人教版数学七年级下册第八章8．3 实际问题与二元一次方程组课时同步训练

第八章 二元一次方程组
8．3 实际问题与二元一次方程组
第1课时（共3课时）

课前预习篇
1．列二元一次方程组的应用题的一般步骤：
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；
（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（4）列：根据这个相等关系列出重要的代数式，从而列出方程；
（5）解：解这个所列出的方程；（6）验：检验根是否符合实际情况；
（7）答：写出答案．
典例剖析篇
【例１】（2010昭通）全球变暖，气候开始恶化，中国政府为了对全球变暖负责任，积极推进节能减排，在全国范围内从2008年起，三年内每年推广5000万只节能灯．居民购买节能灯，国家补贴50%购灯费．某县今年推广财政补贴节能灯时，李阿姨买了4个8W和3个24W的节能灯，一共用了29元；王叔叔买了2个8W和2个24W的节能灯，一共用了17元．
（1）求该县财政补贴50%后，8W、24W节能灯的价格是多少元？
（2）2009年我省已推广推广财政补贴节能灯850万只，预计我省一年大约可节约电费2．3亿元左右，减排二氧化碳43．5万吨左右．请你估计一下全国一年大约可节约电费多少亿元？大约减排二氧化碳多少万吨？（结果精确到0．1）
解：（1）设8W节能灯的价格为x元，24W节能灯的价格为y
则 解之
答：该县财政补贴50%后，8W节能灯的价格为3．5元，24W节能灯的价格为5元．
（2）全国一年大约可节约电费：亿元
大约减排二氧化碳：（万吨）
【例2】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
(2)若商场每销售一台甲、乙、丙电视机可分别获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案?
解：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台．
(Ⅰ)购进甲、乙两种电视机
解得
(Ⅱ)购进甲、丙两种电视机
解得
(Ⅲ)购进乙、丙两种电视机
解得(不合实际，舍去)
故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台．
(2)按方案(Ⅰ)，获利150×25＋200×25＝8750(元)；
按方案(Ⅱ)，获利150×35＋250×15＝9000(元)．
所以选择购进甲种35台和丙种15台．
基础夯实篇
1．（2010长春）端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ B ）
A． B． C． D．
2．古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是（ A ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
3．出境旅游者问某童：“你有几个兄弟、几个姐妹?”答：“有几个兄弟就有几个姐妹．”再问其妹有几个兄弟、几个姐妹，她答：“我的兄弟是姐妹的2倍．”试问：他们兄弟姐妹的人数各是( A )．
A．兄弟4人，姐妹3人 B．兄弟3人，姐妹4人
C．兄弟2人，姐妹5人 D．兄弟5人，姐妹2人
4．（2010江西）某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程组： ．
5．有鹿和鸵鸟若干只，装在同一笼中，数一数共有55个头，160只脚，问鹿和鸵鸟各有多少只？若设鹿x只，鸵鸟y只，则根据题意列出方程组是：＿＿
6．(2010年重庆)含有同种果蔬但浓度不同的Ａ，Ｂ两种饮料，Ａ种饮料重40千克，Ｂ种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同重量是 24 千克．
7．（2010牡丹江）开学初，小明到某商场购物，发现商场正在进行购物返券活动．活动规则如下：购物满100元，返购物券50元，此购物券在本商场通用，且用购物券购买商品不再返券．小明只购买了单价分别为60元、80元和120元的书包、T恤、运动鞋．在使用购物券参与购买的情况下，他的实际花费为_____200或210 ______元．
决胜中考篇
8．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（　A　　）
A．甲比乙大5岁　　B．甲比乙大10岁　
C．乙比甲大10岁　 D．乙比甲大5岁
9．(2010北京崇文区) 一列火车从北京出发到达广州大约需要15小时．火车出发后先按原来的时速匀速行驶8小时后到达武汉，由于2009年12月世界时速最高铁路武广高铁正式投入运营，现在从武汉到广州火车的平均时速是原来的2倍还多50公里，所需时间也比原来缩短了4个小时．求火车从北京到武汉的平均时速和提速后武汉到广州的平均时速．
解：设火车从北京到武汉的平均时速为x公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为y公里每小时．
依题意，有
解方程组，得
答：火车从北京到武汉的平均时速为150公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为350公里每小时．
10． （2010海南）2010年上海世博会入园门票有11种之多，其中“指定日普通票”价格为200元一张，“指定日优惠票”价格为120元一张，某门票销售点在5月1日开幕式这一天共售出这两种门票1200张，收入216000元，该销售点这天分别售出这两种门票多少张？
解：设该销售点这天售出“指定日普通票张” ，“指定日优惠票”y张，依题意得
解得
答：这天售出“指定日普通票900张” ，“指定日优惠票”300张．
11．（2010郴州）受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有所上涨． 张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元．其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元．则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x、y亩，依题意可得：
解得：
答：甲种蔬菜种植了4亩，乙种蔬菜种植了6亩．
12．（2010自贡）玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5．2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4．8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
解：（1）设甲公司的工作效率为m，乙公司的工作效率为n，则 解得
故从节约时间的角度考虑应选择甲公司
（2）由（1）知甲、乙完成这次工程分别需10周、15周
设需付甲公司每周装修费x万元，乙公司y万元
则 解得
此时
故从节约开支的角度出发应选择乙公司
第2课时（共3课时）
课前预习篇
1．进一步学习用二元一次方程组解决实际问题．
2．由于二元一次方程的解的不唯一性，在实际生活中，要注意解的取值范围，如只能取整数等．
典例剖析篇
【例1】某校七年级2班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ A ）
A． B．
C． D．
【解析】这是一道表格信息题，通过已知条件可发现两个等量关系：总人数为40人，总捐款金额100元．利用表格信息可列方程组，故应选A．
【例2】（2009枣庄）某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女服装的销售总收入为20万元．
（1）一月份销售收入为 万元，二月份销售收入为 万元，三月份销售收入为 万元；
（2）二月份男、女服装的销售收入
分别是多少万元？
解：（1）5，6，9．
（2）设二月份男、女服装的销售收入分别为x万元、y万元，根据题意，得
解之，得
答：二月份男、女服装的销售收入分别为3．5万元、2．5万元．
基础夯实篇
1．（2010宁夏）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（C ）
A．
B．
C．
D．
2． （2010巴中）巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约为126km．一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6km，设小汽车和货车的速度分别为xkm／h、ykm／h，则下列方程组正确的是（ D ）
A． B．
C． D．
3．（2010台湾）甲、乙两种机器分利以固定速率生产一批货物，若4台甲机器和2台乙机器同时运转3小时的总产量，与2台甲机器和5台乙机器 同时运转2小时的总产量相同，则1台甲机器运转1小时的产量，与1台乙机器运转几小时的产量相同？ （ A ）
A． B． C． D． 2
4．（2010丹东）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为65；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ D ）
A． B．
C． D．
5．（2010绵阳）有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（ D ）．
A．129 B．120 C．108 D．96
决胜中考篇
6．(2010聊城)2008年全国废水（含工业废水和城镇生活污水）排放 总量约为572亿吨，排放达标率约为72%，其中工业废水排放达标率约为92%，城镇生活污水排放达标率约为57%．这一年全国工业废水与城镇生活污水的排放量分别是多少亿吨？（结果精确到1亿吨）（注：废水排放达标率是指废水排放达标量总量的百分比）
解：设2008年全国工业废水x亿吨，城镇生活污水y亿吨，根据题意，得
，解得：
答：2008年全国工业废水排放量为245亿吨，城镇生活污水排放量为327亿吨．
7． （2009荆门）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．
(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？
(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？
解：(1)设买可乐、奶茶分别为x、y杯，根据题意得
2x＋3y＝20(且x、y均为自然数)
所以 解得y≤
所以y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20 并检验得
所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得) 10，0；7，2；4，4；1，6．
(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y≥2且x＋y≥8
由(1)可知，有二种购买方式．
8．（2010宜宾）为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25％．
(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?
(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元?
解：(1)设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x，y台． 根据题意，
得 解得 
答：政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为560台和400台．
(2)手动型汽车的补贴额为：560×(1+30％)×8×5％=291．2(万元)；
自动型汽车的补贴额为：400×(1+25％)(9×5％=225(万元)； 答：政策出台后第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴516．2万元
9．（2009广州）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．
（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？
（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？
解：（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x、y台，得
解得
经检验，符合题意．
答：在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台、400台．
（2）（2298×560×1．3+1999×400×1．25）×13%=3．5×105
第3课时（共3课时）
课前预习篇
1．进一步学习用二元一次方程组解决实际问题．
2．根据图示或图表列方程组解决实际问题，要充分利用图表给出的信息，列方程组求解．
典例剖析篇
【例1】（2009钦州）小王购买了一套经济适用房，他准备
将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单
位：），解答下列问题：
（1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多212，且地面总面积
是卫生间面积的15倍，铺12地砖的平均费用为80元，
求铺地砖的总费用为多少元？
【分析】本题主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力
解：（1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）m2；
（2）由题意，得 ,解之，得
所以地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×＋18＝45（m2）．
∵铺1m2地砖的平均费用为80元，
所以铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）．
基础夯实篇
1．（2010绵阳）有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（ D ）．
A．129 B．120 C．108 D．96
2．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大48°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的方程组是( C )
A． B．
C． D．
3．（2010嘉兴）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（ D ）
A．0．8元/支，2．6元/本 B．0．8元/支，3．6元/本
C．1．2元/支，2．6元/本 D．1．2元/支，3．6元/本
4．（2010湛江）学校组织一次有关世博的知识竞赛共有20道题，每小题答对得5分，答错或不答都倒扣1分，小明最终得76分，那么他答对 16 题．
5．（2010本溪）用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为 ．
6．根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是 8元 ．
决胜中考篇
7． 某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?
解：设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则解得
8．（2010年福建省晋江市）（10分）2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克？
解：设去年第一块田的花生产量为x千克，第二块田的花生产量为y千克，根据题意，得
,　解得　　　　　　　　　　　　
，
答：该农户今年第一块田的花生产量是20千克，第二块田的花生产量是37千克．
9．（2010湘西） 2010年5月1日，举世瞩目的世界博览会在上海隆重开园，开幕式前，某旅行社组织甲、乙两个公司的部门主管赴上海观摩开幕式的盛况，其中预订的一类门票，二类门票的数量和所花费用如下表：

一类门票（张）
二类门票（张）
费用（元）
甲公司
2
5
1800
乙公司
1
6
1600
根据上表给出的信息，分别求出一类门票和二类门票的单价．
解：设一类门票的单价为x元/张，二类门票的单价为y元/张．
则有 解得：
答：一类门票的单价为400元/张，二类门票的单价为200元/张．
10．（2010株洲）老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量．（注：同种类的每枚硬币质量相同）
聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录：
记录
天平左边
天平右边
状态
记录一
5枚壹元硬币，一个10克的砝码
10枚伍角硬币
平衡
记录二
15枚壹元硬币
20枚伍角硬币，一个10克的砝码
平衡
请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克，一枚伍角硬币多少克．
解：设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克，依题意得：　　　　　 　　
解得：
答：一枚壹元硬币6克，一枚伍角硬币4克
11．（2010吉林）在课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出A．B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同，当每个各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示，请求出小敏的四次总分．
解：设沙包落在A区域得x分，落在B区域得y分，根据题意，得：
，解得：
所以9+37=30
答：小敏的4次总分为30分．

12．（２００９淄博）如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的３个数、每列的３个数、斜对角的３个数之和均相等．
(1)求x，y的值；
(2)在备用图中完成此方阵图．
解：（1）由题意，得
　
解得　
（2）如图