等比数列
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(共51张PPT)
等比数列
复习与提问：
1、等差数列的定义：
定义的符号表示：
2、等差数列的通项公式：
3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
an = a1 +（n-1）d
等差数列 an+1-an=d
一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.
实例1、观察细胞分裂的过程：
构成数列：1，2，4，8，…
古语：一尺之棰，
日取其半，万世不竭。
木棒每天的长度构成一个数列：
实例2：
实例3.银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.
比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%
时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10000 10000×1.0198
第2年 10000×1.0198
第3年
第4年
第5年
10000×1.01982
10000×1.01982
10000×1.01983
10000×1.01983
10000×1.01984
10000×1.01984
10000×1.01985
①1，2，4，8，…
②
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…
共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。
思考：以下数列有什么共同特点？
定义
等比数列：
从第 2 项起，每一项与前一项的比等于同一个常数
如果一个数列
，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母 q 表示.
即： (q常数) （n≥2）
① －2，1，4，7，10，13，16，19，…
② 4，16，32，64，128，256，…
③ 243，81，27，9，3，1，，，…
④ 3，3，3，3，3，3，3，…
练习1、你能举出一些等比数列的例子吗？
q=1
练习2、指出下列数列是不是等比数列，若是，请说出其公比是多少：
×
×
练习：课本52页 2
练习：课本53页 5（1）
思考1：等比数列的公比q能取0吗？
×
（4）等比数列的数学语言定义中： 无法用
替代。
对等比数列的认识：
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
（1）等比数列的首项不为0；
（3）公比不为0.
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？
正负交替
对公比q的探究： （a1 ﹥0时）
当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
思考3：有无数列是既等比又等差的？
注意：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.
等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
a，G，b成等比数列
例：-1和10是否存在等比中项，是的话如何计算？
思考：类比等差中项，什么是等比中项？
对a，b的要求：a，b要同号。
练习：课本54页 A组7
练习：课本54页 A组6
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示
当n=1时，
（等比数列通项公式）
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是,那么这个等比数列的第 项 如何表示
，… ，
∵
∴
…
如何对其加以严格的证明呢？
想一想？
证明：
将等式左右两边分别相乘可得：
化简得：
即：
此式对n=1也成立
∵
，… ，
……
……
∴
叠乘法推导
已知数列{an}为等比数列，其首项为a1 ，公比为q，
则其通项公式为：
通项公式
练习：课本54页 A组8
从通项公式，想象一下等比数列的图象是怎么样的吗？
o
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
等比数列通项公式的图象表示:
课本50页探究（2）
通项公式
数学式
子表示
定 义
等比数列
等差数列
名 称
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示
an+1-an=d
an = a1 +（n-1）d
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示
1.求下列等比数列的第4，5项：
②1.2，2.4，4.8，…
①5，-15，45，…
三.巩固 应用
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.
变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.
2.在等比数列{an}中，已知
求an.
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半
衰期为多长（精确到1年）？
分析：
时间： 剩留量:
最初 1
经过1年a1=0.84
经过2年a2=0.842
经过3年a3=0.843
经过n年an=0.84n
二.等比数列通项公式的应用
把③代入① ，得
把②的两边分别除以①的两边，得
解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么
①
②
例2、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
例3：根据图2-4-2中的框图，
写出所打印数列的前5项，
并建立数列的递推公式，
这个数列是等比数列吗？
开始
A=1
n=1
输出A
n=n+1
n>5
结束
是
A=A×(1/2)
否
是项数相同的等比数列，
求证：
是等比数列
练习：课本53页 3
练习：课本53页 A组3
补充例题
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
an＝amqn-m
（am≠0,an ≠ 0,m,n∈N*）
题型１：
例、等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4, 求q的值.
例、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求n.
练习：课本52页 1
练习：课本54页 B组1
方法1：利用通项公式
例2：一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18，求它的第3项。
在等比数列｛an｝中，若已知某两项am、 an,求其中任意一项。
题型2：
方法2：利用定义
在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q )时，有
9
±3
81
练习：课本53页 4（1）
总结
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差)
中项
4.通项公式
5.性质
(若m+n=p+q)
q不可以是0,
d可以是0
等比中项
等差中项
等差数列(A P)
等比数列(G P)
练习：课本54页 A4
报纸能比泰山高吗？
(1)假设我们有一张足够大的报纸.(设报纸厚度是a米). 先把报纸对折一次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍.即2a米
(2)我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为:
4a米即2 a米
第三次再对折后报纸的厚度是:
8a米即2 a米
(3) 三次折叠,报纸厚度分别是:
2a米,2 a米,2 a米
我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是
一组等比数列:
2 a, 2 a, 2 a , 2 a, 2 a, 2 a …
(4)假设报纸的单页厚度约为0.1毫米，
需要折叠几次才能比泰山高呢？
(4)可以测得报纸的单页厚度约为0.1毫米 (即a=0.0001m),当我们把报纸折叠了21次,此时的厚度是:
2 a = 2097152毫米 = 2097.152米
报纸的厚度高过泰山500多米！
等比数列
复习与提问：
1、等差数列的定义：
定义的符号表示：
2、等差数列的通项公式：
3、等差中项：a，A，b成等差数列，则
A=（a+b）/2
an = a1 +（n-1）d
等差数列 an+1-an=d
一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.
实例1、观察细胞分裂的过程：
构成数列：1，2，4，8，…
古语：一尺之棰，
日取其半，万世不竭。
木棒每天的长度构成一个数列：
实例2：
实例3.银行有一种支付利息的方式——复利，即是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”.
比如，现在存入银行1万元钱，年利率是1.98%
时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10000 10000×1.0198
第2年 10000×1.0198
第3年
第4年
第5年
10000×1.01982
10000×1.01982
10000×1.01983
10000×1.01983
10000×1.01984
10000×1.01984
10000×1.01985
①1，2，4，8，…
②
③1，20，202，203…
④ 10000×1.01981 ， 10000×1.01982 ， 10000×1.01983 ， 10000×1.01984…
共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。
思考：以下数列有什么共同特点？
定义
等比数列：
从第 2 项起，每一项与前一项的比等于同一个常数
如果一个数列
，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母 q 表示.
即： (q常数) （n≥2）
① －2，1，4，7，10，13，16，19，…
② 4，16，32，64，128，256，…
③ 243，81，27，9，3，1，，，…
④ 3，3，3，3，3，3，3，…
练习1、你能举出一些等比数列的例子吗？
q=1
练习2、指出下列数列是不是等比数列，若是，请说出其公比是多少：
×
×
练习：课本52页 2
练习：课本53页 5（1）
思考1：等比数列的公比q能取0吗？
×
（4）等比数列的数学语言定义中： 无法用
替代。
对等比数列的认识：
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
（1）等比数列的首项不为0；
（3）公比不为0.
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？
正负交替
对公比q的探究： （a1 ﹥0时）
当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列；
当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；
当q=1时，等比数列{an}为常数列；
当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
思考3：有无数列是既等比又等差的？
注意：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.
等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
a，G，b成等比数列
例：-1和10是否存在等比中项，是的话如何计算？
思考：类比等差中项，什么是等比中项？
对a，b的要求：a，b要同号。
练习：课本54页 A组7
练习：课本54页 A组6
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示
当n=1时，
（等比数列通项公式）
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是,那么这个等比数列的第 项 如何表示
，… ，
∵
∴
…
如何对其加以严格的证明呢？
想一想？
证明：
将等式左右两边分别相乘可得：
化简得：
即：
此式对n=1也成立
∵
，… ，
……
……
∴
叠乘法推导
已知数列{an}为等比数列，其首项为a1 ，公比为q，
则其通项公式为：
通项公式
练习：课本54页 A组8
从通项公式，想象一下等比数列的图象是怎么样的吗？
o
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
等比数列通项公式的图象表示:
课本50页探究（2）
通项公式
数学式
子表示
定 义
等比数列
等差数列
名 称
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示
an+1-an=d
an = a1 +（n-1）d
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示
1.求下列等比数列的第4，5项：
②1.2，2.4，4.8，…
①5，-15，45，…
三.巩固 应用
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an.
变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.
2.在等比数列{an}中，已知
求an.
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半
衰期为多长（精确到1年）？
分析：
时间： 剩留量:
最初 1
经过1年a1=0.84
经过2年a2=0.842
经过3年a3=0.843
经过n年an=0.84n
二.等比数列通项公式的应用
把③代入① ，得
把②的两边分别除以①的两边，得
解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么
①
②
例2、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
例3：根据图2-4-2中的框图，
写出所打印数列的前5项，
并建立数列的递推公式，
这个数列是等比数列吗？
开始
A=1
n=1
输出A
n=n+1
n>5
结束
是
A=A×(1/2)
否
是项数相同的等比数列，
求证：
是等比数列
练习：课本53页 3
练习：课本53页 A组3
补充例题
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
an＝amqn-m
（am≠0,an ≠ 0,m,n∈N*）
题型１：
例、等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4, 求q的值.
例、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2,求n.
练习：课本52页 1
练习：课本54页 B组1
方法1：利用通项公式
例2：一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18，求它的第3项。
在等比数列｛an｝中，若已知某两项am、 an,求其中任意一项。
题型2：
方法2：利用定义
在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q )时，有
9
±3
81
练习：课本53页 4（1）
总结
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差)
中项
4.通项公式
5.性质
(若m+n=p+q)
q不可以是0,
d可以是0
等比中项
等差中项
等差数列(A P)
等比数列(G P)
练习：课本54页 A4
报纸能比泰山高吗？
(1)假设我们有一张足够大的报纸.(设报纸厚度是a米). 先把报纸对折一次,这时纸张的厚度是报纸单页的2倍.即2a米
(2)我们再将报纸对折一次,纸张的厚度变为:
4a米即2 a米
第三次再对折后报纸的厚度是:
8a米即2 a米
(3) 三次折叠,报纸厚度分别是:
2a米,2 a米,2 a米
我们猜想,继续这样折叠,报纸的厚度会是
一组等比数列:
2 a, 2 a, 2 a , 2 a, 2 a, 2 a …
(4)假设报纸的单页厚度约为0.1毫米，
需要折叠几次才能比泰山高呢？
(4)可以测得报纸的单页厚度约为0.1毫米 (即a=0.0001m),当我们把报纸折叠了21次,此时的厚度是:
2 a = 2097152毫米 = 2097.152米
报纸的厚度高过泰山500多米！