第七章 三角形
7．3 多边形及其内角和
7．3．1多边形
课前预习篇
1．多边形：在平面内由一些线段首尾相接组成的图形叫多边形．由n条边组成的多边形叫n边形．
2．多边形的边、顶点、内角和外角．多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
3．连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．从n边形的一个顶点可以引 n-3 条对角线，它们把n边形分成 n-2 个三角形；n边形共有 条对角线；
4．各个角都 相等 ，各条边都 相等 的多边形叫做正多边形，正多形的有几条边就叫做正几边形．
典例剖析篇
【例1】已知图7．3-1．
（1）如图①，四边形有 2 条对角线，从四边形的一个顶点可以画出 1 条对角线，它们将四边形形成 2 个三角形．
（2）如图②，五边形有 5 条对角线，从五边形的一个顶点可以画出 2 条对角线，它们将五边形分成 3个三角形．
（3）如图③，六边形有 9 条对角线，从六边形的一个顶点可以画出 3 条对角线，它们将六边形分成 4个三角形．
（4）根据（1）（2）（3）中的结果猜想：n边形有 条对角线，从n（n≥3）边形一个顶点出发，可以画 (n－3) 条对角线，它们将n边形分成 (n－2) 个三角形．
【解析】在n边形中，以一个顶点为例，除了它自身和左右与它相邻的三个顶点外，这一点与其他各点都可画出对角线，即n边形的一个顶点可画出(n－3)条对角线, 它们将n边形分成(n－2)个三角形．由于n边形共有n个顶点，所以共有n(n－3)条对角线，但由于每条对角线算了两次，因此n边形的对角线数量为．
【答案】（1）2 1 2 （2）5 2 3
（3）9 3 4 （4） n-3 n-2
基础夯实篇
1．下列说法不正确的是（ D ）
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
D．连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
2．下列图形中，不是凸多边形的是（ A ）
3．下列所给图形中，是正多边形的是（ B ）
A．①③⑤ B．②③⑤
C．③⑤ D．②③⑤⑥
4．从一个六边形的顶点出发，可作出的对角线条数有（ B ）条．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若从一个多边形的两个顶点出发，共有13条对角线，则这个多边形的边数是（ C ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如果一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的边数是（ C ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ C ）
A、8 B、9 C、10 D、11
8．将一个体四边形截去一个角后，它不可能是（ D ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
9．从八边形的一个顶点出发，作出八边形过这一顶点的所有对角线，共__5___条，可以把八边形分割成__6_个三角形．
10．如图，请数出图中有 27 个不同的四边形．
决胜中考篇
11．若过n边形的一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（n－k）m＝________．
12．已知从n边形的一个顶点出发共有5条对角线，其周长为72，且各边长是连续的偶数，求这个多边形的各边之长．
解：由n－3=5得n=8，
设边长为2x，2x+2，2x+4，2x+6，2x+8，2x+10，2x+12，2x+14，则
16x+56=72，解得x=1．
所以各边之长为2，4，6，8，10，12，14，16．
13．我们知道各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，小明却说各边都相等的多边形就是正多边形，各角都相等的多边形也是正多边形，他的话对吗？为什么？
解：不正确．必须同时满足各条边相等，各个角也相等这个条件，才能确定一个多边形是正多边形，
14．画出下列七边形的所有对角线，并指出经过该七边形的一个顶点，可以画多少条对角线？这些对角线将七边形分成了多少个三角形？
解：七边形有14条对角线，经过七边形的一个顶点，可以画4条对角线，这些对角线将七边形分成5个三角形．
15．如图，O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
解：可得4个三角形，它与边数相等．
16．如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
解：可得4个三角形，它所得三角形个数比边数少1．
17．（2010恩施）如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总点数为331，则等于 11 ．
18．完成下列表格：
名称
四边形
五边形
六边形
n边形
图形
由一个顶点所作的对角
线条数
1
2
3
n-3
过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形的个数
2
3
4
n-2
图形中对角线的条数
2
5
9
第七章 三角形
7．3 多边形及其内角和
7．3．2 多边形的内角和
课前预习篇
1．多边形的内角：多边形 相邻两条边 组成的角叫做它的内角．N边形的内角和为： （n-2）×180° ．
2．多边形的外角：多边形的边与 它邻边的延长线的夹角 叫做它的外角．
3．多边形的内角和定理：n边形的内角和为： （n-2）×180° ，正n边形的一个内角度数为
4．多边形的外角和定理：n边形的外角和为 360° ．正n边形的一个外角度数为 ．
典例剖析篇
【例1】（1）下列可能是n边形内角和的是（ ）
A、300° B、550° C、720° D、960°
（2）一个多边形的内角和外角和的比是7∶2，则这个多边形内角和为 1260° ．
【解析】（1）n边形的内角和为（n－2）×180°，故n边形内角和为180的倍数，故（1）选C；（2）n边形外角和360°始终不变．由题意可设多边形内角为7x度，外角为2x度，则2x=360,x=180,所以多边形内角和为1260°．
【答案】（1） C （2）1260°
【例2】一个多边形的每一个内角都相等，且它的每一个外角与相邻内角之比为3∶6，试求多边形的边数．
【解析】根据题中已知条件可先求出多边形的每个内角的度数，再根据多边形的每个内角的度数相等，利用多边形内角和公式求出多边形的边数即可．
解：因为多边形每一个外角与相邻内角之比为3∶6，
所以设多边形每个内角的度数为3x，则它相邻的外角为6x，则：3x+6x=180°，x=20°．
所以多边形的每个内角的度数为3x=60°．
设多边形的边数为n，则（n－2）×180°=60n，
解得：n=3，
所以多边形的边数为3．
基础夯实篇
1．(2010常德)四边形的内角和为（ C ）
A．90° B．180° C． 360° D． 720°
2．（2010本溪）八边形的内角和是（ C ）
A．360° B．720°
C．1080° D．1440°
3．（2010淮安）若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是( A )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2009宁波）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是（ D ）
A．110°
B．108°
C．105°
D．100°
5．n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ D ）
A．九边形 B．十边形
C．十一边形 D．十二边形
6．已知任意多边形的外角和都是360°，若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ C ）
A． 四边形 B． 五边形
C． 六边形 D． 八边形
7．下列说法：⑴四边形中四个内角可以都是锐角；
⑵ 四边形中四个内角可以都是钝角；
⑶ 四边形中四个内角可以都是直角；
⑷ 四边形中四个内角最多可以有两个钝角；
⑸四边形中最多可以有两个锐角；其中正确的是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8．若多边形的边数由3增加到（为正整数），则其外角和的度数（ C ）
A、增加 B、减少
C、不变 D、不能确定
9．（2010郴州）如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 270 度．
10．（2010桂林）正五边形的内角和等于__540_°．
11．（2010株洲）已知一个n边形的内角和是1080°,则n= 8 ．
12．（2010 泉州 ）已知一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是 7 ．
13．（2010徐州）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是___8____．
14．（2010芜湖）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是___十__．
15．多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 9 条．
16．从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形内角和为 3240 度．
17．n边形的边数增加1条，其内角增加 180 度，对角线增加 n-1 条．
决胜中考篇
18．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ C ）
Ａ．2008 Ｂ．2009 Ｃ．2010 Ｄ．2011
19．一个多边形的外角不可能都等于（ C ）
A、30° B、40° C、50° D、60°
20．一多边形除一内角外，其余各内角之和为2570°则这个内角等于 130° ．
21．（2010江西）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝ 270°．
22．（2009嘉兴）在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
解：设∠A= x（度），则∠B=x+20，∠C=2x．
根据四边形内角和定理得，x+(x+20)+2x+60=360．
解得，x=70．
∴∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°．
23．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
解：360°．
24．小明和小华一起做功课，小明对小华说：“我给出一道题给你做做！一个多边形各内角都等于72°，求这个多边形的边数．”小华想了又想，答不出来，他灵机一动，对小明说：“我也考考你，一个凸四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶8，求这个四边形四个内角的度数．”小明想了想说：“你这道题出错了！”小华马上反击道：“你才出错了呢！”他俩说得对吗？若题目正确，请给出回答；若题目不正确，试改变题目中数据使其变成正确的题目，并给出解析．
解：他俩说得都不对，可改为：各内角都等于108°，四个内角之比为3∶4∶5∶6
25．（2010晋江）将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是__72___度．
26．已知一个多边形切去一个角后所得多边形的内角和是1980°，求这个多边形的边数．
解：多边形切去一个角，所切的方式可能有以下几种情况：①如图1，切线过点A1，A3把A2切掉，此时所得的多边形为n-1边形；此时[（n-1）-2]×180°=1980 °,n=14；②如图2，切点过点A1与A2A3边上一点，此时所得多边形仍是n边形，此时（n-2）×180°=1980°,n=13；③如图3，切线过A1A2与A2A3上的两点，此时所得多边形为n+1边形,此时[（n+1）-2] ×180°=1980°,n=12．
所以这个多边形的边数可能是14或13或12．
