等比数列前n项和
图片预览
文档简介
(共34张PPT)
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
性质
Sn
2.5 等比数列前n项和公式
64个格子
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1
6
6
7
7
8
8
你想得到
什么样的
赏赐？
陛下，赏小
人一些麦粒就可以。
OK
请在第一个格
子放1颗麦粒
请在第二个格
子放2颗麦粒
请在第三个格
子放4颗麦粒
请在第四个格
子放8颗麦粒
依次类推……
4
5
6
7
8
1
5
6
7
8
1
2
3
3
4
2
64个格子
你认为国王有能力满足上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是
前
一个格子里麦粒数的
2倍,
且共有
64
格子.
由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：
……
①
把上式左右两边同乘以2 得：
……
②
16+
由②- ①得：
=18446744073709551615≈1.84
错位相减法
所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了他的要求。
其实，人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!是当时全世界在两千年内所产的小麦的总和！
假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，
那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在太阳和地球之间打个来回。
……
①
把上式左右两边同乘以2 得：
……
②
16+
由②- ①得：
错位相减法
思考：
（1）为什么②式选择乘以2，而不是别的数字？乘以2有什么样的好处？
（2）类比以上例子，你能发现什么规律？
如何求等比数列的Sn:
①
②
①—② ，得
错位相减法
（q≠1）
等比数列前n项和公式的推导
思考：那q=1怎么办呢？
提示：q=1说明数列有什么特点？
（q≠1）
1.使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
注意：
等比数列前n项和公式的推导
等比数列前n项公式
当
时，
或
当q=1时，
n+1
判断是非
②
n
③
①
2
n
或0
公式运用
已知
是等比数列，请完成下表：
题号 a1 q n an Sn
(1)
(2)
(3)
例1
解：
已知
是等比数列，请完成下表：
题号 a1 q n an Sn
(1)
(2)
(3)
例1
解：
已知
是等比数列，请完成下表：
a1、q、n、an、Sn中
例1
题号 a1 q n an Sn
(1)
(2)
(3)
知三求二
课本58页练习1
课本61页A3
求数列 的前n项的和.
拓展
分组求和
反思
解:
课本61页A4
例2.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
分析：第1年产量为 5000台
第2年产量为
5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为
5000×(1+10%) ×(1+10%)
……
第n年产量为
则n年内的总产量为：
例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
回顾
等比数列前n项公式
当
时，
或
当q=1时，
①
②
当已知
, q,
, q, n 时用公式②；当已知
时，用公式①.
2.
3.
课本61页A6
课本61页A6
其实:
则
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
是，
但是，这是有前提的！
这数列里面的任何一项都不能为0！
课本58页练习2
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
性质
Sn
2.5 等比数列前n项和公式
64个格子
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1
6
6
7
7
8
8
你想得到
什么样的
赏赐？
陛下，赏小
人一些麦粒就可以。
OK
请在第一个格
子放1颗麦粒
请在第二个格
子放2颗麦粒
请在第三个格
子放4颗麦粒
请在第四个格
子放8颗麦粒
依次类推……
4
5
6
7
8
1
5
6
7
8
1
2
3
3
4
2
64个格子
你认为国王有能力满足上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是
前
一个格子里麦粒数的
2倍,
且共有
64
格子.
由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即：
……
①
把上式左右两边同乘以2 得：
……
②
16+
由②- ①得：
=18446744073709551615≈1.84
错位相减法
所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了他的要求。
其实，人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!是当时全世界在两千年内所产的小麦的总和！
假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，
那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在太阳和地球之间打个来回。
……
①
把上式左右两边同乘以2 得：
……
②
16+
由②- ①得：
错位相减法
思考：
（1）为什么②式选择乘以2，而不是别的数字？乘以2有什么样的好处？
（2）类比以上例子，你能发现什么规律？
如何求等比数列的Sn:
①
②
①—② ，得
错位相减法
（q≠1）
等比数列前n项和公式的推导
思考：那q=1怎么办呢？
提示：q=1说明数列有什么特点？
（q≠1）
1.使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
注意：
等比数列前n项和公式的推导
等比数列前n项公式
当
时，
或
当q=1时，
n+1
判断是非
②
n
③
①
2
n
或0
公式运用
已知
是等比数列，请完成下表：
题号 a1 q n an Sn
(1)
(2)
(3)
例1
解：
已知
是等比数列，请完成下表：
题号 a1 q n an Sn
(1)
(2)
(3)
例1
解：
已知
是等比数列，请完成下表：
a1、q、n、an、Sn中
例1
题号 a1 q n an Sn
(1)
(2)
(3)
知三求二
课本58页练习1
课本61页A3
求数列 的前n项的和.
拓展
分组求和
反思
解:
课本61页A4
例2.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
分析：第1年产量为 5000台
第2年产量为
5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为
5000×(1+10%) ×(1+10%)
……
第n年产量为
则n年内的总产量为：
例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
回顾
等比数列前n项公式
当
时，
或
当q=1时，
①
②
当已知
, q,
, q, n 时用公式②；当已知
时，用公式①.
2.
3.
课本61页A6
课本61页A6
其实:
则
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
是，
但是，这是有前提的！
这数列里面的任何一项都不能为0！
课本58页练习2