第五章 相交线与平行线
5．2平行线及其判定
5．2．1平行线
课前预习篇
1．在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有： 相交和平行 ．
2．在同一平面内， 不相交的两条直线 叫平行线，直线AB、CD平行表示为 AB∥CD ．
3．平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ．
4．平行线的传递性： 如果两条直线都与第三直线平行，那么这两条直线平行 ．
典例剖析篇
【例1】同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．不能确定
【解析】本题考查了同一平面内两条直线的关系：平行或相交．两条直线互相垂直是相交的一种特殊情况，在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行，所以此题先C．
【答案】 C
【例2】下列说法中，正确的个数是（ ）
①一条直线的平行线只有一条 ②过一点与已知直线平行的直线只有一条 ③两条不相交的直线叫做平行线 ④在同一平面内，不相交的两条射线是平行线 ⑤在同一平面内，两条不平行也不重合的直线有且只有一个交点
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】一条直线的平行线有无数条，经过直线外一点与已知直线平行的只线有且只有一条，若某点在已知直线上，则过这一点不能做出与已知直线平行的直线，故①②是错误的；平行线的定义必须强调在“同一平面内”这个条件，所以③是错误的；“平行线”指的是“两条直线”，所以④也是错误的；⑤的说法是正确的．
【答案】 A
基础夯实篇
1．下列说法正确的是（ A ）
A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线
B．在同一平面内，不相交的两条线叫平行线
C．在同一平面内，不相交的两条线段叫平行线
D．在同一平面内，不相交的两条射线叫平行线
2．下列说法正确的是（ B ）
A．在同一平面内，两条不同直线有且只有一个公共点
B．两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行
C．两条直线若不平行，则一定相交
D．以上说法都不对
3．图5．2．1-1中，可能是平行线的是（ D ）
4．下列说法中，正确的是（ D ）
A．不平行的两条直线一定相交
B．永不相交的两条直线叫平行线
C．若a∥b，c∥b,则a与c可能相交
D． a∥b，c∥b,则a∥c
5．工人师傅在架设电线时，为了检验三条电线是否平行，工人师傅只检查了其中两条是否与第三条平行即可，这种做法的根据是（ B ）
A．两点决定一条直线
B．如果两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也平行
C．两点之间，线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
6．下列结论中：
①同一平面内线段AB与线段CD不相交，则AB∥CD；
②同一平面内，射线AB与射线CD不相交，则AB∥CD；③同一平面内，若OA∥CD,OB∥CD,则点O在直线AB上；④同一平面内，若AB∥CD,EF∥CD,则AB∥EF．
正确的个数是（ B ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
7．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，写出其对应的位置关系：
（1）a与b没有公共点，则a与b_____平行________；
（2）a与b有且只有一个公共点，则a与b___相交_______；
（3）a与b都平行于第三条直线c，则a与b___平行____；
8．已知直线a，b，c．在同一平面内，若a∥b,a与c
相交于一点，则b与c的位置关系是____相交____．
9．经过直线外一点，能够画这条直线的垂线有 一 条，平行线有 一 条，斜线有 无数 条．
决胜中考篇
10．在同一平面内，下列说法正确的是（ C ）
A．两条直线可能既不平行也不相交
B．不平行的两条直线一定垂直
C．不相交的两条直线一定平行
D．不相交的两条射线一定平行
11．若a∥b，c∥b,则a∥c的依据是（ C ）
A．平行的性质 B．等量代换
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．以上都不对
12．在一个平面内画出三条直线，它们的交点个数是（ D ）
A．0或1 B．1或2
C．2或3 D．0或1或2或3
13．同一平面内，两条相交直线不可能与第三条直线平行，这是因为___平行于同一直线的两条直线平行___．
14．如图，已知长方体，过点A与BC平行的棱有 AD ，过点B与BC垂直的棱有 AB， ，所有与AB平行的棱有 CD，， ．
15． (1)如图所示，经过点C能画出几条直线与直线AB平行？
(2)过点D画一条直线与直线AB平行，它与题(1)中所画的直线平行吗？
(3)过点E能画一条直线与直线AB平行吗？
(4)通过画图，你发现了什么？
解：（1）如图所示，根据平行公理，经过点C能画出一条直线a与直线AB平行．
（2）如图所示，直线b就是过点D与直线AB平行的直线，根据“平行于同一直线的两条直线平行”，由a∥AB,b∥AB可得a∥b,即它与（1）题中所画的直线a平行．
（3）如图所示，直线c就是过点E且与直线AB平行的直线．
（4）通过画图，可得结论：平行于同一直线的所有直线都平行．
第五章 相交线与平行线
5．2平行线及其判定
5．2．2平行线的判定
课前预习篇
1． 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
2． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
3．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
典例剖析篇
【例1】如图所示，已知∠A=∠B,点A，C，D在同一条直线上，∠DCB=∠A+∠B,CE是∠DCB的平分线，试说明AB∥CE的理由．
【解析】要证明AB∥CE，则要找到同位角或内错角相等的条件或找到同旁内角互补的条件．由条件CE是∠DCB的平分线可得∠DCE=∠ECB=∠DCB，又因为∠A=∠B，∠DCB=∠A+∠B，可得∠A=∠DCE或∠B=∠ECB从而得到AB∥CE．
解：因为CE是∠DCB的平分线，
所以∠DCE=∠ECB=∠DCB．
因为∠DCB=∠A+∠B，∠A=∠B，
所以∠A=∠DCE=∠DCB，
所以AB∥CE（同位角相等，两直线平行）（或者：所以
∠B=∠ECB=∠DCB，所以AB∥CE（内错角相等，两直线平行）
【例2】如图，直线EC交直线PO于点A，交直线MN于点C，直线FC交直线PQ于点B，交直线MN于点C，且，如果， 要使，应该等于 ．
【答案】40
基础夯实篇
1．两条直线被第三条直线所截，下列条件中，不能判断这两人条直线平行的的是 （ D ）
A、同位角相等 B、内错角相等
C、同旁内角互补 D、同旁内角相等
2．同一个平面内的4条直线满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子正确的是（ C ）
A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
3．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ B ）
A． ∠3=∠4
B． ∠1=∠2
C． ∠D=∠DCE
D． ∠D+∠ACD=180°
4．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7 ③∠2+∠3=180°④∠4=∠7．其中能判定a∥b的序号是( A )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
5．（2009泉州）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB∥AC的条件： ∠ACB=∠EBD或 ∠EBA=∠A 等 ．
6．如图8，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC=100°，∠BCD=80°这个零件合格吗？____合格___填（“合格”或“不合格”）
决胜中考篇
7．如图，在三角形ABC中，点E在AC上，点D，G在BC上，点F在AB上，连接DE，AD，GF．完成下列填空．
（1）若∠1=∠4，则 DE ∥ AC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
（2）若∠1=∠ 5 ，则GF∥ AD （ 同位角相等，两直线平行 ）．
（3）若∠BAC+∠ 3 =180，则DE∥ AB （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
8．如图9是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有＿5＿＿ 对平行线．
9．如图5-24，AB⊥BD，CD⊥MN，垂足分别是B、D点，∠FDC=∠EBA．
（1）判断CD与AB的位置关系;
（2）BE与DE平行吗?为什么?
解：（1）CD∥AB
因为CD⊥MN，AB⊥MN，
所以CDN=∠ABM=90°
所以CD∥AB
（2）平行
因为∠CDN=∠ABN=90°，∠FDC=EBA
所以∠FDN=∠EBN
所以FD∥EB
10．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AB∥EF．
解：因为∠1=∠2，
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
因为∠3=∠4，
所以CD∥EF（内错角相等，两直线平行）
所以AB∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行）
11．如图，已知直线,被直线所截，∠1=45°，∠2=135°，试判,是否平行？并说明理由．
解：平行．
因为∠2=135°（已知），
∠2+∠3=180°（平角定义），
所以∠3=45°．
因为∠1=45°，
所以∠1=∠3，
所以∥（同位角相等，两直线平行）．
12．如图，试探索∠A，∠AEC，∠C之间具备什么关系时，AB∥CD？并说明理由．
解：观察图形可以猜想：∠A+∠AEC+∠C=360°时，AB∥EF．理由如下：
在E 点出现转折角，可以过点E作EF∥AB，则∠1+∠A=180°．
因为∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
所以∠2+∠C=360°-180°=180°．
所以EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
又因为EF∥AB，
所以AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行）
13． 如图 ，已知∠B= 25°，∠BCD =45°，∠CDE=30°，∠E =10°，试说明AB∥EF．
解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM =25°，
在么CDE的内部作∠EDN =10°．
因为∠B= 25°，∠E =10°（已知），
所以∠B=∠BCM，∠E=∠EDN（等量代换）．
所以AB∥CM ,EF∥DN（内错角相等，两直线平行）．
又因为∠BCD =45°，∠CDE=30°（已知），
所以∠DCM=20°，∠CDN=20°（等式的性质）．
所以∠DCM=∠CDN（等量代换）．
所以CM∥DN（内错角相等，两直线平行）．
因为AB∥CM，EF∥DN（已证），
所以AB∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
