人教版数学七年级下册第八章8．2 消元——二元一次方程组的解法课时同步训练

第八章 二元一次方程组
8．2 消元——二元一次方程组的解法
第1课时（共4课时）
课前预习篇
代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．
典例剖析篇
【例1】用代入法解方程组
【解析】用代入消元法解方程时，按下列步骤进行：①求表示式：从方程中选一个系数比较简单的方程（最好系数为1），将此方程中的一个未知数，如y用含x的代数式表示出来，如y=ax+b；②代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解一元一次方程，求出x的值；④回代得解：将求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值．
解：由①，得③．
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解是
【例2】（2009桂林）已知是二元一次方程组的解，则的值（ B ）．
A．1 B．－1 C． 2 D．3
【解析】本题考查二元一次方程的概念和一元一次方程的解法，可将直接代入方程组，得，解得，所以=-1，此题先B．
三、基础夯实篇
1．将代入，可得（ C ）
A． B．
C． D．
2．（2010重庆江津）方程组的解是（ B ）
A． B． C． D．
3．（2010济南）二元一次方程组的解是（ D ）
A． B． C． D．
4．（2010苏州）方程组的解是( D )
A． B． C． D．
5．用代入法解方程组 有以下过程
（1）由①得x= ③；
（2）把③代入②得3×-5y=5；
（3）去分母得24-9y-10y=5；
（4）解之得y=1，再由③得x=2.5，
其中错误的一步是（ C ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
6．(2009内江)若关于x，y的方程组的解是，则为（ Ｄ ）
A．1 B．3 C．5 D．2
7．若和是关于x，y的方程y＝kx＋b的两个解，则k＝___3___，b＝__5____．
8．在方程中，用含x的代数式表示y，则y＝＿＿，用含y的代数式表示x，则x＝＿＿．
9． （2010珠海）方程组的解是___．
10．（2010滨州）解下列方程组．
解：（1）×2+（2），得，解得=2
将=2代入（1），得2×2 -y=6,解得y=-2
所以方程组的解为
11．（2010日照）解方程组
解：由（1）得：x=3+2y， （3）
把（3）代入（2）得：3（3+2y）－8y=13，
化简 得：－2y=4， 所以y=－2，
把y=－2代入（3），得x=－1，
所以方程组的解为
12．（2010衢州）解方程组
解：由①，得　y=2x-3． ③
把③代入②，得　3x+2x-3=7．　所以　x=2．
把x=2代入③，得　y=1．
所以　方程组的解是
决胜中考篇
13．已知方程组的解为，则2a-3b的值为（ B ）
A．16 B．18 C．-16 D．-18
14．如果方程组的解也是方程3x+2a+y=0的解，则a的值是（ A ）
A． B． C． D．2
15．已知方程组的解x和y的值相等，求k的值．
解：把x=y代入方程x-2y=3得：y-2y=3，所以y=-3=x．
把x=y=-3代入方程2x+ky=8得：2×（-3）+k×（-3）=8，解得k=．
16．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原来大63，求这个两位数．
解：设这个两位数个位上的数字为??x，十位上的数字为y，则根据题意得：
解得：
所以这个两位数是29．
17．已知，求b的值．
解：由①得：a+c=35-b③．
由②得：2（a+c）=100+3b④．
把③代入④得：b=-6．
所以b的值为－６．
第2课时（共4课时）
课前预习篇
1．进一步熟悉用代入法解方程组．
2．根据题意列二元一次方程组，解二元一次方程组．
典例剖析篇
【例1】（2009青海）已知代数式与是同类项，那么m，n的值分别是（ C ）
A．B．C． D．
【解析】 根据同类项的定义——在多项式中，所含字母相同，并且相同的字母的次数也相同，列方程组解答即可．
【例2】在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮却把方程②抄错了，得到错解，你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？
【解析】由于小明把方程①抄错，所以是方程②的解，可得b+7a=19；小亮把方程②抄错，所以是方程①的解，可得-2a+4b=16，联立两个关于a，b的方程，可解出a，b的值，再代入原方程组，可求得原方程组及它的解．
解：把代入方程②，得b+7a=19．把代入方程①，得-2a+4b=16．
解方程组得
所以原方程组为，解得

基础夯实篇
1．已知二元一次方程组下列说法正确的是( C )．
A．适合方程②的x，y的值是方程组的解
B．适合方程①的x，y的值是方程组的解
C．同时适合方程①和②的x，y的值是方程组的解
D．同时适合方程①和②的x，y的值不一定是方程组的解
2．方程5x－2y＝7与x＋3y＝-2的公共解是( B )．
A． B． C． D．
3．已知与是同类项，那么x，y的值是( A )．
A． B． C． D．
4．（2010台湾）解二元一次联立方程式，得y=（ D ）
A． ( B． ( C． ( D． (
5．如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1, ∠2的度数分别为x，y，那么下列求出这两个角的度数的方程是（ B ）

A ． B． C． D．
6．若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=7，y=kx-9有公共解，则k的取值为（??D? ）
?A．3??????????????? B．－3??????????????? C．－4???????????? D．4
7．（2009宁波）以方程组的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系中的位置是（ A ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？( A )
A． 大盒装20瓶，小盒装12瓶 B． 大盒装21瓶，小盒装12瓶
C． 大盒装20瓶，小盒装15瓶 D． 大盒装22瓶，小盒装12瓶
决胜中考篇
9．(2009绵阳)小明在解关于x、y的二元一次方程组 时得到了正确结果 后来发现“(”“ (”处被墨水污损了，请你帮他找出(、( 处的值分别是( B )
A．( = 1，( = 1 B．( = 2，( = 1
C．( = 1，( = 2 D．( = 2，( = 2
10．已知x，y，t满足方程组，则x和y之间应满足的关系式是___15y－x=6____．
11．当k，m分别为何值时，关于x，y的方程组至少有一组解?
解：把（1）代入（2）得：kx+m=(2k-1)x+4,
化简得：（k-1）x=m-4．
要使原方程组至少有一组解，有两种情况：
①方程组只有一种解，此时k-1≠0,即k≠1;
②方程组有无数个解，即使（k-1）x=m-4．恒成立，即满足k-1=0,m-4=0,解得：k=1,m=4．
所以k＝1，m＝4或k≠1．
12．在解关于x,y的方程组时，甲正确地解出 ，乙因为把C抄错了， 结果解得 ，试求A．B．c的值．
解：由题意得，甲的解适合第二个方程，把代入得3c＋14＝8, 所以c＝－2 甲、乙的解都适合第一个方程，把和代入第一个方程，得
所以　即a＝4,b＝5,c＝－2
13．研究下列方程组的解的个数：
(1) (2) (3)
你发现了什么规律?
解：(1)无解；
(2)一组解；
(3)无数解．
规律：对于方程组，当时，方程组有唯一解；如果时，方程组无解；如果时，方程组有无数个解．
第3课时（共4课时）
课前预习篇
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．
典例剖析篇
【例1】用加减法解下列方程组：
（1） （2）
【解析】用加减消元法解方程组时，若哪个未知数系数的绝对值正好相等，就可先消哪个未知数；若两个未知数的系数绝对值均不等，则可选定一个未知数，通过变形使其绝对值相等，再进行消元．
解：（1）①+②得：12x=24，解得：x=2
把x=2代入①得：y=3．
所以原方程组的解为：
（2）①×3得6x+9y=36 ③
②×2得6x+8y=34 ④
③-④得y=2，把y ＝2代入①， 解得:x＝3
所以原方程组的解是
【例2】解方程组：
【解析】当方程组比较复杂时，应先化简，利用去括号、去分母、合并同类项等手段，使方程化为的形式再解．
解：化简方程组，得：
（3）+（4）5得：27x=17550,所以x=650．
把x=650代入④中，得5×650+3y=3400，
所以y=50．
所以原方程组的解为：
三、基础夯实篇
1．用加减法解方程组时，有下列四种变形，其中正确的是（ Ｃ ）
A．　 B．　
C．　 D．　
2．方程组的解是( Ｄ )．
A． B． C． D．
3．用加减消元法解方程组时，把①×3＋②×2，得__13a=14_____．
4．已知二元一次方程组那么x＋y＝____，x－y＝__1____．
5．（2010青岛）解方程组：；
解：（1）
解：②×4得：4x-4y=16③
①＋③得：7x = 35，解得：x = 5．
把x = 5代入②得，y = 1．
所以原方程组的解为 ．
6．（2010广州）解方程组
解：
①＋②，得4x＝12，解得：x＝3．
将x＝3代入①，得9－2y＝11，解得y＝－1．
所以方程组的解是
7．(2010重庆潼南)解方程组
解：由①+②,得 3x=45．即x=15．
把x=15代入①，得15+y=20，解得y=5．
所以这个方程组的解是
决胜中考篇
8．（2010台湾） 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5，若甲桶 内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯？（ B ）
A． 64 B． 100 C． 144 D． 225 ．
9．如果关于x，y的方程组的解中，x与y互为相反数，求k的值．
解：因为方程组中，x与y互为相反数，所以，，所以根据题意可得：
解得：x=2,y=-2,k=5．

10．已知：关于x，y的方程组与的解相同．求a，b的值．
解：根据题意，可得方程组与方程组的解也是原两个方程组的解，解得：．
将代入方程组得： ，解得：
所以a的值是2，b的值是3．
11．解下列方程组：
解：（２）－（１）得：5x+5y=5，x+y=1（３），
由（３）得：7x+7y=7(４)．
(1)－（４）得：．
把代入（３）得，，
所以原方程组的解是
第4课时（共4课时）
课前预习篇
1．进一步熟悉加减消元法．
2．运用加减消元法解方程组的条件是方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等，当方程组中两方程不具备这种特点时，必须用等式性质2来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值已经相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．
典例剖析篇
【例1】解方程组：
【解析】对于不是标准的二元一次方程组，可先通过去分母或去括号，将其变为标准的二元一次方程组后再消元．
解：原方程组变形为：
（3）-（4）得：4y=64，y=16
将y=1+6你入（4）得：x=2
所以原方程组的解为：
【例2】（2009呼和浩特）如果+=0，则x+y的值为 ．
【解析】两个非负数之和为0，则它们分别都为0，可化为方程组的问题，，解之，得： ，所以x+y=6．
【答案】 6
基础夯实篇
1．（2009东营）若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则k的值为 （ B ）
A． B． C． D．
2．若方程组的解为正整数，则m的值为( D )．
A．2 B．4 C．6 D．－4
3．已知是二元一次方程组的解，则的值为（ A ）
A．4 B．2 C．－2 D． ±2
4．下列方程组中和方程组同解的是( D )．
A． B． C． D．
5．（2010威海）如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与 2 个砝码C的质量相等．
决胜中考篇
6．解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那么a,b,c的值是（　B　　）
???? A．不能确定　 ? ? ?? B．＝4，＝5，＝－2
? C．a,b不能确定c＝－2??? ? D． c＝4,b＝7，c＝2
7．若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（ A ）
A．正奇数 B．正偶数 C．正奇数或正偶数 D．0
8．若和都是方程ax+by+2＝0 的解，则c＝___5___．
9．在解关于x、y方程组可以用（1）×2+（2）消去未知数x；也可以用（1）+（2）×5消去未知数y；求m、n的值．
解：根据题意，可得：
解这个方程组，得：
所以 m 的值为-23，n的值为－39．
10．在方程(x+2y+11)+k(5x+2y－9)＝0中，找出一对x，y值，使得无论取k何值，方程恒成立．
解：要使对于任意x，y，方程恒成立，只需要x+2y+11=0，
5x+2y－9=0恒成立即可，联立方程组得：
解得：
所以当x=5，y=-8时，无论取k何值，方程恒成立．
11．先观察下列解题过程：
解： （１）+（２）x=y
把x=y代入（１）得x=1,所以原方程组的解为
消除常数项的方法是解某些二元一次方程的简便方法，当二元一次方程的常数项系数互为相反数时，可采取这一方法．
试用消除常数法解下列方程：
　　
解：（１）+（２）得： x=y
把x=y代入（１）得x=1
所以原方程组的解为
12．(2009江苏)一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2．2h．
请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．
解：本题答案不惟一，下列解法供参考．
解法一??????问题：普通公路和高速公路各为多少千米？
解：设普通公路长为xkm，高度公路长为ykm．
根据题意，得解得
答：普通公路长为60km，高速公路长为120km．
解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？
解：设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了yh．
根据题意，得解得
答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1．2h．