第五章 相交线与平行线
5．3平行线的性质
5．3．1平行线的性质
课前预习篇
1．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成： 两直线平行，同位角相等 ．
2．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简单说成： 两直线平行，内错角相等 ．
3．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成： 两直线平行，同旁同角互补 ．
典例剖析篇
6．（2010青海） 如图1，AB∥CD,FG平分∠EFD，∠1＝70°，则∠2是 °．
【解析】此题考查平行线的性质——两直线平行，同位角相等：由AB∥CD得∠EFD=∠1=70°，由FG平分∠EFD得，∠2是35°．
【答案】35
6．（2010成都）如图，已知，，，则的度数为（ B ）
A．115
B．65
C．60
D．25
【解析】根据两直线平行，内错角相等得：∠ECF=∠BAC=65
【答案】 B
19．（2009遂宁）如图,已知∠1=∠2，∠3=80 o，则∠4=（ A ）
A．80 o
B．70 o
C．60 o
D．50 o
【解析】此题考查了平行线的判定及性质．根据∠1=∠2可判断直线a∥b，进而根据平行线——两直线平行，内错角相等的性质判定∠4=∠3=80 o．
【答案】 A
基础夯实篇
1．（2010重庆）如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于（ C ）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
2．（2010滨州）如图，已知AB//CD，BE平分∠ABC，且交CD于D点，∠CDE=150°，则∠C为（ A ）
A．120°
B．150°
C．135°
D．110°
3．（2010德州）如图，直线AB∥CD，∠A＝70(，∠C＝40(，则∠E等于( A )
A．30°
B．40°
C．60°
D．70°
4．（2010泰安）如图1//2, 3⊥4,∠1=42°,那么∠2的度数为（ A ）
A．48°
B．42°
C．38°
D．21°
5．（2010聊城）如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝( D )
A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
6．（2010甘肃）如图，，于交 于，已知，则（ A ）
A．30°
B．20°
C．25°
D．35°
7．（2010茂名）如图，梯子的各横档互相平行，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ B ）
A．80°
B．110°
C．120°
D．140°
8．已知AB∥CD∥EF，BC∥EF，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有（ A ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
决胜中考篇
9．（2010黔南州）如图，已知AD∥BC，∠B＝30o，DB平分∠ADE，则∠CED的度数为（ A ）
A．30o
B．60o
C．90o
D．120o
10．（2010新疆）如右图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线上，已知，则的度数为( B )
A．
B．
C．
D．
11．(2009重庆綦江)如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，已知∠1=∠2=50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M,则∠3=( B )
A． 60°
B．65°
C．70°
D． 130°1
12．（2010宁夏）如图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB．若∠ECD=48°则∠B= 42° ．
13．已知：如图，AB∥CD，请你观察∠E，∠B，∠D之间有什么关系，并证明你所得的结论．
解：结论：∠B+∠E=∠D．
证明：如图，过点E作EF∥AB，
所以∠FEB=∠B（两直线平行，内错角直等）．
因为AB∥CD，EF∥AB，
所以EF∥CD（平行公理推论），
所以∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．
因为∠FED=∠FEB+∠BED=∠B+∠BED，
所以∠B+∠BED=∠D（等量代换）．
14．如图5-29，已知：AB//CD，求证：B+D+BED=360（至少用2种方法）
证明：（1）连结BD，如图5-3
因为（已知），
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为（三角形内角和为180°），
所以，
即．
（2）过点E作EF//AB，如图5-5
因为（如果两条直都和第三条直线平行，那么这两条直线平行）．
第五章 相交线与平行线
5．3平行线的性质
5．3．2命题、定理
课前预习篇
1．命题：判断一件事情的语句叫做命题．
（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式．
2．命题是由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
3．公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
4．定理：有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
典例剖析篇
【例1】判断下列语句是不是命题，如果是，请将命题改为“如果…．．那么 …．”的形式．
①对顶角相等吗？ ②作一个角等于75°
③我爱我的家 ④相等的两个角，一定是对顶角
⑤内错角相等
⑥直角三角形两锐角互余
【解析】判断一件事情的语句叫做命题．只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题．如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．此题中，①是个疑问句，没有判断，不是命题，②和③是都是祈使句，没有判断，不是命题，④是命题，判断了“什么是对顶角”，⑤是命题，判断了“内错角的大小关系”，⑥是命题，判断了“直角三角形两个锐角的关系”．
解：④⑤⑥属于命题．④可改为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；⑤可以改为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；⑥可以改为：如果两个角是一个直角三角形的两个锐角，那么这两个锐角互余．
【例2】下列命题中，是真命题的有（ ）
①同位角相等 ②相等的角是对顶角 ③直角三角形的两个锐角互余 ④三个内角相等的三角形是等边三角形
⑤互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
⑥在空间中，不相交的两条直线叫平行线
A．1个 B．个 C．3个 D．4个
【解析】①②⑥是假命题，所以答案选C．
【答案】 C
基础夯实篇
1．下列句子中不是命题的是（ B ）
A．两直线平行，同位角相等． B．直线AB垂直于CD吗？
C．若︱a︱=︱b︱，则a 2 = b 2． D．同角的补角相等．
2．下列命题中是真命题的是（ A ）
A．过一点能够作且只能作一条直线与已知直线平行
B．一个角的补角不小于其自身
C．互补的两个角是邻补角
D．同旁内角互补
3．如图所示，下列推理正确的是（ D ）
A．∵∠１＝∠４，∴ＢＣ∥ＡＤ
B．∵∠２＝∠３，∴ＡＢ∥ＣＤ
C．∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＣＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°
D．∵∠１＋∠２＋∠Ｃ＝１８０°，∴ＡＢ∥ＣＤ
4．下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ D ）
A．①、②是正确的命题 B．②、③是正确命题
C．①、③是正确命题 D．以上结论皆错
5．下列命题中，是真命题的是（B ）
A．若ab=ac，则b=c B．若，则a=b
C．若，则a=b D．若a=b,c=d，则a=c
6．“两直线相交只有一个交点”的题设是（ D ）
A．两条直线 B．两条直线相交
C．相交 D．两条相交直线
7．判断下列语句是不是命题，如果是命题，请将其改成“如果．．．那么．．．”的形式．
⑴过点A作直线AB的垂线； ⑵ 锐角小于90o；
⑶等腰三角形的两腰相等； ⑷冬天会下雪吗？
⑸两直线相交，不相邻的角是对顶角
(6)三角形的外角和是360o．
(7) 若，则a=b=0
解：(1)(4)不是命题，(2)(3)(5)(6)（7）是命题，改成“如果．．．那么．．．”的形式依次是：
（2）如果一个角是锐角，那么它小于90o；
（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两腰相等；
（5）如果两直线相交，那么它们所成的角中，不相邻的角是对顶角；
（6）如果有一个三角形，那么这个三角形的外角和是360o；
（7）如果，那么a=b=0．
决胜中考篇
8．命题“负数的绝对值是正数”的题设是 一个数是负数 ，结论是 这个数的绝对值是正数 ，该命题是 真 命题（判定真假）．
9．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 ．
10．请你写出一个已经学习过的定理： 两点之间，线段最短 ．（答案不唯一）
11．判断下列命题是不是真命题，如果不是，请举出反例说明．
⑴有一个内角大于90o的三角形是钝角三角形．
⑵．如果一个角的两条边分别平行于另一个角的两条边，那么这两个角相等．
（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行
解：（1）是真命题，（2）（3）是假命题．反例如下：
⑵．如果一个角的两条边分别平行于另一个角的两条边，那么这两个角相等是假命题，如图：
其中AC∥BF，AD∥BE，但是∠CAD≠∠EBF，它们的关系是∠CAD+∠EBF＝180o．
（3）如果三条直线不在同一平面上，那么垂直于同一直线的两条直线互相平行就是假命题，如图：
⊥AB，AD⊥AB，
与AD的关系是⊥AD．
12．在某运动会上，有五名运动员A、B、C、D、E都参加了1000米赛跑，比赛后，有五名观众分别介绍了比赛的结果，情况如下：
⑴第一观众说：A是第二名，B是第三名；
⑵第二观众说：C是第三名，D是第五名；
⑶第三观众说：D是第一名，C是第二名；
⑷第四观众说：A是第二名，E是第四名；
⑸第五观众说：B是第一名，E是第四名；
最后这五名观众都补充说：“我的话半真半假”．
请你根据以上条件判断五名运动员正确的名次．
解：∵五名观众都补充说：“我的话半真半假”，即一句话是真命题，另外一句是假命题．
我们不妨以“第一观众说：A是第二名，B是第三名”为中心来进行推导（其他4人的说法亦可）
假设：A是第二名正确，
那么B是第三名错误，
∵第四观众说：A是第二名，E是第四名
∴E是第四名错误
∵第五观众说：B是第一名，E是第四名
∴B是第一名正确
∵第三观众说：D是第一名，C是第二名
∴D是第一名错误，C是第二名正确
这时C是第二名正确与假设A是第二名正确产生矛盾．
∴A是第二名错误，那么B是第三名正确
由第二观众的说法C是第三名错误得：D是第五名正确
由第三观众的说法D是第一名错误得：C是第二名正确
由第五观众的说法B是第一名错误得：E是第四名正确
这样二至五名已经排出了，所以A是第一名正确．
以上判断对由第四观众的说法得满足半真半假．
∴第一名是运动员A，第二名是运动员C，第三名是运动员B，第四名是运动员E，第五名是运动员D．
