第五章 相交线与平行线
5．1相交线
5．1．1相交线
课前预习篇
1．如果 有一条边是公共边，另一边互为反向延长线 具有这种关系的两个角，互为邻补角，其中一个角是另一个角的邻补角．
2．两直线相交，如果 有公共的顶点，没有公共的边 具有这种关系的两个角，互为对顶角，其中一个角是另一个角的对顶角．
3．对顶角的性质： 对顶角相等 ．
典例剖析篇
【例1】如图直线a、b相交，∠1=2∠2，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数．
【解析】∠1与∠2，利用互为邻补角的两个角的数量关系：和为180°，求出∠1和∠2的度数，而∠3是∠1的对顶角，∠4是∠2的对顶角，利用对顶角相等的性质即可求出∠4与∠3的度数，所以各角的度数即可求出．
解：因为直线a，b相交于点O，
所以由邻补角的定义得：∠1+∠2=180°，
因为∠1=2∠2，
所以∠1=2∠2=120°，∠2=60°．
所以由对顶角的性质得：∠3=∠1=120°，∠4=∠2=60°．
【例2】如图直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3∶∠2 = 8∶1， 求∠AOC的度数．
解：因为OE平分∠BOD，
所以∠1=∠2．
因为∠3∶∠2 = 8∶1，
所以设∠2=x，则∠1=x，∠3=8x．
因为∠1+∠2+∠3=180°，
所以8x+x+x=180°,
所以x=18°
所以∠2=18°，则∠1=18°，∠3=144°．
因为∠AOC=∠DOB，∠1+∠2=∠DOB，
所以∠AOC=36°．
基础夯实篇
1．列说法中，正确的个数为（ C ）
⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角
⑵相等的两个角是对顶角
⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角
⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D、．4个
2．下列图形中，∠α与∠β是邻补角的有（ C ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的有（ B ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，图中对顶角共有（ A ）
A．6对
B．11对
C．12对
D．13对
5．（2010福州)下面四个图形中，能判断∠1 > ∠2的是（ D ）
6．2010湘西）如图，两条直线a、b相交于点O， 若∠1=70°，则∠2= 110° ．
7．（2010娄底）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD＝100o，则∠AOE＝___40 o ____．
8．(2010南京)如图，O是直线l上一点，∠AOB＝100°，则∠1＋∠2＝_____80_____°．
9．（2010宁波）如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是（ B ）
A．125°
B．135°
C．145°
D．155°
10．(2009丹东)如图1，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是（ D ）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
决胜中考篇
11．如图，直线AB、CD、EF相交于O，若∠1 = 20°，∠2 = 40°，则∠3 = 20° ，∠4 = 40° ，∠5 = 120° ，∠6 =_120°___．
12．一个角的补角比这个角的对顶角的2倍多30°，求这个角的度数．
解：设这个角为x°，那么它的补角为180°-x°，它的对顶角为x°．
由于一个角的补角比这个角的对顶角的2倍多30°
所以180-x=2x+30
解得：x°=50°
答：这个角的度数是50°．
13．如图，直线AB、CD、EF相交于同一点O，而且∠BOC=∠AOC，∠DOF=∠AOD，求∠FOC的度数．
解： 因为∠BOC=∠AOC，
∠BOC+∠AOC=180°，
所以∠BOC=72°，∠AOC=108°．
所以∠BOC=∠AOD=72°．
因为∠DOF=∠AOD，
所以∠DOF=24°．
因为∠AOD+∠DOF+∠BOF=180°，
所以∠BOF=84°，
所以∠FOC=∠BOF+∠BOC=156°
14． （2010河源）平面内不过同一点的条直线两两相交,它们的交点个数记作,并且规定．那么:① =___1__;② =___2____;③ =__n-1____．
(n≥2,用含n的代数式表示)
15．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角) ．
⑴ 如图a，图中共有 2 对对顶角
⑵ 如图b，图中共有 6 对对顶角
⑶ 如图c，图中共有 12 对对顶角
⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 n(n-1) 对对顶角
⑸ 若有2011条直线相交于一点，则可形成 4042110 对对顶角．
第五章 相交线与平行线
5．1相交线
5．1．2垂线
课前预习篇
1．两直线交于一点，如果所得四个角中，有一个角等于 90° ，那么这两条直线互相 垂直 ，这个交点叫 垂足 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，用 ⊥ 表示两直线互相垂直．
2．垂线的性质一： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ．
3．画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在 直线 的垂线．
4．过点作直线的垂线， 点与垂足之间的线段 叫垂线段．
5．垂线的性质二： 连接直线外一点与直线上任意各点的所有线段中，垂线段最短 ，简单说成： 垂线段最短 ．
6．直线外一点到 这条直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离．
典例剖析篇
【例1】如图，直线CD交EF于点O，OA⊥EF,OB⊥CD，∠AOB =130°,求∠DOF的度数．
【解析】根据垂直的概念可以知道，∠AOE＝90°，∠COB＝90°，再利用已知条件，互余的性质和对顶角的性质可以求出∠DOF的度数．
解：因为OA⊥EF,OB⊥CD，
所以∠AOE＝90°，∠COB＝90° ．
因为∠AOB =130°，
所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=40°．
因为∠BOE+∠COE=90°，
所以∠COE=50°，
所以∠DOF=∠COE=50°
【例2】如图，直线AD⊥BD,垂足为D，则点B到线段AC的距离是（ D ）
A．线段AC的长
B．线段AD的长
C．线段BC的长
D．线段BD的长
【解析】直线外一点到直线的距离是过这一点到这条直线的垂线段的长度，此题中，点B到AD的距离即是到B到AD的垂线段的长度，即BD．
【答案】 D
基础夯实篇
1．下列语句正确的是（ C ）
A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直
B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直
C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直
D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直
2． （2010郴州）如图，直线l1与l2相交于点O，，若∠α=44°，则等于( B )
A．56°
B．46°
C．45°
D．44°
3．过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（ D ）
A．线段上 B．线段的端点上
C．线段的延长线上 D．以上情况都有可能
4．如图，OM⊥NP,ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（ B ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线和
已知直线垂直
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
5．（2010陕西）如果，点O在直线AB上且AB⊥OD，若∠COA=36°，则∠DOB的大小为（ B ）
A．3 6°
B．54°
C．64°
D．72°
6．自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这两个角分成两个角，它们度数的比是3：2，则这个钝角的度数是 150° ．
7．（2009长沙）如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为 135°
8．（2010南宁）如图所示，直线a、b被c、d所截，且，则___70___．
9．如图,AC⊥BC,CD⊥AB, 垂足为D,图中共有_3__个直角,它们是_∠ACB，∠ADC，∠CDB_______,图中线段__CD__的长表示点C到AB的距离，线段___AC_____的长表示点A到BC的距离．
10．如图4，计划把河水引到水池A中，先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_连接直线外一点与直线上任意各点的所有线段中，垂线段最短___．
决胜中考篇
11．甲、乙、丙、丁四位学生在判断时钟的时针与分针互相垂直的时刻，他们每个人说了两个时刻，说对的是（ D ）
A．甲说3点和3点半 B．乙说6点和6点15分
C．丙说8点半和10点一刻 D．丁说3点和4点分
12．（2009衡阳）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ A ）
A．AB中点
B．BC中点
C．AC中点
D．∠C的平分线与AB的交点
13．观察图形，下列说法正确的个数是（ C ）
①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；
②线段AC的长是点A到直线l的距离．
③线段AB、AC、AD中，线段AC最短，根据是垂线段最短；
④线段AB、AC、AD中，线段AC最短，根据是两点之间线段最短；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图,两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD=7：11，
（1）求∠COE的度数．
（2）若OF⊥OE，∠AOC=70°．
求∠COF的度数．
解：(1)因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE=∠DOE=∠BOD．
因为∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°，
所以设∠AOC=7x, ∠AOD=11x，则7x+11x=180°,
所以x=10°, ∠AOC=7x=70°, ∠AOD=11x=110°．
因为∠BOD=∠AOC，∠AOD=∠BOC，
所以∠BOE=∠DOE=∠BOD=35°，∠BOC=110°．
所以∠COE=∠BOC+∠BOE=145°．
(2)因为OF⊥OE，所以∠EOF=90°．因为∠EOF=∠DOE+∠DOF，∠DOE=35°，所以∠DOF=55°．
15．一个人要从A地出发去河a中挑水，并把水送到B地，那么这个人如何行走，才能使行走的距离最近，画出示意图，并说出理由．
B
A
a
解：如图，过B点作B关于河的对称点B′，连接AB′,交河岸于C,则AC、CB是最短路线。
第五章 相交线与平行线
5．1相交线
5．1．3同位角、内错角、同旁内角
课前预习篇
1．两直线被第三直线所截，所构成的八个角中，如果 两个角分别在两直线的同一方，并且都在第三直线的同侧 ，具有这种关系的一对角叫做同位角．
2．两直线被第三直线所截，所构成的八个角中，如果 两个角都在两直线之间，并且在第三直线的异侧 具有这种关系的一对角叫做内错角．
3．两直线被第三直线所截，所构成的八个角中，如果 两个角都在两直线的之间，并且都在第三直线的同旁 具有这种关系的一对角叫做同旁内角
4．
角的名称
位置特征
基本图形
相同点
共同点
同位角
在截线的同侧，在被截两直线的同旁．
同位角和同旁内角在位置上都在截线的同侧；
内错角和同旁内角在位置上都在被截两直线之间
同位角、内错角、同旁内角是描述的“三线八角”中的位置关系，非特殊情况，它们没有必然的大小关系．
这三类角都是没有公共顶点的．
内错角
在截线的同侧，在被截两直线之间．
同旁内角
在截线的两侧，在被截两直线之间．
典例剖析篇
【例1】如图，直线EF与直线AB、CD都相交，则图中的截线与被截线分别是哪些？并指出图中所标数字中，同位角，内错角和同旁内角分别有哪些？
【解析】从图中可以直接看出，此题是直线AB和CD被直线EF所截，要找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角，须将原图分解为几个基本的图形，同位角“F”型，内错角“Z或N”型，同旁内角“C”型．
解： 直线AB、CD被直线EF所截．同位角有∠1和∠5 ，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7；内错角有∠2和∠8，∠3和∠5；同旁内角有∠2和∠5，∠3和∠8．
基础夯实篇
1．如图所示，∠1和∠2是同位角的是（ D ）
2．(2009桂林)如图，在所标识的角中，同位角是（ C ）
A．∠1和∠2
B．∠1和∠3
C．∠1和∠4
D．∠2和∠3
3．如图所示，内错角共有 （ C ）
Ａ．３对
Ｂ．４对
Ｃ．６对
Ｄ．１０对
4．下列图中∠1和∠2是同位角的是（ D ）
A．⑴ ⑵ ⑶ B．⑵ ⑶ ⑷
C．⑶ ⑷ ⑸ D．⑴ ⑵ ⑸
5．如图5-12，∠ADE和∠CED是（ B ）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．互为补角
6．（2010桂林）如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是（ B ）．
A．∠1
B．∠2
C．∠4
D．∠5
7．两直线被第三直线所截，下列说法正确的是（ D ）
A．同位角一定相等 B．内错角一定相等
C．同旁内角一定互补 D．对顶角相等
8．如图三条直线相交所成的八个角中，∠1的同位角是__∠5___,∠3的内错角是__∠5___,∠3的同旁内角是__∠6__．
9．根据地图显示填空：
学校与游乐场所在的角形成一对 同位 角；
学校与超市所在的角形成一对 同旁内 角；
学校与飞机场所在的角形成一对 内错 角．
决胜中考篇
10．如图，请说出下列图形中的所有的同位角、内错角和同旁内角．
解：图中，同位角有：∠B与∠DCE，∠B与∠ACE；内错角有：∠1与∠2，∠3与∠4，∠D与∠DCE；同旁内角有：∠B与∠BAD，∠D与∠BCD，∠BAD与∠D，∠BCD与∠B，∠1与∠4，∠2与∠3，∠B与∠3，∠4与∠D，∠1与∠D，∠2与∠B．
11．看图填空：
（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与 ∠2 是同位角．
（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与 ∠AFC 是内错角．
（3）∠1与∠3是AB和AF被 ED 所截构成的 内错 角．
（4）∠2与∠4是 AB 和 AF 被BC所截构成的 同位角 ．
12．（１）如果把图看成是直线ＡＢ，ＥＦ被直线ＣＤ所截，那么∠１与∠２是一对什么角？∠３与∠４呢？∠２与∠４呢？
（2）如果把图看成是直线CＤ，ＥＦ被直线ＡＢ所截，那么∠１与∠５是一对什么角？∠4与∠5呢？
(3)哪两条直线被哪一条直线所截, ∠ 2与∠ 5是同位角？
解：（1）∠１与∠２是一对同位角,
∠３与∠４是一对内错角,
∠２与∠４是一对同旁内角．
（2）∠１与∠５是一对同旁内角, ∠4与∠5是一对内错角．
（3）直线ＡＢ，CD被直线EF所截
13．如图，与∠A构成同位角的共有哪些角？它们分别是哪两条直线被另一条直线所截而得到的同位角？
解：与∠A构成同位角的在3个角，它们分别是：
直线AE与直线CF被直线AD所截，∠A与∠DCF是同位角；
直线AE与直线CB被直线AD所截，∠A与∠DCB是同位角；
直线BC与直线AD被直线AE所截，∠A与∠CBE是同位角；
