2×36=
练习4-3【解析】(Ⅰ)把A(0，3)，C(3，0)代入y=x2+mx+n，得
×9+3m+n=0；n=3.
解得m=?；n=3.
∴抛物线的解析式为y=x2?x+3.
(2)联立y=?+3；y=x2?x+3，
解得：x=0；y=3(不符合题意，舍)，x=4；y=1，
∴点B的坐标为(4，1).
过点B作BH⊥x轴于H，如图1。
∵C(3，0)，B(4，1)，
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4?3=1，
∴BH=CH=1.
∵∠BHC=90°，
∴∠BCH=45°，BC=.
同理：∠ACO=45°，AC=3，
∴∠ACB=180°?45°?45°=90°，
∴tan∠BAC===；
(3)过点E作EN⊥y轴于N，如图2。
在Rt△ANE中，EN=AE?sin45°=AE，即AE=EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为=DE+EN.
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，
∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN.
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E.
N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小。
此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC.
对于y=x2?x+3，当y=0时，有x2?x+3=0，
解得：x1=2，x2=3.
∴D(2，0)，OD=2，
∴ON=DC=OC?OD=3?2=1，
∴NE=AN=AO?ON=3?1=2，
∴点E的坐标为(2，1).本专题包含三种面积的计算：三角形面积、四边形面积和其它面积
三角形面积的计算思想：
（1）割补法；（2）转化法；（3）铅锤法；
与二次函数结合起来考最值问题时，还用到：（1）切线法；（2）三角函数法，
求面积比时分三种情况：
（1）同底不等高，面积比等于高之比；
（2）等高不等底，面积比等于底之比；
（3）相似，面积比等于相似比的平方.
在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法
1.如图，过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．
其中，两点坐标可以通过或的直线方程以及或点坐标得到．
2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．
.
所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．
3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．
如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与平行，则可以快速求解．
类型一：三角形面积
【经典例题1】例如图1，抛物线在抛物线的第二象限上是否存在一点D，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标.
解法一：补形、割形法
方法一：见图
方法二：见图，
解法二：铅锤定理：“铅垂高，水平宽”面积法
过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽(a)”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC=，即三角形面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半.
根据上述方法，见图，三角形面积计算如下：
解法三：切线法
若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大。过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点（即点P）时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大。于是，得到切线法。过点C向直线作垂线，此高与MC存在一定关系。（平移）
解：求直线BC解析式，假设直线l解析式:y=x+b，
解法四：三角函数法，见图
练习1-1.如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点的坐标是（4，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标。
练习1-2.如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+4(a<0)经过点B．
(1)求a的值，并写出抛物线的表达式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
练习1-3.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)．C(0，3)，点M是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值并求出这个最值.
练习1-4.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x?1与抛物线y=?x2+bx+c交于A.
B两点，其中A(m，0)、B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；
(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A.
D重合)，分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
练习1-5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A.
C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。
练习1-6.(2019深圳)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，点C(0，3)，且OB＝OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．
类型二：四边形面积
【经典例题2】已知抛物线y=ax2+bx-4
经过点A(2，0)，B(-4，0)，抛物线与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.
(3)如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx?4经过点A(?2，0)，B(4，0)，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2+x?4；
(2)如图1，连接OP，设点P(x，x2+x?4)，其中?4∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=×2×4+×4×(?x)+×4×(?x2?x+4)=4?2x?x2?2x+8，=?x2?4x+12，=?(x+2)2+16.
∵?1<0，开口向下，S有最大值，
∴当x=?2时，四边形ABPC的面积最大，
此时，y=?4，即P(?2，?4).
因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(?2，?4).
(3)y=x2+x?4=(x+1)2?，
∴顶点M(?1，?).
如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小。
设直线AM的解析式为y=kx+b，且过点A(2，0)，M(?1，?)，
∴，
∴直线AM的解析式为y=x?3.
在Rt△AOC中，AC=.
∵D为AC的中点，
∴AD=AC=，
∵△ADE∽△AOC，
∴AD/AO=AE/AC，
∴=，
∴AE=5，
∴OE=AE?AO=5?2=3，
∴E(?3，0)，
由图可知D(1，?2)
设直线DE的函数解析式为y=mx+n，
∴，解得：，
∴直线DE的解析式为y=?x?.
∴，解得：，
∴G(，?).
【经典例题变式】如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示)．
①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4），
故可设其关系式为y=a（x-2）2+4（1分）
又∵抛物线经过O（0，0），
∴得a（0-2）2+4=0，（2分）
解得a=-1（3分）
∴所求函数关系式为y=-（x-2）2+4，
即y=-x2+4x．（4分）
（2）①点P不在直线ME上．（5分）
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0），
又M的坐标为（2，4），
设直线ME的关系式为y=kx+b．
于是得4k+b=0，2k+b=4，
解得k=-2，b=8
所以直线ME的关系式为y=-2x+8．（6分）
由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，
∴P（，）（7分）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8．
∴当t=时，点P不在直线ME上．（8分）
②S存在最大值．理由如下：（9分）
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t．
∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t）
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t2+3t（10分）
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S=DC?AD=×3×2=3．（11分）
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）?AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3=-（t-）2+，其中（0综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为
．（13分）
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合。
练习2-1.已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
(2)如图①，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
练习2-2.如图，抛物线x2+mx+n
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E时线段
BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，
当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
练习2-3.如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．
练习2-4.如图，已知抛物线y=-ax2+bx+c的图像经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
(1)
求抛物线的解析式；
(2)如图1，动点P在直线BC下方的抛物线上，连结PO，PC当m为何值时，四边形OPCE面积最大并求出其最大值；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点连接PO，PF，OF在抛物线x轴下方的图
上是否存在点P使△PDF满足:①∠OPF=90°，②tan∠POF=？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
类型三：其它面积最值问题
【经典例题3】如图，已知二次函数的图像经过点三点.
求该二次函数的解析式；
点D是该二次函数图像上的一点，且满足(O是坐标原点），求点D的坐标；
点P是该二次函数图像上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S2-S1的最大值.
【解析】(1)由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=?x2+x+2；
(2)当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C.
D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D(3，2)；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C(0，2)，
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A(?1，0)代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B(4，0)代入可求得m=?8，
∴直线BD解析式为y=2x?8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，
∴D(?5，?18)；
综上可知满足条件的点D的坐标为(3，2)或(?5，?18)；
(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，
设P(t，?t2+t+2)，
由B.
C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=?x+2，
∴H(t，?t+2)，
∴PH=yP?yH=?t2+t+2?(?t+2)=?t2+2t，
设直线AP的解析式为y=px+q，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=(?t+2)(x+1)，令x=0可得y=2?t，
∴F(0，2?t)，
∴CF=2?(2?t)=t，
联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，
∴S1=PH(xB?xE)=(?t2+2t)(5?)，S2=?t2?，
∴S1?S2=(?t2+2t)(5?)???=?t2+5t=?(t?)2+，
∴当t=时，有S1?S2有最大值，最大值为.
练习3-1.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，1)，二次函数y=x2的图象记为抛物线b1。
(1)平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过点A，但不经过点B.
写出平移后的一个抛物线的函数关系式：
?(任写一个即可)；
(2)平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过A，B两点，记为抛物线b2，如图2.求抛物线b2的函数关系式；
(3)设抛物线b2的顶点为C，k为y轴上一点.若S△ABK=S△ABC，如图3，求点K的坐标。
练习3-2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标。
练习3-3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6。
（1）求抛物线的解析式。
点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
练习3-4.如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示)．
①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
练习1-1.【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1，0)，点C(4，3)，
∴，解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2?4x+3；
(2)如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立，
消掉y得，x2?5x+3?m=0，
△=(?5)2?4×1×(3?m)=0，
解得：m=，
即m=时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=，y==，
∴点E的坐标为(，)，
设过点E的直线与x轴交点为F，则F(，0)，
∴AF=?1=，
∵直线AC的解析式为y=x?1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF?sin45°=×=，
又∵AC=，
∴△ACE的最大面积=××=，此时E点坐标为(，).
练习1-2.【解析】(1)令x=0代入y=?3x+3，
∴y=3，
∴B(0，3)，
把B(0，3)代入y=ax2?2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=?1，
∴二次函数解析式为：y=?x2+2x+3；
(2)令y=0代入y=?x2+2x+3，
∴0=?x2+2x+3，
∴x=?1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为?1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0令y=0代入y=?3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为(1，0)，
由题意知：M的坐标为(m，?m2+2m+3)，
S=S四边形OAMB?S△AOB=S△OBM+S△OAM?S△AOB=×m×3+×1×(?m2+2m+3)?×1×3=?(m?)2+
∴当m=时，S取得最大值.
练习1-3.
【解析】(1)把B(3，0)，C(0，3)代入y=?x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y=?x2+2x+3；
(2)S有最大值。理由如下：
∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，
∴M(1，4)，
设直线BM的解析式为y=kx+n，
把B(3，0)，M(1，4)代入得，
∴直线BM的解析式为y=?2x+6，
∵OD=m，
∴P(m，?2m+6)(1?m<3)，
∴S=?m?(?2m+6)=?m2+3m=?(m?)2+，
∵1?m<3，
∴当m=时，S有最大值，最大值为；
(3)存在。
∠PDC不可能为90°；
当∠DPC=90°时，则PD=OC=3，即?2m+6=3，解得m=，此时P点坐标为(，3)，
当∠PCD=90°时，则PC2+CD2=PD2，即m2+(?2m+3)2+32+m2=(?2m+6)2，
整理得m2+6m?9=0，解得m1=?3?3(舍去)，m2=?3+3，
当m=?3+3时，y=?2m+6=6?6+6=12?6，此时P点坐标为(?3+3，12?6)，
综上所述，当P点坐标为(，3)或(?3+3，12?6)时，△PCD为直角三角形。
练习1-4.
【解析】(1)把点A(m，0)、点B(4，n)代入y=x?1中，得m=1，n=3.
∴A(1，0)，B(4，3)
∵y=?x2?bx+c过点A.
点B，所以
解得，
∴y=?x2+6x?5.
(2)如图2，∵△APM和△DPN为等腰直角三角形，
∴∠APM=∠DPN=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形。
令?x2+6x?5=0，解得
x=1或5，
∴D(5，0)，AD=4.
设AP=m，则DP=4?m，
∴PM=m，PN=(4?m)，
∴S△MPN=×PM×PN=×m×(4?m)
=?(m?2)2+1.
∴当m=2，即AP=2时，△MPN的面积最大，此时OP=3，
∴P(3，0).
练习1-5.
【解析】(1)根据题意得A(?4，0)，C(0，2)，
∵抛物线y=x2+bx+c经过A.
C两点，
∴，
∴b=，c=2，∴y=x2x+2；
(2)①如图1，令y=0，
∴x2x+2=0，
∴x1=?4，x2=1，
∴B(1，0)，
过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S1:S2=DE:BE=DM:BN，
设D(a，a2a+2)，
∴M(a，a+2)，
∵B(1.0)，
∴N(1，)，
∴S1:S2M:BN=(a2?2a):=?(a+2)2+
∴当a=?2时，S1:S2的最大值是；
②∵A(?4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴AC=2，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
∴P(?，0)，
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图2，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即RC:DR=，
令D(a，?a2?a+2)，
∴DR=?a，RC=?a2?a，
∴(?a2?a):(?a)=1:2，
∴a1=0(舍去)，a2=?2，
∴xD=?2，
情况二：∴∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC=，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC=3k:FG=1:2，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3k
∴RC=k，RG=k，
DR=DG?RG=k，
∴DR:RC=(k):(k)=(?a):(?a2?a)，
∴a1=0(舍去)，a2=，
综上所述：点D的横坐标为?2或.
练习1-6.
【解析】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
类型二：四边形面积
练习2-1.
【解析】(1)∵抛物线的对称轴是直线x=3，
∴，解得a=?，
∴抛物线的解析式为：y=?x2+x+4.
当y=0时，?x2+x+4=0，解得x1=?2，x2=8，
∴点A的坐标为(?2，0)，点B的坐标为(8，0).
答：抛物线的解析式为：y=?x2+x+4;点A的坐标为(?2，0)，点B的坐标为(8，0).
(2)当x=0时，y=?x2+x+4=4，
∴点C的坐标为(0，4).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将B(8，0)，C(0，4)代入y=kx+b得
，解得，
∴直线BC的解析式为y=?x+4.
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为(x，?x2+x+4)，如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x，?x+4)，
则PD=?x2+x+4?(?x+4)=?x2+2x，
∴S四边形PBOC=S△BOC+S△PBC=×8×4+PD?OB=16+×8(?x2+2x)=?x2+8x+16=?(x?4)2+32
∴当x=4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0∴存在点P(4，6)，使得四边形PBOC的面积最大。
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大;点P的坐标为(4，6)，四边形PBOC面积的最大值为32.
(3)设点M的坐标为(m，?m2+m+4)则点N的坐标为(m，?m+4)，
∴MN=|?m2+m+4?(?m+4)|=|?m2+2m|，
又∵MN=3，
∴|?m2+2m|=3，
当0∴点M的坐标为(2，6)或(6，4)；
当m<0或m>8时，?m2+2m+3=0，解得m3=4?2，m4=4+2，
∴点M的坐标为(4?2，?1)或(4+2，??1).
答：点M的坐标为(2，6)、(6，4)、(4?2，?1)或(4+2，??1).
练习2-2.
【解析】(1)∵A(?1，0)，C(0，2)在抛物线y=?x2+mx+n上，
∴解得∴，
∴抛物线解析式为y=?x2+x?2.
(2)令y=0，则?x2+x?2=0，解得x=4或?1，
∴点B坐标(4，0)，
设直线BC为y=kx+b，则，解得，
∴直线BC解析式为y=?x+2，
设出点E的横坐标为a
∴EF=Ey?Fy=?a2+2a(0?a?4)，
∴S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD×OC+EF×CM+EF×BN=××2+×(?a2+2a)×4=?a2+4a+=?(a?2)2+.
∴a=2时，四边形CDBF面积最大，此时点E坐标(2，1).
∴此时点E是BC中点，
∴当点E运动到BC中点时，四边形CDBF面积最大，最大面积为，此时点E坐标(2，1).
练习2-3.【解析】(1)设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A(?1，1)，B(3，3)代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y=x+，
当x=0时，y=x+=，
所以E点坐标为(0，)；
(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A(?1，1)，B(3，3)，O(0，0)代入得，解得，
所以抛物线解析式为y=x2?x；
(3)如图1，作NG∥y轴交OB于G，如图，直线OB的解析式为y=x，
设N(m，m2?m)(0S△AOB=S△AOE+S△BOE=×1×+××3=3，
S△BON=S△ONG+S△BNG=?3?(?m2+m)=?m2+94，
所以S四边形ABNO=S△BON+S△AOB=?m2++3=?(m?)2+
当m=32时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为，此时N点坐标为(，)；
(4)设直线NE的解析式为y=px+q，直线EN交x轴于H，直线PA交OB于Q，如图2，
把E(0，)，N(，)代入得，解得，
所以直线NE的解析式为y=?x+，
当y=0时，?x+=0，解得x=2，则H(2，0)，
∵A(?1，1)，B(3，3)，
∴∠AOE=45°，∠BOE=45°，
∴∠AOB=90°，
∵∠PAO=∠NEO，
∴Rt△AOQ∽Rt△EOH，
∴OA:OE=OQ:OH，即:=OQ:2，解得OQ=，
∴Q(，)，
∴直线AQ的解析式为y=x+，
解方程组得，
∴P点坐标为(，)
练习2-4.
【解析】（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，
设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=×3×3+PG?AE=+×3×（-m2+5m-3），
=-m2+m=-（m-）2+，
∵-<0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，?
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m=（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3，
同理得：2-m=m2-4m+3，
解得：m1=（舍）或m2=，
P的坐标为（，）
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，
同理得m2-4m+3=m-2，
解得：m=或（舍）
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
(3)若点P在对称轴左侧，P(,)
若点P在对称轴右侧，P(,)
综上：点P坐标为(,)或(,)
类型三：其它面积最值问题
练习3-1.
【解析】(1)向上平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过点A，
设平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+b，
∵点A的坐标为(1，2)，
∴2=1+b，
解得：b=1，
∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；
∵点B的坐标为(3，1)，
∴32+1≠1，
∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；
故答案为：y=x2+1.
(2)设∵抛物线b2经过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线b2的函数关系式为：y=x2?x+;?
(3)∵y=x2?x+=(x?)2+，
∴点C的坐标为(，)，
过点C作CG⊥y轴，BF⊥y轴，AE⊥y轴，
∴AE=1，BF=3，CG=，EF=2?1=1，FG=1?=，EG=2?=，
∴S△ABC=S梯形ABFE+S梯形BCGF?S梯形ACGE=(AE+BF)?EF+(CG+BF)?GF?(AE+CG)?EG=，
若K在A点上方，坐标为(0，y)
S△ABK=S△BNK?S△AMK?S梯形ABNM=BN?NK?AM?MK?AM+BN)?MN=×3×(y?1)?×1×(y?2)?×(1+3)×1=
∵S△ABK=S△ABC，
∴=，解得：y=，
则点K(0，)；
同理：若K在A的下方时，则点K(0，)；
∴点K的坐标为(0，)或(0，).
练习3-2.
【解析】方法一：(1)把点A(?2，0)、B(4，0)分别代入y=ax2+bx?3(a≠0)，得
，解得，
所以该抛物线的解析式为：y=x2?x?3;?
(2)设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t.
∴PB=6?3t.
由题意得，点C的坐标为(0，?3).
在Rt△BOC中，BC==5.
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H.
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴HQ/OC=BQ/BC，即，
∴HQ=t.
∴S△PBQ=PB?HQ=(6?3t)?t=?t2+95t=?(t?1)2+.
当△PBQ存在时，0∴当t=1时，
S△PBQ最大=.
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).
把B(4，0)，C(0，?3)代入，得
，解得，
∴直线BC的解析式为y=x?3.
∵点K在抛物线上。
∴设点K的坐标为(m，m2?m?3).
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E.
则点E的坐标为(m，m?3).
∴EK=m?3?(m2?m?3)=?m2+m.
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK:S△PBQ=5:2，S△PBQ=.
∴S△CBK=.
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?(4?m)=×4?EK=2(?m2+m)=?m2+3m，
即：?m2+3m=.
解得m1=1，m2=3.
∴K1(1，)，K2(3，).
方法二：
(1)略。
(2)设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6?3t，
∴点C的坐标为(0，?3)，
∵B(4，0)，∴lBC:y=x?3，
过点Q作QH⊥AB于点H，
∴tan∠HBQ=，∴sin∠HBQ=，
∵BQ=t，∴HQ=t，
∴S△PBQ=PB?HQ=(6?3t)×=?t2+t，
∴当t=1时，S△PBQ最大=.
(3)过点K作KE⊥x轴交BC于点E，
∵S△CBK:S△PBQ=5:2，S△PBQ=，
∴S△CBK=，
设E(m，m?3)，K(m，m2?m?3)，
S△CBK=(EY?KY)(BX?CX)=×4×(m?3?m2+m+3)=?m2+3m，
∴?m2+3m=，
∴m1=1，m2=3，
∴K1(1，?)，K2(3，?).
练习3-3.
【解析】(1)∵OA=2，OB=8，OC=6，
∴根据函数图象得A(?2，0)，B(8，0)，C(0，6)，
根据题意得，解得，
∴抛物线的解析式为y=?x2+x+6；
(2)设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t.
∴MB=10?3t.
由题意得，点C的坐标为(0，6).
在Rt△BOC中，BC=10.
如图，过点N作NH⊥AB于点H.
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴HN/OC=BN/BC，即，
∴HN=t.
∴S△MBN=MB?HN=(10?3t)?t=?t2+3t=?(t?)2+，
当△MBN存在时，0∴当t=时，
S△MBN最大=.
答：运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).
把B(8，0)，C(0，6)代入，得，解得，
∴直线BC的解析式为y=?x+6.
∵点P在抛物线上。
∴设点P的坐标为(m，?m2+m+6)，
如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为(m，?34m+6).
∴EP=?m2+m+6?(?m+6)=?m2+3m，
当△MBN的面积最大时，S△PBC=9
S△MBN=，
∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP?m+?EP?(8?m)=×8?EP=4×(?m2+3m)=?m2+12m，即?m2+12m==.解得m1=3，m2=5，
∴P(3，)或(5，).
练习3-4.抛物线定值问题
【经典例题1—线段之和】如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B.
C两点，交y轴于M点，其中B(?3，0)，M(0，?1).已知AM=BC.
(1)求二次函数的解析式；
(2)证明：在抛物线F上存在点D，使A.
B.
C.
D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
(3)在(2)的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N.
①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；
②若l为满足条件的任意直线。如图2.①中的结论还成立吗?若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。
【解析】(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B(?3，0)，M(0，?1)，
∴9a+×(?3)+c=0；c=?1，
解得a=，c=?1.
∴二次函数的解析式为：y=x2+x?1.
(2)由二次函数的解析式为：y=x2+x?1，
令y=0，得x2+x?1=0，
解得x1=?3，x2=2，∴C(2，0)，∴BC=5；
令x=0，得y=?1，∴M(0，?1)，OM=1.
又AM=BC，∴OA=AM?OM=4，∴A(0，4).
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则yD=x2+x?1=OA=4，
解得x1=5，x2=?6(位于第二象限，舍去)
∴D点坐标为(5，4).
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形。
即在抛物线F上存在点D，使A.
B.
C.
D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B(?3，0)，D(5，4)，
∴?3k+b=0；5k+b=4，
解得：k=，b=，
∴直线BD解析式为：y=x+.
(3)在Rt△AOB中，AB=，又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD，如图1所示。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴==；
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴，
∴AP?CQ=AD?CD=5×5=25.
∴==
【经典例题变式】如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）
∴??
解得：
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4
∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝，cos∠ACO＝
∵AB＝AH，G为BH中点
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG
∵∠PAB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝
∴BG＝AB＝
∴BH＝2BG＝
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝＝，cos∠HBI＝＝
∴HI＝BH＝，BI＝BH＝
∴xH＝﹣3+＝﹣，yH＝﹣，即H（﹣，﹣）
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴??
解得：
∴直线AH：y＝x﹣
∵?解得：（即点A），
∴P（，）
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称
∴H'（﹣，）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴??
解得：（即点A），
∴直线AH'：y＝-x+
∵??
解得：（即点A），
∴P（，）
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
设直线AQ解析式为y＝dx+e
∴??
解得：
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6
设直线BQ解析式为y＝mx+n
∴?
解得：
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
练习1-1如图，抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2，0)，D(0，?1)两点，并与直线y=kx交于A.
B两点，直线l过点E(0，?2)且平行于x轴，过A.
B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求证：AO=AM；
(3)探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数。
练习1-2已知抛物线C1:y1=x2?x+1，点F(1，1).
(I)求抛物线C1的顶点坐标；
(II)①若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：.
②取抛物线C1上任意一点P(xP，yP)(0(III)将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2:y2=(x?h)2，若2练习1-3已知：抛物线y=x2?mx+与抛物线y=x2+mx?m2在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A.
B两点。
(1)试判定哪条抛物线经过A、B两点，并说明理由；
(2)若A、B两点到原点的距离AO、OB满足，求经过A.
B两点的这条抛物线的解析式。
【经典例题2】已知抛物线y=x2?2mx+m2?2m(m>2)，顶点为点M，抛物线与x轴交于A.
B点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)若抛物线经过点(1，1)时，求此时抛物线的解析式；
(2)直线y=2x?1与抛物线交于P、Q两点，若8?PQ?10，请求出m的取值范围；
(3)如图，若直线CM交x轴于点N，请求的值。
【解析】(1)把点(1，1)代入y=x2?2mx+m2?2m(m>2)，得
1?2m+m2?2m=1.
解得m1=0(舍去)，m2=4，
即m=4符合题意，
∴原抛物线解析式为：y=x2?8x+8；
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得：x2?(2m+2)x+m2?2m+1=0，
∴x1+x2=2m+2，x1?x2=m2?2m+1，
∴(x2?x1)2=(x1+x2)2?4x1?x2=16m.
∴(y2?y1)2=(2x1?1?2x2+1)2=4(x2?x1)2=64m.
∴PQ==4.
又∵△=[?(2m+2)]2?4(m2?2m+1)=4>0，即△=4>0.
∴m>0.
由8?PQ?10，得8?4?10，
解得：4?m?；
(3)设A(x1，0)、B(x2，0)，
令x=0，则y=m2?2m，
∴C(0，m2?2m).
由y=x2?2mx+m2?2m得：y=(x?m)2?2m，
∴M(m，?2m)
设直线CM的解析式为：y=kx+b(k≠0)，则
.解得.
∴直线CM的解析式为：y=mx+m2?2m.
∴ON=m?2.
令x2?2mx+m2?2m=0
得x1+x2=2m，x1?x2=m2?2m，
∴AN?NB=(m?2?x1)(x2?m+2)=?(m?2)2+(m?2)(x1+x2)?x1x2=2m?4.
∴.
练习2-1抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，求该抛物线的解析式；
（2）
如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
练习2-2如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90?，AC=BC，点A.
C在x轴上，点B坐标为(3，m)(m>0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B.
D.
(1)求点A的坐标(用m表示)；
(2)求抛物线的解析式；
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值。
练习2-3如图，经过(1，0)和(2，3)两点的抛物线y=ax2+c交x轴于A，B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点(0，-2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，y轴上有点C(0，)连接，设点P到直线l的距离为d．PC=t．小明在探究d-t的值的过程中，是这样思考的：当P
是抛物线的顶点时，计算d-t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d-t是一个定值．请你直接写出d-t的值，并证明小明的猜想．
(3)如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于两M、N点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．
参考答案
练习1-1【解析】(1)∵抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2，0)，D(0，?1)，
∴4a+c=0；c=?1，
解得a=；c=?1，
所以，抛物线的解析式为y=x2?1；
(2)证明：设点A的坐标为(m，m2?1)，
则AO=，
∵直线l过点E(0，?2)且平行于x轴，
∴点M的纵坐标为?2，
∴AM=m2?1?(?2)=m2+1，
∴AO=AM；
(3)①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A.
B在x轴上，
∴AM=BN=0?(?2)=2，
∴=+=1；
②k取任何值时，设点A(x1，?1)，B(x2，?1)，
则==
，
消掉y得，x2?4kx?4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1?x2=?4，
所以，=16k2+8，
，
∴===1
∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1.
练习1-2【解析】(I)∵y1=x2?x+1=(x?1)2+，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，)；
(II)①证明：根据题意得：点A(0，1)，
∵F(1，1)，
∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
∴;
②成立。
理由：
如图，过点P(xp，yp)作PM⊥AB于点M，
则FM=1?xp，PM=1?yp，(0∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF2=FM2+PM2=(1?xp)2+(1?yp)2，
又点P(xp，yp)在抛物线C1上，
得yp=(xp?1)2+，即(xp?1)2=2yp?1，
∴PF2=2yp?1+(1?yp)2=，
即PF=yp，
过点Q(xQ，yQ)作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得：QF=yQ，
∵∠PMF=∠QNF=90?，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴PFQF=PMQN，
这里PM=1?yp=1?PF，QN=yQ?1=QF?1，
∴PF/QF=，
即；
(III)令y3=x，
设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，，且x0<，
∵抛物线C2可以看作是抛物线y=x2左右平移得到的，
观察图象，随着抛物线C2向右不断平移，x0，的值不断增大，
∴当满足2可得：当x0=2时，所对应的即为m的最大值。
于是，将x0=2代入12(x?h)2=x，
有(2?h)2=2，
解得：h=4或h=0(舍去)，
∴y2=(x?4)2.
此时，由y2=y3，得(x?4)2=x，
解得：x0=2，=8，
∴m的最大值为8.
练习1-3【解析】(1)∵抛物线不过原点，
∴m≠0.
令x2?mx+=0，
∴△1=(?m)2?4×=?m2<0，与x轴没有交点。
令x2+mx?m2=0，
∵△2=m2?4(?m2)=4m2>0，
∴抛物线y=x2+mx?m2经过A.
B两点；
(2)设点A(x1，0)，B(x2，0)，
则x1、x2是方程x2+mx?m2=0的两个实数根，
∴x1+x2=?m，x1?x2=?m2，
∵AO=?x1，OB=x2，
∵，
∴，∴，
∴，
解得m=2，经检验，m=2是方程的解。
∴所求抛物线的解析式为y=x2+2x?3.
练习2-1【解析】(1)将P(1，?3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2?；
(2)点P运动时，OE+OF是定值，定值为2，理由如下：
如图2，作PQ⊥AB于Q点，
设P(m，am2+c)，A(?t，0)，B(t，0)，则at2+c=0，c=?at2.
∵PQ∥OF，
∴，
∴===amt+at2.
同理OE=?amt+at2，
∴OE+OF=2at2=?2c=2OC=.
练习2-2【解析】（1）
由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴点A的坐标是（3-m，0）．
（2）∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA=m-3，
则点D的坐标是（0，m-3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2，
得：a(3-1)2=m；a(0-1)2=m-3
解得a=1；m=4
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1；
（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x2-2x+1），
则QM=CN=（x-1）2，MC=QN=3-x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴即，得EC=2（x-1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴即，得FC=
又∵AC=4
∴FC（AC+EC）===8
即FC（AC+EC）为定值8．
练习2-3（1）抛物线解析式y=x2-1
(2)d-t=
(3)mn=-12021中考专项训练：二次函数应用题
基本公式：总利润=（售价-进价）
销售量
总利润=总售价-总成本
利润率=
成本一般包括固定成本（进价等）和浮动成本（房租、水电费等）
类型一：一次函数型（销售量与销售单价成一次函数关系）
【经典例题1——图象型】某公司去年年初投资1200万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元，按规定，该产品售价不得低于100元/件且不超过200元/件，该产品的年销售量y（万件）与产品售价x（元/件）之间的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求该公司去年所获利润的最大值；
（3）在去年获利最大的前提下，公司今年重新确定产品的售价，能否使去年和今年共获利1320万元？若能，请求出今年的产品售价；若不能，请说明理由．
【解析】(1)设y=kx+b，
则，
解得，
∴y与x的函数关系式为y=?x+30(100?x?200)；
(2)设公司去年获利w万元
则w=(x?60)(?x+30)?1200=?(x?180)2+240，
∵?<0，100?x?200，
∴当x=180时，w取最大值240，
∴去年获利最大为240万元；
(3)根据题意，得(x?60)(?110x+30)+240=1320，
解得x1=120，x2=240，
∵100?x?200，
∴x=120.
答：今年的产品售价定为120元/件时，可使去年和今年共获利1320万元。
【经典例题2——两点型】某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】(1)设y=kx+b，
把(22，36)与(24，32)代入得：则，
解得，
则y=?2x+80；
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：(x?20)y=150，
则(x?20)(?2x+80)=150，
整理得：x2?60x+875=0，
(x?25)(x?35)=0，
解得：x1=25，x2=35，
∵20?x?28，
∴x=35(不合题意舍去)，
答：每本纪念册的销售单价是25元；
(3)由题意可得：
w=(x?20)(?2x+80)=?2x2+120x?1600=?2(x?30)2+200，
此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x<30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=?2(28?30)2+200=192(元)，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元。
【经典例题3——表格型】某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个.根据市场调查，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系，关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的几组数据如下表：
x
10
12
14
16
y
300
240
180
m
（1）求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m的值.
（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为__________个，此时，获得日销售利润是__________元.
（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润.
【解析】
(1)y是x的一次函数，设y=kx+b，
图象过点(10，300)，(12，240)，
，
解得：，
∴y=?30x+600，
当x=16时，m=120；
∴y与x之间的函数关系式为y=?30x+600，m的值为120；
(2)?30×17.5+600=?525+600=75(个)；
(17.5?6)×75=11.5×75=862.5(元).
故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；
故答案为：75，862.5；
(3)由题意得：6(?30x+600)?900，
解得x?15.
w=(x?6)(?30x+600)=?30x2+780x?3600，
即w与x之间的函数关系式为w=?30x2+780x?3600，
w=?30x2+780x?3600的对称轴为：x=，
∵a=?30<0，
∴抛物线开口向下，当x?15时，w随x增大而减小，
∴当x=15时，w最大=1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元。
练习1-1.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
练习1-2.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使
销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
练习1-3.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
练习1-4.某商品销售量y(件)与售价x(元)满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为60元时，每件商品能获得50%的利润。
(1)求y与x的函数关系式；
(2)售价为多少时利润最大?最大利润为多少?
(3)由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a的值。
练习1-5.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同，销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yA=﹣x+20，B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yB=﹣x+14．
（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；
（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
类型二：售价和成本双变型
【经典例题4】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？
【解析】
(1)设函数关系式为y2=kx+b，把坐标(30，1400)(40，1700)代入，
得，
解得：，
∴函数关系式y2=30x+500；
(2)依题意得：，
解得：25?x?35；
(3)∵W?y1?y2=x(150?2x)?(500+30x)=?2x2+120x?500，
∴W=?2(x?30)2+1300
∵25<30<35，
∴当x=30时，W最大=1300
答：当月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元。
练习2-1.随着合肥的快速发展，人们的环保意识逐渐增强，对花木的需求量也逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以10万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
练习2-2.绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
练习2-3.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
类型三：分段函数型
【经典例题5】（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．
【解析】
(1)当6?x?10时，设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0)
根据题意得，解得
∴y=?200x+1200
当10故y与x的函数解析式为：
(2)由已知得：W=(x?6)y
当6?x?10时，
W=(x?6)(?200x+1200)=?200(x?)2+1250
∵?200<0，抛物线的开口向下
∴x=时，取最大值，
∴W=1250
当10∵y随x的增大而增大
∴x=12时取得最大值，W=200×12?1200=1200
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元。
练习3-1.小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元.
由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天(1≤x≤15且x为整数)时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系：第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y(盒)
10
x＋6
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
练习3-2.（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
练习3-3.湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当和时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）
练习3-4.某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣BC﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：
．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
练习3-5.某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．
（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？
（2）2020年初我国爆发新冠肺炎，该公司决定向红十字会捐款20万元，另外每销售一件产品，就抽出1元钱作为捐款，若除去第一年的最大盈利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到2020年底，两年的总盈利不低于57.5万元，请你确定此时销售单价的范围.
练习3-6.某大学生利用40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/
件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该
加盟店m(m≥2)元奖励.通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，求m的取值范围.
类型四：售价浮动型
（1）利润型：已知进价a元，原售价b元，销量m件，销售量随售价提高（降低）d元而减少（增加）c件，获得利润w元：
①若设售价x元，则列式为
②若设提（降）价x元，则列式为
【经典例题6】某地为坚决打赢2020年脱贫攻坚战，实行精准脱贫，帮助李大爷在网上销售自己手工做的竹帘，其成本为每张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张。为了吸引更多顾客，采取降价措施。据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5张。设每张竹帘的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y张。
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少?
(3)李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生。为了保证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内?
【解析】
（1）由题意可得：y=100+5（80-x）整理得y=-5x+500；
（2）由题意，得：w=（x-40）（-5x+500）=-5x2+700x-20000=-5（x-70）2+4500
∵a=-5<0．
∴w有最大值
即当x=70时，w最大值=4500
∴应降价80-70=10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：-5（x-70）2+4500=4220+200
解之，得：x1=66，x2=74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，
∴66≤x≤74．
练习4-1.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
练习4-3.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.
设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
练习4-4.某特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个．
（1）如果专卖店每天想要获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨多少元？
（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润．
练习4-5.某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
2
4
...
10
市场需求量q（百千克）
12
10
...
4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．
参考答案
类型一：一次函数型（销售量与销售单价成一次函数关系）
练习1-1.
【解析】
(1)由题意得：
，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=?10x+700，
(2)由题意，得
?10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=(x?30)?y=(x?30)(?10x+700)，
w=?10x2+1000x?21000=?10(x?50)2+4000，
∵?10<0，
∴x<50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=?10(46?50)2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
(3)w?150=?10x2+1000x?21000?150=3600，
?10(x?50)2=?250，
x?50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
练习1-2.
【解析】(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y=?2x+160；
(2)由题意得：w=(x?30)(?2x+160)=?2(x?55)2+1250，
∵?2<0，故当x<55时，w随x的增大而增大，而30?x?50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
(3)由题意得：(x?30)(?2x+160)?800，
解得：40?x?70，
∴每天的销售量y=?2x+160?20，
∴每天的销售量最少应为20件。
练习1-3.【解析】
（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故函数解析式为：y=-x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x-20）y-40
=（x-20）（-x+8）-40
=-x2+10x-200，
=-（x2-100x）-200
=-[（x-50）2-2500]-200
=-（x-50）2+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即-（x-50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
如上图，通过观察函数y=-（x-50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=-x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
练习1-4.
【解析】(1)设y=kx+b，
将(55，350)，(50，400)代入，
得：，
解得：，
∴y=?10x+900；
(2)由售价为60元时，每件商品能获得50%的利润知进价为40元/件，设利润为W，
则W=y?(x?40)=(?10x+900)(x?40)
整理得W=?10x2+1300x?36000
=?10(x?65)2+6500
故当售价x=65元时，得最大利润6500元
(3)依题意得，(?10×60+900)(60?40?a)=(?10×80+900)(80?40?a)
整理得3(20?a)=40?a，
解得a=10
练习1-5.
【解析】(1)设A种型号的汽车的进货单价为m万元，
依题意得：，
解得：m=10，
检验：m=10时，m≠0，m?2≠0，
故m=10是原分式方程的解，
故m?2=8.
答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；
(2)根据题意得出：
W=(t+2?10)[?(t+2)+20]+(t?8)(?t+14)=?2t2+48t?256，=?2(t?12)2+32，
∵a=?2<0，抛物线开口向下，
∴当t=12时，W有最大值为32，
12+2=14，
答：A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元。
类型二：售价和成本双变型
练习2-1.【解析】
(1)设y1=kx，由图1所示，函数图象过(1，2)
∴k=2
∴y1=2x；
∵该抛物线的顶点是原点
∴设y2=ax2，
由图2所示，函数y2=ax2的图象过(2，2)
∴a=
∴y2=x2；
(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0?x?10)，则投入种植树木(10?x)万元，他获得的利润是w万元，根据题意得：
w(10?x)+x2=x2?2x+20=(x?2)2+18，
∴当x=2时，w的最小值是18
∵0?x?10
∴当x=10时，w的最大值是50.
∴他至少获得18万元利润，他能获取的最大利润是50万元。
练习2-2.
【解析】设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
∵经过点(0，168)与(180，60)，
∴，解得：
，
∴产品销售价y1（元）与产量x(kg)之间的函数关系式为y1=?x+168(0≤x≤180)；
由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；
当130≤x≤180时，y2=54；
当50∵直线y2=mx+n经过点(50，70)与(130，54)，
∴，解得
，
∴当50综上所述，生产成本y2（元）与产量x(kg)之间的函数关系式为；
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤50时，W=x(?x+168?70)=?(x?)2+，
∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；
②当50∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；
③当130≤x≤180时，W=x(?x+168?54)=?(x?95)2+5415，
∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．
因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．
练习2-3.【解析】
(1)设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10.
答：第10天生产的粽子数量为280只。
(2)由图象得，当0?x<10时，p=2；
当10?x?20时，设P=kx+b，
把点(10，2)，(20，3)代入得，，
解得，
∴p=0.1x+1，
①0?x?6时，w=(4?2)×34x=68x，当x=6时，w最大=408(元)；
②6∵x是整数，
∴当x=10时，w最大=560(元)；
③10∵a=?2<0，
∴当x=?=13时，w最大=578(元)；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578.
类型三：分段函数型
练习3-1.【解析】
（1）设p=kx+b（k≠0），
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
∴，
解得，
所以，p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50-（x+18）]=-10x+320，
6所以，w与x的函数关系式为，
1≤x≤6时，∵-10<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w最大为-10+320=310，
6∴当x=13时，w最大为361，
综上所述，第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，-x2+26x+192=325，
x2-26x+133=0，
解得x1=7，x2=13，
所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
练习3-2.
【解析】(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，
根据题意得，，
解得：，
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，
①当30?b?50时，a=10?0.1(b?30)=?0.1b+13，
w=b(?0.1b+13)+6(100?b)=?0.1b2+7b+600=?0.1(b?35)2+722.5，
∵当b=30时，w=720，当b=50时，w=700，
∴当30?b?50时，700?w?722.5；
②当50700∴当30?b?60时，w的最小值为700元，
∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元。
练习3-3.【解析】
(1)由题意，得：，
解得，
答：a的值为0.04，b的值为30；
(2)①当0?t?50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将(0，15)、(50，25)代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=t+15；
当50将点(50，25)、(100，20)代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=?+30；
②由题意，当0?t?50时，
W=20000(t+15)?(400t+300000)=3600t，
∵3600>0，
∴当t=50时，W最大值=180000(元)；
当50∵?10<0，
∴当t=55时，W最大值=180250(元)，
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元。
练习3-4.【解析】
(1)设当100，解得：
∴y与x之间的函数关系式为：y=?0.02x+8；
故答案为：y=?0.02x+8；
(2)当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0当x=100时，W有最大值400元，
当100W=(y?2)x=(?0.02x+6)x=?0.02(x?150)2+450，
∴当x=150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
(3)∵400<418<450，
∴根据(2)可得，?0.02(x?150)2+450=418
解得：x1=110，x2=190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润。
练习3-5.【解析】
（1）①当
25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，
故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；
②当30=-x2+35x-625=-（x-35）2-12.5
故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；
对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
（2）①当
25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-20=-x2+61x-872.5，
令W=5.5，则-x2+61x-872.5=57.5，
化简得：x2-61x+930=0，
解得：x1=31，x2=30，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，x=30；
②当30令W=57.5，则-0.5x2+35.5x-557.5=57.5，
化简得：x2-71x+1230=0，
解得：x1=30，x2=41，
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．
练习3-6.
【解析】(1)当1?x?20时，30+x=35，解得x=10
当21?x?40时，20+，解得x=35
(2)当1?x?20时，w=(30+x?20)(50?x)=?(x?15)2+612.5，
当x=15时，w有最大值为612.5
当21?x?40时，w=(20+?20)(50?x)=?525，
当x=21时，w有最大值为725
∵612.5<725
∴第21天时获得最大利润，最大利润为725
(3)W=?x2+15x+500+m(50?x)=??x2+(15?m)x+500+50m，
∵前10天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，
∴对称轴为x=?=15?m?10，解得：m?5
∴2?m?5.
类型三：售价浮动型
练习4-1.【解析】
(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，
则每件商品的利润为：(60?50+x)元，
总销量为：(200?10x)件，
商品利润为：
y=(60?50+x)(200?10x)，=(10+x)(200?10x)，=?10x2+100x+2000.
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴0(2)y=?10x2+100x+2000，=?10(x2?10x)+2000，=?10(x?5)2+2250.
故当x=5时，最大月利润y=2250元。
这时售价为60+5=65(元).
练习4-2.
【解析】
（1）由题意得：200-10×（52-50）=200-20=180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y=（x-40）[200-10（x-50）]
=-10x2+1100x-28000
=-10（x-55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
练习4-3.【解析】
(1)根据题意得：
y=(30+x?20)(230?10x)=?10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0(2)当y=2520时，得?10x2+130x+2300=2520，
解得x1=2，x2=11(不合题意，舍去)
当x=2时，30+x=32(元)
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。
(3)根据题意得：
y=?10x2+130x+2300
=?10(x?6.5)2+2722.5，
∵a=?10<0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0∴当x=6时，30+x=36，y=2720(元)，
当x=7时，30+x=37，y=2720(元)，
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元。
练习4-4.【解析】
(1)设售价应涨价x元，则：
(16+x?10)(120?10x)=770，
解得：x1=1，x2=5.
又要尽可能的让利给顾客，则涨价应最少，所以x2=5(舍去).
∴x=1.
答：专卖店涨价1元时，每天可以获利770元。
(2)设单价涨价x元时，每天的利润为w1元，则：
w1=(16+x?10)(120?10x)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810(0?x?12)，
即定价为：16+3=19(元)时，专卖店可以获得最大利润810元。
设单价降价z元时，每天的利润为w2元，则：
w2=(16?z?10)(120+30z)=?30z2+60z+720=?30(z?1)2+750(0?z?6)，
即定价为：16?1=15(元)时，专卖店可以获得最大利润750元。
综上所述：专卖店将单价定为每个19元时，可以获得最大利润810元。
练习4-5.【解析】
(1)由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q=kx+b
根据表格的数据得，解得
故q与x的函数关系式为：q=?x+14，其中2?x?10
(2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有p?q
即x+8??x+14，解得x?4
又2?x?10，所以此时2?x?4
②由①可知，当2?x?4时，
y=(x?2)p=(x?2)(x+8)=x2+7x?16
当4即有
(3)当2?x?4时，
y=x2+7x?16的对称轴为x=?=?=?7
∴当2?x?4时，除x的增大而增大
∴x=4时有最大值，y=×42+7×4?16=20
当4y=?x2+13x?16=?(x?)2+，
∵?1<0，>4
∴x=时取最大值
即此时y有最大利润
要使每天的利润不低于24百元，则当2?x?4时，显然不符合
故y=?(x?)2+?24，解得x?5
故当x=5时，能保证不低于24百元
故答案为：，5二次函数角度问题
（最大角、其它角度）
【经典例题1——最大角隐形圆】如图，O是坐标原点，过点A(?1，0)的抛物线y=x2?bx?3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点。
(1)求b的值。
(2)连结BD、CD，动点Q的坐标为(m，1).
②连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标。
【解析】(1)把A(?1，0)代入y=x2?bx?3，可得1+b?3=0，解得b=2；
(2)①设抛物线的对称轴与x轴交于点E.
∵y=x2?2x?3=(x?1)2?4，
∴D(1，?4)，则OE=1，DE=4，
令x=0得，y=?3;令y=0得，x2?2x?3=0.
解得x=?1或x=3.
∴OB=3，OC=3，BE=2，
如图1，过C作BD的平行线与直线y=1相交，则交点必为Q，设直线y=1与y轴交于点F，则CF=4.
∵DE∥FC，
∴∠FCQ=∠EDB.
又∵CF=4=DE，∠QFC=90°=∠BED，
在△QFC和△△BED中
∠FCQ=∠EDB，CF=DE，∠QFC=∠BED
∴△QFC≌△BED，
∴CQ=BD，FQ=EB=2，
∴m=FQ=2；
②如图2，记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上(设MN与y轴交于点N).
连接OM、CM，则∠CQO=∠CMO=∠OMN，MC=MO=MQ，
∴sin∠CQO=sin∠OMN=ON/OM=1.5/OM，
∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小。
又∵MO=MQ，
∴当MQ取最小值时sin∠CQO最大，
即MQ垂直直线y=1时，∠CQO最大，
此时，M与直线y=1相切。
∴MQ=NF=2.5，MN=，
∴Q坐标为(2，1).
根据对称性，另一点(?2，1)也符合题意。
综上可知，Q点坐标为(2，1)或(?2，1).
练习1-1如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(?1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=(x>0)经过点D，连接MD，BD.
(1)求抛物线的表达式；
(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)
【解析】解;(1)C(0，3)
∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，
∵D在y=6x上，∴D(2，3)，
将点A(?1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，
∴a=?1，b=2，
∴y=?x2+2x+3；
(3)设P(0，t)，N(r，t)，
作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时此时圆心N到BD的距离最小，圆心角∠DNB最大，则，∠BPD的度数最大；
∴PN=ND，∴r=，
∴t2?6t?4r+13=0，
易求BD的中点为(，)，
直线BD的解析式为y=?3x+9，
∴BD的中垂线解析式y=x+，
N在中垂线上，∴t=r+，
∴t2?18t+21=0，
∴t=或t=，
∵圆N与y轴相切，
∴圆心N在D点下方，
∴0∴t=.
练习1-2在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点A的坐标为(0，)，点D的坐标为(1，)，点C在x轴的正半轴上，过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C，点P为CD的中点。
(1)求抛物线的解析式及点P的坐标；
(2)在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切?若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点M为线段OP上一动点(不与O点重合)，过点O、M、D的圆与y轴的正半轴交于点N.求证：OM+ON为定值。
(4)在y轴上找一点H，使∠PHD最大。试求出点H的坐标。
【解析】(1)∵抛物线的顶点D的坐标为(1，)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x?1)2+，
将(0，0)代入，得a+=0，a=?，
∴抛物线的解析式为y=?(x?1)2+，
即
y=?x2+2x，
设y=0，则x=0或2，∴点C的坐标为(0，2)，
∵点P为CD的中点，
∴P(，)；
(2)在y轴右侧的抛物线上存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切，
理由如下：①若Q在直线OP上方，则Q与D点重合，此时Q1(1，)；
②若Q在直线OP下方，与y轴、直线OP切于E.
F，
则QE=QF，QE⊥y轴，QF⊥OP，
∴OQ平分∠EOF，
∵∠EOF=120°，∴∠FOQ=60°，
∵∠POC=30°，则∠QOC=30°，
设Q(m，-m)，则?m=?m2+2m，
解得m1=0(舍去)，m2=，
∴Q2(，?)；
(3)证明：∵在过点O、M、D的圆中，有∠MOD=∠NOD，
∴弧MD=弧ND，
∴MD=ND，
易得OD平分∠AOP，DA⊥y轴，DP⊥OP，
∴DA=DP，
可证得△NAD≌△MPD(HL)，
∴MP=AN，
∴OM+ON=OP?MP+OA+AN=OP+OA=2OA=，
则OM+ON=2，即OM+ON为定值；
(4)作过P、D两点且与y轴相切于点H的圆S，
则由圆周角大于圆外角可知，∠PHD最大.
设S(x，y)，则由HS=SD=SP，
可得，y=2±6，
∵0∴H(0，2?6).
练习1-3如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(?1，0)，B(4，0)、C(0，)，其中对称轴与x轴交于点E.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，若P为y轴上的一个动点，连接PE，求PC+PE的最小值；
(3)如图2，过点C作CF∥AB，交抛物线与点F，M为线段CF的一个动点，连接MO、MB，是否存在一点M，使得sin∠OMB的值最大?若存在，求出此时sin∠OMB的值；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)将A，B，C的坐标代入函数解析式，得
a?b+c=0；16a+4b+c=0；c=，
解得a=?；b=；c=，
此二次函数的表达式y=?x2+x+，
(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PC+PE最小。
理由：∵OA=1，OC=，
∴tan∠ACO=OA/OC=，∴∠ACO=30°，
∴PH=PC，
∴PC+PE=PH+EP=EH，
∴此时PC+PE最短(垂线段最短).
A.
B关于E点对称，得E点坐标为(，0)
在RT△ADH中，∵∠AHE=90°，AE=?(?1)=，∠HAE=60°，
∴sin60°=HE/AE，
∴HE=AE?sin60°=×=
∴PC+PE的最小值为.
(3)CF上不存在点P，使sin∠OMB的值最大，
如图2，设∠POB的外接圆为⊙Q，QG是弦心距，则∠OQG=∠OPB，
在Rt△OQG中，OG为定值，
当⊙Q的半径最小时，∠OGQ最大，
当QP⊥CF时，QP最小，此时⊙Q与CF的平行线相切于点P，
sin∠OPB最大，P点不在CF上，
即CF上不存在M点使sin∠OMB的值最大。
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=?x2+bx+c与直线y=x?3分别交x轴、y轴上的B.
C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E.
(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；
(2)求∠DCB的正切值；
(3)如果点F在y轴上，且∠FBC=∠DBA+∠DCB，求点F的坐标。
(1)y=x?3，令y=0，则x=6，令x=0，则y=?3，
则点B.
C的坐标分别为(6，0)、(0，?3)，则c=?3，
将点B坐标代入抛物线y=?x2+bx?3得：0=?×36?6b?3，解得：b=2，
故抛物线的表达式为：y=?x2+2x?3，令y=0，则x=6或?2，
即点A(2，0)，则点D(4，1)；
(2)过点E作EH⊥BC交于点H，
C.
D的坐标分别为：(0，?3)、(4，1)，
直线CD的表达式为：y=x?3，则点E(3，0)，
tan∠OBC=OC/OB=36=12，则sin∠OBC=，
则EH=EB?sin∠OBC=，
CE=，则CH=，
则tan∠DCB=EH/CH=；
(3)点A.
B.
C.
D.
E的坐标分别为(2，0)、(6，0)、(0，?3)、(4，1)、(3，0)，
则BC=，
∵OE=OC，∴∠AEC=45°，
tan∠DBE==，
故：∠DBE=∠OBC，
则∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45°，
①当点F在y轴负半轴时，
过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，
则∠GFC=∠OBC=α，
设：GF=2m，则CG=CGtanα=m，
∵∠CBF=45°，∴BG=GF，
即：+m=2m，解得：m=，
CF===15，
故点F(0，?18)；
②当点F在y轴正半轴时，
同理可得：点F(0，2)；
故：点F坐标为(0，2)或(0，?18).
练习2-1如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的图象过，A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)三点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点G在y轴上，且∠OGB+∠OAB=∠ACB，求AG的长；
(3)若AD∥x轴且D在抛物线上，过D作DE⊥BC于E，M在直线DE上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N使以A、M、N为顶点的三角形与△APD相似?若存在，请求出点M、N的坐标．
【解析】（1）抛物线解析式y=-x2+2x+3
(2)AG=1或5
（3）①如图1所示，M1（2,2）N1（1,0）
②如图2
所示M2（2，-2）N2（7,0）
③如图3
所示，M3（2，-1）N3（-1,0）
④如图4，不存在。
综上，存在三点M，N，M1（2,2）N1（1,0）或M2（2，-2）N2（7,0）或M3（2，-1）N3（-1,0）
练习2-2如图，抛物线y=?x2+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)将抛物线沿y轴平移t(t>0)个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是___.
(2)抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC?∠ACO，则点P的坐标为___.
【解析】(1)由题意，抛物线只能沿y轴向下平移，
∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，
∴设平移后的抛物线的解析式为y=?(x?1)2+4?t(t>0)，
当原点O落在平移后的抛物线上时，把(0，0)代入得：
0=?(0?1)2+4?t，
解得t=3；
当平移后的抛物线的顶点落在x轴上时，x=1，y=0
即0=?(1?1)2+4?t，
解得t=4，
∵平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点
∴0故答案为：0(2)当y=0时，?x2+2x+3=0，
解得：x=?1或x=3，
即A(?1，0)、B(3，0)，
取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN，
则AN=CN，
∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC?∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC?∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴CM/CN=CO/CA，
∴CN=，
∴NO=CO?CN=3?=，
∴tan∠NAO=NO/AO=；
当点P在BC上方时，设为P1，过B作BD⊥BC交直线CP1于D，过D作DE⊥x轴于E
∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴BE/CO=DE/BO=BD/BC=tan∠BCP1=tan∠NAO=，
∴BE=CO=4，DE=BO=4，OE=3+4=7
∴D(7，4)
设直线CP1的解析式为y=k1x+3，把(7，4)代入
4=7k1+3，∴k1=，∴y=x+3
令?x2+2x+3=x+3，
解得x1=0(舍去)，x2=
∴P1(，)，
当点P在BC下方时，设为P2(m，n)，
则∠BCP2=∠BCP1
延长DB交直线CP2于E，则点B是DE的中点
∴
解得m=?1；n=?4，
∴E(?1，?4)
设直线CP2的解析式为y=k2x+3，把(?1，?4)代入?4=?k2+3，
∴k2=7，∴y=7x+3令?x2+2x+3=7x+3，
解得x1=0(舍去)，x2=?5
∴P2(?5，?32)
综上所述，抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC?∠ACO，
P点坐标为(，)或(?5，?32)，
故答案为：(，)或(?5，?32).
【经典例题3】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x=1对称，点A的坐标为（-1，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a，求a的值.
【解析】(1)∵点A(?1，0)与点B关于直线x=1对称，
∴点B的坐标为(3，0)，
代入y=x2+bx+c，得：
1?b+c=0，9+3b+c=0，
解得b=?2，c=?3，
所以二次函数的表达式为y=x2?2x?3；
(2)如图所示：
由抛物线解析式知C(0，?3)，
则OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
若点P在点C上方，则∠OBP=∠OBC?∠PBC=30°，
∴OP=OBtan∠OBP=3×=，
∴CP=3?；
若点P在点C下方，则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°，
∴OP′=OBtan∠OBP′=3×=3，
∴CP=3?3；
综上，CP的长为3?或3?3；
(3)若a+1<1，即a<0，
则函数的最小值为(a+1)2?2(a+1)?3=2a，解得a=1?(正值舍去)；
若a<1则函数的最小值为1?2?3=2a，解得：a=?2(舍去)；
若a>1，
则函数的最小值为a2?2a?3=2a，
解得a=2+(负值舍去)；
综上，a的值为1?或2+.
【经典例题4】如图，抛物线y=?x2+6x?5与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.
点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交直线BC于点E.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接CP，当CP平分∠OCB时，求点P的坐标；
(3)平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
【解析】（1）抛物线y=-x2+6x-5与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C
令y=0时，得-x2+6x-5=0，解得x1=1，x2=5，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）
令x=0时，y=-5，
∴点C的坐标为（0，-5）
（2）当CP平分∠OCB时，∠OCP=∠ECP，
易得∠OCP=∠CPE，
∴∠PCE=∠CPE，
∴PE=EC．
由题意可得直线BC的解析式为y=x-5
设点P的坐标为（x，-x2+6x-5），则点E的坐标为（x，x-5），
∴PE=-x2+6x-5-（x-5）=-x2+5x．
∵OB=OC，可得CE=OH，
∴CE=x∴-x2+5x=x，
解得x1=0（不合题意），x2=5-，
当x=5-
时，-x2+6x-5=4-2．
∴当CP平分∠OCB时，点P的坐标为（5-，4-2）；
（3）存在点Q，使以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形．此时点Q的坐标为（-1，0），（5，5-2），（5，-4）或（5，-2-5）
理由如下：
设点P的坐标为（x，-x2+6x-5），
则点E的坐标为（x，x-5），
如图1，
∵PE⊥QB，
∴当PH=HE，QH=HB时，四边形PQEB是菱形．
此时yP=-yE，即-x2+6x-5=-（x-5），
解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去），
∴QH=HB=2，
∴点Q的坐标为（-1，0）．
如图2，
当点P在x轴上方，且PE=EB=BQ=QP时，四边形PEBQ为菱形．
∵PE=-x2+6x-5-（x-5）=-x2+5x，BE=BH=（5-x），
∴-x2+5x=（5-x），
解得x1=5（不合题意，舍去），x2=．
当x=时，BQ=PE=5-2，
∴点Q的坐标为（5，5-2）．
如图3，
当点P与点A重合时，PB=PE．
∴当PB=PE=EQ=QB时，四边形PEQB是菱形．
易得Q的坐标为（5，-4）．
如图4，
当点P在x轴下方，且PE=EB=BQ=QP时，四边形PEBQ为菱形．
∵PE=x-5-（-x2+6x-5）=x2-5x，
BE=BH=（5-x），
∴x2-5x=（5-x），
解得x1=5（不合题意，舍去），x2=．
当x=-时，QB=PE=2+5，
∴点Q的坐标为（5，-2-5）．
综上所述，存在点Q，使以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形．此时点Q的坐标为（-1，0），（5，5-2），（5，-4）或（5，-2-5）．
练习4-1如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过点A、C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交直线AC于点M，设点P的横坐标为t.
②当射线MP、MC、MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出的值.
【解析】(1)在y=x+3中，令x=0，y=3;令y=0，x=?4，得A(?4，0)，C(0，3)，
代入抛物线y=?x2+bx+c解析式得：b=?，c=3，
∴抛物线的解析式y=?x2?x+3；
(3)如图1，若AC平分MP、MO的夹角，过点C作CH⊥OA，CG⊥MP，
则CG=CH，
∵S△MCO=OM?CH=OC?CG，
∴OM=OC=3，
∵点M在直线AC上，
∴M(t，t+3)，
∴MN2+ON2=OM2，可得，t2+(t+3)2=9，
解得t=?，
如图2，若MO平分AC、MP的夹角，则可得∠NMO=∠OMC，过点O作OK⊥AC，
∴OK=ON，
∵∠AKO=∠AOC=90°，∠OAK=OAC，
∴△AOK∽△ACO，
∴AO/AC=OK/OC，
∴，
∴OK=，
由角平分线的性质可得：点O到AC和MP的距离相等，
∴t=，
综合以上可得t的值为?，.
【经典例题5】已知抛物线y=kx2?4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点D
(1)如图1，请求出A、B、C三点的坐标;
(2)点E为x轴下方抛物线y=kx2?4kx+3k(k>0)上一动点.
①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值;
②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足∠FBA=∠EBA当线段EF运动时，∠FGO的度数大小发生变化吗?若不变，请求出tan∠FGO的值若变化，请说明理由.
【解析】(1)令kx2?4kx+3k=0，解得x1=1，x2=3，
∴A(1，0)，B(3，0)，
令x=0，y=3k，
∴C(0，3k).
(2)①当k=1时，抛物线的解析式为y=x2?4x+3，
如图1，过点E作EK⊥x轴于点K，
则△BKE∽△BHN，△AKE∽△AOM，
设点E(m，m2?4m+3)，
∴KB/HB=KE/HN，KE/MO=AK/AO，
即：，，
得：NH=m?1，MO=?m+3，
∴MO+NH=m?1+(?m+3)=2.
②不会变化。
如图2所示，过E作EN⊥x轴于点N，作FH⊥x轴于点H，过点E作EM⊥FH，交FH的延长线于点M，
设点F(n，2n2?8n+6)，E(a，2a2?8a+6)，
当n>3时，不能满足∠FBA=∠EBA，
∴n<1，
∵△FHB∽△ENB，
∴FHEN=HBNB，
∴=，得：n+a=2，
∴tan∠FGO=tan∠FEM=FM/EM==4，
综上可知：当点F和点E在抛物线上运动时，tan∠FGO的值不会发生变化，且tan∠FGO=4.
练习5-1如图
1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=的两根为﹣8、2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，
P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
【解析】(1)∵函数y=ax2+bx+c与x轴交于A.
B两点，且一元二次方程ax2+bx+c=0两根为：?8，2，
∴A(?8，0)、B(2，0)，即OB=2，
又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C(0，?6)，
将A(?8，0)、B(2，0)代入y=ax2+bx?6中，得：
64a?8b?6=0，4a+2b?6=0，
解得：a=，b=，
∴二次函数的解析式为：y=x2+x?6;
(2)①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，
当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，
∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，
∴HK=BC，
在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，
∴BC=2，∴HK=，
即P的运动路程为：；
②∠EPF的大小不会改变，
理由如下：如图2，∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，
∴PE=AD=PA，
∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，
同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2(∠PAE+∠PAF)，
即∠EPF=2∠EAF，
又∵∠EAF大小不变，
∴∠EPF的大小不会改变；
(3)设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE+PF+EF，
∵PE=AD，PF=AD，
∴C△PEF=AD+EF，
在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，
∵tan∠BAC=OC/AO=，
∴tan∠EPG=EG/PG=，
∴EG=PE，EF=PE=AD，
∴C△PEF=AD+EF=(1+)AD=AD，
又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，
又S△ABC=30，
∴BC×AD=30，
∴AD=3，
∴C△PEF最小值为：AD=.
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(?1，0)，B(0，?)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为___；
(3)M(x，t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有___个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。
【解析】(1)由题意解得，
∴抛物线解析式为y=x2?x?，
∵y=x2?x?=(x?)2?，
∴顶点坐标(，?).
(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PB+PD最小。
理由：∵OA=1，OB=，
∴tan∠ABO=OAOB=，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+OD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短(垂线段最短).
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=DH/AD，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为.
故答案为.
(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
故答案为5.
②如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO=OAOB=，
∴∠ABO=30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F.
G.
则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵EB==，
∴OE=OB?EB=，
∵F(，t)，EF2=EB2，
∴()2+(t+)2=()2，
解得t=或，
故F(，)，G(，)，
∴t的取值范围?t?
【经典例题7】抛物线y=?x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴正半轴交于点C.
(1)如图1,若A(?1,0),B(3,0)，
①求抛物线y=?x2+bx+c的解析式；
②P为抛物线上一点，连接AC，PC，若∠PCO=3∠ACO，求点P的横坐标；
(2)如图2,D为x轴下方抛物线上一点,连DA,DB,若∠BDA+2∠BAD=90?，求点D的纵坐标。
【解析】(1)①将A(?1,0)、B(3,0)代入y=?x2+bx+c，得：
?1?b+c=0；?9+3b+c=0，
解得：b=2；c=3，
∴y=?x2+2x+3；
②延长CP交x轴于点E，在x轴上取点D，使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延长线于点N，
∵CD=CA、OC⊥AD，
∴∠DCO=∠ACO，
∵∠PCO=3∠ACO，
∴∠ACD=∠ECD，
∴tan∠ACD=tan∠ECD，
∴AI/CI=EN/CN,AI==，
∴CI=，
∴，
设EN=3x，则CN=4x，
由tan∠CDO=tan∠EDN知，
∴DN=x，
∴CD=CN?DN=3x=，
∴x=，
∴DE=，
则点E的坐标为(,0)，
所以直线CE的解析式为y=?x+3，
由y=?x+3;y=?x2+2x+3可得x1=0、x2=3513，
则点P的横坐标为3513.
(2)如图2，作DI⊥x轴，垂足为I，
∵∠BDA+2∠BAD=90?，
∴∠DBI+∠BAD=90?，
∵∠BDI+∠DBI=90?，
∴∠BAD=∠BDI，
∵∠BID=∠DIA，
∴△IBD∽△IDA，
∴BIDI=IDIA，
∴xD?xB?yD=?yDxD?xA，
∴=?(xA+xB)xD+xAxB，
令y=0,得：?x2+bx+c=0，
则xA+xB=b、xAxB=?c，
∴=?(xA+xB)xD+xAxB=?bxD?c，
∵yD=?+bxD+c，
∴=?yD，
解得：yD=0或?1，
∵点D在x轴下方，
∴yD=?1，即点D的纵坐标为?1.函数图象
解题思路
起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）
中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？
终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？
特殊点：运动过程中特殊的位置。
类型一、实际问题
【经典例题1】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（
）
A.B.C.D.
【解析】
由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km，开始时两人的距离为0；
甲的速度是：120÷(3?1)=60km/h，乙的速度是：80÷3=km/h，即乙出发1小时后两人距离为km；
设乙出发后被甲追上的时间为xh，则60(x?1)=x，得x=1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.
所以符合题意的函数图象只有选项B.
故选：B.
练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程（单位：米）与所用时间（单位：秒）之间的函数图象分别为线段和折线，则下列说法正确的是（
）
A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B.跑步过程中，两人相遇一次
C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远
D.乙在跑前300米时，速度最慢
练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间以及容器内水面的高度，并画出表示与的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（
）
A．
B．
C．
D．
练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（
）
类型二：几何动态
①动点图形面积
【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（
）
A.B.C.D.
【解析】作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=4cm，
∴BH=CH，
∵∠B=30°，
∴AH=12AB=2，BH=AH=2，
∴BC=2BH=4，
∵点P运动的速度为m/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0?x?4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，?
在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，
∴y=?x?x=x2，
当4在Rt△BDQ中，DQ=CQ=(8?x)，
∴y=?(8?x)?4=?+8，
综上所述，.
故选D.
练习2-1四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，若直线l⊥AB，直线l截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y，点A到直线L的距离为x，则y与x关系的大致图象为（
）
A.
B.
C.
D.
练习2-2如图，四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=4，动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B?C?D的方向运动，当点Q到达点D时P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是(
)
练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A.
B.C.
D.
练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（
）
A.
B.
C.
D.
练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（
）
练习2-6如图，在?ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
练习2-7如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图②所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为(
)
A.
点C的横坐标
B.
点C的纵坐标
C.
△ABC的周长
D.
△ABC的面积
练习2-10如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（
）.
②动点图形边长
【经典例题3】如图①，在矩形ABCD中，AB)
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
【解析】
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB?=3，即AB?BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7-AB，代入AB?BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，
因为AB所以AB=3，BC=4．
故选：B．
练习3-1如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿以1cm/s的速度运动到点D，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y(cm2)，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（?
）
A.
B.
C.
2
D.
练习3-2如如图①，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D.图②是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（
）
A.2
B.2.5
C.3
D.
练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（ ）
A．10
B．
C．8
D．
练习3-4如如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是______．
练习3-5如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是()
A.
B.
5
C.
6
D.
【经典例题4——圆】
如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A.
B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A.
B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F.
设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是(
)
【解析】∵P(3，0)，C(0，2)，
∴PC2=13.
∵AC是直径，
∴∠Q=90°.
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形。
∴PE=QF.
∵PF⊥QB于F，
∴QF=BF.
∴AE=BF.
∴y=PE2+PF2=BF2+PF2=PC2=13.
故选：A.
练习4-1如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（
）
B.C.D.
练习4-2如图，点R是以MN为直径的半圆上的动点，MP⊥MN，RE⊥MP于点E，连接MR，设MR=x，MR?PE=y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是(
)
练习4-3如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点，连接AC，BC点P从点B出发，沿折线B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点P运动时，△PAB的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则线段AC的长为(
)
A.
1cm
B.cm
C.
cm
D.
2cm
练习4-4如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2-FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是( )
ABCD
类型三：求函数表达式及最值
【经典例题5】矩形ABCD中，BC=4，AB=2，P是线段BC边上一动点，Q在PC或其延长线上，且BP=PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，若BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部份的面积为y，则y与x的函数的大致图象是（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】根据题意，BP=x，则PC=4-x；
当BP当BP>PC，即x>2时，重合部分在正方形PQRS得内部，则S重叠=2（4-x），
分析可得D符合两段得方程；
故选D．
练习5-1如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为________．
练习5-2如图1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠BCA=∠FDE=90°，AB=4，EF=8．点A、C、D、E在一条直线上，等腰Rt△DEF静止不动，初始时刻，C与D重合，之后等腰Rt△ABC从C出发，沿射线CE方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当A点与E点重合时，停止运动．设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接写出线段AC、DE的长度；
（2）在等腰Rt△ABC的运动过程中，设等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，当线段AB与线段EF相交时，设交点为点M，点O为线段CE的中点；是否存在这样的t，使点E、O、M三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
类型一、实际问题
练习1-1【解析】
A.
两人从起跑线同时出发，甲先到达终点，错误；
B.
跑步过程中，两人相遇两次，错误；
C.
起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远，正确；
D.
乙在跑后200米时，速度最慢，错误。
故选：C。
练习1-2【解析】由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，
由开始和结尾可知A.
C错误，
由中间不变可知，D错误，
故选：B.
练习1-3【解析】答案：B.
球拉出水面开始时，球上半部分较小，因而水递减较缓慢，球中部拉出水面时水递增的速度较快，最后球中的水全部放回，水面基本持平（因为球是薄壁的）.
故选B.
类型二：几何动态
①动点图形面积
练习2-1【解析】
如图，点D作DE垂直于AB，垂足为E，
∵CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，
∴四边形DEBC为正方形，
∴DC=EB，
∴AE=DE，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠A=45°；
点A到直线L的距离为x，直线左方的图形面积为y，
直线l运动到D点时，函数解析式为y=x2，
当直线l运动由D点运动到C点时，函数解析式为y=BC(2x?BC)，BC为常数，因此为一次函数，
因此符合y与x关系的大致图象只有C.
故选C.
练习2-2【解析】(1)如图1，当动点Q在BC边上运动时，
，
∵4÷3=(秒)，
∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是秒，
∵AP=2x，BQ=3x，
∴y=2x×3x÷2=3x2(0∴抛物线开口向上；
(2)如图2，当动点Q在
CD边上运动时，
∵(8+4)÷3=4(秒)，4?=(秒)，
∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是秒，
∵AP=2x，BQ=4，
∴y=2x×4÷2=4x(综上，可得
y=，
∴能大致表示y与x之间函数关系图象的是：
故选：B.
练习2-3
【解析】通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；
当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x=2时有最大面积为4，
当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x=6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；
故选：C.
练习2-4【解析】在△ABE中，BE=，
∵ABCD是正方形，
∴BE=MN，
∴S四边形MBNE=BE?MN=x2+8，
∴阴影部分的面积S=16?(x2+8)=?x2+8.
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0，8)，自变量的取值范围是0故选C.
练习2-5【解析】当0?t?4时，S=S正方形ABCD?S△ADF?S△ABE?S△CEF=4?4??4?(4?t)??4?(4?t)??t?t=?t2+4t=?(t?4)2+8；
当4故选D.
练习2-6【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
∴AC==8．
当0≤x≤6时，AP=6-x，AQ=x，
∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2-12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x-6，AQ=x，
∴y=PQ2=（AQ-AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14-x，CQ=x-8，
∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2-44x+260．
故选：B．
练习2-7
【解析】作点O关于直线AB的对称点C，
∵A(2，0)，B(0，2)
∴易得C(2，2)
连接CP，则OM+MP的最小值为此时的CP
记CP2=S
∴S=CP2=AC2+AP2=22+(2?x)2=x2?4x+8
故选：A.
练习2-8【解析】连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线。
故选D.
练习2-9【解析】(1)从图②可以看出，当x=0时，y=1，
此时点C的纵坐标为1；
当x=2时，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠DAC+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠DCA，
∠ADC=∠BOA=90°，AB=AC，
∴△ADC≌△BOA(AAS)，
∴BO=AD，OA=CD，
则OD=AD+OD=1+2=3，
即：点C坐标为3；
故选：B.
练习2-10
【解析】①当点P与点O重合时，x=0，y=2．故可排除C选项；
②当点Q与点O重合时，y=3．故可排除A选项；
③当x=2，即AP∥x轴时，∵AH⊥PQ，
∴AH＜AQ=2，即y＜2．故可排除B选项．
故选：D．
练习3-1【解析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC=，
则对角线BD为2，
当点P在线段AC上运动时，
y=AP×BD=×，
由图2知，当x=时，y=a，
即a=×，
解得：a=，
故选：B.
练习3-2【解析】
由图2得，t=4时两点停止运动，
∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了4秒?
∴AB=4
∵点Q运动到点C之前和之后，△BPQ面积算法不同，即t=2时，S的解析式发生变化
∴图2中点M对应的横坐标为2，
此时P为AB中点，点C与点Q重合
连接AC
∵菱形ABCD中，AB=BC=4，∠B=60°
∴△ABC是等边三角形
∴CP⊥AB，BP=AB=2
∴CP=BC2?BP2=
∴a=S=BP?CP=×2×2=2
故选：D.
练习3-3【解析】
当t=5时，点P到达A处，即AB=5，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，∴DE=CE=CD，
当S=40时，点P到达点D处，则S=CD?BC=(2AB)?BC=5×BC=40，
则BC=8，
AD=AC=，
故选：B.
练习3-4
【解析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B先A运动时，BP的最大值为5，
即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为：×4×6=12
故答案为：12
练习3-5
【解析】若点E在BC上时，如图
∵∠EFC+∠AEB=90?，∠FEC+∠EFC=90?，
∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，
∠CFE=∠AEB；∠C=∠B=90?，∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时
，BE=CE=x?，即，
∴y=(x?)2，当y=时，代入方程式解得：x1=(舍去)，x2=，
∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=，
∴矩形ABCD的面积为2×=5；
故选B.
练习4-1
【解析】设P点运动速度为v(常量)，AB=a(常量)，则AP=vt，PB=a?vt；
则阴影面积S=
=，
由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意。
故选：D.
练习4-2
【解析】设圆的半径为R，连接RN，
则sin∠MNR=，
∵PM是圆的切线，则∠RME=∠RMN，
则RE=MRsin∠RMN=，
则y=RM-RE=-，
∴图象为过原点且开口向下的抛物线，
故选：D．
练习4-3
【解析】从图2看，当t=a时，y取得最大值，
此时BC=a，而y=a，
即：y=×AC×BC=AC×a=a，
解得：AC=2，
故选：D.
练习4-4
【解析】答案:C.
延长CD交AB于点G,则CG⊥AB.
∵
C、D是两弧的中点，CG⊥AB，AB=4
∴
AG=BG=2
由于AF=x(0＜x＜4),当点E位于点G左侧时FG=2-x,当点F位于点G右侧时,FG=x-2.
∵
CG⊥AB
∴
AE2=AG2+EG2，FE2=FG2+EG2
∴
y=AE2?FE2=AG2?FG2=4?(x?2)2
化简,得y=?x2+4x=?x(x?4)(0＜x＜4)
即y与x的函数关系的图像是开口向下,与x轴交于(0,0)、(0,4)两点,
且0＜x＜4.
故选C.
类型三：求函数表达式及最值
练习5-1【解析】AM=20?2t，
则重叠部分面积y=×AM2=(20?2t)2，
y=(20?2t)2(0?t?10).
故答案为：y=(20?2t)2(0?t?10)
练习5-2
【解析】(1)在Rt△ABC中，
AC=BC，AB=4，
∴AC=BC=4，
同理：DE=DF=8，；
(2)当0由运动知，CD=t，
∴DG=AD=4?t，
∴S=(DG+BC)×CD=(4?t+4)×t=?t2+4t
当4如图3，记AB与EF的交点为P，
由运动知，CE=8?t，
∴CQ=8?t，
∴BQ=4?(8?t)=t?4，
∴S=S△ABC?S△PBQ=×4×4?(t?4)×(t?4)=8?(t?4)2，
当8记AB与EF的交点为N′，
由运动知，AC=4?(t?8)=t?4，
∴S=S′△AEN=(t?4)×(t?4)=(t?4)2；
(3)当∠MOE=90°时，如图6，
即：点C与O重合，
∴t=4，
当∠OME=90°时，如图7，
点A和O重合，
∴t=8，
即：△MOE是等腰三角形时，t=4或8.类型一：线段最值问题
【经典例题1改编】抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+5一个交点A（2，m），另一个交点B在x轴上，点P是线段AB上异于A、B的一个动点，过点P做x轴的垂线，交抛物线于点E；
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点P，使线段PE长度最大？若存在求出最大值及此时点P的坐标，若不存在说明理由；
（3）在y轴右侧，当EP平行于y轴时，设点E的横坐标为m，当点E到y轴的距离等于线段EP的长时，求m的值；
【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x2+6x-5
（2）设点P的横坐标为m，E(m，-m2+6m-5)，P(m，-m+5)
∴EP=yE-yP
=(-m2+6m-5)-(-m+5)
=-m2+7m-10
=-(m-)2+
当m=时，EP长度有最大值，此时，P(，)
（3）根据题意分两种情况
①当05时，EP=m2-7m+10，所以m=m2-7m+10，即m2-8m+10=0，解得m1=4+，m2=4-；
②当2综上，m1=4+，m2=4-
【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y=
-x与抛物线交于E，F两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值；
【解析】
(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x?1)=a(x2+2x?3)，
即?3a=?3，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2+2x?3；
(2)过点P作PM∥y轴交直线EF于点M，
设点P(x，x2+2x?3)、点M(x，?x)，
则PH=PM=(?x?x2?2x+3)，
当x=?时，PH的最大值为：；
【经典例题3】已知抛物线l1:y1=ax2?2的顶点为P，交x轴于A.
B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP=.
(1)求抛物线l1的函数解析式；
(2)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1:4两个部分，求直线AC的解析式；
【解析】（1）当x=0时，y1=ax2-2=-2
∴顶点P（0，-2），OP=2
∵∠BOP=90°
∴sin∠ABP==
∴BP=OP=2
∴OB=
∴B（4，0），代入抛物线l1得：
16a-2=0，解得：a=
∴抛物线l1的函数解析式为y1=x2-2
（2）∵知抛物线l1交x轴于A、B两点
∴A、B关于y轴对称，即A（-4，0）
∴AB=8
设直线AC解析式：y=kx+b
点A代入得：-4k+b=0
∴b=4k
∴直线AC：y=kx+4k，D（0，4k）
∴S△AOD=S△BOD=×4×|4k|=8|k|
∵x2-2=kx+4k
整理得：x2-8kx-32k-16=0
∴x1+x2=8k
∵x1=-4
∴xC=x2=8k+4，yC=k（8k+4）+4k=8k2+8k
∴C（8k+4，8k2+8k）
∴S△ABC=AB?|yC|=32|k2+k|
①若k>0，则S△AOD：S四边形OBCD=1：4
∴S△AOD=S△ABC
∴8k=×32（k2+k）
解得：k1=0（舍去），k2=
∴直线AC解析式为y=x+1
②若k<0，则S△AOD=S△BOD=-8k，S△ABC=-32（k2+k）
∴-8k=×[-32（k2+k）]
解得：k1=0（舍去），k2=（舍去）
综上所述，直线AC的解析式为y=x+1．
【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)交于A.
B两点，点A在x轴上，点B在y轴上。设抛物线与y轴的另一个交点为点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点(不与点A.
B重合)，
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变。当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标。
【解析】(1)直线y=x+4与坐标轴交于A.
B两点，
当x=0时，y=4，x=?4时，y=0，
∴A(?4，0)，B(0，4)，
把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为y=?x2?x+4；
(2)如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，
∴PDOD=PFOB，
∵OB为定值，
∴当PF取最大值时，PDOD有最大值，
设P(x，?x2?x+4)，其中?4∴PF=yP?yF=?x2?x+4?(x+4)=?x2?2x，
∵?<0且对称轴是直线x=?2，
∴当x=?2时，PF有最大值，
此时PF=2，PD/OD=PF/OB=；
(3)∵点C(2，0)，
∴CO=2，
(i)如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP=CF，∠PCF=90°，
∵∠PCH+∠OCF=90°，∠PCH+∠HPC=90°，
∴∠HPC=∠OCF，
在△CPH和△FCO中，∠HPC=∠OCF，∠PHC=∠COF，PC=CF，
∴△CPH≌△FCO(AAS)，
∴PH=CO=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴?x2?x+4=2，
解得，x=?1±，
∴P1(?1+，2)，P2(?1?，2)，
(ii)如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，
∴PS=PK，
∴P点的横纵坐标互为相反数，
∴?x2?x+4=?x，
解得x=2(舍去)，x=?2，
∴P3(?2，2)，
如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理可证得△PEN≌△PCM，
∴PN=PM，
∴P点的横纵坐标相等，
∴?x2?x+4=x，
解得x=?2+2，x=?2?2(舍去)，
∴P4(?2+2，?2+2)，
综合以上可得P点坐标为(?2+2，?2+2)，(?2，2).
?
练习1-1.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与
y
轴交于点
C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线
AD与y轴交于点
E．
（1）求直线
AD
的解析式；
（2）如图
1，直线
AD
上方的抛物线上有一点
F，过点
F
作
FG⊥AD
于点
G，作
FH
平行于x
轴交直线
AD
于点
H，求△FGH
周长的最大值；
练习1-2.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接CB、CD.
(1)求抛物线的解析式并求∠ABC的正弦值；
(2)过点B作BM∥CD交抛物线对称轴于点M，求点M的坐标；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求线段EF的最大值．
练习1-3.如图，直线y=?x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=?x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A.
点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合)，设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQ：NQ=时，求t的值；
(3)如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值。
周长最值问题
【经典例题】如图，抛物线y=
-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．
答：（1）A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)
（2）对称轴x=
-1，PM
=-m2-2m+3，MN=
-2m-2
周长l=2(PM+MN)=
-2m2-8m+2
（3）l=-2(m+2)2+10，当m=-2，时，周长有最大值.
直线AC：y=x+3(按步骤求)，E(-2，1)
S△AEM==
（4）D(-1，4)，Q(0，3)，DQ=，所以FG=4
FG=yG-yF=x+3-(
-x2-2x+3)=x2+3x
令x2+3x=4，整理得x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1
所以F(-4，-5)或F(1，0)
练习2-1如图，抛物线y＝ax2+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；
(3)在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．
如图1，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
练习1-1.【解析】
(1)当x=0时，y=?x2+2x+3=3，则C(0，3)，
当y=0时，?x2+2x+3=0，解得x1=?1，x2=3，则A(?1，0)，B(3，0)，
∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
而点D和点C关于直线x=1对称，
∴D(2，3)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A(?1，0)，D(2，3)分别代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y=x+1；
(2)当x=0时，y=x+1=1，则E(0，1)，
∵OA=OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴∠EAO=45°，
∵FH∥OA，
∴△FGH为等腰直角三角形，
过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，
∴FN⊥FH，
∴△FNH为等腰直角三角形，
而FG⊥HN，
∴GH=NG，
∴△FGH周长等于△FGN的周长，
∵FG=GN=FN，
∴△FGN周长=(1+)FN，
∴当FN最大时，△FGN周长的最大，
设F(x，?x2+2x+3)，则N(x，x+1)，
∴FN=?x2+2x+3?x?1=?(x?)2+94，
当x=时，FH有最大值94，
∴△FGN周长的最大值为(1+)×=，
即△FGH周长的最大值为；
练习1-2.
【解析】(1)∵抛物线y=?x2+bx+c过点A(?1，0)，C(0，2)，
解得.
∴解析式为y=?x2+x+2，
当y=0时，?x2+x+2=0解得x=?1(舍)，x=4，
点B的坐标为(4，0)，C(0，2)，
BC=.
∴sin∠ABC=sin∠OBC=OC/BC=.
(2)存在。
∵对称轴是x=，
∴点D的坐标为(32，0)，
∴CD=.
PD=CD=，得P(，)或(，?)，
PC=CD=，即P点与D点关于底边的高对称，得
P点的纵坐标为4，即P(，4)，
综上所述：点P的坐标为(，)或(，?)，(，4)；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n
∵B、C两点坐标分别为(4，0)、(0，2)，
解得，
∴直线BC的解析式为y=?x+2.
设E点坐标为(x，?x+2)，则F点坐标为(x，?x2+x+2)，
EF=?x2+x+2?(?x+2)=?x2+2x=?(x?2)2+2，
当x=2时，EF最长，
∴当点E坐标为(2，1)时，线段EF最长
练习1-3.
【解析】(1)直线y=?x+4中，当x=0时，y=4
∴C(0，4)
当y=?x+4=0时，解得：x=4
∴B(4，0)
∵抛物线y=?x2+bx+c经过B，C两点
∴
解得：
∴抛物线解析式为y=?x2+3x+4
(2)∵B(4，0)，C(0，4)，∠BOC=90°
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵ME⊥x轴于点E，PB=t
∴∠BEP=90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PE/PB=
∴BE=PE=PB=t
∴xM=xP=OE=OB?BE=4?t，yP=PE=t
∵点M在抛物线上
∴yM=?(4?t)2+3(4?t)+4=?t2+5t
∴MP=yM?yP=?t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON=PE=t
∴NC=OC?ON=4?t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴MP/NC=MQ/NQ=
∴t=
解得：t1=，t2=4(点P不与点C重合，故舍去)
∴t的值为
(3)∵∠PEB=90°，BE=PE
∴∠BPE=∠PBE=45°
∴∠MPD=∠BPE=45°
①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°
∴∠DMP=90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°
∵∠AEM=90°
∴AE=ME
∵y=?x2+3x+4=0时，解得：x1=?1，x2=4
∴A(?1，0)
∵由(2)得，xM=4?t，ME=yM=?t2+5t
∴AE=4?t?(?1)=5?t
∴5?t=?t2+5t
解得：t1=1，t2=5(0③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF
∴CF=CD
∵A(?1，0)，M(4?t，?t2+5t)，设直线AM解析式为y=ax+m
∴解得：
∴直线AM:y=tx+t
∴F(0，t)
∴CF=OC?OF=4?t
∵tx+t=?x+4，解得：x=
∴DG=xD=
∵∠CGD=90°，∠DCG=45°
∴CD=DG=
∴4?t=
解得：t=?1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t=1或t=?1.
练习2-1
【解析】(1)在抛物线y=ax2+(4a?1)x?4中，
当x=0时，y=?4，
∴C(0，?4)，∴OC=4，
∵OC=2OB，∴OB=2，
∴B(2，0)，
将B(2，0)代入y=ax2+(4a?1)x?4，
得，a=，
∴抛物线的解析式为y=x2+x?4；
(2)设点D坐标为(x，0)，
∵四边形DEFH为矩形，
∴H(x，x2+x?4)，
∵y=x2+x?4=(x+1)2?，
∴抛物线对称轴为x=?1，
∴点H到对称轴的距离为x+1，
由对称性可知DE=FH=2x+2，
∴矩形DEFH的周长C(2x+2)+2(?x2?x+4)=?x2+2x+12=?(x?1)2+13，
∴当x=1时，矩形DEFH周长取最大值13，
∴此时H(1，?)，
∴HF=2x+2=4，DH=，
∴S矩形DEFH=HF?DH=4×=10；
(3)如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，
过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，
由(2)知，抛物线对称轴为x=?1，H(1，?)，
∴G(?1，?)，
设直线BH的解析式为y=kx+b，
将点B(2，0)，H(1，?)代入，
得，，解得，，
∴直线BH的解析式为y=x?5，
∴可设直线MN的解析式为y=x+n，
将点(?1，?)代入，得n=，
∴直线MN的解析式为y=x+，
当y=0时，x=?，
∴M(?，0)，
∵B(2，0)，
∴将抛物线沿着x轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，
∴m的值为.二次函数交点问题
【经典例题1】在平面直角坐标系内，已知点A(?1，0)，点B(1，1)都在直线y=x+上，若抛物线y=ax2?x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是(
)
A.
a??2
B.
a<
C.
1?a<或a??2
D.
?2?a<
【解析】∵抛物线y=ax2?x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+=ax2?x+1，则2ax2?3x+1=0
∴△=9?8a>0
∴a<
①当a<0时，a+1+1?0；a?1+1?1
解得：a??2
∴a??2
②当a>0时，a+1+1?0；a?1+1?1
解得：a?1
∴1?a<
综上所述：1?a<或a??2
故选：C.
练习1-1已知二次函数y=x2?3x?4的图象，将其函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，n的取值范围为
.
练习1-2如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(
).
A.?b≤-2?????????????????????????????B.?b<-2?????????????????????????C.?b≥-2??????????????????????????D.?b>-2
练习1-3对于实数a和b，定义一种新的运算“
”，
，计算(2x+1)
(x+1)
=________.若
(2x+1)
(x+1)=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，记k=x1+x2+x3
，则k的取值范围是
________.
练习1-4
如图，直线y=x+2与y轴交于点A，与直线y=?x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=(x?h)2+k的顶点在直线y=?x上移动。若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是(
)
A.
?2?h?
B.
?2?h?1
C.
?1?h?
D.
?1?h?
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，4)，点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c.
(1)填空：△AOB≌△___≌△BMC(不需证明);用含t的代数式表示A点纵坐标：A(0，___)；
(2)求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
(3)当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
【解析】(1)如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA(同角的余角相等).
在△AOB与△DNA中，
OB=NA；∠OBA=∠NAD；AB=DA，
∴△AOB≌△DNA(SAS).
同理△DNA≌△BMC.
∵点P(0，4)，AP=t，
∴OA=OP?AP=4?t.
故答案是：DNA或△DPA；4?t；
(2)由题意知，NA=OB=t，则OA=4?t.
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4?t=4，
∴C(4，t).
又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C，
∴c=0；t=16a+4b+c，
解得b=t?4a；
(3)当t=1时，抛物线为y=ax2+(?4a)x，NA=OB=1，OA=3.
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D(3，4)，
∴直线OD为：y=x.
联立方程组，得y=ax2+(?4a)x；y=x，
消去y，得
ax2+(??4a)x=0，
解得x=0或x=4+，
所以，抛物线与直线OD总有两个交点。
讨论：①当a>0时，4+>3，只有交点O，所以a>0符合题意；
②当a<0时，若4+>3，则a<.
又因为a<0
所以a若4+<0，则得a>?.
又因为a<0，
所以?综上所述，a的取值范围是a>0或a练习2-1如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.
①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；
②当取最大值时，求点到线段的距离；
③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.
练习2-2如图，抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；
（3）在抛物线上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．
练习2-3已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．
练习2-4如图，抛物线y=mx2?mx?4与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C，且x2?x1=.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上的两点，当a?x1?a+2，x2?时，均有y1?y2，求a的取值范围；
抛物线上一点D(1，?5)，直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标。
练习2-5已知二次函数y=ax2+bx+t?1，t<0.
(1)当t=?2时，
①若二次函数图象经过点(1，?4)，(?1，0)，求a，b的值；
②若2a?b=1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y=kx+p(k≠0)，始终与二次函数图象交于不同的两点?若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；
练习2-6两条抛物线C2：与的顶点相同。
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（，），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB'，且点B'恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
练习2-7如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联。
(1)已知两条抛物线①：y=x2+2x?1，②：y=?x2+2x+1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由。
(2)抛物线C1:y=(x+1)2?2，动点P的坐标为(t，2)，将抛物线C1绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C2与C1关联，求抛物线C2的解析式。
(3)若A为抛物线C1:y=(x+1)2?2的顶点，B是与C1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB′，若点B′恰好在y轴上，求点B′的纵坐标。
练习2-8已知，抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1，0)，且a(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
(3)a=?1时，直线y=?2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0)，若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围。
参考答案
练习1-1【解析】令x2?3x?4=0，
解得：x1=?1，x2=4，
故A，B两点的坐标分别为A(?1，0)，B(4，0).
如图，当直线y=x+n(n<1)，
经过A点时，可得n=1，
当直线y=x+n经过B点时，
可得n=?4，
∴n的取值范围为?4翻折后的二次函数解析式为二次函数y=?x2+3x+4.
当直线y=x+n与二次函数y=?x2+3x+4的图象只有一个交点时，
x+n=?x2+3x+4，
整理得：x2?2x+n?4=0，
△=4?4(n?4)=20?4n=0，
解得：n=5，
所以n的取值范围为：n>5.
由图可知，符合题意的n的取值范围为：?45.
故答案为：?45.
练习1-2（2019九上·许昌期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(
).
A.?b≤-2?????????????????????????????B.?b<-2?????????????????????????C.?b≥-2??????????????????????????D.?b>-2
【解答】当二次函数y=x2+bx+1的图象经过点B（1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B、D；
因为y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-≤1，解得b≥-2，故答案为：C.
【分析】根据y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），且与点C关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围.
练习1-3（2020九上·路桥期末）对于实数a和b，定义一种新的运算“
”，
，计算(2x+1)
(x+1)
=________.若
(2x+1)
(x+1)=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，记k=x1+x2+x3
，则k的取值范围是
________.
答案：;-1练习1-4【解析】∵将y=x+2与y=?x联立得：y=x+2；y=?x，解得：x=?2；y=1.
∴点B的坐标为(?2，1).
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h，k).
∵将x=h，y=k，代入得y=?x得：?h=k，解得k=?h，
∴抛物线的解析式为y=(x?h)2?h.
如图1所示：当抛物线经过点C时。
将C(0，0)代入y=(x?h)2?h得：h2?h=0，解得：h1=0(舍去)，h2=.
如图2所示：当抛物线经过点B时。
将B(?2，1)代入y=(x?h)2?h得：(?2?h)2?h=1，整理得：2h2+7h+6=0，解得：h1=?2，h2=?(舍去).
综上所述，h的范围是?2?h?.
故选A.
练习2-1【解析】（1）根据题意得：，，
在中
，且，
∴，
，将点坐标代入得：，
故抛物线解析式为：；
（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2，4)，
设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），
则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，
∵PQ⊥PC，
∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2，
即22+(m-3)2+
m2+(n-2)2=32+n2，整理得：
n==（0≤m≤4），
∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，
∴≤n≤4；
②由①知：当n取最大值4时，m=4，
∴P（2，4），Q（4，0）
则PC=，PQ=2，CQ=5，
设点P到线段CQ距离为，
由，
得：
故点到线段距离为；
③由②可知：当取最大值4时，，
线段的解析式为：，
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，
当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点
此时对应的点的纵坐标为：，
将代入得：，
当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，
联解
得：，化简得：
，
由，得，
当线段与抛物线有两个交点时，.
练习2-2
【解析】（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A(-1，0)点，∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：∵，∴x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：=(-1＜x＜5)，其顶点为(2，9)．
∵新图象与直线y=t恒有四个交点，∴0＜t＜9．
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由得，
解得，
∵以EF为直径的圆过点Q(2，1)，∴，
即，解得．
又∵0＜t＜9，∴t的值为；
（3）x的取值范围是：或．
练习2-3【解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+m2+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1．
练习2-4【解析】(1)函数的对称轴为：x=?==，而且x2?x1=，
将上述两式联立并解得：x1=?，x2=4，
则函数的表达式为：y=m(x+)(x?4)=m(x2?4x+x?6)，
即：?6m=?4，解得：m=，
故抛物线的表达式为：y=x2?x?4；
(2)由(1)知，函数的对称轴为：x=，
则x=和x=?2关于对称轴对称，故其函数值相等，
又a?x1?a+2，x2?时，均有y1?y2，
结合函数图象可得：a??2a+2?，解得：?2?a?；
(3)如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，
而点B.
C.
D的坐标分别为：(4，0)、(0，?4)、(1，?5)，
则OB=OC=4，CG=GC=1，BC=4，CD=，
故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，
∴∠BCD=180°?∠OCB?∠GCD=90°，
在Rt△BCD中，tan∠BDC=BC/CD=4/=4，
∠BDC=∠MCE，
则tan∠MCE=4，
将点B.
D坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：
直线BD的表达式为：y=x?，故点E(0，?)，
设点M(n，n?)，过点M作MF⊥CE于点F，
则MF=n，CF=OF?OC=?n，
tan∠MCE=MF/CF==4，
解得：n=，
故点M(，?).
练习2-5【解析】（1）①当t=-2时，二次函数为y=ax2+bx-3．
把（1，-4），（-1，0）分别代入y=ax2+bx-3，
得a+b?3＝?4；a?b?3＝0
，解得a＝1；b＝?2，
所以a=1，b=-2；
②∵2a-b=1，∴b=2a-1，
∴当直线y=kx+p与二次函数y=ax2+bx-3图象相交时，kx+p=ax2+（2a-1）x-3，
整理，得ax2+（2a-k-1）x-3-p=0，
∴△=（2a-k-1）2+4a（3+p），
若直线与二次函数图象交于不同的两点，则△>0，
∴（2a-k-1）2+4a（3+p）>0，
整理，得4a2-4a（k-p-2）+（1+k）2>0，
∵无论a取任意不为零的实数，总有4a2>0，（1+k）2≥0，
∴当k-p-2=0时，总有△>0，
∴可取p=1，k=3，
∴对于任意不为零的实数a，存在直线y=3x+1，始终与二次函数图象交于不同的两点；
练习2-6【解析】y2=x2-2x-3
(2)AP+OP的最大值是
（3）当点Q在顶点C的下方时，Q（1，-5）
当点Q在顶点C的上方时，Q（1，-2）
练习2-7【解析】(1)∵①抛物线y=x2+2x?1=(x+1)2?2的顶点坐标为M(?1，?2)，
∴②当x=?1时，y=?x2+2x+1=?1?2+1=?2，
∴点M在抛物线②上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=?x2+2x+1=?(x?1)2+2，其顶点坐标为(1，2)，
经验算：(1，2)在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；
(2)抛物线C1:y=(x+1)2?2的顶点M的坐标为(?1，?2)，
∵动点P的坐标为(t，2)，
∴点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，
∴点N的纵坐标为6，
当y=6时，(x+1)2?2=6，
解得：x1=7，x2=?9，
①设抛物C2的解析式为：y=a(x?7)2+6，
∵点M(?1，?2)在抛物线C2上，
∴?2=a(?1?7)2+6，
∴a=?.
∴抛物线C2的解析式为：y=?(x?7)2+6；
②设抛物C2的解析式为：y=a(x+9)2+6，
∵点M(?1，?2)在抛物线C2上，
∴?2=a(?1+9)2+6，
∴a=?18.
∴抛物线C2的解析式为：y=?(x+9)2+6；
(3)若A为抛物线C1:y=(x+1)2?2的顶点，
∴A(?1，?2)，
∵点B′恰好在y轴上，
∴AN=1，
∵BA⊥B′A，
∴∠BAM+∠B′AN=90°，
∵∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠B′AN，
∵AB=AB′，
∴△ABM≌△B′AN，
∴BM=AN=1，AM=B′N，
∴B点的纵坐标为?1，
把y=?1代入y=(x+1)2?2
解得：x=?1+2或x=?1?2，
∴B′(0，2?2)或(0，?2?2)，
∴点B′的纵坐标是(0，2?2)或(0，?2?2).
练习2-8【解析】(1)∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1，0)，
∴a+a+b=0，即b=?2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax?2a=a(x+)2?，
∴抛物线顶点D的坐标为(?，?)；
(2)∵直线y=2x+m经过点M(1，0)，
∴0=2×1+m，解得m=?2，
∴y=2x?2，
则y=2x?2；y=ax2+ax?2a，
得ax2+(a?2)x?2a+2=0，
∴(x?1)(ax+2a?2)=0，
解得x=1或x=2a?2，
∴N点坐标为(2a?2，4a?6)，
∵a∴a<0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x=?=?，
∴E(?，?3)，
∵M(1，0)，N(2a?2，4a?6)，
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|(2a?2)?1|?|??(?3)|=??，
(3)当a=?1时，
抛物线的解析式为：y=?x2?x+2=?(x?)2+，
有y=?x2?x+2；y=?2x，
?x2?x+2=?2x，
解得：x1=2，x2=?1，
∴G(?1，2)，
∵点G、H关于原点对称，
∴H(1，?2)，
设直线GH平移后的解析式为：y=?2x+t，
?x2?x+2=?2x+t，
x2?x?2+t=0，
△=1?4(t?2)=0，
t=94，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1，0)，
把(1，0)代入y=?2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2?t<.二次函数图象与系数a、b、c的关系
1、二次函数的解析式y=ax2+bx+c（a≠0）
a——开口方向及开口大小
当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；越大，抛物线的开口越小.
a、b——决定对称轴的位置，“左同右异”
b=0时，对称轴为y轴；
a、b同号时，对称轴在y轴的左侧（左同）；
a、b异号时，对称轴在y轴的右侧（右异）.反之，亦成立.
c——图象与y轴的交点
c=0时，抛物线经过原点；
c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；
c<0时，抛物线与y轴交于正半轴；
2、二次函数与一元二次方程的关系：判别式，
，图象与x轴有两个交点；
，图象与x轴有一个交点；
，图象与x轴有一个交点.
3、对称轴借助于确定的对称轴x=，建立a、b的等量关系(代换)或大小关系，
常见结论：，
常见不等式：需考虑a、b的正负！！！
4、记住常用6个点，判断正负关系
当x=1时，y=a+b+c；
当x=-1时，y=a-b+c
当x=2时，y=4a+2b+c；当x=-2时，y=4a-2b+c
当x=3时，y=9a+3b+c；当x=-3时，y=9a-3b+c
5、函数值的变化规律
开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大；
开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在对称轴右边，y随x的增大而减小；
6、比较y值的大小（距离大小）
开口向上，横坐标越靠近对称轴值越小即点到对称轴的距离越小，值越小；
开口向下，横坐标越靠近对称轴值越大即点到对称轴的距离越小，值越大；
7、与不等式的关系，
①函数图象与x轴的交点横坐标分别为x1，x2，且x1图象开口向上，y>0则取两边即x>x2或x图象开口向下，y>0则取中间即x1x2或x②与一次函数结合
不等式ax2+bx+c
>
kx+b抛物线图象位于一次函数的上方；
不等式ax2+bx+c
<
kx+b抛物线图象位于一次函数的下方.
8、图象的平移：平移规律“左加右减”
①在一般式y=ax2+bx+c（a≠0）中直接平移自变量x，
向左平移m个单位y=a(x+m)2+b(x+m)+c
向右平移m个单位y=a(x-m)2+b(x-m)+c
向上平移m个单位y=ax2+bx+c+m
向下平移m个单位y=ax2+bx+c-m
②在顶点式中
y=a（x-h）2
+k（a≠0），
上下左右平移，
轴对称变换，与x轴对称，a变号，顶点为（h，-k）“横同纵反”
与y轴对称，a不变，顶点为（-h，k）“横反纵同”
旋转变换，绕顶点（180°），a变号，顶点为（h，k）
绕原点（180°），a变号，顶点为（-h，-k）
9、对二次函数概念的理解：y=ax2+bx+c(x为实数)
抛物线本身和其顶点坐标；(a+c)2-b2<0
m(am+b)【经典例题1—图像类】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=
-1，顶点坐标为（-1，-4）与x轴的一个交点B为（1，0），其图像如图所示，下列结论：
(1)abc>0；(2)2a-b=0；(3)4ac-c；(5)4a-2b+c>0；(6)3a+c>0；
(7)一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-3，x2=1；
(8)当x>0时，y随x的增大而增大；
(9)若点C（，y1），D（，y2）是函数图象上的两点，则y1
<
y2；
E（x1，2），F（x2，3）是函数图象上的两点，则x1
<
x2；
(10)a-b
≥
at2+bt（t为实数）；
(11)4ac<8a+b2；
(12)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m<
-4；
(13)图象向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度之后解析式变为；
(14)图象沿x轴翻折之后的解析式变为；
(15)抛物线与x轴负半轴交点A，当-3其中正确的是
.（填序号）
练习：1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴直线x＝1上的动点．根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a＋b＝0；②x＝3是ax2＋bx＋3＝0的一个根；③△PAB周长的最小值是＋3.其中正确的是( A )
A．①②③
B．仅有①②
C．仅有①③
D．仅有②③
2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)与x轴交于点(?3，0)，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：
①abc>0；②3a+c>0；③当x<0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为；⑤；⑥若m，n(m2，其中正确的结论有(
)
A.?3个
B.?4个
C.?5个
D.?6个
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②b2－4ac＞0；③5a－2b＋c＞0;
④4b＋3c＞0.其中错误结论的个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：
①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3．其中正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是
．（填序号）
6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点（－1，2），且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2<
x1<－1，00；②4a－2b+c<0；③2a－b<0；④b2+8a>4ac．其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7.我们定义一种新函数：形如(a≠0，且b2?4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(?1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当?1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=?1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是________________.
8.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：(1)4a＋2b＋c＞0；(2)5a－b＋c＝0；(3)a(x＋5)(x－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则－5＜x1＜x2＜1；(4)若方程｜ax2＋bx＋c｜＝1有四个根，则这四个根的和为－4．其中正确的结论有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8-1抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a═；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
9.在平面直角坐标系xoy中，已知点M，N的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是(
)
A.a≤－1或≤a＜
B.≤a＜
C.a≤或a＞
D.a≤－1或a≥
10.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M________N.(选填“＞”“＝”或“＜”)
【解析】
11.如图所示，y=mx+n与y=ax2+k的图象交于(-2，0)，(5，c)两点，则不等式mx+ax2+k.
12.抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）、（5，0）两点，则关于的一元二次方程a（x+h+2）2+k＝0的解是
．
13.若二次函数y＝mx2+2mx+m2+1（m＜0）的图象经过点A（﹣2，y1）、B（0，y2）、C（1，y3），则关于y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＝y2＜y3
B．y3＜y1＝y2
C．y1＜y2＜y3
D．y2＜y1＜y3
14.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(-2，0)，对称轴为x=1，与y轴的交点C在(0，2)，(0，3)之间（包含端点），下列结论正确的是
.
①2a+b=0；②；③对任意的实数m，a+b>am2＋bm总成立；④
【经典例题2—表格类】
突破口：根据二次函数图象的对称性，当两个函数值相等时，横坐标关于对称轴对称。
已知二次函数y=ax2+bx+c
的y与x的部分对应值如下表:
x
-1
0
2
3
4
y
5
0
-4
-3
0
下列结论:①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线
x=2；③当
0时，y>0；④抛物线与
x
轴的两个交点间的距离是
4；⑤若
A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则
x1)
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称性为直线x＝2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x2＜x1＜2或2＜x1＜x2，所以⑤错误．
故选：B．
1.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
有以下几个结论：①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1；③方程ax2+bx+c=0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
0
1
3
y
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
2
1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
2
2
n
…
且当时，与其对应的函数值y>0．有下列结论：①abc0；②2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0m+n．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4.已知二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
0
m
…
(1)观察上表可求得
m
的值为
；
(2)这个二次函数的解析式为
；
(3)若点
A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且
y1>y2，则
n的取值范围为
.
参考答案
1.【解析】①根据图象知，对称轴是直线x=，则b=?2a，即2a+b=0.
故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是(?1，0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)，所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点。
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是(BA′+AB)的长度。
∵B(0，3)，A′(3，0)，
∴BA′=3.即△PAB周长的最小值是3+.
故③正确。
综上所述，正确的结论是：①②③。
故选A.
2.【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），其对称轴为直线x=-
∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0）和（2，0），且a=b
由图象知：a<0，c>0，b<0
∴abc>0
故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0）
∴9a-3b+c=0
∵a=b
∴c=-6a
∴3a+c=-3a>0
故结论②正确；
∵当x<-时，y随x的增大而增大；当-∴结论③错误；
∵cx2+bx+a=0，c>0
∴x2+x+1=0
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0）和（2，0）
∴ax2+bx+c=0的两根是-3和2
∴=1，=-6
∴x2+x+1=0即为：-6x2+x+1=0，解得x1=-，x2=；
故结论④正确；
∵当x=-时，y=>0
∴<0
故结论⑤正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0）和（2，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x+3）（x-2）
∵m，n（m∴m，n（m∴m，n（m结合图象得：m<-3且n>2
故结论⑥成立；
故选：C．
3.【解析】
由图象可知a<0，c>0，对称轴为x=?，
∴x=?=?，
∴b=3a，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2?4ac>0，
②正确；
当x=?1时，a?b+c>0，
当x=?3时，9a?3b+c>0，
∴10a?4b+2c>0，
∴5a?2b+c>0，
③正确；
由对称性可知x=1时对应的y值与x=?4时对应的y值相等，
∴当x=1时a+b+c<0，
∵b=3a，
∴4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3(a+b+c)<0，
∴4b+3c<0，
④错误；
故选：A.
4.【解析】∵图象和x轴有两个交点，
∴b2?4ac>0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(?1，3)，
∴y=a(x+1)2+3，
∵抛物线与x轴的交点A在点(?3，0)，
∴a(?3+1)2+3=0，
解得：a=?，
即y=?(x+1)2+3，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(?1，3)，与x轴的交点A在点(?3，0)和(?2，0)之间，
∴和x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，
把x=1代入y=ax2+bx+c=a+b+c<0，故②错误；
∵?=?1，
∴2a?b=0，故③正确；
∵y=?(x+1)2+3=?x2?x+，
∴c?a=?(?)=3，故④正确；
故答案为：③④。
5.【解析】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=?=?1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2?4ac>0，
即b2>4ac，正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵对称轴为x=?=?1，
∴2a=b，
∴2a+b=4a，a≠0，
错误；
③∵x=?1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x=1，x=?3代入解析式得a+b+c=0，9a?3b+c=0，两边相加整理得
5a?b=?c<0，即5a故选B.
6.【解析】
①∵该函数图象的开口向下，∴a<0；
又对称轴x=?<0，
∴b<0；
而该函数图象与y轴交于正半轴，故c>0，
∴abc>0，正确；
②当x=?2时，y<0，即4a?2b+c<0；正确；
③根据题意得，对称轴?1④∵>2，a<0，
∴4ac?b2<8a，
即b2+8a>4ac，正确。
故选D.
7.【解析】①∵(?1，0)，(3，0)和(0，3)坐标都满足函数y=|x2?2x?3|，∴①是正确的;
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当?1?x?1或x?3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=?1或x=3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x3，函数值要大于当x=1时的y=|x2?2x?3|=4，因此⑤时不正确的；
故答案是：4
8.【解析】
∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的顶点坐标(?2，?9a)，
∴?=?2，=?9a，
∴b=4a，c=?5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax?5a，
∴a?3b+2c=a?12a?10a=?21a<0，所以①结论错误，
3a?2b?c=3a+4a+5a=12a>0，故②结论错误，
∵抛物线y=ax2+4ax?5a交x轴于(?5，0)，(1，0)，
∴若方程a(x+5)(x?1)=?1有两个根x1和x2，且x1若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则=?2，可得x1+x2=?4，
设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x3，x4，则=?2，可得x3+x4=?4，
所以这四个根的和为?8，故结论④正确，
故选：B.
8-1【解析】①∵二次函数与x轴交于点A(?1，0)、B(3，0)．
∴二次函数的对称轴为x==1，即?=1，
∴2a+b=0．
故①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(?1，0)、B(3，0)．
∴a?b+c=0，9a+3b+c=0．
又∵b=?2a．
∴3b=?6a，a?(?2a)+c=0．
∴3b=?6a，9a?6a+c=0，
∴2c=?6a，
∴2c=3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是x=1．
∴x=1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c即a+b故③正确；
④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2=42．
解得，AD2=8．
设点D坐标为(1，y)．
则[1?(?1)]2+y2=AD2．
解得y=±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为(1，?2)．
∵二次函数的顶点D为(1，?2)，过点A(?1，0)．
设二次函数解析式为y=a(x?1)2?2．
∴0=a(?1?1)2?2．
解得a=．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选C
.
9.【解析】∵抛物线的解析式为y＝ax2－x＋2.
观察图象可知当a<0时，x=?1时，y?2时，且>?1，满足条件，可得a??1；
当a>0时，x=2时，y?1，且抛物线与直线MN有交点，且?2满足条件，
∴a?，
∵直线MN的解析式为y=?x+，
由y=?x+，y=ax2?x+2，消去y得到，3ax2?2x+1=0，
∵△>0，
∴a<，
∴?a<满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a??1或?a<，
故选：A.
10.【解析】
当x=-1时，y=a-b+c>0
当x=2时，y=4a+2b+c<0
M-N=4a+2b-(a-b)
=4a+2b+c-(a-b+c)<0
即M故答案为：<
11.【解析】∵y=mx+n过（-2，b），（5，c）两点，
∴b=-2m+n，c=5m+n，
当x=2时，y=-mx+n=-2m+n=b，
当x=-5时，y=-mx+n=5m+n=c，
∴直线y=-mx+n过（2，b）和（-5，c）两点，
∵y=mx+n与y=ax2+k的图象交于（-2，b），（5，c）两点，
∴根据二次函数图象的对称性质可知，y=ax2+k的图象过（2，b）和（-5，c）两点，
如图所示，y=-mx+n与y=ax2+k的图象交于（2，b）和（-5，c）两点，
由图象可知，直线y=-mx+n在抛物线y=ax2+k上方时，x<-5或x>2，
∴不等式ax2+k<-mx+n的解集为x<-5或x>2，
即不等式mx+ax2+k2，
12.【解析】∵抛物线y=a（x﹣h）2+k与x轴的交点的坐标为(?1，0)，(5，0)，
∴抛物线y=a（x+h）2+k与x轴的交点的坐标为(1，0)，(?5，0)，
把抛物线抛物线y=a（x+h）2+k向左平移两个单位得到y=a（x+h+2）2+k，
∴抛物线y=a（x+h+2）2+k与x轴的交点的坐标为(?1，0)，(?7，0)，
∴关于的一元二次方程a（x+h+2）2+k=0的解为x1=?1，x2=?7.
故答案为：x1=?1，x2=?7.
13.【解析】∵二次函数y=mx2+2mx+m2+1=m(x+1)2+m2?m+1，m<0，
∴该函数的对称轴为直线x=?1，开口向下，
∵二次函数y=mx2+2mx+m2+1(m<0)的图象经过点A(?2，y1)、B(0，y2)、C(1，y3)，(?1)?(?2)=1，0?(?1)=1，1?(?1)=2，
∴y3故选：B.
14.【解析】(1)∵对称轴x=?=1，
∴b=?2a，
∴2a+b=0.
故结论(1)正确；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(?1，0)，b=?2a，
∴a?b+c=3a+c=0，
∴a=?.
又∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，
∴2?c?3，
∴?1?a??，结论②正确；
(3)∵a<0，设顶点坐标为(1，n)，
∴n=a+b+c，且n?ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b?am2+bm总成立，结论(3)正确；
故选：D.
【经典例题2—表格类】
练习1.【解析】由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x=，故②错误，
抛物线的顶点坐标是(1，?1)，有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，
当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，
当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，
2.【解析】由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x=时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=，故②错误，
当x<时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于?1，小于0，则方程的另一个根大于2×=3，小于3+1=4，故④错误，
故选B.
3.【解析】当x=0时，c=?2，
当x=1时，a+b?2=?2，
∴a+b=0，
∴y=ax2?ax?2，
∴abc>0，
①正确；
x=是对称轴，
x=?2时y=t，则x=3时，y=t，
∴?2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；
②正确；
m=a+a?2，n=4a?2a?2，
∴m=n=2a?2，
∴m+n=4a?4，
∵当x=?时，y>0，
∴a>，
∴m+n>，
③错误；
故选：C.
4.【解析】(1)观察上表可求得m的值为3，
故答案为：3；
(2)由表格可得，二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标是(1，?1)，
∴y=a(x?1)2?1，
又当x=0时，y=0，
∴a=1，
∴这个二次函数的解析式为y=(x?1)2?1；
(3)∵点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，
∴n>0.等腰三角形的判定
【经典例题1—点在对称轴上】如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；y=-x2+2x+3
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
【解析】（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得
抛物线的解析式y=-x2+2x+3，
（2）如图由勾股定理，CD=，CD=PD=，P1（1，），P2（1，-），
PC=PD时，设P（1，b），
1+（b-3）2=b2，
解得b=6，P3（1，），
综上所述：P1（1，），P2（1，-），P3（1，）；
练习1-1如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）.
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
练习1-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.
(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式；
(2)若点P是轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
【经典例题2—点在斜线上】(2019菏泽)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝－1.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积；
(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B（-4，0），
则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），
即：-8a=-2，解得：a=，
故抛物线的表达式为：y=x2+x-2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y=-x-2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC=，
设点D（x，0），则点P（x，x2+x-2），点E（x，x-2），
∵PE=OD，
∴PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），
解得：x=0或-5（舍去x=0），
即点D（-5，0）
S△PBE=×PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x）=；
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，
①当BD=BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，
BD=1=BM，
则MH=yM=BMsin∠ABC=1×=，
则xM=，故点M（-，-）；
②当BD=DM（M′）时，
同理可得：点M′（-，）；
故点M坐标为（-，-）或（-，）．
练习2-1如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【经典例题3—点在抛物线上】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【解析】(1)∵抛物线与y轴交于点C(0，3)，
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，
根据题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=?x2+2x+3.
(2)存在点P，使得△PDC是等腰三角形。
由y=?x2+2x+3，得
D点坐标为(1，4)，对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)，
根据勾股定理，得x2+(3?y)2=(x?1)2+(4?y)2，即y=4?x.
又P点(x，y)在抛物线上，
∴4?x=?x2+2x+3，即x2?3x+1=0，
解得：x=，x=<1(不合题意，舍去)，
所以x=，y=4?x=，
即点P的坐标为(，)；
②若以CD为一腰，PD=CD，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2，3)，
综上所述：符合条件的点P坐标为(，)
或(2，3).
练习3-1如图，抛物线与x轴交于A.
B两点，直线y=kx?1与抛物线交于A.
C两点，其中A(?1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为?3.
(1)求k的值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
练习3-2.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证：；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
练习1-1如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）.
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵抛物线y=?x2+bx+4的图象经过点A(?2，0)，
∴?×(?2)2+b×(?2)+4=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为y=?x2+x+4，
又∵y=?x2+x+4=?(x?3)2+，
∴对称轴方程为：x=3.
(3)存在，
理由：∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q(3，t)，∵A(?2，0)，C(0，4)，
∴AC=2，AQ=，CQ=.
①当AQ=CQ时，
有=，
25+t2=t2?8t+16+9，解得t=0，
∴Q1(3，0)；
②当AC=AQ时，
有2=，∴t2=?5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
③当AC=CQ时，
有2=，
整理得：t2?8t+5=0，解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q2(3，4+)，Q3(3，4?).
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1(3，0)，Q2(3，3，4+)，Q3(3，4?).
练习1-2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.
(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式；
(2)若点P是轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
【解析】（1）∵A（－1,0），B（0，－2）∴OE=OB=2，OA=1，
∵AD是⊙M的直径，∴OE·OB=OA·OD，
即：2?=1·OD，OD=4，∴D（4,0），把A（－1,0），B（0，－2），D（4,0）代入得：
，即
该抛物线的表达式为：．
连接AF，DF，因为FH⊥AD于点H，AD为直径，所以△AFH∽△FDH，HF?=DH·AH，
∵E点与B点关于点O对称，根据轴对称的性质，连接BF交x轴于点P，∵A（－1,0），D（4,0），
∴AD=5，设DH=x，则AH=5－x，即1.5?=x（5－x），5x－x?=，4x?－20x+9=0，（2x－1）（2x－9）=0，AH＞DH，
∴DH=，
∴OH=OD－DH=，∴F（3.5,1.5），
设直线BF的解析式为，则3.5k+b=1.5；b=－2，则k=1，b=－2，∴y=x－2，令y=0，则x=－2，
∴P（2,0）
（3）Q（，），Q（，－），Q（，－4），∴Q（，－）．
练习2-1如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得，
∴该二次函数的解析式为y=x2-x-4；
（2）由二次函数y=x2-x-4可知对称轴x=3，
∴D（3，0），
∵C（8，0），
∴CD=5，
由二次函数y=x2-x-4可知B（0，-4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x-4，
设E（m，m-4），
当DC=CE时，EC2=（m-8）2+（m-4）2=CD2，
即（m-8）2+（m-4）2=52，解得m1=8-2，m2=8+2（舍去），
∴E（8-2，-5）；
当DC=DE时，ED2=（m-3）2+（m-4）2=CD2，
即（m-3）2+（m-4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），
∴E（0，-4）；
当EC=DE时，（m-8）2+（m-4）2=（m-3）2+（m-4）2解得m5=5.5，
∴E（，-）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8-2，-5）、（0，-4）、（，-）．
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，
∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为m2-m-4，
∵△PBD的面积S=S梯形-S△BOD-S△PFD=m[4-（m2-m-4）]-（m-3）[-（m2-m-4）]-×3×4
=-m2+m=-（m-）2+
∴当m=时，△PBD的最大面积为，
∴点P的坐标为（，-）．
练习3-1如图，抛物线与x轴交于A.
B两点，直线y=kx?1与抛物线交于A.
C两点，其中A(?1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为?3.
(1)求k的值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
【解析】（1）把（-1，0）代入y=kx-1，得：-k-1=0，解得：k=-1；
（2）在y=-x-1中，令y=-3，解得：-x-1=-3，解得：x=2，则C的坐标是（2，-3）．
设抛物线的解析式是：y=ax2+bx+c，
则，解得：，
则函数的解析式是：y=x2-2x-3；
（3）A、C的中点是：（，），
∵△ACP是等腰三角形，且以AC为底边，
∴P在AC的中垂线上，
∴设AC的中垂线的解析式是：y=x+c，把（，）代入得：+c=，解得：c=-2．
则解析式是：y=x-2．
根据题意得：；
解得：或．
故P的坐标是：（，13）或（，）．
练习3-2.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证：；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+5)(x+1)，
把C(0，?5)代入得a?5?1=?5，解得a=?1，
所以抛物线解析式为y=?(x+5)(x+1)，即y=?x2?6x?5；
(3)①证明：∵∠APE=∠CPE，
而PH⊥AD，
∴△PAD为等腰三角形，
∴AH=DH，
设P(x，?x2?6x?5)，则OH=?x，OD=?x?DH，
∵PH∥OC，
∴△PHD∽△COD，
∴PH:OC=DH:OD，即(?x2?6x?5):5=DH:(?x?DH)，
∴DH=?x?5x+6，
而AH+OH=5，
∴?x?x?5x+6=5，
整理得2x2+17x+35=0，解得x1=?，x2=?5(舍去)，
∴OH=，
∴AH=5?=，
∵HE∥OC，
∴AE/EC=AH/OH==；
②能。设P(x，?x2?6x?5)，则E(x，?x?5)，
当PA=PE，因为∠PEA=45?，所以∠PAE=45?，则点P与B点重合，此时P点坐标为(?1，0)；
当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|?x2?6x?5|=|?x?5|，
解?x2?6x?5=?x?5得x1=?5(舍去)，x2=0(舍去);
解?x2?6x?5=x+5得x1=?5(舍去)，x2=?2，此时P点坐标为(?2，3)；
当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=(x+5)，P′E′=?x?5?(?x2?6x?5)=x2+5x，则x2+5x=(x+5)，解得x1=?5(舍去)，x2=，
此时P点坐标为(，?7?6)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(?1，0)，(?2，3)，(，?7?6).