第七章 三角形
7．2 与三角形有关的角
7．2．1 三角形的内角
课前预习篇
1．三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°．注意：任意三角形的内角和都等于180°，与三角形的形状无关．
2．在直角三角形中，两个锐角互余．
典例剖析篇
【例1】已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形的顶角度数是（ D ）
A．75° B．120°
C．30° D．30°或120°
【解析】 等腰三角形的两个底角相等，此题给出了等腰三角形的一个内角是30°，但是没有说明是顶角30°还是底30°，所以两种情况都有可能．如果顶角是30°，根据三角形内角和定理得：底角==75°；如果底角是30°，则顶角为：180°-30°-30°=120°，所以D选项正确．
【答案】 D
【例2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠B=28°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
【解析】 根据三角形内角和定理和角平分线的性质解题．
解：因为∠B=28°，∠C=60°，
所以根据三角形内角和定理得：∠ABC=180°-∠B-∠C=92°，
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE=∠EAC=∠BAC=46°．
又因为AD是BC边上的高，
所以∠ADC=90°，所以∠DAC+∠C=90°，
所以∠DAC=30°．
因为∠EAC=∠DAE+∠DAC=46°，
所以∠DAE=46°-30°=16°
基础夯实篇
1．（2010茂名）下列命题是假命题的是（ C ）
A．三角形的内角和是180°
B．多边形的外角和都等于360°
C．五边形的内角和是900°
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2．三角形中至少有一个角大于或等于（ C ）
A ．45° B ．55° C．60° D ．65°
3．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（ B ）
A ．9° B ．18° C ．27° D．36°
4．在一个三角形中至少有（B ）个锐角．
A、1 B、2 C、3 D、不确定
5．（2010 济宁 ）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是( B )
A． 直角三角形 B． 锐角三角形
C． 钝角三角形 D． 等边三角形
6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 （ C ）
A．40° B．100°
C．40°或100° D．70°或50°
7．（2010海南）如图， 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ A ）
A．AD = BD
B．BD = CD
C．∠1 =∠2
D．∠B =∠C
8．（2010安徽） 如图，直线∥，∠1＝550，∠2＝650，则∠3为（ C ）
A．500
B．550
C．600
D．650
9． (2009义乌)如图，在△ABC中，∠C= 90°，EF//AB, ∠1 = 50°,则∠B的度数为( D )
A．50°
B． 60°
C． 30°
D． 40°
10．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC是 直角 三角形．
11．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为 100° ．
12．(2010年燕山)已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°，则∠A的大小为 20° ．
13．若等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为______400、1000或700、700_________．
决胜中考篇
14．（2010日照）如图，C岛在A岛的北偏东50o方向，C岛在B岛的北偏西40o方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 90o ．
15．如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=116°，那么∠A的度数是 52o ．
16．（2010广州）如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有__3___个．
17．如图在△ABC中，若∠A = 60°，求∠BOC的度数．
解：在△ABC中，因为∠A = 60°，
所以∠ABC+∠ACB =180°- 60°=120°．
因为∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
所以∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
所以∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．
在△OBC中，根据三角形内角和定理得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-60°=120°
18．如图所示，△ABC的两条角平分线BD，CE相交于点O．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A=70°，求∠BOC的度数；
（3）∠A与∠BOC有怎样的数量关系？
解：（1）因为∠ABC=70°，且BD是∠ABC的角平分线，
所以∠OBC=∠ABC=35°．
因为∠ACB=50°，且CE是∠ACB的角平分线，
所以∠OCB=∠ACB=25°．
所以∠BOC=180-（∠OBC+∠OCB）=180°-（35°+25°）=120°．
（2）因为∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°．
因为BD，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
所以∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
所以∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=
180°-（∠ABC+∠ACB）=125°
（3）由（1）（2）可知：∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A
19．一个零件的形状如图，按规定∠A= 90°，∠B和∠C，应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC = 148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
解：连接BC．根据题意可知：若是零件合格，∠ABD=32°，∠ACD=21°．
因为∠A= 90°，所以∠ACB+∠ABC=90°，
所以（∠ABD+∠DBC）+（∠ACD+∠DCB）=90°
所以∠DBC +∠DCB =90°-32°-21°=37°．
在△BDC中，根据三角形内角和定理得：
∠BDC+∠DBC +∠DCB =180°，
所以∠BDC=180°-37°=143°，
而检验工人量得∠BDC = 148°，
所以这个零件不合格．
第七章 三角形
7．2 与三角形有关的角
7．2．2 三角形的外角
课前预习篇
1．三角形的外角指的是 三角形的一边和另一边的延长线 所形成的角．
2． 三角形的外角的性质：
（1）三角形的一个外角与相邻内角是 邻补角 ；
（2）三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和 ；
（3）三角形的一个外角大于 和它不相邻的任何一个内角 ．
典例剖析篇
【例1】（1）在一个等腰三角形中，一个外角是它相邻内角的4倍，则这个等腰三角形三个内角度数为 ；
（2）已知三角形三个外角度数比为2：3：4，则这个三角形的三个内角的度数分别为 ．
【解析】（1）中，三角形的外角与它的相邻内角是邻补角，三角形的一个外角是它相邻内角的4倍易求得这相内角是36°，再根据这个三角形是等腰三角形，分36°是顶角和底角两种情况进行计算得，三角形的内角为36°，36°，108°或36°，72°，72°．（2）根据三角形三个外角的度数和为360°，求得三角形三个外角分别为：80°，120°，160°，再根据三角形的外角与它的相邻内角是邻补角，求得三角形的三个内角分别为：100°，60°，20°．
【答案】 （1）36°，36°，108°或36°，72°，72°
（2）100°，60°，20°
【例2】如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于，∠BC与∠CD的平分线相交于，依此类推，∠BC与∠CD的平分线相交于，则∠的大小是多少？
【解析】本题是三角形的外角平分线和内角平分线相接合的综合题，利用三角形的内角和定理与三角形外角的性质，从特殊情况入手，猜想出一般规律即可求解．
解：因为BA平分∠ABC，所以∠ABC=2∠BC；
因为C平分∠ACD，所以∠ACD=2∠CD；
因为∠CD是△BC的一个外角，所以∠CD=∠+∠BC，所以∠ACD=2∠+2∠BC=2∠+∠ABC．因为∠ACD=∠A+∠ABC，所以∠A+∠ABC=2∠+∠ABC，所以∠=∠A．．．
同理可得：∠==∠A，∠==∠A，
∠==∠A，∠==∠A，
因为∠A＝96°，所以∠=∠A=3°．
基础夯实篇
1．下列说法中正确的是 （ A ）
A、三角形的三个内角与三个外角的和为540°
B、三角形的外角大于它的内角
C、三角形的外角都比锐角大
D、三角形中的内角没有小于60°的
2．（2009济宁）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( C )
A． 100°
B． 120°
C． 130°
D． 150°
3．（2010枣庄）将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于（ D ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
4．（2010衡阳）如图所示，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为_12°_．
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC =α，则∠A等于（ B
A、90°- 2α
B、90°- 0．5α
C、180°- 2α
D、180°-0．5α
6．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ B ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
7．（2010钦州）一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ 65° _°．
8．如图，α、β、γ分别是△ABC的外角，且α∶β∶γ=3∶4∶5，则∠ACB=（ B ）
Ａ、20°
Ｂ、30°
Ｃ、60°
D、90°
9．(2009达州)如图5，△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝___40°___．
10．三角形的三个外角中,最多有___1____个锐角．
⑴ ∠α= 100° ⑵ ∠α= 35°
⑶ ∠α= 60° ⑷ ∠α= 70°
⑸ ∠α= 30° ⑹ ∠α= 70° ；
决胜中考篇
11．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ A ）
A．75°
B．60°
C．65°
D．55°
12．如图，∠B =∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系（ B ）
A、∠ADC＞∠AEB
B、∠ADC = ∠AEB
C、∠ADC＜∠AEB
D、大小关系不能确定
13．（2009新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（ C ）
A．50°
B．30°
C．20°
D．15°
14．如图所示是一个四边形，求证：∠1+∠2+∠3=∠4．
证明：如图，连接AD并延长到E，则∠BDE为△ABD的外角，所以∠BDE=∠BAE+∠2．因为∠CDE为△ACD的外角，所以∠CDE=∠CAD+∠3，所以∠BDE+∠CDE=∠BAE+∠2+∠CAD+∠3，即∠4=∠1+∠2+∠3．
15．请证明：一个任意的五角星，它的五个角的和为180°．
证明：如图，根据三角形外角的性质可得：
∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，
因为∠1+∠2+∠A=180°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，
即五角星的五个角的和为180°．
