第九章 不等式与不等式组
9．1 不等式
9．1．1不等式及其解集
课前预习篇
1．不等式：用不等号表示大小关系的式子，叫不等式．常见的不等号有： >”、“<”、 “ ≠”, “≤”、“≥”．
2．类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式．
3．不等式的解：我们把能使不等式成立的未知数的值,叫． 不等式的解有 无数 个．
4．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式．
典例剖析篇
【例1】用不等式表示下列关系．
①a不等于0__________；②是非负数____________；③10与x的和比y的3倍小______________________．
④x是介于－1与7之间的数______________________．
⑤a是负数，y是非正数______________________．
【解析】列不等式时，要注意题中的不等关系．注意“是负数”与是“非负数”中隐含的不等关系和它们的区别，正确运用符号表示出来．
【答案】① ② ③
④ ⑤
【例2】判断下列各数中，哪些是不等式 的解？哪些是不等式的解？
【解析】判断一个数是否是不等式的解，只要将这个数代入不等式，若能使这个不等式成立，则是不等式的解，若不能使不等式成立，则不是原不等式的解．有不特别说明的情况下，若一个不等式有解，则满足条件的解的个数是无数个．
【答案】是不等式的解；
是不等式的解．
【例3】（2009河池）一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ A ）
【解析】用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：
大于向右画，小于向左画，有等号(，)画实心点，无等号(>，<)画空心圈．
【答案】A
基础夯实篇
1．下列各式：①-0．1＜0；②4+32y＞0；③x=-3；④x2-y+1;⑤x≠15；⑥x-3＜y+3中，其中是不等式的有（ C ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列各式中，是一元一次不等式的是（ B ）
A．x+y-2=a B．3x+1≠2+x C．x2-2x＞0 D．4x-5=x+4
3．下列按要求列出的不等式，不正确的是（ B ）
A．x的2倍与3的差不小于2：2x-3≥2
B．x与5的和至少是x的3倍：x+5＞3x
C．x的不大于x的：x≤x
D．a的绝对值的2倍与4的和至少是4：+4≥4
4．下列说法中，正确的是（ A ）
A． x=4是不等式3x＞7的一个解
B． x=4是不等式3x＞7的解集
C． x=4是不等式3x＞7的唯一解
D．x=4是不等式2x＜7的解
5．下列说法中，错误的是（ B ）
A．不等式-x＜4的解集是x＞-4
B． -5是不等式2x＜-8的一个解
C．不等式x＜10的整数解有无数个
D．不等式x＜1000的正数解只有有限多个
6．（2010邵阳）如图，数轴上表示的关于x的一元一次不等式的解集为（ D ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
7． （2010武汉）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ B ）
A．x> (1，x>2 B．x> (1，x<2
C．x< (1，x<2 D．x<(1，x>2
8．（2009娄底）下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图2所示? ( B )
A． B． C． D．
9． (2009武汉)不等式的解集在数轴上表示为（ C ）
10．若，则a只能是（ B ）
A．a≤-1 B． a＜0
C．a≥-1 D．a≤0
11．不等式2x-3＞5的解的情况是（ D ）
A．只有一个解 B．有两个解
C．无解 D．有无数个解
12.如果x－y＜0，那么x与y的大小关系是x ＜ y ．（填＜或＞符号）.
13． x的与6的差不小于－4的相反数，用不等式表示为__x－6≥4___．
14．下列各数中，哪个是方程5x=300的解？哪些是不等式5x＞300的解？哪些是不等式5x＜300的解？
57，58，59，60，61，．62，63
你能找出不等式的解的特征吗？
解：60是方程5x=300的解；61，．62，63是不等式5x＞300的解；57，58，59是不等式5x＜300的解．不等式5x＞300的解集是x＞60，61，．62，63是不等式5x＞300的解；不等式5x＜300的解集是x＜60，故57，58，59是不等式5x＜300的解．
决胜中考篇
15．用不等式表示下列各式．
（1）-4与x的2倍的和不大于-；
（2）对于任意实数a，它的绝对值是非负数；
（3）-1与-x的差是负数
（4）x的一半与x的倒数的2倍的和不等于1．
解：（1）-4+2x≤- (2) 0
(3)-1-(-x) ＜0 (4) 1
16．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）x≥3；
（2）x＜；
（3）不等式x≤4的非负整数解；
（4）-2< x≤2．
解：略。
17．（2010日照）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：
已知
用“<”或“>”填空
5+2 3+1
-3-1 -5-2
1-2 4+1
一般地，如果那么a+c b+d．（用“>”或“<”填空）
你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？
解：＞，＞，＜，＞；
证明：因为a>b，所以a+c>b+c．
又因为c>d，所以b+c>b+d，
所以a+c>b+d．
第九章 不等式与不等式组
9．1 不等式
9．1．2不等式的性质
第1课时（共2课时）
课前预习篇
1．不等式的性质:
性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 不变 ． 即 如果a＞b，那么a±c＞b±c．
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向 不变 ． 即 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a/c＞b/c)． ．
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变 ．即 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a/c＜b/c)． ．
2．利用有等式的性质，可以进行不等式的相关运算．
典例剖析篇
【例1】1、已知，在横线处填上“＞”或“＜”．
① ②
③ ④
⑤
⑥
【解析】要观察题目“＞，＜”的条件，联想不等式基本性质，考虑它们是根据哪条不等式的基本性质，通过怎样的变形得到的，要特别注意性质Ⅲ，能正确理解，灵活应用．
【答案】①＞ ②＞ ③＞ ④＜ ⑤＞ ⑥＜
【例2】解下列不等式：
（1） （2）
解：（1）不等式两边都加上x，不等号方向不变，
所以，解得：．
不等式两边同时减去3，不等号方向不变，
所以．
不等式两边除以，不等号方向改变，
所以
（2）不等式两边同时乘以6，不等号方向不变，
所以，解得：
不等式两边同时减去4，不等号方向不变，
所以，解得：
不等式两边同时减去，不等号方向不变，
所以，解得：
不等式两边同时除以，不等号方向改变，
所以．
基础夯实篇
1．不等式2-x﹤1的解集是（ A ）
A． x﹥1 B． x﹤-1 C． x﹥-1 D． x﹤1
2． （2010重庆潼南） 不等式2x+3≥5的解集在数轴上表示正确的是（ D ）
3．（2010永州）不等式的解集在数轴上表示为（ D ）
4．（2010乐山）下列不等式变形正确的是（ B ）
A．由a＞b，得a－2＜b－2 B．由a＞b，得－2a＜－2b
C．由a＞b，得＞ D．由a＞b，得a2＞b2
5．为任意实数，下列不等式中一定成立的是（ B ）
A． B．
C． D．
6．若，则的取值范围是（ B ）
A． B．
C． D．
7．已知a＜b＜0，用不等号连结下列各题中的两式：
（1）a－5__＜___b－5； （2）－a___＞__－b；
（3）b－a__＞___0； （4）|a|__＞___|b|；
（5）a3_＜____b3； （6）__＞___．
8．（2010北京）不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集_x>2/3___．
9．（2010郴州）不等式的解集是____．
10． (2010绍兴)不等式－的解是_____.
11． （2010菏泽）若关于x的不等式的解集是,则实数m的值为___ ___．
12．已知下列不等式成立，试确定与0的大小关系：
（1）若，则 ＜ 0．
（2）若，则 ＞ 0．
（3）若，则 ＞ 0．
（4）若，则 = 0．
13．解下列不等式：
(1) 3x－2＞x＋4 （2）
解：（1） ，，．
（2），
14．学习了不等式的性质后，小明和小亮对3a﹥2a是否成立进行了争论．小明说：“给3a﹥2a的两边同时除以a，得3﹥2，因为3﹥2成立，所以3a﹥2a也一定成立．”小亮说：“这是不正确的．”你认为小明说的对吗？为什么？
解：小明的说法是错误的．根据不等式的性质二可知，当a＞0时，3a﹥2a，成立；当a＜0时，3a＜2a ，所以此时3a﹥2a不成立；当a=0时，3a=2a, 此时3a﹥2a也不成立．
决胜中考篇
15．（2010连云港）下面4个命题中，正确的是（ C ）
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2010湘西）解不等式：,并将解集表示在数轴上．
解：由得
于是
数轴表示为
17．（2010益阳）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
解： ，，
解得：
数轴表示为：
18．（2010宁德）解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：2（2x－1）－3（5x＋1）≤6.
4x－2－15x－3≤6.
4x－15x≤6＋2＋3.
－11x≤11.
x≥－1.
数轴上表示为:
19．（2010湘潭）解不等式：，并求它的非负整数解．
解:
所以它的非负整数解为0，1，2．
20．已知方程组,当m为何值时,x>y？
解：要使x>y，只要x-y＞0即可．
在方程组中，
①-②得：
所以＞0，所以
21．规定一种新的运算:a⊿b=a×b-a-b+2,如2⊿4=2×4-2-4+1, 4⊿2=4×2-4-2+1,即2⊿4=4⊿2成立,那么(-2)⊿4与4⊿(-2)仍相等吗?为什么?
解：根据题意：
(-2)⊿4==-8+2-4+2= -8；
4⊿(-2)= =-8-4+2+2= -8
所以(-2)⊿4与4⊿(-2)仍相等．
第2课时（共2课时）
课前预习篇
解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1．
典例剖析篇
【例1】如果关于x的不等式和 的解集相同，求a 的值．
【解析】两个不等式中，一个含有字母a，另一个没有字母，只要分别x的解集，再根据它们的解集相同，求出a的值即可．
解：因为，所以；
所以当时，；
当时，．
因为，；又因为它们的解集相同，
所以=5，解得：
所以a 的值为．
【例2】（1）当 时，若的解集是．
（2）当x___ _时，代数式的值是非正数．
【解析】（1）中，由得：，因为解集是，所以可以确定，；不等式解集为，所以=3，．（2）中，由题意知， ，解得：．
【答案】 （1） （2）
【点拨】若已知不等式的解集，可以从以下两个方面判断字母系数的取值范围：①根据不等式最简形式（或）与不等式的解集中不等号的方向是否改变，可判断a的取值情况，若改变，则，若不改变，则．②利用一元一次不等式一元一次方程的关系可求出未知系数的值，若一元一次不等式的解集为，则是把不等号换成等号得到的一元一次方程的解，代入即可求出未知系数的值．
基础夯实篇
1．（2009柳州）若，则下列各式中一定成立的是（ A ）
A． B． C． D．
2．已知a A． 2a<2b B． a+233．下列各式中一定成立的是（ C ）
A．a＞－a B．－4a＜－a C．a－3＜a＋3 D．a2＞－a2
4．（2009宜昌）如果ab<0，那么下列判断正确的是( D )．
A．a<0，b<0 B． a>0，b>0
C． a≥0，b≤0 D． a<0，b>0或a>0，b<0
5．若，则关于x的不等式的解集是（ C ）
A． B． C． D．
6．如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式．下列两个不等式是同解不等式的是（ A ）
A．和 B．和
C．和 D．和
7．(2010吉林)不等式2x－3＞1的解集是___ x ＞2__
8．（2010泰州）不等式的解集为 ＞3 ．
9．（2010宁波）请你写出一个满足不等式的正整数的值：_1，2，3中填一个即可__.
10．已知三角形的两边为6和10，则第三边a的取值范围是__ ______．
11．当m_＞2__时，不等式(2－m)x＜10的解集为x＞．
12．（2009泸州）关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是 k>2
13．当x_＜___时，代数式的值是负数；当x__≤___时，代数式的值是非负数．
14．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）
解：
（2）
解：
（3）解不等式
解：3（2x—1）—2（5x+2）＜-12
6x-3-10x-4＜-12
6x-10x＜-12+4
-4x＜-8
x＜2
（4）
解：
决胜中考篇
15．已知不等式的正整数解恰是1，2，3，4，5，6，那么的取值范围是 ．
16．为何值时,代数式的值是非负数？
解：由题意可得，
解不等式得：.
所以当时,代数式的值是非负数．
17．，且互为相反数，求关于的不等式的解集．
解：因为互为相反数，
所以，
对有
因为
当时，当时，
18．对于不等式与不等式，是否存在合适的a ，使两个不等式有相同的解集？
解：由得：；
当时，；
当时，．
对于，解得，
要使两个不等式有相同的解集，只需要在的情况下，同时满足=3，解得a=5，这与不符．
所以不存在合适的a ，使两个不等式有相同的解集．
19． 写出一个解集为的不等式，再写出一个解集为的不等式，在同一个数轴上表示出这两个解集，并说出这两个解集的公共部分．
解：由两边都加1，得：，
由两边都减8，得：，
所以解集为的不等式可以是，
解集为的不等式可以是，
在同一个数轴上表示这两个解集，如图：
两个解集的公共部分是
