第七章 三角形
7．1 与三角形有关的线段
7．1．1 三角形的边
课前预习篇
1．三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形．如图，线段AB，BC，CA是三角形的边，A，B，C是顶点，∠A，∠B，∠C是它的内角，这个三角形记作 △ABC ，读作三角形ABC．
2．三角形的按边进行分类：
三边都相等的三角形叫等边三角形；有两边相等的三角形叫等腰三角形；三边都不相等的三角形叫不等边三角形．
3．三角形三条边的关系：三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边．
典例剖析篇
【例1】如图所示，指出图中有多少个三角形，并把它们用符号表示出来；并写出其中三个三角形的边、顶点和内角．
【解析】根据三角形的基本概念求解．
解：图中有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ABC，
△DBE，△DBC，△EBC．
△ABD的边是AB，BD，AD，顶点是A，B，D，内角是∠A，∠ABD，∠ADB；△ABE的边是AB，BE，AE，顶点是A，B，E，内角是∠A，∠ABE，∠AEB；△ABC的边是AB，BC，AC，顶点是A，B，C，内角是∠A，∠ABC，∠ACB．
【例2】(1)已知等腰三角形的一边等于8cm，另一边等于6cm，求此三角形的周长；
⑵ 已知等腰三角形的一边等于7cm，另一边等于3cm，求此三角形的周长．
【解析】此题给出了等腰三角形三边长的两边，但没有说明哪一边是腰长，所以要分类讨论．
解：（1）根据题意可分为两种情况：
①若腰长是8 cm，则底边长是6 cm，此时等腰三角形的周长是22 cm．
②若腰长是6 cm ，则底边长是 8 cm，此时等腰三角形的周长是20 cm．
(2)根据题意得：若等腰三角形的腰长7 cm，则底边长为3 cm，此时等腰三角形的周长为17 cm ；若腰长是3 cm ，底边长是7 cm ，则根据三角形任意两边之和大于第三边知，此时的三角形不存在，所以等腰三角形的周长是17 cm．
基础夯实篇
1．一位同学用木棒拼出的下列图形，其中符合三角形概念的是（ D ）
A B C D
2．（2010娄底）在如图 所示的图形中，三角形的个数共有（ C ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．（2010南充）三根木条的长度如图，能组成三角形的是（ D ）．
4．（2010邵阳）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C ）
A．1，2，3 B．2，2，4
C．3，4，5 D．3，4，8
5．（2009 长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ C ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm
6．（2010重庆江津）如图，△ABC，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是（ B ）
A．0＜x＜3
B．x＞3
C．3＜x＜6
D．x＞6
7．（2009崇左）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ C ）
A．7 B．9 C．12 D．9或12
8．（2010泰州）等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为 5 ．
决胜中考篇
9．下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ D ）
A．3，4，5 B．3a，4a，5a
C．3+a，4+a，5+a D．三条线段之比为3∶5∶8
10． 已知等腰三角形的两边长分别为11cm , 6cm ,则这个等腰三角形的周长为（ C ）cm
A、28 B、23 C、28或23 D、无法确定
11．已知等腰三角形一边长等于5cm , 另一边长等于11cm , 则周长为（B ）cm
A、21 B、27 C、21或27 D、16
12．（2009大兴安岭）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（ A ）
A．5米
B．10米
C．15米
D．20米
13．若a，b，c表示△ABC的三边长，则++= a+b+c ．
14．(2009年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ D ）
A．2n+2 B．4n+4 C．4n-4 D．4n
15．有一天小明对同学说：“我的步子大，一步能走三米（即两脚着地时的间距有三米”．有的同学将信将疑，而小颖说：“小明，你在吹牛”．你觉得小颖的话有道理吗？
解：小颖的话有道理．如果将小明的双腿看作是三角形的两边，则三角形的另一边长是 3 m，根据三角形两边的长大于第三边的原理，小明的腿长要大于1．5 m ，这与事实不符．
16．判断下列所给出的3条线段能否组成三角形？
（1）4 cm ，4 cm ，a cm （）
（2）a+2，a+3，a+4;（a＞-2）
(3)3条线段之比为2：3：5．
解：（1）能
（2）能
（3）不能
17．请把一条长为9个单位的线段分成3段，且每条线段的长度为整数，要求以这3条线段为边能够组成三角形，有多少种分法？请列出具体的分法．
解：共有3种分法，分别是：
1，4，4；2，4，3；3，3，3；
18．（2010台湾） 如图(十九)，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计 螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条 的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？( C )
(A) 5
B) 6
(C) 7
D) 10
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上．请在图①，图②，图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图下方的横线上写明所画的等腰三角形的腰和腰长．
第七章 三角形
7．1 与三角形有关的线段
7．1．2三角形的高、中线与角平分线
课前预习篇
三角形的重要线段
意义
图形
表示法
三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
1．AD是△ABC的边BC上的高线．
2．AD⊥BC于点D．
3．∠ADB=∠ADC=90°
三角形的中线
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段
1．AE是△ABC的边BC上的中线．
2．BE=EC=BC
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
1．AM是△ABC中∠BAC的平分线．
2．∠1=∠2=∠BAC
典例剖析篇
【例1】如图所示：（1）AD⊥BC，垂足为D，则AD是________的高，∠________=∠________=90°．
（2）AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫做△ABC的________，∠________=∠________=∠________．
（3）若AF=FC，则△ABC的中线是________，S△ABF=________．
（4）若BG=GH=HF，则AG是________的中线，AH是________的中线．
【解析】此题考查三角形的高，中线，角平分线的定义及应用．
【答案】
【例2】如图，BD为△ABC的中线，已知：AB=7 cm，BC=5 cm，那么△ABD与△BCD的周长差是 2 cm ．
【解析】因为BD为△ABC的中线，所以AD=CD，△ABD
的周长是AB，BD，AD的和，△BCD的周长是BC，BD，CD
的和，在这两个三角形中有两组边是相等的，只有AB与BC是
不等的，故两个三角形的周长差就是这两条线段的差．
【答案】 2 cm
基础夯实篇
1．三角形的角平分线、中线、高线都是（ B ）
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不对
2．三角形3条高的交点一定在（ D ）
A．三角形的内部 B．三角形的外部
C．顶点上 D．以上3种情况都有可能
3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．把三角形的面积分为相等的两部分的是 （ B ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上都不对
5．如图7．1．2-8，若上∠1=∠2、∠3=∠4，下列结论中错误的是（ D ）
A．AD是△ABC的角平分线
B．CE是△ACD的角平分线
C．∠3=∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线
6．如图7．1．2-2，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则△ABH的三条高是_AD,BE,CF______，这三条高交于___点H_____．BD是△__ABD______、△__HBD______、△__ABH______的高．
7．下列判断中，正确的个数为（ D ）
（1）D是△ABC中BC边上的一个点，且BD=CD，则AD是△ABC的中线
（2）D是△ABC中BC边上的一个点，且∠ADC=90°，则AD是△ABC的高
（3）D是△ABC中BC边上的一个点，且∠BAD=∠BAC，则AD是△ABC的角平分线
（4）三角形的中线、高、角平分线都是线段
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，BD=DC，∠ABN=∠ABC，则AD是△ABC的___中___线，BN是△ABC的_角平分线__，ND是△BNC的_中____线．
9．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝ 8cm ．
决胜中考篇
10．如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC是( D )
A．边BB′上的中线
B．边BB′上的高
C．∠BAB′的角平分线
D．以上答案都正确
11．如图，在△ABC中，(BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示：
⑴ (BAC的平分线；
⑵ AC边上的中线；
⑶ AC边上的高；
12．如图7．1．2-4所示，△ABC中，边BC上的高画得对吗？为什么？
13．用4种不同的方法将三角形分成面积相等的四部分（附上必要的文字说明）．
14．根据你画图的实践，用序号字母填写下表（有几种可能情况填写几个字母）：
A．在三角形的内部
B．在三角形的边上
C．在三角形的外部
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
角平分线
A
A
A
中线
A
A
A
高
A
A B
A C
第七章 三角形
7．1 与三角形有关的线段
7．1．3 三角形的稳定性
课前预习篇
1．三角形的三边确定好后，就可以确定一个固定的三角形，且三角形的形状有会改变，这个特性就是三角形的稳定性．
2．三角形的稳定性经常应用到生产和生活中，如盖房子时房子房顶的支架等．
3．四边形的不稳定性也有方泛的应用：如工厂推拉式的大门等．并且五边形，六边形，七边形等多边形都具有这样不稳定的结构．
典例剖析篇
【例1】下列图形，不具有稳定性的是（ ）
【解析】三角形是具有稳定性的，选项A中所加的线段是对角线，这样就把原来的四边形变成为两个三角形，而三角形具有稳定结构，所以不能选A．而选项C和D在加了线段后都出现了三角形，所以它们都是稳定的．选项B在加线段后得到的图形还是四边形，没有出现三角形，所以是不稳定的．
【答案】 B
【例2】如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )
A．节省材料,节约成本
B．保持对称
C．利用三角形的稳定性
D．美观漂亮
【解析】此题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用，答案选C．
【答案】 C
【例3】下列设备,没有利用三角形的稳定性的是( )
A．活动的四边形衣架
B．起重机
C．屋顶三角形钢架
D．索道支架
【解析】三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性都在实际生活中有文泛的应用，此题中，B，C，D三项都是利用了三角形的稳定性，A项是利用了四边形的不稳定性，所以此题选A．
【答案】 A
基础夯实篇
1．下列图形具有稳定性的是（ D ）
A．四边形 B．长方形
C．梯形 D．直角三角形
2．下列不是利用三角形稳定性的是（ D ）
A．照相机的三角架 B．三角形房架
C．自行车的三角形车架 D．矩形门框的斜拉条
3．下列图形中，具有稳定性的是（ C ）
A．① B．③ C．②③ D．②③④
4．下列把四边形的不稳定性合理地应用到生产实际中的例子有（ C ）
（1）活动挂架 （2）放缩尺 （3）屋顶钢架 （4）能够推拢和拉开的铁拉门
（5）自行车的车架 （6）大桥钢架
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5． 如右图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB、CD），这样做的数学道理是（ D ）．
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
6．?大桥钢架、索道支架、人字梁等为我坚固，都采用三角形结构，这样做的依据是 三角形具有稳定性 ；
生活中的活动铁门是利用四边形的 不稳定性 ．
7．请观察下图的变化过程，说明四边形的四边一定时，其面积 不能 确定（填“能”或“不能”）．
决胜中考篇
8．（2009内江）在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1）、（2）、（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形、正方形、菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用 ，，表示，则（ D ）
A． B．
C． D．
9．⑴ 下列图中哪些具有稳定性？
⑵ 对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
解：具有稳定性的是（1），（4），（6）
10．小明发现，学校车道处的大门（如图）能左右压缩或伸长，你能说出其中的道理吗？
解：因为四边形不具有稳定性，所以利用四边形的不稳定性就可以制造出这种可以自由滑动的电动伸缩门．
11．如图，我们知道，要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形不变形，至少要几根木条？要使七边形不变形，至少要钉几根木条？要使n边形不变形，又至少要钉多少根木条？
12．如图是可以活动的衣架，当把衣架左右两端拉动后就能把衣架拉长，当把衣架左右两端向里用力压缩后衣架就会被压缩，请问这是为什么？
解：这是依据四边形的不稳定性．
13．如图是一张旧的桌子示意图，榫头等部位均已松动，只要在桌面上稍微使劲宽就会晃动，吱呀作响．你有什么办法使它变得牢固？把你的办法在图上表示出来，并说明这样做的理由．
解：如图所示，在每条桌腿于横杆处共钉上8块三角形的木板．理由是：三角形具有稳定性．
